Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ - Chương trình Toán 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ - Chương trình Toán 10" nhằm nghiên cứu những vấn đề liên quan tới việc giải các bài toán Hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ nhằm rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán nói chung, khả năng vận dụng phương pháp tọa độ và giải toán hình học phẳng nói riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ - Chương trình Toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT THANH CHƢƠNG 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CHƢƠNG TRÌNH TOÁN 10 Nhóm tác giả: 1. Nguyễn Cảnh Chiến 2. Đỗ Thị Kiều Hoa Tổ chuyên môn: Toán - Tin Số điện thoại: 0916283822 - 0913161583 Nghệ An - 2024
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CHƢƠNG TRÌNH TOÁN 10 Nghệ An - 2024
MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ .................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 5. Tính mới và đóng góp của đề tài ....................................................................... 2 6. Cấu trúc của đề tài: ............................................................................................ 2 B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................ 3 I. Cơ sở lí luận và thực tiễn ................................................................................... 3 1.1. Lí luận về năng lực. ........................................................................................ 3 1.1.1. Khái niệm năng lực. .................................................................................... 3 1.1.2. Năng lực chung và năng lực đặc thù môn Toán THPT. ............................. 4 1.1.3. Vai trò của năng lực. ................................................................................... 5 1.1.4. Vấn đề rèn luyện năng lực, kỹ năng............................................................ 7 1.2. Nội dung cấu trúc của chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán lớp 10 phần: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. ................................................... 9 1.3. Thực trạng dạy - học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. ........... 10 1.3.1. Thực trạng. ................................................................................................ 10 1.3.2. Nguyên nhân ............................................................................................. 11 1.4. Rèn luyện năng lực giải toán Hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ ... 12 1.4.1. Năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ ................. 12 1.4.2. Quy trình giải toán bằng phương pháp tọa độ........................................... 13 II. Một số biện pháp góp phần rèn luyện năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ. ............................................................................................ 14 2.1. Biện pháp 1: Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. ................................................................................................. 14 2.1.1. Viết phương trình đường thẳng và bài toán liên quan. ............................. 14 2.1.2. Viết phương trình đường tròn và bài toán liên quan. ................................ 20 2.1.3. Viết phương trình chính tắc các đường cônic. .......................................... 23 2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện khả năng thiết lập hệ tọa độ .................................. 26 2.2.1. Thiết lập hệ tọa độ vuông góc trong những trường hợp thường gặp ........ 26 2.2.2. Hệ thống bài toán rèn luyện khả năng thiết lập hệ tọa độ. ........................ 27 2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh năng lực giải các bài toán thực tế.... 31
2.4. Biện pháp 4: Kết hợp một số hoạt động khác .............................................. 37 2.5. Kết luận mục II ............................................................................................. 39 C. KHẢO SÁT TÍNH CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ ĐỀ XUẤT……………………….....................................................39 I. Mục đích khảo sát……………………………………………………………39 II. Đối tượng và địa bàn khảo sát………………………………………………39 III. Nội dung và phương pháp khảo sát………………………………………..40 1. Nội dung khảo sát……………………………………………………………41 2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá……………………………………41 3. Đối tượng khảo sát…………………………………………………………...41 4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất D. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………………………….43 I. Mục đích thực nghiệm………………………………………………………..43 II. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................................. 43 1. Tổ chức thực nghiệm. ...................................................................................... 43 2. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................... 44 3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................................ 47 4. Kết luận chung về thực nghiệm ...................................................................... 48 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….48
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Chương trình Toán ở trường phổ thông ghi rõ “Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lô gic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”. Đối với học sinh phổ thông, năng lực giải Toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Quá trình chọn lựa lời giải cho một bài toán một cách ngắn gọn, rõ ràng và hợp lí nhất đòi hỏi người giải không những nắm vững các kiến thức đã học mà còn phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết vận dụng chúng vào việc tìm ra lời giải tốt nhất cho bài toán. Dạy Toán ở trường phổ thông không chỉ là dạy kiến thức mà còn dạy cả kỹ năng, tư duy và tính cách. Trong các nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển cho học sinh năng lực giải toán là rất quan trọng. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một trong những chủ đề rất hay của chương trình Toán phổ thông, nó chiếm một lượng kiến thức cũng như thời gian với tỉ lệ không nhiều so với chương trình môn Hình học, nhưng dạng bài toán này luôn có mặt trong các đề thi và rất cần thiết để ứng dụng thực tế. Khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở nhà trường phổ thông cho thấy, việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh tuy cũng đã được chú ý, nhưng tính hệ thống và đầy đủ là chưa cao. Giáo viên cho học sinh giải nhiều bài toán, nhưng c chưa chú trọng đến việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh. Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi đã tiến hành thực hiện đề tài “Rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán hình học phẳng bằng phƣơng pháp tọa độ - Chƣơng trình Toán 10”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu những vấn đề liên quan tới việc giải các bài toán Hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ nhằm rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán nói chung, khả năng vận dụng phương pháp tọa độ và giải toán hình học phẳng nói riêng. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về cơ sở lý luận của đề tài. - Xây dựng hệ thống bài tập tọa độ trong mặt phẳng. - Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của học sinh THPT khi giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ. - Đề xuất các biện pháp chủ đạo nhằm rèn luyện năng lực giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ. - Thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp điều tra, quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 5. Tính mới và đóng góp của đề tài - Phân tích được thực trạng dạy học toán hiện nay ở trường THPT chú trọng phần dạy luyện tập toán. Hệ thống hóa được cơ sở lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán của học sinh phổ thông. - Làm sáng tỏ các năng lực cơ bản trong quá trình giải các bài toán về Hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ. - Đề xuất được các biện pháp chủ đạo nhằm rèn luyện cho học sinh THPT năng lực vận dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải toán hình học phẳng. - Có thể sử dụng SKKN để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán. 6. Cấu trúc của đề tài: Đề tài gồm có 3 phần Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung nghiên cứu. Phần III: Kết luận. 2
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1. Lí luận về năng lực. 1.1.1. Khái niệm năng lực. Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Chương trình giáo dục hướng đến phát triển năng lực còn gọi là dạy học định hướng phát triển đầu ra, ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế. Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: - Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. - Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí... - Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. Thực tế, trong quá trình dạy học chúng ta nhận thấy rằng học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng kiến thức đã học vào nhiệm vụ cụ thể bởi vì các em không tìm được mối liên hệ giữa tri thức có được và nhiệm vụ, với đối tượng cần giải quyết. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp những điểm M có khoảng cách đến B bằng 3 lần khoảng cách đến A. Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số gợi ý như: Đề bài yêu cầu xác định gì? Nếu giải bài toán này bằng phương pháp tổng hợp thì có khả thi không? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và nhận thấy rằng việc giải bài toán hình học này bằng phương pháp tổng hợp thông thường không phải dễ dàng. Bước 2: GV giúp HS tiếp cận bài toán bằng ngôn ngữ tọa độ. Với phương pháp tọa độ thì chúng ta có thể tìm thấy ngay lời giải mà không có khó khăn gì đáng kể. Muốn biết điểm M chạy trên đường nào ta chỉ cần đặt A, B vào trong một hệ tọa độ Đề-các rồi xét xem mối liên hệ giữa các tọa độ x, y của điểm M thỏa mãn 3
3MA  MB . Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ tọa độ để giải quyết yêu cầu bài toán. Để đơn giản khâu tính toán, ta có thể chọn một hệ tọa độ sao cho A, B thuộc trục hoành và gốc tọa độ là A. Khi đó A có tọa độ là A  0;0  . Giả sử tọa độ của B  0; b  . Số b hoàn toàn xác định khi ta biết vị trí tương đối giữa hai điểm A, B đã cho. Ta có: MA  x 2  y 2 , MB   x  b  y 2 Nên 2 3MA  MB  3 x 2  y 2   x  b  y 2  9  x 2  y 2   x 2  2bx  b 2  y 2 2 2 2bx b2  b 9b 2 x  2  y  x   y  2 2 8 8  8 64 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại kết quả thu được. Chuyển đổi từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thuần túy: Từ kết quả thu được ở  b  3b trên suy ra M chạy trên đường tròn tâm I   ;0  , bán kính R  .  8  8  b  Trả lời: Tập hợp các điểm M thỏa mãn bài toán là đường tròn tâm I   ;0  ,  8  3b bán kính R  . 8 1.1.2. Năng lực chung và năng lực đặc thù môn Toán THPT. * Những năng lực chung: - Năng lực tự chủ và tự học - Năng lực giao tiếp và hợp tác - Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo * Năng lực đặc thù môn Toán: a. Năng lực tư duy và lập luận toán học - Thực hiện được các thao tác tư duy (ở mức độ đơn giản), đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống quen thuộc và mô tả được kết quả của việc qua sát. - Nêu được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận. - Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Bước dầu chỉ ra được chứng cứ và lập luận có cơ sở, có lí lẽ trước khi kết luận. b. Năng lực mô hình hóa toán học. - Lựa chọn được các phép toán, công thức, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình 4
bày, diễn đạt được các ý tưởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn đơn giản. - Giải quyết được những bài toán xuất hiện từ sự lựa chọn trên. - Nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn. c. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. - Nhận biết được vấn đề cần giải quyết và nêu được thành câu hỏi. - Thực hiện và trình bày được cách thức giải quyết vấn đề ở mức độ đơn giản. - Kiểm tra được giải pháp đã thực hiện. d. Năng lực giao tiếp toán học. - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được các thông tin toán học trọng tâm trong nội dung văn bản hay do người khác thông báo (ở mức độ đơn giản). - Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (chưa yêu cầu phải diễn đạt đầy đủ, chính xác). Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. - Sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường, động tác hình thể để biểu đạt các nội dung toán học ở những tình huống đơn giản. - Thể hiện được sự tự tin khi trả lời câu hỏi, khi trình bày, thảo luận các nội dung toán học ở những tình huống đơn giản. e. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. - Nhận biết được tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng bảo quản các phương tiện toán học đơn giản. - Sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán để thực hiện nhiệm vụ. 1.1.3. Vai trò của năng lực. Qua tìm hiểu về khái niệm năng lực, chúng ta thấy rằng nó là một yếu tố quan trọng tạo nên mục tiêu dạy học cũng như khả năng của người học. Vì vậy, trong quá trình dạy học, tùy mục đích sử dụng mà chúng ta chọn kỹ năng tương ứng. Cùng với kỹ năng, kiến thức là một trong hai thành tố cơ bản trong dạy học, chúng thống nhất và tác động lẫn nhau. Chẳng hạn, với ví dụ sau: Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có ba cạnh BC  a, AC  b , a 2  c2 b2 AB  c , BD là đường trung tuyến. Chứng minh rằng BD  2  . 2 4 Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một vài câu hỏi gợi ý như: 5
Yêu cầu của đề bài là gì? Việc phân tích, biểu diễn độ dài trung tuyến BD thông qua độ dài ba cạnh của tam giác nếu sử dụng các phương pháp hình học thuần túy có dễ dàng không? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định rằng nếu chỉ sử dụng các cách giải hình học thuần túy thì việc biểu diễn theo yêu cầu sẽ rất khó khăn, và chưa thấy hướng giải quyết. Bước 2: GV giúp HS tiếp cận bài toán, chuyển ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ: Chọn hệ tọa độ phù hợp, biểu thị tọa độ các điểm cũng như độ dài các cạnh theo hệ tọa độ đã chọn. Bước 3: HS chủ động sử dụng kiến thức, công cụ tọa độ để giải quyết bài toán: Chọn hệ trục tọa độ sao cho A  O, C  Ox . Khi đó A  0;0  , C  b;0  , D  b 2;0  . Gọi B  x; y  . Ta AB 2  x 2  y 2  c 2 1 ; BC 2   x  b   y 2  a 2  2  2 có: 2 b  BD    x   y 2  3 . 2 2  b2  c2  a 2 Từ (1) và (2) suy ra b  c  2bx  a hay bx  2 2 2 . (4) 2 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại kết quả thu được. Chuyển đổi kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học. Khai triển vế phải của (3) và kết hợp hệ thức (4) ta có điều phải chứng minh. Khi giải xong Ví dụ 2, học sinh sẽ hình thành thêm kiến thức về tính chất đường trung tuyến, cách chứng minh tính chất đường trung tuyến bằng phương pháp tọa độ để sau này khi gặp lại những dạng toán tương tự các em sẽ có huy động các kiến thức đã học, năng lực đã có giải quyết các bài toán để tìm ra kết quả một cách thành thạo hơn. Ví dụ 3 (Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng): Cho tam giác ABC. Các 1 điểm A ', B ', C ' lần lượt chia các đoạn BC, CA, AB theo các tỉ số 1; ;  2 . 2 Chứng minh ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng. Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như: - Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nghĩa là gì? 6
- Để chứng minh ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng theo các em có thể nghĩ đến các hướng nào? - Bài toán này liệu sử dụng các công cụ hình học thuần túy có thuận lợi hay không? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định được: - Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nghĩa là MA  k MB - Việc sử dụng các phương pháp hình học thuần túy có vẻ sẽ gặp khó khăn trong việc giải quyết bài toán này. Bước 2: GV giúp HS tiếp cận bài toán bằng ngôn ngữ tọa độ thông qua việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp. Bước 3: HS sử dụng công cụ tọa độ giải quyết yêu cầu bài toán Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm BC . Giả sử A  a; b  , B  c;0  , C  c;0  . Theo giả thiết A' là trung điểm BC nên A '  O . Và 1 B ' C  B ' A   x A  xB ' ; y A  yB '   2  xC  xB ' ; yC  yB '   B '  2c; b  . 2  a  2c b   a  2c b  Tương tự tính được C '  ;   A ' B '   2c  a; b  , A ' C '   ;   3 3  3 3 Do đó hai vectơ A ' B ', A ' C ' cùng phương. Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại kết quả thu được. Chuyển đổi từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thuần túy: Từ kết luận thu được ở trên dễ dàng suy ra được: Ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng. 1.1.4. Vấn đề rèn luyện năng lực, kỹ năng. Qua quá trình tìm hiểu, đào sâu kiến thức, kỹ năng dần dần được hình thành và khắc sâu. Ví dụ 4: Khi dạy phần công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, SGK Toán 10 - KNTT nêu rõ: “ Cho điểm M  x0 ; y0  và đường thẳng  : ax  by  c  0 . Khoảng cách từ M đến đường thẳng  , kí hiệu d  M ,   ax0  by0  c được tính bởi công thức d  M ,    ” a 2  b2 Đầu tiên, thông qua khái niệm trên, GV cần chỉ ra cho HS thấy để tính khoảng 7
cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng thì điểm đó đã có tọa độ M  x0 ; y0  đồng thời đường thẳng phải được cho dưới dạng tổng quát. Từ đó, GV có thể đưa ra cho HS một số ví dụ nhằm khắc sâu khái niệm trên: Ví dụ 4.1: Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính khoảng cách từ điểm M(1;2) đến đường thẳng  trong các trường hợp sau: a)  : 3x  4 y 1  0  x  3t b)  :   y  2  4t Phân tích: Với câu a, HS áp dụng ngay công thức sẽ tính được khoảng cách từ M tới  . Với câu b, trong công thức  cho bởi phương trình tổng quát còn đề ra cho bởi phương trình tham số. Như vậy, HS cần thêm bước chuyển  từ PTTS về PTTQ. 3.1  4.2  1 10 a. d  M ,     2 32  42 5 4.1  3.2  6 6 b.  có PTTQ: 4 x  3 y  6  0 , khi đó: d  M ,     42   3 5 2 Tiếp theo, khi HS đã nắm được công thức, GV có thể lựa chọn các bài tập, các ví dụ mà ở đó có chứa yếu tố khoảng cách, hay là một cách viết khác của khoảng cách, đồng thời tăng dần độ khó của bài toán. Ví dụ 4.2: Tìm bán kính của đường tròn tâm C  2; 2  tiếp xúc với đường thẳng  :5x  12 y  10  0 . Giải: Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên khoảng cách từ tâm đến  chính bằng bán kính 5. 2   12. 2   10 44 R  d  C,     52  122 13 Thông qua VD này, GV có thể đưa ra các bài toán về viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng cho trước, hoặc viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 4  Ví dụ 4.3: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 1;1 , B  0;1 , C  ;0  3  Hãy tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác. Giải: Đường thẳng BC có phương trình: 3x - 4y - 4 = 0. Khi đó, độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A là: d  A, BC   1 Thông qua VD này, GV có thể yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC; hoặc các bài toán liên quan đến diện tích chúng ta lại dẫn HS liên hệ đến khoảng 8
cách. Ví dụ 4.4: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng song song d :3x  4 y  1  0 và d ':3x  4 y  4  0 . Hãy tính khoảng cách giữa d và d’. Giải: Vì d // d’ nên khoảng cách từ d đến d’ chính bằng khoảng cách từ một điểm A bất kì trên d đến d’ hay ngược lại. Lấy A 1;1 trên d, khi đó: 3.1  4.1  4 5 d  d , d '  d  A,d'   1 32   4  5 2 Thông qua VD này, GV có thể yêu cầu học sinh giải bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước cách đường thẳng cho trước một khoảng k  0 không đổi; viết PTĐT cách đều hai đường thẳng song song cho trước, … Ví dụ 4.5: Trong mặt phẳng Oxy, xác định m để khoảng cách từ A  3;1 đến đường thẳng: x   m  1 y  m  0 1 là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Giải: Dễ thấy các đường thẳng đang xét luôn đi qua điểm P  1; 1 m . Giả sử d là một đường thẳng đi qua P, hạ AH  d  H  d  . Ta luôn có AH  AP , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H  P , tức là AP  d . Khi đó, véc tơ pháp tuyến 1 m 1 n 1; m  1 của d cùng phương với PA  4;2   3   m  . Thay giá trị m 4 2 2 vừa tìm được vào (1) ta được đường thẳng d ': 2 x  y  3  0 . 2.3  1  3 Khoảng cách từ A  3;1 đến d’ bằng d  A, d '  2 5 5 Như vậy, trong qua quá trình dạy học kỹ năng có thể được GV truyền thụ cho học sinh qua các con đường khác nhau. Chẳng hạn như: con đường dạy học quy nạp, con đường suy diễn, con đường dạy học đặt vấn đề,... Thông qua giải các bài tập hoặc các hoạt động trong thực tế, ... 1.2. Nội dung cấu trúc của chƣơng trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán lớp 10 phần: Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. * Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Ứng dụng vào bài toán giải tam giác. - Nhận biết được toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ. - Tìm được toạ độ của một vectơ, độ dài của một vectơ khi biết toạ độ hai đầu mút của nó. - Sử dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong tính toán. - Vận dụng được phương pháp toạ độ vào bài toán giải tam giác. 9
- Vận dụng được kiến thức về toạ độ của vectơ để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: vị trí của vật trên mặt phẳng toạ độ,…). * Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ. Phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: - Mô tả được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ. - Thiết lập được phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng khi biết: một điểm và một vectơ pháp tuyến; biết một điểm và một vectơ chỉ phương; biết hai điểm. - Nhận biết được hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau bằng phương pháp toạ độ. - Thiết lập được công thức tính góc giữa hai đường thẳng. - Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng phương pháp toạ độ. - Giải thích được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ. - Vận dụng được kiến thức về phương trình đường thẳng để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn. * Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ và ứng dụng: - Thiết lập được phương trình đường tròn khi biết toạ độ tâm và bán kính; biết toạ độ ba điểm mà đường tròn đi qua; xác định được tâm và bán kính đường tròn khi biết phương trình của đường tròn. - Thiết lập được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm. - Vận dụng được kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: bài toán về chuyển động tròn trong Vật lí,…). * Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ và ứng dụng: - Nhận biết được ba đường conic bằng hình học. - Nhận biết được phương trình chính tắc của ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ. 1.3. Thực trạng dạy - học chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. 1.3.1. Thực trạng. Rất nhiều học sinh ngại và kém hơn khi học hình học. Với kiến thức mang nhiều tính trừu tượng thì học sinh gần như đã bị mất gốc hình học từ cấp THCS. Vì vậy khi nói đến học hình học thì học sinh xuất hiên ngay tâm lí chây lười, phó mặc. Học sinh dễ quên kiến thức. mặc dù khi vừa học xong các em làm rất 10
tốt bài tập nhưng sau thời gian ngắn các em lại quên kiến thức hoặc không nhớ cách giải bài tập nữa. Bài toán hình học Oxy là phần tương đối khó khai thác là nhiều và bởi lượng kiến thức khai thác nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xong các em nắm được phững phương pháp nào, kỹ năng gì. Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh họa cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng. Đặc biệt là làm cho các em cảm thấy tự tin. Theo dõi thực tế thông qua việc dự giờ và học hỏi kinh nghiệm các tiết dạy Toán 10, tôi nhận thấy đa số giáo viên còn đưa ra các bài tập Hình học tọa độ rời rạc, chưa quan tâm đến việc phân loại các dạng toán. Chưa khắc sâu phương pháp cho học sinh, chưa chú trọng đổi mới phương pháp giảng dạy và phát triển năng lực cho học sinh. Để nâng cao chất lượng đại trà cho học sinh, tôi đã tiến hành đánh mức độ giải bài tập Hình học tọa độ tại các lớp 10A3, 10D2 để đánh giá chính xác và phân loại đối tượng học sinh từ đó xây dựng kế hoạch dạy học sao cho đạt hiệu quả cao nhất. Bảng 1 (Kết quả khảo sát - Trước khi áp dụng các biện pháp dạy học) Vẽ hình Làm được Làm được Làm được Làm được mức Lớp Sĩ đúng mức nhận mức thông mức vận dụng VDC số biết hiểu SL % SL % SL % SL % SL % 10A3 40 40 100% 40 100% 30 75% 15 37,5% 5 12,5% 10D2 40 25 62,5% 15 37,5% 10 25% 0 0 0 0,00% Tổng 80 65 81% 55 68% 40 50% 15 18,75% 15 18,75% 1.3.2. Nguyên nhân Theo tôi thực trạng trên có thể xuất phát từ một số nguyên nhân sau: - Nhiều giáo viên chỉ dừng lại ở những bài toán vận dụng cơ bản các biểu thức tọa độ, vec tơ, các phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn…; các công thức tính toán góc, khoảng cách khi đã biết tọa độ hoặc phương trình. Ngoài ra nếu có đề cập tới phương pháp tọa độ thì chỉ ra những bài toán tổng hợp nhưng với sự cho sẵn của hệ trục tọa độ Oxy đã được gắn trên hình. - Một số giáo viên ít quan tâm đến việc sử dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học phẳng mà việc giải bằng kiến thức hình tổng hợp thuần túy sẽ khó khăn. Do đó khi gặp những bài toán này thường học sinh sẽ e ngại và nếu làm thì sẽ làm theo hướng hình học thuần túy nên mất khá nhiều thời gian. 11
- Trong hệ thống các bài tập toán đã nêu của từng bài học, một số bài học, của bài ôn tập chương, giáo viên chưa phân loại được các dạng bài tập toán và chức năng của các dạng bài tập toán đó. - Cách sử dụng các bài tập toán đó cho các đối tượng học sinh như thế nào, nhiều giáo viên chưa phân biệt được. Qua thực tế dạy học, tôi xin phép được đưa ra định hướng cho các tiết dạy chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Toán 10 như sau: - Phân loại các bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập (bài tập toán củng cố kiến thức của bài học, bài tập ôn kiến thức của bài học trước, bài tập bổ sung lý thuyết, bài tập khắc sâu kiến thức). - Căn cứ vào đối tượng học sinh của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn phương pháp giảng dạy và sử dụng các bài tập một cách thích hợp… - Hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng, góc, khoảng cách… để giải quyết một số bài toán có liên quan đến thực tiễn. - Với đối tượng học sinh khá giỏi, giáo viên chỉ cần kiểm tra nhanh các bài tập toán có tính chất củng cố kiến thức. Dùng một số bài tập điển hình với các định hướng khác nhau (nếu có thể); từ bài tập đã có cho học sinh khám phá, tạo ra các bài tập mới bằng các hoạt động tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề… tạo thành một số bài tập nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 1.4. Rèn luyện năng lực giải toán Hình học phẳng bằng phƣơng pháp tọa độ 1.4.1. Năng lực giải toán hình học phẳng bằng phƣơng pháp tọa độ a. Giải toán hình phẳng bằng phương pháp tọa độ: Các thao tác cần thiết khi giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ là: - Tìm hiểu, phân tích đề ra. - Nắm vững bản chất của tọa độ, gắn tọa độ phù hợp - Vẽ hình và đọc hình. - Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức phương pháp về tọa độ phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng trong phương pháp toạ độ. - Chuyển đổi ngôn ngữ và cách phát biểu lại bài toán tọa độ. - Phát hiện và sửa chữa những sai lầm trong giải toán bằng phương pháp tọa độ. b. Tính tối ưu của phương pháp tọa độ. Các bài toán hình học phẳng là những bài toán thuộc dạng khó đối với học sinh phổ thông. Khi giải các bài toán hình học phẳng, học sinh thường gặp các khó khăn sau: 12
- Nếu dùng phương pháp tổng hợp, học sinh sẽ lệ thuộc vào hình vẽ; trong khi đó nhiều bài toán việc vẽ hình đúng ngay từ ban đầu là rất khó khăn. Nhiều bài toán dạng xác định hình cũng rất phức tạp. - Khi giải các bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tổng hợp thì học sinh phải nắm chắc kiến thức và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, tinh tế nhưng đó không phải là điều dễ dàng. - Có rất nhiều bài toán chứng minh các sự kiện hình học, các bài toán về quỹ tích, bài toán thực tế cũng là khó nếu dùng phương pháp tổng hợp hình học thuần túy, hoặc lời giải khá cồng kềnh, phức tạp nếu dùng phương pháp vectơ. Do đó việc dùng phương pháp tọa độ hoặc dùng phương pháp tọa độ để trợ giúp cho việc giải bài toán hình học phẳng thì sẽ tìm được những lời giải gọn gàng, sáng sủa và chính xác. 1.4.2. Quy trình giải toán bằng phƣơng pháp tọa độ Với nhiều bài toán hình học có chứa yếu tố “khoảng cách”, “cùng phương” và đặc biệt là yếu tố “vuông góc”, nếu khéo chọn hệ tọa độ thì có thể chọn được thành bài toán đại số có nhiều khả năng tìm lời giải đơn giản. Đó là tư tưởng dùng phương pháp tọa độ để giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ có thể tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp: Đây là bước đầu tiên và cũng là bước quan trọng nhất của việc giải toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ. Đôi khi, chúng ta gặp những bài toán mà việc chọn hệ tọa độ thích hợp quyết định tính giải được hay không của bài toán. Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ: Sau khi chọn hệ tọa độ thích hợp, chúng ta cần chuyển đổi chính xác các ngôn ngữ hình học sang tọa độ nhằm chuyển bài toán hình học sang bài toán tọa độ, trong đó quan trọng nhất là yếu tố cần tìm của bài toán. Bước 3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải toán: Trong bước này, chúng ta huy động tất cả các kiến thức tọa độ nhằm tính toán, chứng minh để đi đến kết quả của bài toán. Bước 4: Chuyển đổi kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học: Sau khi giải quyết được bài toán tọa độ, chúng ta trả kết quả sang ngôn ngữ hình học, từ đó kết luận bài toán. Ví dụ 5: Cho A, B là hai điểm cố định và k  0 cho trước. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn điều kiện k.MA  MB . Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin: Đây là bài toán phát triển, tổng quát từ bài toán trong Ví dụ 1, là bài toán đường tròn Apollonius trong trường hợp tổng quát. Bước 2: GV giúp HS tiếp cận bài toán, chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ. 13
Bài toán này, nếu giải bằng phương pháp tổng hợp hết sức phức tạp. Ở đó, ta phải vận dụng điểm chia trong, chia ngoài thêm vào đó là óc quan sát hình vẽ tinh tế. Trong khi đó, nếu dùng phương pháp tọa độ, có thể không cần hình vẽ, hoặc vẽ hình chỉ tương đối bạn vẫn có thể giải quyết bài toán một cách nhanh chóng. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ tọa độ để giải quyết yêu cầu bài toán. - Chọn hệ tọa độ như hình vẽ có A  0;0  . Giả sử B  0; b  . - Chuyển đổi ngôn ngữ MA  x 2  y 2 và MB   x  b  y 2 . Ta có 2 k .MA  MB  k x 2  y 2   x  b  y2 2 - Giải toán. Vì cả hai vế không âm nên đẳng thức này tương đương với: k 2  x 2  y 2   x 2  2bx  b 2  y 2  bk  2 2 b2  b    k  1 x  2 2bx 2 2 y  2 2  0   x  2   y2  2 k 1 k 1  k 1 k 1 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại kết quả thu được, chuyển từ ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ hình học: Dựa vào kết quả biến đổi, suy ra M chạy  b  kb trên đường tròn tâm I   2 ;0  , bán kính R  2 .  k 1  k 1  b  Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm I   2 ;0  , bán kính  k 1  kb R 2 . k 1 Với những bài toán hình học phẳng vận dụng phương pháp tọa độ để giải, thì việc lựa chọn hệ tọa độ hết sức quan trọng. II. Một số biện pháp góp phần rèn luyện năng lực giải toán hình học phẳng bằng phƣơng pháp tọa độ. 2.1. Biện pháp 1: Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. 2.1.1. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng và bài toán liên quan. Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước A  x A ; y A  và B  xB ; yB  14
Phương pháp: - Xác định VTCP của đường thẳng từ hai điểm đã cho ( có thể suy ra VTPT nếu bài toán yêu cầu viết PTTQ): u  AB   xB  x A ; yB  y A    u1 ; u2  - Ta đưa về việc viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết 1 VTCP hoặc 1VTPT.  x  xA  tu1 PTTS:   t  R  hoặc  y  y A  tu2 PTTQ: u2  x  x A   u1  y  y A   0 với VTPT n  u2 ; u1  Hoặc phương trình đường thẳng dạng đoạn chắn như ví dụ sau: Áp dụng: Cho hai điểm A(3;0), B(0;-2). Viết phương trình đường thẳng AB. Giải: Vì đường thẳng AB đi qua A(3;0), B(0;-2) nên ta viết phương trình theo đoạn chắn là: x y   1  2x  3y  6  0 3 2 Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một đường thẳng cho trước. Phương pháp: - Xác định vectơ pháp tuyến n  A; B  của đường thẳng cho trước. Đường thẳng cần tìm nhận vectơ đó làm vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là Ax  By  C  0 * - Tìm C bằng cách thay tọa độ điểm đường thẳng đi qua vào phương trình * . - Kiểm tra kết quả, phương trình (*) khác với phương trình đường thẳng đã cho. Áp dụng: Viết phương trình đường thẳng song song với d : 2 x  y  8  0 và đi qua điểm M  1;0  . Giải: Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, khi đó d ' : 2 x  y  C  0  C  8  Thay tọa độ vào phương trình đó ta được C = 2  d ': 2 x  y  2  0 15