Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12" cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phương pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán. Từ những kiến thức cơ bản dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12

Đề tài: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12 MÔN: TOÁN HỌC
MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách và lâu dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Tầm quan trọng đó đặt lên vai những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề. Trong các khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật. Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất tốt đẹp của con người lao động mới để các em vũng vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước. Ở trường phổ thông dạy học toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo trong ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Như vậy việc định hướng tìm lời giải cho học sinh là một trong những khâu then chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán. Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh học tập môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghị tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó. Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với nhiều học sinh là rất khó khăn và không tự tìm đường lối giải được. Quá trình định hướng tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán. Quá trình này là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo – một khả năng không thể thiếu đối với một người giải toán. Cực trị trong giải tích đóng một vai trò quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia hiện nay. Bài toán cực trị trong giải tích 12 xuất hiện trong đề với tư cách là các câu hỏi nhận biết, thông hiểu, đặc biệt là các câu vận dụng và vận dụng cao, các câu hỏi quyết định và phân loại học sinh. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì cần hơn nữa cho học sinh những định hướng rõ ràng và học sinh chỉ cần tra giả thiết vào là có ngay đáp án. Nhìn chung đa số học sinh đều chưa trang bị được cho mình các phương pháp đó hoặc có thì cũng chưa được rõ ràng và bài bản. Là giáo viên tôi luôn trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các định hướng trước mỗi bài toán khó để học sinh có thể tìm thấy được những thuật toán, tạo tích lũy cho bản thân để giải quyết nhanh các bài toán trắc nghiệm trong khoảng thời gian ngắn. Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải các bài tập trắc nghiệm cực trị vận dụng và vận dụng cao trong giải tích lớp 12, làm phong phú thêm hệ thống các phương pháp giải dạng toán này. Nhận thức được thực tế đó, tác giả mạnh dạn đề xuất chuyên đề
nghiên cứu “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này. B. NỘI DỤNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Hiện nay, với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi do đó hệ thống các bài toán nêu ra cũng bắt buộc phải đổi mới theo hướng này. Sự đổi mới đó cũng yêu cầu người học tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phá tan” được lớp bảo vệ và đưa bài toán về đúng bản chất của nó và từ đó có thể giải được một cách nhanh gọn. Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có được kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học sinh khá và giỏi. Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tòi, nghiên cứu của bản thân; học hỏi các giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề trên thành một chuyên đề được gọi là các định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12. Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12: Dựa vào các cách biến đổi đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các định hướng tổng quát, quy tắc tìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, tổng quát hóa. Từ đó đưa ra được hệ thống các bài toán cơ sở, làm định hướng để vận dụng giải các bài toán khác một cách nhanh gọn và phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay. Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiên th ́ ức mà cả tri thức về phương pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán. Từ những kiên th ́ ức cơ bản dẫn dắt hoc sinh co đ́ ược những kiên th ́ ức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt ngay kiên ̣ ́ thức nâng cao). II. THỰC TRẠNG Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong dạy ôn thi TN THPT, các bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 là một vấn đề khó tiếp cận với học sinh và giáo viên. Cái khó ở đây thể hiện có nhiều phương pháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12 nhưng lại khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho từng bài toán đó. Mỗi bài toán đưa ra đều được che đậy bởi một lớp phủ bên ngoài bản chất của bài toán. Đồng thời các phương pháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12 không thể sử dụng được trực tiếp (thời gian không cho phép) mà phải thông qua các bài toán định hướng. Nói cụ thể hơn, dựa vào các cách biến đổi đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các bài toán tổng quát, quy tắc tìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, để đưa ra các định hướng và từ đó tìm được ngay lời giải phù hợp cho bài toán đặt ra. Đây chính là điểm yếu mà học sinh và giáo viên phổ thông cần có thêm sự hộ trợ để giải quyết các bài toán loại này.
Việc rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12 là một vấn đề hết sức khó khăn. Nhận thức được thực trạng đó tôi đã tiến hành làm thực nghiệm ở các lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 4, bằng hai bài kiểm tra 10 phút trên 10 học sinh của mỗi lớp. Đề kiểm tra số 1 (Thực hiện khi chưa dạy chuyên đề Mức độ vận dụng) Câu 1. (VD) Cho hàm số , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Câu 2. (VDC) Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số có tối đa mấy điểm cực trị? A. B. C. D. “ Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” Đề kiểm tra số 2 (Thực hiện sau khi dạy chuyên đề Mức độ vận dụng) Câu 1. (VD) Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 9 điểm cực trị? A. 16 B. 9. C. 15. D. 10. Câu 2. (VDC) Cho hàm số liên tục và xác định trên và có đồ thị đạo hàm như hình vẽ. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên để hàm số có đúng 7 điểm cực trị . Số phần tử của là: A. . B. . C. . D. . “Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở trang 35 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này. III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi minh họa, đề thi thử của các trường và đề thi tốt nghiệp THPT. Có một số câu của dạng toán này có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm và đào tạo chuyên môn mũi nhọn. Đối với bài toán cực trị trong giải tích 12 có nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán bằng các phương pháp này, đòi hỏi các đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để định hướng và đưa bài toán đa màu sắc về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể giải quyết dễ dàng khi gặp những bài toán loại này. Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho các bài toán cực trị trong giải tích 12 là rèn luyện khả năng định hướng đưa bài toán ban đầu về các bài toán mà chỉ cần tra giả thiết
vào là cho kết quả, tạo khả năng liên kết các bài toán có cùng dạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến. Với hơn hai mươi năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu, bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12 bằng định hướng sử dụng các phép biến đổi đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra và khái quát hệ thống các bài toán tìm cực trị của hàm hợp từ quy tắc tìm cực trị cơ bản. Sau đây là năm định hướng cơ bản mà tôi đã sử dụng trong quá trình ôn thi cho học sinh và đã đạt được một số kết quả cao trong các kỳ thi THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT. 1. Định hướng tìm lời giải bài toán tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng với là hàm đa thức bậc ba. Cái khó của các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, thường liên quan đến việc làm thế nào để “phá vỡ” được dấu giá trị tuyệt đối. Nên định hướng để giải quyết bài toán luôn là một vấn đề khá hấp dẫn. Với mục này tôi muốn bằng sự kết hợp các cách suy đồ thị quen thuộc và bằng trực quan vẽ hình bằng phần mềm GeoGebra xây dựng hệ thống các định hướng tìm lời giải nhằm “phá vỡ” lớp vỏ bọc về giá trị tuyệt đối bên ngoài đưa nó về dạng quen thuộc. Từ đó có thể tìm ra kết quả nhanh cho bài toán. (Link video về cách suy đồ thị trực quan bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra) https://drive.google.com/file/d/11AijiCfaLcjdMduxQiaaSfRcUjNuTxRj/view?usp=sharing a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng. +/ Cách suy đồ thị: Bước 1. Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số . Lời giải Vì nên là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng. Vì vậy với là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung , còn là phần đối xứng của qua trục tung. Bước 2. Từ đồ thị (H) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số . Lời giải Ta có Suy ra với là phần đồ thị (H) nằm phía trên trục hoành , còn là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) nằm phía dưới . +/ Phần mềm GeoGebra: GeoGebraCalculatorWindowsInstaller606890.exe.zip +/ Tính chất hàm liên tục: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho . *Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trong
Cho phương trình . Để chứng minh có nghiệm trong , ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Chọn các số chia đoạn thành đoạn thỏa mãn : Hàm số liên tục trên đoạn nên liện tục trên đoạn . Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình trên . b. Các định hướng. Ví dụ 1. Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Lời giải Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 11. Định hướng [1.1]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và có hoành độ dương thì hàm số có 11 điểm cực trị. Ví dụ 2. Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Lời giải Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 9. Định hướng [1.2]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, có hai điểm có hoành độ dương và có hai điểm cực trị dương thì hàm số có 9 điểm cực trị. Ví dụ 3. Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Lời giải Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 7. Định hướng [1.3]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, có hai điểm có hoành độ dương và có một điểm cực trị dương thì hàm số có 7 điểm cực trị. Ví dụ 4. Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D.
Lời giải Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 5. Định hướng [1.4]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, có một điểm có hoành độ dương và có một điểm cực trị dương thì hàm số có 5 điểm cực trị. Ví dụ 5. Cho hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Lời giải Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Căn cứ vào đồ thị hàm số vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 3. Định hướng [1.5]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, có 1 điểm có hoành độ dương và không có điểm cực trị dương thì hàm số có 3 điểm cực trị. Nhận xét. Tương tự cách làm trên học sinh có thể tự rút ra thêm một số các định hướng sau: Định hướng [1.6]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và có hoành độ không dương thì hàm số có 1 cực trị. Định hướng [1.7]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất, có hoành độ không dương và hàm số không có cực trị thì có 1 điểm cực trị.
Định hướng [1.8]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất, có hoành độ dương và hàm số không có cực trị thì hàm số có 3 điểm cực trị. Định hướng [1.9]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại 2 điểm, trong đó có 1 điểm tiếp xúc, một điểm cắt và có hoành độ dương thì hàm số có 7 điểm cực trị. Định hướng [1.10]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba cắt trục hoành tại 2 điểm, có 1 điểm tiếp xúc dương, một điểm cắt âm và hai điểm cực trị dương thì hàm số có 5 điểm cực trị. c. Các ví dụ áp dụng. Ví dụ 1. Cho hàm số với và . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 5. C. 9. D. 11. Lời giải Ta có và sao cho Suy ra có ba nghiệm phân biệt và Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và Sử dụng định hướng [1.1] ta có hàm số có 11 điểm cực trị. Ví dụ 2. Cho hàm số , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Dùng máy tính cầm tay ta bấm được phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có đúng 1 nghiệm dương và phương trình có đúng một nghiệm dương. Áp dụng định hướng [1.4] suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Ví dụ 3. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên: Hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Lời giải Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có đúng 1 điểm cực trị dương và phương trình có 3 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có tối đa hainghiệm dương. Áp dụng định hướng [1.3] suy ra hàm số có nhiều nhất 7 điểm cực trị. Ví dụ 4. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
. Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Từ đồ thị của hàm số , ta có đồ thị của hàm số . Khi đó: đồ thị hàm số có được bằng cách di chuyển đồ thị lên trên hoặc xuống dưới đơn vị. Áp dụng định hướng [1.1] và lưu ý là giao của đồ thị hàm số với trục tung trùng với của hàm số. Ta có hàm số có điểm cực trị , suy ra . Suy ra tổng các phần tử bằng . (, ) Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu cực trị? A. .. B. . C. . D. . Lời giải Nhận xét: Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng là trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số bằng , với là số điểm cực trị lớn hơn của hàm . Từ nhận xét đó, kết hợp với đồ thị hàm số đã cho và định hướng [1.2]. Suy ra số điểm cực trị của hàm số là 9 điểm. 2. Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng xét dấu của hàm số . Phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài toán cực trị của hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bài toán trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra. Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này. a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng. Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số . Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b. Định hướng: Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , cách suy đồ thị hàm số và phần mềm GeoGebra ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: Đặt , tính . Tìm các nghiệm của phương trình , và các điểm tại đó đạo hàm không xác định. Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm bội lẻ của hai phương trình và các điểm tại đó đạo hàm không xác định. (Định hướng [2]) c. Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số có tối đa mấy điểm cực trị? A. B. C. D. Lời giải Ta có . Xét hàm số . Ta có . . (Do là nghiệm kép). Vậy hàm số có điểm cực trị. Từ đó ta suy ra phương trình có tối đa nghiệm thực phân biệt. Do đó theo định hướng [2] hàm số có tối đa điểm cực trị. Ví dụ 2. Cho hàm số thỏa mãn và . Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. B. C. D. Lời giải Ta có là hàm số đa thức liên tục trên , , , , . Suy ra các kết quả , , nên theo tính chất hàm liên tục thì phương trình và ít nhất ba nghiệm và là hàm đa thức bậc ba nên phương trình sẽ có ba nghiệm. Do đó phương trình có hai điểm cực trị. Theo định hướng [2] ta có hàm số có 5 điểm cực trị. Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Biết và . Số điểm cực trị của hàm số là: A. B. C. D. Lời giải Xét hàm số . Ta có . . Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ở trên ta có hàm số có điểm cực trị . Mặt khác , nên phương trình có nghiệm trong đó có một nghiệm kép và hai nghiệm đơn phân biệt . Từ , và định hướng [2] ta suy ra hàm số có điểm cực trị. Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ. Tìm để hàm số có đúng ba điểm cực trị. Biết rằng và , . A. B. C. D. Lời giải Bảng biến thiên của hàm số Xét hàm số . Ta có ; Ta có bảng biến thiên của hàm số : Từ bảng biến thiên và định hướng [2] suy ra hàm số có đúng ba điểm cực trị khi và
chỉ khi Ví dụ 5. Cho ham sô co đô thi nh ̀ ́ ́ ̀ ̣ ư hinh ve bên . Đ ̀ ̃ ồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Xét hàm số , ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên của hàm số và định hướng [2] suy ra hàm số có tối đa điểm cực trị. 3. Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng xét dấu của hàm số . Trước hết phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài toán cực trị của hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bài toán trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra. Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này như sau: a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng. Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số . Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b. Định hướng:
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số và cách suy đồ thị ta có thể khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: (Định hướng [3]) Đặt , tính . Tìm các nghiệm của phương trình (1) hay các giá trị của mà không xác định. Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và các điểm bội lẻ tại đó đạo hàm không xác định. c. Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1. Cho hàm số , hàm có bảng xét dấu như sau: Tìm số giá trị nguyên của để hàm số có 3 cực trị? A. 5. B. 1. C. 0. D. 2. Lời giải Áp dụng định hướng [3]. Ta có . không xác định khi . . Theo định hướng [3] ta có yêu cầu của bài toán và do . Vậy có 1 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của tập hợp S bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có . Áp dụng định hướng [3] Điểm đặc biệt: hoặc không xác định Ta thấy là các nghiệm đơn của . Ta có BBT của hàm số như sau:
Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) không có nghiệm đơn. Dựa vào BBT trên, phương trình (1) không có nghiệm đơn . Vì , suy ra . Vậy tập S có 6 phần tử. Ví dụ 3. Xét các số thực . Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Đặt . Số điểm cực trị của hàm số là: A. 3. B. 7. C. 4. D. 5. Lời giải Áp dụng định hướng [3]. Đặt , , . Ta có . Bảng biến thiên của hàm số Số điểm cực trị của hàm số là 5. Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có BBT của hàm như sau Áp dụng định hướng [3]. Ta có .
Nhận thấy không xác định tại và . Để hàm số có ít nhất điểm cực trị thì phương trình có ít nhất nghiệm đơn hoặc bội lẻ khác . Từ BBT ta có Vậy có 9 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt . Trong đó: . Bảng biến thiên của hàm số . Áp dụng định hướng [3]. Ta có . Do đó số điểm cực trị của hàm số chính là số các nghiệm bội lẻ của hệ sau: Suy ra số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng với đồ thị hàm . Mặt khác các nghiệm là các nghiệm đơn, do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm các giá trị nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị tại điểm phân biệt . Vậy số giá trị nguyên của bằng 0. 4. Định hướng tìm lời giải bài toán tìm tham số để hàm số có điểm cực trị. a. Các định hướng: Từ cách suy đồ thị và kết hợp với quy tắc tìm cực trị của hàm số, ta rút ra các quy tắc tổng quát cho bài toán tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị như sau : Cho hàm số có điểm cực trị dương. * Nếu hàm số liên tục tại thì hàm số có có điểm cực trị. (Định hướng [4.1]) * Nếu hàm số không liên tục tại thì hàm số có có điểm cực trị. (Định hướng [4.2]) Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng là trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số bằng , với là số điểm cực trị lớn hơn của hàm . (Định hướng [4.3]) b. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lơi gi ̀ ải Hàm có 2 điểm cực trị là: . Áp dụng định hướng [4.3]. Vậy: Số điểm cực trị của hàm bằng . Ví dụ 2. Cho hàm số . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị. A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có: . Hàm số có 5 điểm cực trị khi chỉ khi (định hướng [4.1]) hàm số có hai cực trị dương. . Ví dụ 3. Cho hàm số có . Có tất cả bao nhiêu số nguyên để hàm số có 5 điềm cực tri ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Áp dụng định hướng [4.1]. Ta có hàm có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số chỉ có hai điểm cực trị dương. Khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm trái dấu và khác 1. Khi và chỉ khi Mà nên . Vậy có 3 giá trị nguyên của . Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Ta có . ( là nghiệm bội , là nghiệm bội , là nghiệm bội ) . Áp dụng định hướng [4.1]. + Nếu thì phương trình có 2 nghiệm bội lẻ là suy ra hàm số có hai điểm cực trị âm. Khi đó hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài. + Nếu thì phương trình có hai nghiệm bội chẵn suy ra hàm số không có cực trị suy ra hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài. + Nếu thì có hai nghiệm bội lẻ hàm số có hai điểm cực trị là . Để hàm số có 3 điểm cực trị thì hàm số phải có hai điểm cực trị trái dấu mà , nên . Vậy có 5 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm , với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có: Áp dụng định hướng [4.1]. Hàm số có điểm cực trị dương khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. . Giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là: . Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là . 5. Định hướng tìm lời giải bài toán tìm cực trị của hàm số hợp . a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng. Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số . Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b. Định hướng: Bài toán: Cho hàm số (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của ). Tìm số điểm cực trị của hàm số trong đó là một hàm số đối với . Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số ta có thể khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: (Định hướng [5]) Bước 1. Tính đạo hàm Bước 2. Giải phương trình Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà không xác định. Bước 4. Kết luận. c. Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là: A. . B. C. . D. .
Lời giải Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau Áp dụng định hướng [5]. Ta có suy ra Cho Xét hàm số . Cho Bảng biến thiên Ta có đồ thị của hàm như sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm. Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm. Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm. Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số có 7 cực trị. Ví dụ 2. (Đề Minh Họa 2022) Cho hàm số có . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 9 điểm cực trị? A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. Lời giải Ta có . Áp dụng định hướng [5]. Ta có ; . Giải : Giải : . Đặt ; ; . Bảng biến thiên của hàm số