Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kĩ năng phân tích vectơ cho học sinh trung bình trường trung học phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Rèn luyện kĩ năng phân tích vectơ cho học sinh trung bình trường trung học phổ thông" nhằm nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Khơi gợi cho học sinh sự hứng thú trong giải toán, kích thích trí tò mò của học sinh giúp các em hiểu bài toán một cách tổng quát.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kĩ năng phân tích vectơ cho học sinh trung bình trường trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG PTDTNT THPT NỘI TRÚ SỐ 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nghệ An, tháng 4 năm 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG PTDTNT THPT NỘI TRÚ SỐ 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Tác giả: 1)Trần Thị Thanh Vĩnh 2) Phan Thị Hồng Hải Năm thực hiện: 2022 – 2023 Số điện thoại: 0966230017 Nghệ An, tháng 4 năm 2023
A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Việc dạy học theo chương trình sách giáo khoa đổi mới vừa mở ra một trang mới trong giáo dục phổ thông vừa đặt ra một thử thách không hề nhỏ đối với việc dạy học tại trường phổ thông. Đặc biệt tại trường PT dân tộc nội trú mà đối tượng chúng tôi giảng dạy trực tiếp là con em đồng bào dân tộc thuộc vùng 135 có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn. Các em tiếp cận chương trình sách giáo khoa mới lớp 10 trong khi lớp 9 các em vẫn đang học chương trình cũ và vẫn còn rất nhiều thiếu sót nên việc bắt nhịp cũng như tiếp cận vấn đề còn khá khó khăn, mới mẻ. Khái niệm vec tơ lên lớp 10 được xem như hoàn toàn mới với các em, mặc dù các em cũng đã được bắt gặp trong một số bài toán vật lí trước đó. Nhưng nhìn chung, khái niệm vec tơ lên lớp 10 các em mới được học một cách đầy đủ và bài bản hơn. Nếu xét về điểm toán với mức đầu vào như hiện tại thì đại đa số các em điểm toán ở mức 4-5 điểm, với mức xuất phát thấp như vậy nên việc thiết kế bài dạy và có chương trình rèn luyện kĩ năng cụ thể, khoa học và hiệu quả đối với các em rất quan trọng và đòi hỏi người giáo viên phải rất đầu tư, kiên trì và linh hoạt. Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này. Trong đường lối đổi mới giáo dục đã khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. Việc giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến 1
thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt. Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như học sinh đã dùng đúng phương pháp để giải đúng một vấn đề toán và cao hơn là một vấn đề nào đó ngoài thực tế mang tính lôgic toán. Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy về: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG «. 2. Điểm mới của đề tài - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Khơi gợi cho học sinh sự hứng thú trong giải toán, kích thích trí tò mò của học sinh giúp các em hiểu bài toán một cách tổng quát. Sau đó phân tích bài toán: đâu là giả thiết, đâu là kết luận. Tiếp theo giúp học sinh chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ - Hướng cho học sinh làm quen và sử dụng thành thạo “Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT”. Bước 1: Chọn các véctơ cơ sở. Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ và các phép toán véctơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ. Bước 3: Giải bài toán véctơ. Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả. - Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 10 của Bộ GD-ĐT và xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học bài tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 3. Đối tượng nghiên cứu 3.1. Phương pháp giải bài tập hình học phẳng bằng phương pháp phân tích véc tơ 2
3.2. Các bài tập hình học phẳng bằng phương pháp phân tích véc tơ hình học lớp 10 4. Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ trong chương IV SGK Toán 10 – Kết nối tri thức. 3
B. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng đó là: - Chức năng dạy học. - Chức năng giáo dục. - Chức năng phát triển. - Chức năng kiểm tra. Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học: - Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. - Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. - Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh. Hiệu quả của việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình. Trong các bài toán có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán. Để 4
làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán. Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho: - Đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện. -Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần). -Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không? Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho. Bước 3 Thực hiện chương trình giải. Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. - Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải. - Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó. - Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể). - Khai thác kết quả có thể có của bài toán. - Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán. Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng. Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác. Vì vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói 5
quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”. 2. Cơ sở khoa học Xuất phát từ các yêu cầu đối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ năng cơ bản trong chương IV- SGK Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống là: - Về kiến thức cơ bản: nắm được khái niệm véctơ, hai véctơ bằng nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ. - Về kĩ năng cơ bản: biết dựng một véctơ bằng véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ bằng nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng và giải một số bài toán, biết xác định số thực k đối với hai véc tơ     cùng phương a,b sao cho b  ka , vận dụng tính chất cơ bản của tích vô hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần và đủ của hai véctơ (khác véctơ-không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức về véctơ để nghiên cứu một số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của ba điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao điểm hai đường chéo của hình bình hành… 3. Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh được học về véctơ, các phép toán trên véctơ, các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là những hệ thức quan trọng trong tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, các công thức tính diện tích tam giác...học sinh phải biết tận dụng các kiến thức cơ bản nói trên để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế. PPVT có nhiều tiện lợi trong 6
việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10. Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ lại có một số tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó, do đó học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT. Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn. Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ véctơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói thông thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng công cụ véctơ trong giải toán. 4. Áp dụng trong thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh được học về véc tơ, các phép toán trên véctơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ), sau đó là trục, hệ trục toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng đơn giản của phương pháp toạ độ. Tuy học sinh được học cả hai phương pháp: Véctơ và toạ độ, phương pháp chủ yếu vẫn là phương pháp véctơ. Bởi vì các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn được xây dựng nhờ véctơ cùng các phép toán, đặc biệt là tích vô hướng của hai véctơ được định nghĩa theo một đẳng thức véctơ... Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải các bài toán, đối với học sinh lớp 10 khi giảng dạy GV cần lưu ý những vấn đề sau: 4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV cần hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ theo các bước như sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải bài toán bằng PPVT. 7
Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT. Bước 1: Chọn các véctơ cơ sở. Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ và các phép toán véctơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ. Bước 3: Giải bài toán véctơ. Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả. Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh khả năng thực hiện bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT thông qua các bài tập, có thể minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau: Bài toán: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM và 1 K là điểm trên cạnh AC sao cho AK  AC . 3      a) Tính BI theo BA, BC .      b) Tính BK theo BA, BC . c) Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng. Lời giải    Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c luôn    tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho c  ma  nb .     Bước 1: Chọn hai véc tơ BA, BC làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véctơ trong bài toán đều phân tích được (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ này. Bước 2: Điều phải chứng minh là ba điểm B, I , K thẳng hàng tương    đương với việc chứng minh BI  m BK , m là hằng số khác 0. Bước 3: Giả thiết cho I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh 1 AC sao cho AK  AC nên: 3     1   1         1  1    BI  BA  AI  BA  AM  BA  ( BM  BA)  BA  BC (1) 2 2 2 4     1   1        2  1   BK  BA  AK  BA  AC  BA  ( BC  BA)  BA  BC (2) 3 3 3 3 8
           3  Ta có: (1)  4BI  2BA  BC , (2)  3BK  2 BA  BC nên BI  BK . (3) 4 Từ (3) ta suy ra ba điểm B, I , K thẳng hàng. Bước 4: Nhận xét: 1 Nếu lấy điểm K là điểm trên cạnh AC sao cho AK  AC 3 thì BK sẽ đi qua trung điểm I của AM. * Có thể tổng quát hoá bài toán như sau: 1 - Thay cho giả thiết: AK  AC bằng AK  k AC (k là một hằng số dương ). 3 - Thay cho kết luận: Trung điểm I của AM thuộc đường thẳng BK bằng kết IA p luận: Một điểm I chia AM theo tỷ số  (p, q là hằng số dương) thuộc đường IM q thẳng BK. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPVT, giáo viên cần chú ý đến những tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn các véctơ cơ sở sao cho các véctơ trong bài toán phân tích theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn các véctơ cơ sở như thế nào. Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ một cách thành thạo. Cách chuyển đổi như thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài toán sẽ được trình bày dưới đây. Ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ. Đồng thời, thông qua các bài tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ được tính ưu việt của PPVT. Đặc biệt các bài tập về tìm tập hợp điểm, các bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc,... là những dạng toán có nhiều cơ hội để làm rõ vấn đề này. 4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau (vì đây là các tri thức phương pháp để giải các bài tập sau này). A - Điều kiện cần và đủ để hai véctơ không cùng phương   Bài toán 1: Chứng minh rằng hai véctơ a  b cùng phương khi và chỉ khi và  có cặp số m, n không đồng thời bằng 0 sao cho ma  mb  0 . Suy ra điều kiện cần và     đủ để a và b cùng phương là có cặp số m, n không thời bằng 0 sao cho ma  mb  0 . B-Tính chất trung điểm.    Bài toán 2: M là trung điểm của đoạnthẳng AB khi và chỉ khi MA  MB  0    Hoặc với điểm M bất kỳ ta có MA  MB  2MI . C-Tính chất trọng tâm tam giác. 9
Bài toán 3: Cho tam giác ABC. CMR điểm G làtrọng tâm tam giác khi và            chỉ khi GA  GB  GC  0 hoặc với điểm M bất kỳ ta có GA  GB  GC  3MG . D-Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. Bài toán 4 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn một trong các điều kiện sau:    1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho AB  k AC      2. Cho một điểm I và một số t nào đó sao cho IA  t IB  (1  t ) IC là điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. E-Công thức điểm chia. Bài toán 5: Cho đoạn thẳng AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia   đoạn AB theo tỉ số k nếu MA  k MB . CMR với điểm C bất kỳ ta có:   1  k  CM  CA  CB (*). Ta gọi (*) là công thức điểm chia 1 k 1 k F-Công thức hình chiếu.    Bài toán 6: Cho hai véc tơ OA, OB . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường        thẳng OA khi đó: OA.OB  OA.OB ' .    Véc tơ OB ' gọi là hình chiếu của OA trên đường thẳng OA; Công thức        OA.OB  OA.OB ' gọi là công thức hình chiếu. 4.3. Hệ thống bài tập. Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véctơ theo hai véctơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài toán một cách linh hoạt. Việc rèn luyện cho học sinh thông qua một hệ thống bài tập đã được phân loại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học. Việc đưa ra hệ thống bài tập đã được phân loại nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng: - Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ. - Phân tích một véctơ thành một tổ hợp véctơ. - Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véctơ. - Biết khái quát hoá một số những kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát hơn. Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT vào giải các bài tập hình học. * Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng để bồi dưỡng HS trung bình, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm... góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu là bồi dưỡng học sinh trung bình trở nên khá giỏi). 10
Để học sinh trung bình có thể nắm vững được những bài toán phân tích vec tơ tổng hợp thì trước tiên hướng dẫn các em làm quen với những dạng bài toán biểu diễn vec tơ đơn giản nhất, biểu diễn các vec tơ cùng phương. Sau khi các em đã thành thạo và hiểu rõ các tính chất để vận dụng rồi sẽ chuyển dần sang nhưng bài toán phân tích vec tơ cho trước theo hai vec tơ không cùng phương. Và cho các em vận dụng để khai thác những bài toán phức tạp hơn. Trước tiên cho các em làm quen với dạng xác định điểm thông qua hệ thức vec tơ cho trước, đây là dạng toán cơ bản và đơn giản nhất trước khi thực hành phân tích vec tơ. Dạng 1: Xác định điểm M bằng đẳng thức vec tơ Bài 1: Cho đoạn thẳng AB  6 cm .  1   a) Xác định điểm C thoả mãn AC  AB . 2  1   b) Xác định điểm D thoả mãn AD   AB . 2 Lời giải: Bài toán này đòi hỏi một kĩ năng rất cơ bản của học sinh là hiểu được định nghĩa tích của một số với 1 vec tơ. Từ đó định hướng xác định các điểm cần tìm. a) C là trung điểm của đoạn AB b) D là điểm ngoài đoạn AB (nằm trên đường thẳng AB ) sao cho DA  AB  9 (cm) Bài 2: Cho đoạn thẳng AB  3 cm . Xác định các điểm M , N thoả mãn:  1     1   AM  AB, AN   AB 3 3 Lời giải: Tương tự ở bài này cũng vậy, đang yêu cầu học sinh vận dụng những kiến thức cơ bản nhất về tích một số với vec tơ để giải quyết bài toán.   1       1 Do AM  AB nên AM và AB cùng hướng, AM  AB . Vậy điểm M 3 3 1 thuộc tia AB thoả mãn AM  AB  1cm 3 11
 1      1 Do AN   AB nên AN và AB ngược hướng, AN  AB . Vậy điểm N 3 3 1 thuộc tia đối của tia AB thoả mãn AN  AB  1cm . 3    Bài 3: Cho hai điểm phân biệt A và B . Xác định điểm M sao cho MA  4MB  0 Lời giải Ở bài toán này học sinh có thể xác định điểm M theo hai cách tùy theo kĩ năng của từng bạn, nhưng đều phải hiểu tính chất của các vec tơ cùng phương. Cách 1:        MA | MA | | 4 MB | MA  4MB  0  MA  4MB       4 MB | MB | | MB |   và hai vectơ MA, MB ngược hướng MA Suy ra M nằm giữa AB sao cho 4 MB Cách 2:            MA  4MB  0  MB  BA  4MB  0  5MB  AB 1 Vậy A, M , B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho MB  AB 5 Ở phần này có thể bổ sung thêm hệ thống bài tập:     Bài 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA  3IB  0      Bài 2: Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thoả mãn AM  2( AB  AC ) . Bài 3: Cho tam giác ABC . Xác định các điểm M , N , P trong mỗi trường hợp sau:     a) AM  CB  1    b) AN   ( AB  AC ) 2      Bài 4: Cho hai điểm phân biệt A và B . Tìm điểm K sao cho 3KA  2KB  0 . Sau khi các em đã hiểu rõ và chắc chắn về các tính chất của hai vec tơ cùng phương, thầy cô sẽ hướng dẫn các em đến với các bài toán xác định điểm vận dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm.        Bài 1: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thoả mãn 3MA  MB  MC  MD  0 Đối với bài toán này có rất nhiều cách để xác định điểm M, nhưng việc hình thành  MA phản xạ khi thấy xuất hiện hệ số 3 của vec tơ với quy tắc trọng tâm là rất quan trọng giúp bài toán được giải quyết được nhanh gọn hơn. 12
Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD , ta có:                Nhận thấy 3MA  MB  MC  MD  0  3MA  3MG  0  MA  MG  0 Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AG (Hình 44) Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Xác địnhđiểm M, N, P sao cho           a) 2 MA  MB  MC  0 b) N A  N B  N C  N D  0          c) 3PA  PB  PC  PD  0 Với cách thức liên hệ như bài trên, ở câu a, câu b thường sẽ sử dụng quy tắc trung điểm để bài toán được giải quyết nhanh chóng. Lời giải:     a) Gọi I là trung điểm BC suy ra MB  MC  2 MI Do đó            2MA  MB  MC  0  2 MA  2 MI  0  MA  MI  0 . Suy ra M là trung điểm AI với I là trung điểm BC b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có                NA  NB  NC  ND  0  2 NK  2 NH  0  NK  NH  0 Vậy N là trung điểm của KH c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, khi đó ta có        PB  PC  PD  3 PG                   Suy ra 3PA  PB  PC  PD  0  3PA  3PG  0  PA  PG  0 Vậy P là trung điểm AG.  Hệ thống bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC      a) Tìm điểm K sao cho KA  2 KB  CB      b) Tìm điểm M sao cho MA  MB  2 MC  0 Bài 2: Xác  các điểm I, J, K, L biết định          a) IA  2 IB  0 b) JA  JB  2 JC  0                c) KA  KB  KC  BC d) 2 LA  LB  3LC  AB  AC Bài 3: Cho tam giác ABC . Xác định các điểm M , N , P trong mỗi trường hợp sau:     a) AM  CB  1    b) AN   ( AB  AC )  2      c) PA  PB  2PC  0 13
Với học sinh trung bình việc rèn luyện các kĩ năng cơ bản ban đầu cực kì quan trọng, khi học sinh đã hiểu và hình thành kĩ năng giải được những bài cơ bản bằng việc vận dụng những tính chất quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm.., bước tiếp theo là hình thành cho học sinh các kĩ năng về áp dụng quy tắc cộng, quy tắc hiệu, quy tắc hình bình hành để giải toán. Dạng 2: Phân tích một vec tơ thành tổng hoặc hiệu của 2 vec tơ khác. Bài Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Hãy biểu 1:    thị AM theo hai vectơ AB và AD . Lời giải: Theo giả thiết của bài toán, ABCD là hình bình hành nên bài toán chắc chắn sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc trung điểm. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD tại E . Khi đó tứ giác  là hình bình hành.  ABME    Do đó: AM  AB  AE . 1 1 Dễ thấy: AE  BM  BC  AD 2 2  1    1      AE  AD  AM  AB  AD 2 2   1    AM  AB  AD 2      Bài 2: Cho hình bình hành ABCD . Đặt AB  a , AD  b . Gọi G là trọng tâm của tam     giác ABC . Biểu thị các vectơ AG , CG theo hai vectơ a, b . Lời giải  2  2 1      1       1      Ta có AG  AM  . AB  AC  AB  AB  BC  2a  b 3 3 2 3 3     2  2 1      1       1      Ta có CG  CN  . CA  CB  CB  BA  CB  2b  a 3 3 2 3 3    14
     Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Đặt AB  a , AD  b . Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác OBC (Hình 46).         Biểu thị các vectơ AC , AO, AM , AG , CG theo hai vectơ a , b . Lời giải Những bài toán biểu diễn vec tơ theo hai vec tơ cho trước là dạng toán dễ nhất trong các dạng bài tập phân tích vec tơ. Đây là kĩ năng cơ bản giúp hình thành bước 1 trong 4 bước để giải bài toán về vec tơ. Việc vận dụng quy tắc hình bình hành và các kĩ năng ở dạng 1 giúp bài toán giải quyết được nhẹ nhàng.       Theo quy tắc hình bình hành ta có: AC  AB  AD  a  b .    1   1  1  1   Vì AO cùng hướng với AC và | AO | | AC | nên AO  AC  a  b . Vì 2 2 2 2  1   1    1    M là trung điểm của CD nên AM  ( AC  AD)  (a  b  b )  a  b . Vì 2 2 2 G là trọng tâm của tam giác OBC nên  1       1  1  1       5  1  AG  ( AO  AB  AC)   a  b   a  (a  b)  a  b. 3 3  2 2   6 2    5  1      1 1 CG  AG  AC  a  b  ( a  b)   a  b. 6 2 6 2  Hệ thống bài tập        Bài 1: Cho ABC . Lấy các điểm M , , P sao cho MB  3MC , NA  3 NC  0 ,     N        PA  PB  0 . Biểu diễn các vectơ AP , AN , AM theo các vec tơ AB , AC . Bài 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh ABC lấy M sao cho BM  3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2 AN  5MN . G là trọng tâm tam giác ABC .       a) Phân tích các véc-tơ AM ; BN qua các véc-tơ AB; AC        b) Phân tích các véc-tơ GC; MN qua các véc-tơ GA và GB        Bài 3: Gọi G là trọng tâm của ABC . Hãy biểu diễn AB , GC , BC , CA theo       a  GA , b  GB . Bài 4: Cho ABC . Điểm M trung điểm AB và N là một  trên cạnh AC sao điểm   cho  2 NC . Gọi K là trung điểm MN . Phân tích vec tơ AK theo các vec tơ AB NA và AC . 15
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Đối với dạng toán trên ta có thể dùng điều kiện cùng phương của hai véctơ để giải toán.    Véc tơ b cùng phương với véc tơ a (a  0) khi và chỉ khi có số k sao cho   b  ka . * Từ đó ứng dụng vào dạng toán: Cho 3 điểm A, B, C thoả mãn một điều kiện xác định. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng. Phương pháp:    - Hãy xác định véc tơ AB, AC  - Chỉ ra rằng hai véc tơ đó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao   cho AB  k AC . Khi học sinh bước sang dạng toán này tức là các em đã đạt được một số kĩ năng nhất định ở dạng 1 và dạng 2 mới có thể giả quyết bài toán một cách trọn vẹn được. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (Định lý Mênêlauýt). Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT) Bước 1: GV chọn véctơ cơ sở.     HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véctơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện trong bài toán đều phân tích được theo hai véctơ này. A Bước 2: GV: Các điểm M, N, P lần lượt chia các P đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số M lần lượt là m, n, p (đều khác 1) tương đương với các đẳng thức véc tơ nào?          N HS: MA  mMB; NB  nNC ; PC  pPA . B C GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véctơ nào phải xảy ra?    HS: - Chỉ ra số thực k sao cho MP  k MN hoặc     - Với điểm O bất kỳ và một số thực ta có OM  tON  (1  t )OP . Bước 3: Lấy điểm O nào đó, ta có            OA  mOB  OB  nOC  OC  pOA   OM  ; ON  ; OP  1 m 1 n 1 p Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C khi đó ta có:          CA  mCB  CB  pCA   CM  ; CN  ; CP  (1) 1 m 1 n 1 p Từ hai đẳng thức cuối của (1) ta có:     p  1    CB  (1  n)CN ; CA  CP Và thay vào đẳng thức đầu của (1) ta được: p 16
  p  1  m(1  n)   CM  CP  CN p(1  m) 1 m Từ Bài toán 9: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng là: p 1 m(1  n)   1  p  1  pm(1  n )  p (1  m )  mnp  1 p (1  m) 1 n Bước 4: Vậy cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: mnp =1. Lưu ý: Học sinh có thể vận dụng cách chứng minh bài toán trên vào giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC a) Xác định các điểm M , N , P thỏa mãn:  1          MB  BC , AN  3NB, CP  PA 2 b) Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng. Bài 2: Cho tứ giác ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD . Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN , E là trọng tâm tam giác BCD . Chứng minh:         a) EA  EB  EC  ED  4EG     b) EA  4EG  3   c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và AG  AE . 4 Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O . a) Chứng minh tú giác HCDB là hình bình hành             b) Chứng minh HA  HB  HC  2 HO ; OA  OB  OC  OH . Suy ra ba điềm O, H , G thẳng hàng ( G là trọng tâm tam giác ABC ) Bài 4: Cho tam giác ABC. Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức            BC  MA  0, AB  NA  3 AC  0. Chứng minh MN // AC. * Hệ thống bài tập Bài 1: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điêm A, B cố định. Chứng  rằng   minh  điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số  sao cho:  OM   OA  (1   )OB . Với điều kiện nào của  thì M thuộc đoạn thẳng AB. Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CD, DE. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP & NQ. Chứng 1 minh IJ // AE & IJ  AE. 4 Bài 3: Cho ba dây cung song song AA1; BB1 ; CC1 của đường tròn O. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC1; BCA1 & CAB1 nằm trên một đường tròn. 17
Bài 4: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý không thuộc các đường thẳng AB, BC, CA . Gọi A, B, C theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua trung điểm I , K , J của các cạnh BC, CA, AB . Chứng minh rằng a) Ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy b) Đường thẳng MM 1 luôn đi qua một điểm cố định khi M di động. Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O. M bất kỳ ở trong tam giác ABC và có hình chiếu xuống 3 cạnh BC, CA, AB tương ứng là P, Q, R. Gọi K là trọng tâm tam giác PQR. a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng. b) Cho N là một điểm tùy ý trên BC. Hạ NE, NF tương ứng vuông góc với AC, AB. Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J là trung điểm của EF. Bài 6: Trên các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC lấy các điểm tương ứng 1 C1 ; A1 ; B1 sao cho AC1 : C1 B  BA1 : A1C  CB1 : B1 A  . Trên các cạnh A1 B1 ; B1C1; C1 A1 của k tam giác A1 B1C1 lấy các điểm tương ứng C2 ; A2 ; B2 sao cho A1C2 : C2 B1  B1 A2 : A2C1  C1 B2 : B2 A1  k . Chứng minh rằng: A2C2 // AC ; C2 B2 // CB; B2 A2 // BA. Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ vuông góc sẽ cho lời giải khá rõ ràng, ngắn gọn. Thông thường với dạng toán trên, ta có thể quy về bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hay từ định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ ta có thể      suy ra: Nếu a, b là hai véc tơ khác 0 với a nằm trên đường thẳng a, b nằm trên  đường thẳng b thì a  b  a.b  0 . Vậy bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc có thể quy về bài toán chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.  Ví dụ 1: Cho tam giác  ABC có AB  2, AC  3, BAC  600 . Gọi M là trung  7  điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn AD  AC . Chứng minh: AM  BD . 12 Hướng dẫn giải: Bước 1: Phân tích bài toán Trước hết học sinh phải nhận dạng đây là bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng phương pháp chứng minh tích vô hướng của hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng bằng   0.  Nếu chứng minh trực tiếp AM .BD  0 thì không thể chứng minh được, như vậy chắc chắn phải sử dụng phân tích vec tơ.    Chọn 2 vec tơ cơ sở để phân tích là vec tơ AB, AC        Bước 2: Phân tích vec tơ hai vec tơ AM ; BD theo AB, AC 18