Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phân loại các bài toán về tính khoảng cách trong Hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian thông qua bản đồ tư duy, hệ thống bài tập được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho các học sinh, giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phân loại các bài toán về tính khoảng cách trong Hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ----oo--- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NĂM HỌC 2022-2023 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KIM LIÊN ----oo--- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Giáo viên: Đặng Thị Nguyệt Tổ chuyên môn: Toán - Tin NĂM HỌC 2022-2023 2
MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 1 2. Xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2 3. Xác định mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 2 5. Tính mới và đóng góp của đề tài: .................................................................................. 2 B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .......................................................................................... 3 I. Cơ sở khoa học của đề tài. .............................................................................................. 3 1.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo: ................................................................................... 3 1.2. Tính chất hay thành phần của tư duy sáng tạo: .......................................................... 3 2. Cơ sở giáo dục học....................................................................................................... 3 3. Cơ sở Toán học của "Các bài toán về khoảng cách": .................................................... 4 4. Cơ sở thực tiễn của đề tài. ........................................................................................... 6 II. Một số giải pháp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh ............................ 7 1. Giải pháp 1: Sử dụng Bản đồ tư duy để hệ thống, phân loại bài tập tính khoảng cách .. 7 2. Giải pháp 2: Phát triển tư duy sáng tạo bằng cách hệ thống các lớp bài toán tính khoảng cách ................................................................................................................... 10 2.1. Lớp bài toán cơ bản, đơn giản: ................................................................................ 10 2.2. Lớp bài toán “gốc”: ................................................................................................ 12 3. Giải pháp 3: Liên hệ quy lạ thành quen đối với các bài toán tính khoảng cách ........... 18 4. Giải pháp 4: Tổ chức một các hoạt động nhóm: thảo luận, sưu tầm bài tập theo các dạng, ... viết thành tài liệu tham khảo ............................................................................. 24 III. Tổ chức khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất. ............... 26 1. Mục đích khảo sát ...................................................................................................... 26 2. Nội dung và phương pháp khảo sát ............................................................................ 26 2.1. Nội dung khảo sát. .................................................................................................. 26 2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ................................................................. 26 2.3. Đối tượng khảo sát .................................................................................................. 27 2.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất .......... 27 IV. Tổ chức thực nghiệm về kết quả nghiên cứu ............................................................ 28 1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 28 2. Nhiệm vụ thực nghiệm ............................................................................................... 28 3. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................................. 28 C. KẾT LUẬN.................................................................................................................. 32 1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau ........................................................................... 32 2. Hướng phát triển của đề tài ......................................................................................... 32 3. Một số kinh nghiệm rút ra ........................................................................................... 32 PHỤ LỤC ......................................................................................................................... 34
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là việc làm rất quan trọng và cần thiết trong quá trình dạy học, giáo dục học sinh. Phát triển tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; sáng tạo sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Cao hơn tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh tìm ra con đường ngắn nhất, nhanh nhất để đạt thành công trong học tập, trong cuộc sống. Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học phát triển phẩm chất, năng lực của chương trình giáo dục phổ thông 2018, từ mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông 2018 về phát triển năng lực cốt lõi cho học sinh THPT và xuất phát từ đặc thù của bộ môn toán với sự khái quát và trừu tượng cao, sự liên kết liên tục các kiến thức toán học theo từng năm học, từng cấp học, đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực, chủ động tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học, biết kết nối những kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới… Mục tiêu của dạy học môn Toán nói chung ở trường phổ thông không chỉ nhằm cung cấp tri thưc Toán cho học sinh mà còn rèn luyện cho các em kỹ năng toán học và phát triển các năng lực tư duy, đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo. Bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng trong chương trình toán học lớp 11. Tuy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nhưng đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này, nhưng cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian. Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian. Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Với các lí do trên, tôi lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm có tên đề tài: “Rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phân loại các bài toán về tính khoảng cách trong Hình học không gian” nhằm hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian thông qua bản đồ tư duy, hệ thống bài tập được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho các học sinh, giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một 1
bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán. 2. Xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Năng lực tư duy sáng tạo của học sinh THPT - Bài toán tính khoảng cách trong chương trình hình học lớp 11 3. Xác định mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo toán học ở học sinh bậc THPT. - Trên cơ sở hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, qua đó giúp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho các học sinh - Sử dụng bản đồ tư duy để học sinh phân loại về bài tập khoảng cách. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu về tư duy sáng tạo của học sinh THPT - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nghiên cứu về tình hình dạy học bộ môn hình học không gian ở khối 11 tập trung vào bài toán khoảng cách - Phương pháp thống kê 5. Tính mới và đóng góp của đề tài: 1) Sử dụng Bản đồ tư duy giúp học sinh tư duy mạch lạc hơn về các dạng bài toán khoảng cách, phương pháp giải đối với từng loại. Ở mức độ cao hơn, đề tài đã góp phần giúp học sinh nâng cao năng lực sáng tạo qua việc dùng bản đồ tư duy để phát triển bài toán gốc. 2) Xây dựng được một hệ thống bài tập về khoảng cách xuất phát từ các bài tập đơn giản, các bài toán gốc mà học sinh được làm nhuần nhuyễn. Trên cơ sở đó, đề tài rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc thay đổi các dữ kiện của đề bài trong bài toán gốc. 3) Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề khoảng cách của chương trình hình học không gian lớp 11 4) Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ đề khoảng cách, từ đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua việc các em tự xây dựng các bài tập từ các bài toán đã giải, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khó hơn. 2
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Cơ sở khoa học của đề tài. 1. Cơ sở tâm lý học: 1.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo: - Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao - Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo kết quả mới - Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất - Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có thể nêu lên ba thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo 1.2. Tính chất hay thành phần của tư duy sáng tạo: - Tính mềm dẻo - Tính nhuần nhuyễn - Tính độc đáo - Tính hoàn thiện - Tính nhạy cảm vấn đề Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được những phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề... Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người. 2. Cơ sở giáo dục học. Hoạt động nhận thức toán học của học sinh được hiểu “là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, xác định được các mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;…); từ đó học sinh vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn”. Mục tiêu chủ yếu của việc phát triển hoạt động nhận thức trong dạy học toán là phát triển trí tuệ và nhân cách của học sinh. Ở đây sự phát triển trí tuệ được hiểu là sự 3
thay đổi về chất trong hoạt động nhận thức. Sự biến đổi đó được đặc trưng bởi sự thay đổi cấu trúc cái được phản ảnh và phương thức phản ánh chúng. Nói như vậy đồng nghĩa với phát triển trí tuệ là sự thống nhất giữa việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh chúng. Trong sự thống nhất đó dẫn đến làm thay đổi cấu trúc bản thân hệ thống tri thức (mở rộng cải tiến, bổ sung, cấu trúc lại) làm cho hệ thống tri thức ngày càng thêm sâu sắc và phản ánh đúng bản chất, tiếp cận dần với chân lí và điều chỉnh, mở rộng các phương thức phản ánh, đôi khi đi đến xóa bỏ những phương thức phản ánh cũ để hình thành những phương thức phản ánh mới hợp lí hơn, sáng tạo hơn, phù hợp với quy luật tự nhiên và xã hội. Phát triển trí tuệ được hiểu cụ thể qua phát triển các năng lực trí tuệ bao gồm năng lực thu nhận thông tin toán học; năng lực chế biến thông tin toán học; năng lực tư duy logic, tu duy biện chứng, tư duy phê phán, tư duy định lượng; năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, các quan hệ, các mối liên hệ trong toán học; có tính mềm dẻo trong quá trình tư duy; năng lực thay đổi nhanh chóng chuyển hướng suy nghĩ từ dạng này sang dạng khác. Như vậy thông qua hoạt động nhận thức toán học nói chung, hoạt động nhận thức về hình học không gian nói riêng sẽ nhằm thực hiện mục tiêu giáo dục nhân cách cho học sinh; giáo dục tư duy phê phán; cách giải quyết vấn đề sáng tạo; cách xử lí thông tin… trong cuộc sống thực tiễn. 3. Cơ sở Toán học của "Các bài toán về khoảng cách": 3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng . Kí hiệu d (O, ) 3.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng (). Gọi H là hình chiếu của O trên (). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (). Kí hiệu d (O,( )) 4
Phương pháp xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Phương pháp 1: + Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆ + Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ( H  ) suy ra MH = d(M,(P)) Phương pháp 2: + Kẻ Qua M kẻ ∆//(P). Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) + Chọn N   .Lúc đó, d  M,  P    d(,(P))=d  N ,  P   Phương pháp 3: d  M,  P   MI + Nếu MN  ( P)  I . Ta có:  d  N , P NI MI + Tính d  N ,  P   và NI MI + d  M,  P    .d  N ,  P   NI Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến mp(P). 3.3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng (). Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng (). Kí hiệu d (,( )) 3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d (( );( )) 5
3.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ Phương pháp 1: + Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’ + Tính độ dài đoạn vuông góc chung. Phương pháp 2: +Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d + Khi đó d (d , d ')  d (d ,( P))  d ( A,( P)) với A là một điểm bất kỳ thuộc d Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm B  d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)). 4. Cơ sở thực tiễn của đề tài. Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở trường THPT Kim Liên và các trường THPT trên địa bàn huyện Nam Đàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin đại chúng tôi nhận thấy trong việc dạy và học chủ đề hình học không gian tồn tại những thực trạng sau: + Đối với giáo viên: - Nhiều giáo viên cảm thấy ít hứng thú khi dạy chủ đề hình học không gian dẫn đến chưa thực sự tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh. - Chưa phát huy hiệu quả tính chủ động, sáng tạo của học sinh. Ít khuyến khích học sinh tìm tòi, khám phá những cách giải mới. - Chưa xây dựng được hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp với từng đối tượng học sinh (chủ yếu các bài tập được lấy trong SGK). 6
+ Đối với học sinh: - Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học hình không gian. Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình học không gian mà chỉ tập chung vào các chủ đề khác. - Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học không gian của nhiều học sinh xuất phát từ việc nhận thức chủ đề này chỉ chiếm một phần nhỏ trong các kì thi đại học, nhiều học sinh cho rằng có thể học tốt các chủ đề khác để khi thi sẽ bù cho chủ đề hình học không gian. - Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học không gian sẽ góp phần phát triển tư duy sáng tạo từ đó góp phần học tốt các chủ đề khác, các môn học khác. - Đa số học sinh ít chủ động tư duy khi giải toán hình học không gian, một số nắm được các phương pháp giải toán hình học không gian nhưng sử dụng chưa linh hoạt, thiếu sáng tạo. II. Một số giải pháp rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh 1. Giải pháp 1: Sử dụng Bản đồ tư duy để hệ thống, phân loại bài tập tính khoảng cách Bản đồ tư duy là phương pháp kết nối mang tính đồ họa có tác dụng lưu giữ, sắp xếp và xác lập ưu tiên đối với mỗi loại thông tin (thường là trên giấy) bằng cách sử dụng từ hay hình ảnh then chốt (từ khóa) hoặc gợi nhớ nhằm ghi nhớ những ký ức cụ thể và phát sinh các ý tưởng mới. Mỗi chi tiết gợi nhớ trong bản đồ tư duy là chìa khóa khai mở các sự kiện, ý tưởng và thông tin, đồng thời khơi nguồn tiềm năng của bộ não kỳ diệu. Bí quyết hiệu quả của bản đồ tư duy nằm ở dạng linh hoạt của nó. Bản đồ tư duy được vẽ dưới dạng một tế bào não và có công dụng kích thích não làm việc nhanh chóng, hiệu quả một cách tự nhiên. - Bản đồ tư duy tận dụng được các nguyên tắc của trí nhớ siêu đẳng: + Sự hình dung: Bản đồ tư duy có rất nhiều hình ảnh để bạn hình dung về kiến thức cần nhớ. Đây là một trong những nguyên tắc quan trọng nhất của trí nhớ siêu đẳng. Đối với não bộ, Bản đồ tư duy giống như một bức tranh lớn đầy hình ảnh màu sắc phong phú hơn là một bài học khô khan, nhàm chán. + Sự liên tưởng, tưởng tượng: Bản đồ tư duy hiển thị sự liên kết giữa các ý tưởng một cách rất rõ ràng. + Làm nổi bật sự việc: Thay cho những từ ngữ tẻ nhạt đơn điệu, Bản đồ tư duy cho phép giáo viên và học sinh làm nổi bật các ý tưởng trọng tâm bằng việc sử dụng những màu sắc, kích cỡ, hình ảnh đa dạng. Hơn nữa, việc Bản đồ tư duy dùng rất 7
nhiều màu sắc khiến giáo viên và học sinh phải vận dụng trí tưởng tượng sáng tạo đầy phong phú của mình. Nhưng đây không chỉ là một bức tranh đầy màu sắc sặc sỡ thông thường, Bản đồ tư duy giúp tạo ra một bức tranh mang tính lý luận, liên kết chặt chẽ về những gì được học. - Bản đồ tư duy sử dụng cả hai bán cầu não cùng một lúc: Bản đồ tư duy thật sự giúp bạn tận dụng các chức năng của não trái lẫn não phải khi học. Đây chính là công cụ học tập vận dụng được sức mạnh của cả bộ não, giải phóng những năng lực tiềm ẩn trong học sinh. Trong nội dung thực hiện đề tài, tôi đã cho học sinh lần lượt sử dụng Bản đồ tư duy để hình thành phân loại các dạng bài tập về khoảng cách, Bản đồ tư duy về phương pháp giải từng loại bài toán về khoảng cách như khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, khoảng cách từ một đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Ở mức độ cao hơn, tôi đã rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh qua sử dụng bản đồ tư duy để phát triển các bài toán theo hướng thay đổi dần dữ kiện giả thiết để có các bài toán khó hơn, phức tạp hơn nhưng hướng giải, lời giải dễ dàng phát hiện được. BĐTD 1: Các loại khoảng cách trong hình học không gian Với mỗi loại bài toán khoảng cách, học sinh được yêu cầu đưa ra các dạng toán cơ bản thường gặp và phương pháp giải đối với chúng. Ví du 1: Bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng được chia thành 4 loại, học sinh sử dụng kiến thức của mình để tổng hợp theo Bản đồ tư duy như sau: 8
BĐTD 2: Bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Ví dụ 2: Bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, học sinh được hướng dẫn lập Bản đồ tư duy về các trường hợp xảy ra và phương pháp giải đối với từng trường hợp: BĐTD 3: Bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 9
Thông qua giải pháp thiết lập các Bản đồ tư duy, học sinh hệ thống được các dạng bài toán về Khoảng cách, đồng thời nhớ được phương pháp giải đối với mỗi dạng. Với mỗi học sinh, khi được định hướng về thiết lập Bản đồ tư duy thì các em đã sáng tạo cho mình một loại bản đồ phù hợp với các ghi nhớ và kiến thức của riêng mình. 2. Giải pháp 2: Phát triển tư duy sáng tạo bằng cách hệ thống các lớp bài toán tính khoảng cách 2.1. Lớp bài toán cơ bản, đơn giản: Ban đầu, tôi cho học sinh tiếp cận bài tập khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 ở dạng đơn giản để học sinh hiểu được thế nào là khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); AB=a và SB=a 5 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). Giải: Ta có SA  (ABC) nên d(S, (ABC))=SA Tam giác SAB vuông tại A, do đó áp dụng định lí Pitago ta được: SB2=SA2+AB2  SA2=SB2-AB2=5a2-a2=4a2  SA=2a. Vậy d(S, (ABC))=SA=2a Nhận xét 1: Xuất phát từ bài toán trên, chúng tôi định hướng để học sinh thực hành giải nhanh một số bài toán liên quan như: Bài tập 3.1: Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) với M là trung điểm của SC. Định hướng: Sử dụng công thức tỷ số khoảng cách d ( M ,( ABC )) MK MC 1    d ( S ,( ABC )) SA SC 2 Bài tập 3.2: Cho hình chóp S.ABC có (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC); AB=a, tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC) Định hướng: Cần xác định đường cao SH trong tam giác SAB chính là khoảng cách từ S đến mp(ABC), bóng dáng bài toán ví dụ 1 xuất hiện khi ta chỉ ra điểm H chính là điểm A trong ví dụ đó. 10
Bài tập 3.3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); AB=a và SB=a 5 , tam giác ABC vuông tại B. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) Định hướng: Cần xác định đường cao AH trong tam giác SAB chính là khoảng cách từ A đến mp(SBC) Nhận xét 2: Khai thác từ bài toán cơ bản trên, chúng tôi yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ tư duy các bài toán mới theo các định hướng như bài tập 3.1, 3.2, 3.3. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA = 2, AB = 3, BC = 4. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng: a) SA và CD b) SA và BC c) SC và AD Hướng dẫn giải: a) Ta có: SA  (ABCD) suy ra SA  AD Mặt khác CD  AD Suy ra AD là đoạn vuông góc chung của hai đường chẳng chéo nhau SA và CD. Vậy d(SA, CD) = AD Nhận xét: Bài toán này giúp học sinh nhìn được đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau đặc biệt: vuông góc với nhau. Qua đó học sinh nắm được phương pháp tìm khoảng cách loại này quy về tìm đoạn vuông góc chung. Từ định hướng lời giải ở câu a) các học sinh dễ dàng nhận thấy các câu b, c, d cũng là bài toán khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc với nhau. Như vậy, với những ví dụ đơn giản về khoảng cách, học sinh sẽ hiểu sâu hơn về bài toán khoảng cách. Từ đó tạo bước đệm ban đầu để giải quyết bài toán ở mức độ khó hơn, sáng tạo những suy nghĩ quy các bài toán phức tạp về các bài toán đơn giản. 11
2.2. Lớp bài toán “gốc”: Tôi xây dựng một số bài toán được vận dụng nhiều trong các bài toán tính khoảng cách khác, được gọi là lớp các bài toán “gốc” về khoảng cách. Ví dụ 5: (Bài toán gốc 1) Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , kẻ AE  BC và AH  SE . Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC) biết SA = 2, AE = 3 Hướng dẫn giải quyết “Bài toán gốc” : Bước 1: Chứng minh: AH  ( SBC )  BC  AE Ta có   BC  ( SAE )  AH  BC  BC  SA mà AH  SE nên AH  ( SBC ) 1 1 1 Bước 2: Chứng minh: 2  2 AH SA AE 2 Tam giác SAE vuông tại A và AH 1 1 1 1 1 13 là đường cao nên 2  2 2    AH SA AE 4 9 36 Kết luận: 6 13 Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là AH = 13 Qua “ Bài toán gốc 1”, chúng tôi đúc kết lại cho học sinh những vấn đề sau: - Thứ nhất là cách xác định khoảng cách từ điểm A (hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) ) tới mặt phẳng (SBC ) . - Thứ hai là công thức tìm khoảng cách từ điểm A (hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) ) tới mặt phẳng (SBC ) . - Thứ ba là một số trường hợp đặc biệt: Tam giác ABC vuông tại B thì E trùng với B; tam giác ABC vuông tại C thì E trùng với C; tam giác ABC đều hoặc tam giác ABC cân tại A thì E là trung điểm của BC. Xuất phát từ bài toán gốc 1, chúng tôi định hướng học sinh tư duy qua các bài toán tiếp theo trên cơ sở thay đổi dần các giả thiết của bài toán. Các bài tập áp dụng như sau: 12
Bài tập 5.1: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bẳng 600. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Giải: Gọi E là trung điểm của BC, kẻ AH  SE  AH  (SBC)  d ( A,(SBC ))  AH 1 1 1 Ta có 2  2 AH SA AE 2 a 3 với AE= , SA= a 3 nên 2 1 1 4 a 15 2  2 2 hay AH  AH 3a 3a 5 a 15 Vậy d ( A,(SBC ))  . 5 Bài tập 5.2: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=a 3 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bẳng 600. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Giải: Kẻ AE  BC và AH  SE  AH  (SBC)  d ( A,(SBC ))  AH 1 1 1 1 1 1 Ta có 2  2 2  2 2  AH SA AE SA AB AC 2 với AB=a, AC=a 3 , SA= a 3 nên 1 1 1 1 5 a 15 2  2  2  2  2 hay AH  AH 3a a 3a 3a 5 a 15 Vậy d ( A,(SBC ))  . 5 13
Ví dụ 6: (Bài toán gốc 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết SA = h, AB = a, BC = b. Tính khoảng cách giữa: a) SA và BC b) SA và BD c) AB và SD d) AB và SC Hướng dẫn giải: a) Chúng tôi định hướng học sinh nhận thấy đây là bài toán quen thuộc: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, vuông góc với nhau và có đoạn vuông góc chung dễ dàng xác định là AB. b) Qua lời giải câu a, học sinh dễ nhận thấy đây là bài toán: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, vuông góc với nhau nhưng đoạn vuông góc chung chưa xác định. Điều này đòi hỏi học sinh phải cân nhắc, xem xét lại phương án tìm khoảng cách; giáo viên hướng dẫn tạo ra đoạn vuông góc chung AH: Kẻ AH  BC. c) Với cách thức xoay hình ảnh không còn lộ ra hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc với nhau sẵn có theo giả thiết nữa, buộc học sinh phải tư duy xem liệu 2 đường thẳng AB và SD có vuông góc với nhau không? Khi đã xác định được tính chất đó thì lời giải rất dễ dàng đối với các em. d) Bài toán đã được nâng cấp, chuyển hướng sang dạng khác do hai đường thẳng cần xét không còn vuông góc với nhau. Chúng tôi gợi ý học sinh chú ý đến phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về tìm khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia; quy về tìm khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng. Thật bất ngờ đối với các em khi bài toán khá phức tạp này được quy về bài toán gốc quen thuộc số 1. - Do AB // CD suy ra AB // (SCD) - Do đó: d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AK. Qua “Bài toán gốc 2”, chúng tôi đúc kết lại cho học sinh những vấn đề sau: - Thứ nhất là cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 14
- Thứ hai là cách xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. - Thứ ba là quy các bài toán về vận dụng bài toán gốc 2, như: thay đổi dần giả thiết để có các bài toán mới có thể vận dụng được kiến thức của bài toán gốc. Phương án thay đổi thứ nhất: Thay đổi vị trí của điểm S (bài tập 6.1, 6.2) Phương án thay đổi thứ hai: Thay đổi giả thiết ở đa giác đáy (bài tập 6.3, 6.4) Bài tập 6.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SO vuông góc với đáy (ABCD). Biết SO = h, AB = a, BC = b. Tính khoảng cách giữa: a) SA và BC b) SA và BD c) AB và SD d) AB và SC Bài tập 6.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, H là trung điểm AB, SH vuông góc với đáy (ABCD). Biết SH = h, AB = a, BC = b. Tính khoảng cách giữa: a) SA và BC b) SA và BD c) AB và SD d) AB và SC Bài tập 6.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết SA = h, AC = a, BD = b. Tính khoảng cách giữa: a) SA và BC b) SA và BD c) AB và SD d) AB và SC 15
Bài tập 6.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết SA = h, AB = a, BC = b, góc ABC bằng 600 . Tính khoảng cách giữa: a) SA và BC b) SA và BD c) AB và SD d) AB và SC Trên cơ sở giải được các bài toán theo 2 phương án thay đổi trên, chúng tôi rèn luyện học sinh có thể xem xét tự xây dựng các bài toán thay đổi cả 2. Học sinh đã có thể đưa ra các bài toán phức tạp hơn nhưng lời giải được các em định hướng rất nhanh. Ví dụ 7 (Bài toán gốc số 3) Giả sử OABC là tứ diện có OA  OB, OB  OC , OC  OA (tứ diện vuông) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó khoảng cách từ O đến mp (ABC) là đường cao OH được tính bằng công thức 1 1 1 1 2  2  2  OH OA OB OC 2 Giải: A Giả sử AH  BC  D , OH  ( ABC )  OH  BC (1) OA  OB, OA  OC  OA  BC (2) H Từ (1) và (2) suy ra BC  OD . Trong các tam giác O vuông OAD và OBC ta có C D 1 1 1 1 1 1 2  2  2 , 2  2  B OH OA OD OD OB OC 2 1 1 1 1 Vì vậy 2    OH OA OB OC 2 2 2 Chúng tôi hướng dẫn học sinh sử dụng bài toán gốc này để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của 16
tam diện vuông đến mặt huyền của nó và cho một lớp các bài toán liên quan đến hình hộp, hình lập phương, ... Bài tập 7.1: Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN Phân tích. Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN ta C' A' tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với B ' M , B' tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính M khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc N tính khoảng cách trong tứ diện vuông. D C A O Giải: B Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì OACD là tứ diện vuông tại O. AMB ' N là hình bình hành  NA / / B ' M . Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song với B ' M nên d ( B ' M , CN )  d ( B ' M ,( ACN ))  d ( B ',( ACN ))  d ( B,( ACN ))  2d (O,( ACD))  2h Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được 1 1 1 1 64 a 3 a 3 2  2  2  2  2 h . Vậy d ( B ' M , CN )  h OA OC OD 3a 8 4 Bài tập 7.2. Cho hình lập phương D' C' ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD ' . Tính A' M B' khoảng cách giữa hai đường thẳng CM O G N và A ' D . D C Giải: Gọi N là trung điểm của BB ' thì A B E A ' NCM là hình bình hành nên A ' N / /CM . Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D và song song với CM nên 17