Tài liệu: Tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổng hợp các dạng bài tập ôn thi Đại học – Cao Đẳng mong giúp các bạn có thể ôn tập thật tốt chuẩn bị cho kì thi Đại học – Cao đẳng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu: Tích phân và ứng dụng

Chuyeân ñeà 13: TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2 Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C xα +1 (ax + b)α 1 (ax + b)α +1 +C +C xα α +1 a α +1 1 ln x + C 1 1 ln ax + b + C x ax + b a ax ax +C ln a ex ex + C eax + b 1 ax + b e +C a sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 − cos(ax + b) + C a cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin(ax + b) + C a 1 tgx + C 1 1 2 tg(ax + b) + C cos2 x cos (ax + b) a 1 -cotgx + C 1 1 2 − cot g(ax + b) + C sin2 x sin (ax + b) a u' ( x ) ln u( x ) + C 1 1 x−a ln +C u( x ) x − a2 2 2a x + a tgx − ln cos x + C 1 ln x + x 2 + a2 + C 2 2 x +a cotgx ln sin x + C Phöông phaùp 1: • Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn • Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 2x − 5 1. f ( x ) = cos3 x + 2. f(x) = 2 x +1 − x x − 4x + 3 83
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân tgx 1 + ln x Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. ∫ cos5 x sin xdx 2. ∫ dx 3. ∫ dx cos x x I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [ a; b] . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: b b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) a 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: b • Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : ∫ f ( x )dx = 0 a b a • Tính chaát 2: ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx a b b • Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân [ a; b] thì: ∫ cdx = c(b − a) a b • Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0 a • Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ g( x ) ∀x ∈ [ a;b] thì b b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a a • Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì b m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a • Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] thì b b b ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a • Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø k laø moät haèng soá thì b b ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx a a • Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø c laø moät haèng soá thì b c b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a c • Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân [ a; b] cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa b b b laø : ∫ f ( x )dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... a a a 84
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 1 x x 4x + 11 1) ∫ dx 2) ∫ dx 3) ∫ x 1 − xdx 4) ∫ dx 0 (2x + 1)3 0 2x + 1 0 0 x + 5x + 6 2 π π 1 3 2x − 5 x 3 6 2 4sin3 x 5) ∫ x2 − 4x + 4dx 6) ∫ x2 + 2x + 1dx 7) ∫ (sin 6 x + cos6 x)dx 8) ∫ 1 + cos xdx 0 0 0 0 π π π 1 1 + sin 2x 4 2 2 1 + sin 2x + cos 2x 1 9) ∫ dx 10) ∫ cos4 2xdx 11) ∫ dx 12) ∫ dx . 0 cos2 x 0 π sin x + cos x 0 e +1 x 6 π π π π 4 4cos 2 x sin 3x 2 2 cos x 13) ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 14) ∫ dx 15) ∫ dx 16) ∫ dx 0 0 1 + 2 sin 2 x 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 4 1 dx 17) ∫ dx 18) ∫ 2 −2 x + 2x − 3 2 −1 x + 2x + 5 Baøi 2: 3 4 5 2 1 1) ∫x 2) ∫x − 3x + 2dx 3) ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx 4) ∫ 2 2 − 1dx x2 + − 2dx −3 −1 −3 1 x2 2 3 π 2π 2 5) ∫ 0 2x − 4dx 6) ∫ 0 1 + cos 2xdx 7) ∫ 0 1 + sin xdx 8) ∫ x 2 − x dx 0 Baøi 3: 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x) = A sin πx + B thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän 2 f (1) = 2 vaø ∫ f(x)dx = 4 ' 0 2 2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : ∫ [a + (4 − 4a)x + 4x3 ]dx = 12 2 0 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : b 1) DAÏNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) a ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt b u (b ) Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: a u(a) Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) Böôùc 2: Ñoåi caän : ⇒ x=a t = u (a) Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) b u (b ) a u (a) 85
Tính caùc tích phaân sau: π π π 1 2 2 4 sin 4x 1) ∫ cos3 x sin 2 xdx 2) ∫ cos5 xdx 3) ∫ dx 4) ∫ x 3 1 − x 2 dx 0 0 0 1 + cos2 x 0 π π π e 2 4 1 1 + ln x 4 1 5) ∫ sin 2x(1 + sin 2 x)3dx 6) ∫ cos dx 7) ∫ dx 8) ∫ cos xdx 0 0 4 x 1 x 0 π e 1 3 1 + ln 2 x 6 cos x tg4 x 9) ∫ x dx 1 10) ∫ x 5 (1 − x3 )6 dx 0 11) ∫ 6 − 5sin x + sin2 xdx 0 12) ∫ 0 cos2x dx π π π 4 cos x + sin x 2 sin 2 x ln 5 dx 2 sin 2 x 13) ∫ 3 + sin 2 x dx 0 14) ∫ 0 cos x + 4 sin x 2 2 dx 15) ∫ ln 3 e + 2e x −x −3 16) ∫ 0 ( 2 + sin x ) 2 dx π π π π ln(tgx)3 4 2 sin x − cos x 2 sin 2 x + sin x 17) ∫ dx 18) ∫ (1 − tg 8 x)dx 19) ∫ dx 20) ∫ dx π sin 2 x 0 π 1 + sin 2 x 0 1 + 3 cos x 4 4 π π 2sin 2 x cos x 2 2 x e 1 + 3 ln x ln x 21) ∫ dx 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 23) ∫ dx 24) ∫ dx 0 1 + cos x 0 1 1+ x −1 1 x π 41 − 2 sin 2 x 25) ∫ dx 0 1 + sin 2 x b 2) DAÏNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx baèng caùch ñaët x = ϕ(t) a β I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt b Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: a α Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β Böôùc 2: Ñoåi caän : ⇒ x=a t =α Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc β I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) b a α Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 1 1 1 1 1) ∫ 0 1 − x 2 dx 2) ∫ 1 + x2 dx 0 3) ∫ 0 4 − x2 dx 4) ∫ 0 x − x +1 2 dx π 2 1 2 x 2 1 2 x2 5) ∫ 0 x + x2 + 1 4 dx 6) ∫ 1 + cos x + sin x dx 0 7) ∫ 0 1 − x2 dx 8) ∫ x 2 4 − x 2 dx 1 86
2 3 1 2 3 1 9 + 3x 2 1− x 1 9) ∫x 2 x −12 dx 10) ∫ 1 x2 dx 11) ∫ 0 (1 + x ) 5 dx 12) ∫ 2 x x2 −1 dx 3 π 1 π 2 cos x 1+ x4 cos x 0 dx 13) ∫ 0 7 + cos 2 x dx 14) ∫ 0 1+ x6 dx 15) ∫ 0 1 + cos x 2 dx 16) ∫ −1 x + 2x + 2 2 1 dx 2x x −1 17) ∫ 18) ∫ dx 0 1 + 1 + 3x 1 x−5 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 8 7 3 ln 2 1 x3 1 1) ∫x x2 + 1 dx 2) ∫ 0 3 1+ x2 dx 3) ∫ 0 x 5 1 + x 2 dx 4) ∫ 0 ex + 2 dx 3 7 2 3 x +1 2 3 dx 5) ∫ 6) ∫ x x + 1dx 7) 2 3 dx ∫ 0 3 3x + 1 0 5 x x2 + 4 III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b b b a a ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b Hay: b a a Caùch thöïc hieän: u = u ( x) du = u ' ( x)dx Böôùc 1: Ñaët ⇒ dv = v' ( x)dx v = v( x) Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b b a a Böôùc 3: Tính [u.v ]a b vaø ∫ vdu b a Tính caùc tích phaân sau: π 2 1 ln x 2 1) ∫ 5 dx 2) ∫ x cos2 xdx 3) ∫ e x sin xdx 1 x 0 0 π π2 e 3 x + sin x 4) ∫ sin 0 xdx 5) ∫ x ln 2 xdx 1 6) ∫ 0 cos2 x dx 87
π π 2 4 ln(1 + x) 7) ∫ x sin x cos xdx 8) ∫ x(2 cos x − 1)dx 9) ∫ dx 2 2 0 0 1 x2 π 1 e 2 10) ∫ (x + 1)2 e2x dx 11) ∫ (x ln x)2 dx 12) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 0 1 0 e 1 ln x 1 13) ∫ ( x + 1) dx 14) ∫ xtg xdx 15) ∫ ( x − 2)e 2 x dx 2 2 1 0 0 e π 1 e ln x 2 16) ∫ x ln(1 + x 2 )dx 17) ∫ dx 18) ∫ ( x + cos 3 x) sin xdx 0 1 x 0 2 3 19) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 20) ∫ ln( x 2 − x)dx 0 2 MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG a Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : ∫ f(x)dx = 0 −a a a 2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx −a 0 Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì: π π 2 2 a) ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx 0 0 π π π b) ∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx 0 20 AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau: π π π 2 cos x n 2 cos x 4 2 sin 6 x 1) ∫ cosn x + sin n xdx 0 vôùi n ∈ Z+ 2) ∫ cos4 x + sin 4 xdx 0 3) ∫ sin6 x + cos6 xdx 0 π π 1 2 x + cosx x 4 + sin x 4) ∫ x sin xdx 5) ∫π dx 6) ∫ x 2 + 1 dx 5 0 4 − sin 2 x −1 − 2 π π x sin x 7) ∫ 4 − cos dx 8) ∫ x cos x sin3 xdx 4 0 2 x 0 α α f (x) Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì − ∫α a x + 1 dx = ∫ f ( x )dx 0 vôùi α ∈ R + vaø a > 0 ; a ≠ 1 AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau: 1 1 π x4 1 − x2 sin 2 x 1) ∫ x −1 2 +1 dx 2) ∫ −1 1 + 2x dx 3) ∫ 3x + 1 dx −π 88
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc: y (C2 ) : x = g ( y) y x=b ⎧( C 1 ) : x = f ( y ) x=a ⎪( C ) : x = g ( y ) ⎧(C1 ) : y = f ( x ) (C1 ) : y = f ( x) b y =b ⎪ (H ) : ⎨ 2 ⎪(C ) : y = g ( x ) (H ) ⎪Δ 1 : y = a ⎪ 2 (C2 ) : y = g ( x) (H ) (H ) : ⎨ ⎪Δ 2 : y = b ⎩ ⎪Δ 1 : x = a a y=a ⎪Δ 2 : x = b ⎩ x x O a b O (C1 ) : x = f ( y) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )]dy b b a a yC1 y C2 xC1 xC2 Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau: ⎧ ⎧ −3x − 1 ⎪ y = 4− x2 ⎪y = x − 1 ⎪ 4 ⎧ ⎪y = x − 4x + 3 2 ⎪ 1) (H1): ⎨ 2) (H2) : ⎨ 3) (H3): ⎨y = 0 ⎪y = x 2 ⎪y = x + 3 ⎩ ⎪x = 0 ⎪ ⎩ 4 2 ⎪ ⎩ ⎧y = x2 ⎪ ⎧y = x ⎪ ⎧y 2 + x − 5 = 0 4) (H4): ⎨ 5) (H5): ⎨ 6) (H6): ⎨ ⎪x = −y ⎩x + y − 3 = 0 2 ⎪y = 2 − x 2 ⎩ ⎩ ⎧ ln x ⎪y = 2 x 3 3 ⎪ ⎧ ⎪y = x + x − 2 ⎪ ⎧y = x 2 − 2x ⎪ 7) (H7): ⎨y = 0 8) (H8) : ⎨ 9) (H9): ⎨ 2 2 ⎪y = − x + 4x 2 ⎪x = e ⎩ ⎪y = x ⎪ ⎩ ⎪x = 1 ⎩ ⎧(C ) : y = x ⎧(C ) : y = e x ⎧y − 2y + x = 0 2 ⎪ ⎪ 10) (H10): ⎨ 11) ⎨(d ) : y = 2 − x 12) ⎨(d ) : y = 2 ⎩x + y = 0 ⎪(Ox) ⎪(Δ ) : x = 1 ⎩ ⎩ V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc: 89
y y x=b x=a (C ) : y = f ( x) b y =b x=0 (C ) : x = f ( y) a y=a x x O a y=0 b O 2 2 V = π ∫ [ f ( x)] dx V = π ∫ [ f ( y )] dy b b a a Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = x; y = 2 − x; y = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = (x − 2)2 vaø y = 4 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh: a) Truïc Ox b) Truïc Oy Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = 4 − x 2 ; y = x 2 + 2 . Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox 1 x2 Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = 2 ; y = x +1 2 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox ------------------------------Heát------------------------------- 90