Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thứ chứa 2 biến
lượt xem 129
download
VỀ MỘT CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 . Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y)....
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thứ chứa 2 biến
- VỀ MỘT CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Đỗ Bá Chủ - Thái Bình tặng www.mathvn.com Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 . Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y). Phương pháp giải : Gọi T là tập giá trị của P. Khi đó, m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x; y): Sau đó tìm các giá trị của tham số m để hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra tập giá trị T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN (nếu có) của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : Tìm GTLN , GTNN của biểu thức . Lời giải : Gọi T1 là tập giá trị của F . Ta có hệ sau có nghiệm: (I) Đặt thì x, y S, P : S2 S 3P 0 S2 2S 3m 0 Hệ (I) trở thành (II) S P m P m S Ta có : Từ đó , hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn phương trình có nghiệm S : , điều này xảy ra khi và chỉ khi S 1 3m 0 1 m 0 S1 1 1 3m 4 3 . Do đó : 0 S 1 1 3m 4 1 1 3m 5 2 Vậy : minF = 0 , maxF = 8. Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Lời giải : Gọi T2 là tập giá trị của G . Ta có hệ sau có nghiệm: 3 (III) Trang 1
- Nếu y = 0 thì hệ (III) trở thành Nếu y 0 thì đặt x = ty ta có hệ : (IV) Trường hợp này hệ (III) có nghiệm hệ (IV) có nghiệm y 0 phương trình (2) có nghiệm : 3 Nếu m = 3 thì (2) có nghiệm t = 2 Nếu m 3 thì (2) có nghiệm t 3m 2 6m 81 0 1 2 7 m 1 2 7 (m 3) Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của m để hệ (III) có nghiệm là : . Do đó: Vậy : minG = 1 2 7 , maxG = 1 2 7 Bài toán 3 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x 0,y 0 thoả mãn : (x y)xy x2 y2 xy 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x3 y3 Lời giải : Gọi T3 là tập giá trị của A . Ta có hệ sau có nghiệm x 0,y 0: (x y)xy x 2 y 2 xy (x y)xy x2 y 2 xy (x y)xy x 2 y 2 xy 1 1 (x y)(x 2 y 2 xy) xy(x y) 2 3 m m m x y3 (xy) 3 (xy) 3 (x y)xy (x y) 2 3xy x y 2 (V) ( ) m xy SP S2 3P S x y Đặt ( ) , ta có hệ : S (VI) P xy ( )2 m P Hệ (V) có nghiệm x 0,y 0 hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn . 1 2 3 2 S Vì SP x2 y 2 xy (x y) y 0 với mọi x 0 , y 0 0 với mọi x 0, 2 4 P y 0 Từ đó : Nếu m 0 thì hệ (V) vô nghiệm S S Nếu m > 0 thì từ phương trình ( ) 2 m m S m.P thay vào phương P P trình đầu của hệ (VI) được : mP 2 mP 2 3P (m m )P 3 ( vì SP > 0 nên P 0) Trang 2
- Để có P từ phương trình này thì m m 0 m 1 ( m > 0 ) và ta được 3 3 P , do đó S . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) m ( m 1) m 1 thoả mãn khi và chỉ khi : 3 12 4( m 1) 2 ( )2 3 3 m 4( m 1) m 4 m 1 m ( m 1) m ( m 1) 0 m 16 (m 1) Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x 0,y 0 là : 0 m 16 , m 1 Do đó : T3 0;16 \ 1 Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn tại minA ) Bài toán 4 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x 3 x 1 3 y 2 y Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K x y Lời giải : ĐKXĐ : x 1, y 2 Gọi T4 là tập giá trị của K . Ta có hệ sau có nghiệm: x 3 x 1 3 y 2 y 3( x 1 y 2) m (VII) x y m x y m Đặt u x 1 và v y 2 thì u, v 0 và hệ (VII) trở thành : m u v 3(u v) m 3 u , v là hai nghiệm của phương trình : u2 v2 m 3 1 m2 uv ( m 3) 2 9 m 1 m2 t2 t ( m 3) 0 18t 2 6mt m 2 9m 27 0 (3) 3 2 9 Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho x 1, y 2 khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm không âm và điều kiện là : t 9(m 2 18m 54) 0 m 9 3 21 9 3 21 St 0 m 9 3 15 . Do đó T4 ;9 3 15 3 2 2 m 2 9m 27 Pt 0 18 9 3 21 Vậy : minK = , maxK = 9 3 15 2 Bình luận: Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN, GTNN về bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN, GTNN . Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức đạt GTLN, GTNN. Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số . Cuối cùng là các bài tập minh hoạ phương pháp trên : Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : . Trang 3
- Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức Bài 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : . 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F x xy 2y 2 Bài 3 : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn : x y 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q x 1 y 9 Cho các số dương x , y thoả mãn : xy x y 3 3x 3y Tìm GTLN của biểu thức G x 2 y2 y 1 x 1 (Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008) .Cho hai số x , y thoả m ãn : x 2 y2 2 3 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P 2(x y ) 3xy Bài 6 : (Đại học Khối B năm 2008). Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức: x 2 y 2 1 2(x 2 6xy) Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P 1 2xy 2y 2 ................................Hết............................ Trang 4
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số
6 p | 4777 | 419
-
SKKN: Hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số ở lớp 9
13 p | 2879 | 416
-
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
4 p | 3692 | 299
-
Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn
8 p | 897 | 176
-
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
5 p | 1164 | 94
-
Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
7 p | 474 | 47
-
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức bằng phương pháp hàm số
3 p | 341 | 41
-
SKKN: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11
18 p | 169 | 28
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong Vật lý
19 p | 162 | 19
-
Giáo án Giải tích 12 chương 1 bài 3: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
9 p | 188 | 14
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
19 p | 180 | 8
-
Bài tập Chương 2: Đại số 12 - Phương trình và bất phương trình mũ lôgarit
3 p | 101 | 7
-
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
9 p | 179 | 6
-
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp hàm số
15 p | 70 | 4
-
Casio tìm nhanh giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 p | 64 | 4
-
Bài giảng Đại số lớp 12 bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
5 p | 17 | 4
-
Giáo án Giải tích 12 – Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp hàm số
15 p | 59 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn