BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử
f
xác định trên
D
. Ta có
max
x D
M f x
0 0
:
f x M x D
x D f x M
;
min
x D
m f x
0 0
:
f x m x D
x D f x m
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số
f
xác định trên đoạn
, ta làm như sau:
B1 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
mà tại đó hàm số
f
có đạo
hàm bằng
0
hoặc không có đạo hàm.
B2 Tính
1
f x
,
2
f x
, …,
m
f x
,
,
.
B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là
GTLN của
f
trên đoạn
; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f
trên đoạn
.
1 2
;
max max , , , , ,
m
x a b f x f x f x f x f a f b
.
1 2
;
min min , , , , ,
m
x a b f x f x f x f x f a f b
.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
f
mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
f
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2 3 3
1
x x
yx
trên đoạn
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
Giải. Ta có
22
2 2
4 3 1 2 3 3 2 4
' 0
1 1
x x x x x x
y
x x
0;2x
. Lại có
0 3y
,
17
23
y
. Suy ra
0;2
min 3
xy
,
0;2
17
max 3
xy
.
Nhận xét.
f
đồng biến trên
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b
;
f
nghịch biến trên
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a
.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4y x x
.
Giải.
2;2TXÑ
. Ta có
2
2 2
4
' 1 4 4
x x x
y
x x
(
2;2x
).
Với mọi
2;2x
, ta có
' 0y
2
4 0x x
2
4x x
2 2
0
4
x
x x
2x
.
Vậy
min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y
, đạt được
2x
;
max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y
, đạt được
2
.
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
1
x
y
x
trên đoạn
1;2
.
Giải. Ta có
2
2
22 2
1 1 1
1
'11 1
x
x x x
x
yxx x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
Với mọi
1;2x
ta có
' 0y
1x
.
Vậy
3 5
min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0
5
y y y y
, đạt được
1x
;
3 5
max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2
5
y y y y
, đạt được
1x
.
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x
yx
trên đoạn
3
1;e
.
Giải. Ta có
2
2
2 2
ln
2 . ln 2ln ln
'
xx x x x
x
yx x
.
Với mọi
3
1;x e
ta có
' 0y
2
2ln ln 0x x
ln 0x
hoặc
ln 2x
1x
hoặc
2
x e
2
x e
(
3
1 1;e
).
Vậy
3 2
3 2
9 4
min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e e e
, đạt được
1x
.
3
3 2 2
9 4 4
max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e e e e
, đạt được
2
x e
.
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 21 3 10y x x x x
.
Giải.
TXÑx
2
2
4 21 0
3 10 0
x x
x x
3 7
2 5
x
x
2 5x
, suy ra
2;5TXÑ=
. Ta
có
2 2
2 2 3
'4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
' 0y
2 2
2 2 3
4 21 2 3 10
x x
x x x x
2 2
22
4 4 4 12 9
4 21 4 3 10
x x x x
x x x x
2 2 2 2
4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x
2
51 104 29 0x x
hoặc
29
17
x
.
Thử lại, ta thấy chỉ có
là nghiệm của
'y
.
2 3y
,
5 4y
,
12
3
y
min 2y
, đạt được
.
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1)
2
4y x
.
2)
22 5y x x
trên đoạn
2;3
.
3)
22 4y x x
trên đoạn
.
4)
33 3y x x
trên đoạn
3
3; 2
.
5)
3 2
12 3 4
3
y x x x
trên đoạn
4;0
.
6)
3 2
3 9 1y x x x
trên đoạn
4;4
.
7)
35 4y x x
trên đoạn
3;1
.
8)
4 2
8 16y x x
trên đoạn
1;3
.
9)
1
y x x
trên khoảng
0;
.
10)
1
1
y x x
trên khoảng
1;
.
11)
1
y x x
trên nửa khoảng
.
12)
2
x
yx
trên nửa khoảng
2;4
.
13)
2
2 5 4
2
x x
yx
trên đoạn
0;1
.
14)
4 4
sin cosy x x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
15)
2
2sin 2sin 1y x x
.
16)
2
cos 2 sin cos 4y x x x
.
17)
3 2
cos 6cos 9cos 5y x x x
.
18)
3
sin cos 2 sin 2y x x x
.
19)
3
sin 3 3siny x x
20)
2
2cos cos 1
cos 1
x
y