Ứng dụng của hệ thức Viet vào giải toán

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

864
lượt xem 168
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Ứng dụng của hệ thức Viet vào giải toán " giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học. Tài liệu hay để các em tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng của hệ thức Viet vào giải toán

A. M Đ U Trong m t vài năm tr l i đây thì trong các đ thi vào l p 10 trung h c ph thông , các bài toán v phương trình b c hai có s d ng t i h th c Vi- Et xu t hi n khá ph bi n . Trong khi đó n i dung và th i lư ng v ph n này trong sách giáo khoa l i r t ít, lư ng bài t p chưa đa d ng . Ta cũng th y đ gi i đư c các bài toán có liên qua đ n h th c Vi – Et, h c sinh c n tích h p nhi u ki n th c v đ i s , thông qua đó h c sinh có cách nhìn t ng quát hơn v hai nghi m c a phương trình b c hai v i các h s . V y nên nhóm toán chúng tôi xây d ng chuyên đ này ngoài m c đích giúp h c sinh nâng cao ki n th c còn giúp các em làm quen v i m t s d ng toán có trong đ thi vào l p 10 trung h c ph thông N i dung chính c a chuyên đ g m : I. ng d ng 1 Nh m nghi m c a phương trình b c hai m t n II. ng d ng 2 L p phương trình b c hai III. ng d ng 3 Tìm hai s bi t t ng và tích c a chúng IV. ng d ng 4 Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a phương trình V. ng d ng 5 Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a phương trình sao cho hai nghi m này không ph thu c vào tham s VI. ng d ng 6 Tìm giá tr tham s c a phương trình th a mãn bi u th c ch a nghi m VII. ng d ng 7 Xác đ nh d u các nghi m c a phương trình b c hai VIII. ng d ng 8 Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m B. N I DUNG CHUYÊN Đ : NG D NG C A H TH C VI-ÉT TRONG GI I TOÁN Cho phương trình b c hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) −b − ∆ −b + ∆ Có hai nghi m x1 = ; x2 = 2a 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b Suy ra: x1 + x2 = = = 2a 2a a 2 (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a −b V yđ t: - T ng nghi m là S : S = x1 + x2 = a
c - Tích nghi m là P : P = x1 x2 = a Như v y ta th y gi a hai nghi m c a phương trình (*) có liên quan ch t ch v i các h s a, b, c. Đây chính là n i dung c a Đ nh lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hi u m t s ng d ng c a đ nh lí này trong gi i toán. I. NH M NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH : 1. D ng đ c bi t: Xét phương trình (*) ta th y : a) N u cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a+b+c=0 c Như vây phương trình có m t nghi m x1 = 1 và nghi m còn l i là x2 = a b) N u cho x = − 1 thì ta có (*) a.( − 1)2 + b( − 1) + c = 0 a − b+c=0 −c Như v y phương trình có m t nghi m là x1 = −1 và nghi m còn l i là x2 = a Ví d : Dùng h th c VI-ÉT đ nh m nghi m c a các phương trình sau: 1) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 (1) 2) 3 x 2 + 8 x − 11 = 0 (2) Ta th y : −3 Phương trình (1) có d ng a − b + c = 0 nên có nghi m x1 = −1 và x2 = 2 −11 Phương trình (2) có d ng a + b + c = 0 nên có nghi m x1 = 1 và x2 = 3 Bài t p áp d ng: Hãy tìm nhanh nghi m c a các phương trình sau: 1. 35 x 2 − 37 x + 2 = 0 2. 7 x 2 + 500 x − 507 = 0 3. x 2 − 49 x − 50 = 0 4. 4321x 2 + 21x − 4300 = 0 2. Cho phương trình , có m t h s chưa bi t, cho trư c m t nghi m tìm nghi m còn l i và ch ra h s c a phương trình : Víd : a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có m t nghi m b ng 2, tìm p và nghi m th hai. b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có m t nghi m b ng 5, tìm q và nghi m th hai. c) Cho phương trình : x 2 − 7 x + q = 0 , bi t hi u 2 nghi m b ng 11. Tìm q và hai nghi m c a phương trình. d) Tìm q và hai nghi m c a phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , bi t phương trình có 2 nghi m và có m t nghi m b ng 2 l n nghi m kia. Bài gi i: a) Thay x1 = 2 v à phương trình ban đ u ta đ ư c : 1 4−4p +5 = 0 ⇒ p = 4 5 5 T x1 x2 = 5 suy ra x2 = = x1 2 b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đ u ta đ ư c 25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50 −50 −50 T x1 x2 = −50 suy ra x2 = = = −10 x1 5
c) Vì vai trò c a x1 và x2 bình đ ng nên theo đ bài gi s x1 − x2 = 11 và theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = 7 , ta  x1 − x2 = 11  x1 = 9 gi i h sau:  ⇔  x1 + x2 = 7  x2 = −2 Suy ra q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò c a x1 và x2 bình đ ng nên theo đ bài gi s x1 = 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 . Suy ra  x = −5 2 x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔  2 2 2  x2 = 5 V i x2 = −5 th ì x1 = −10 V i x2 = 5 th ì x1 = 10 II. L P PHƯƠNG TRÌNH B C HAI 1. L p phương trình b c hai khi bi t hai nghi m x1 ; x2 Ví d : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 l p m t phương trình b c hai ch a hai nghi m trên  S = x1 + x2 = 5 Theo h th c VI-ÉT ta có  v y x1 ; x2 là nghi m c a phương trình có d ng:  P = x1 x2 = 6 x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 Bài t p áp d ng: 1. x1 = 8 v x2 = -3 2. x1 = 3a v x2 = a 3. x1 = 36 v x2 = -104 4. x1 = 1 + 2 v x2 = 1 − 2 2. L p phương trình b c hai có hai nghi m tho mãn bi u th c ch a hai nghi m c a m t phương trình cho trư c: V í d : Cho phương trình : x 2 − 3 x + 2 = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 ; x2 . Không gi i phương trình trên, hãy 1 1 l p phương trình b c 2 có n là y tho mãn : y1 = x2 + và y2 = x1 + x1 x2 Theo h th c VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 1 x +x 3 9 S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  +  = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + = x1 x2  x1 x2  x1 x2 2 2 1 1 1 1 9 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 2 V y phương trình c n l p có d ng: y 2 − Sy + P = 0 9 9 hay y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0 2 2 Bài t p áp d ng: 1/ Cho phương trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 ; x2 . Không gi i phương trình, Hãy l p 1 1 phương trình b c hai có các nghi m y1 = x1 + và y2 = x2 + x2 x1 5 1 (Đáp s : y 2 + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 ) 6 2
2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 . Hãy l p phương trình b c 2 có n y tho mãn y1 = x14 và y2 = x2 (có nghi m là lu th a b c 4 c a các nghi m c a phương trình đã cho). 4 (Đáp s : y 2 − 727 y + 1 = 0 ) 3/ Cho phương trình b c hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghi m x1 ; x2 . Hãy l p phương trình b c hai có các nghi m y1 ; y2 sao cho : a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3 b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1 (Đáp s a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0 b) y 2 − 2 y − (4m2 − 3) = 0 ) III. TÌM HAI S BI T T NG VÀ TÍCH C A CHÚNG N u hai s có T ng b ng S và Tích b ng P thì hai s đó là hai nghi m c a phương trình : x 2 − Sx + P = 0 (đi u ki n đ có hai s đó là S2 − 4P ≥ 0 ) Ví d : Tìm hai s a, b bi t t ng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4 Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghi m c a phương trình : x 2 + 3 x − 4 = 0 gi i phương trình trên ta đư c x1 = 1 và x2 = −4 V y n u a = 1 thì b = − 4 n u a = − 4 thì b = 1 Bài t p áp d ng: Tìm 2 s a và b bi t T ng S và Tích P 1. S = 3 và P=2 2. S = − 3 và P=6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 − y2 Bài t p nâng cao: Tìm 2 s a và b bi t 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a − b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hư ng d n: 1) Theo đ bài đã bi t t ng c a hai s a và b , v y đ áp d ng h th c VI- ÉT thì c n tìm tích c a a v à b. 2 2 2 81 − ( a 2 + b 2 ) T a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20 2  x1 = 4 Suy ra : a, b là nghi m c a phương trình có d ng : x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔   x2 = 5 V y: N u a = 4 thì b = 5 n u a = 5 thì b = 4 2) Đã bi t tích: ab = 36 do đó c n tìm t ng : a + b Cách 1: Đ t c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36  x1 = −4 Suy ra a,c là nghi m c a phương trình : x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔   x2 = 9 Do đó n u a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9 n u a = 9 thì c = −4 nên b = 4 2 2 2 2 Cách 2: T ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13
 x1 = −4 *) V i a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phương trình : x 2 + 13x + 36 = 0 ⇔   x2 = −9 V y a = −4 thì b = −9  x1 = 4 *) V i a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phương trình : x 2 − 13x + 36 = 0 ⇔   x2 = 9 V y a = 9 thì b = 4 3) Đã bi t ab = 30, do đó c n tìm a + b: 2  a + b = −11 T : a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒   a + b = 11  x1 = −5 *) N u a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phương trình: x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔   x2 = −6 V y n u a = −5 thì b = −6 ; n u a = −6 thì b = −5  x1 = 5 *) N u a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phương trình : x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔   x2 = 6 V y n u a = 5 thì b = 6 ; n u a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TR C A CÁC BI U TH C NGHI M Đ i các bài toán d ng này đi u quan tr ng nh t là ph i bi t bi n đ i bi u th c nghi m đã cho v bi u th c có ch a t ng nghi m S và tích nghi m P đ áp d ng h th c VI-ÉT r i tính giá tr c a bi u th c 1. Bi n đ i bi u th c đ làm xu t hi n : ( x1 + x2 ) và x1 x2 Ví d 1 a) x12 + x2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 2 2 b) x13 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  3 2 2   2 2 c) x14 + x2 = ( x12 )2 + ( x2 )2 = ( x12 + x2 ) − 2 x12 x2 =  ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 4 2 2 2   2 1 1 x +x d) + = 1 2 x1 x2 x1 x2 Ví d 2 x1 − x2 = ? 2 2 2 Ta bi t ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 T các bi u th c đã bi n đ i trên hãy bi n đ i các bi u th c sau: 1. x12 − x2 2 ( = ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) =…….) ( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =……. ) 2 2 2. x13 − x2 3   3. x14 − x2 4 ( = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) =…… ) 2 2 2 2 4. x16 + x2 6 ( = ( x12 )3 + ( x2 )3 = ( x12 + x2 )( x14 − x12 x2 + x2 ) = ……..) 2 2 2 4 Bài t p áp d ng 1 1 5. x16 − x2 6 6. x15 + x2 5 7. x17 + x2 7 8. + x1 − 1 x2 − 1 2. Không gi i phương trình, tính giá tr c a bi u th c nghi m a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính 1 1 8 1. x12 + x2 2 (34) 2. +   x1 x2  15 
x1 x2  34  2 3. +   4. ( x1 + x2 ) (46) x2 x1  15  b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 1 1 9 1. +   2. x12 + x2 2 (65) x1 x2 8 c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 1 1  14  1. +   2. x12 + x2 2 (138) x1 x2  29  d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 1 1 1 − x1 1 − x2 1. + (3) 2. + (1) x1 x2 x1 x2 x1 x 5 3. x12 + x2 2 (1) 4. + 2   x2 + 1 x1 + 1 6 e) Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 , không gi i phương trình, tính 6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 Q= 5 x1 x2 + 5 x13 x2 3 6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 6.(4 3)2 − 2.8 17 HD: Q = 3 3 = = = 5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80   2 5 x1 x2 + 5 x1 x2 2   V. TÌM H TH C LIÊN H GI A HAI NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHI M NÀY KHÔNG PH THU C (HAY Đ C L P) V I THAM S Đ làm các bài toán lo i này, ta làm l n lư t theo các bư c sau: - Đ t đi u ki n cho tham s đ phương trình đã cho có hai nghi m x1 và x2 (thư ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - Áp d ng h th c VI-ÉT vi t S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham s - Dùng quy t c c ng ho c th đ tính tham s theo x1 và x2 . T đó đưa ra h th c liên h gi a các nghi m x1 và x2. Ví d 1: Cho phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 . L p h th c liên h gi a x1 ; x2 sao cho chúng không ph thu c vào m. Đ phương trình trên có 2 nghi m x1 và x2 th ì : m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1   ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4  '≥0  m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 5m − 4 ≥ 0 m ≥ 5  Theo h th c VI- ÉT ta có :  2m  2  x1 + x2 = m − 1   x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)   ⇔  x .x = m − 4  x .x = 1 − 3 (2)   1 2 m −1  1 2  m −1
Rút m t (1) ta có : 2 2 = x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = (3) m −1 x1 + x2 − 2 Rút m t (2) ta có : 3 3 = 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = (4) m −1 1 − x1 x2 Đ ng nh t các v c a (3) và (4) ta có: 2 3 = ⇔ 2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0 x1 + x2 − 2 1 − x1 x2 Ví d 2: G i x1 ; x2 là nghi m c a phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 . Ch ng minh r ng bi u th c A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không ph thu c giá tr c a m. Đ phương trình trên có 2 nghi m x1 và x2 th ì : m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1   ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4  '≥0  m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 5m − 4 ≥ 0 m ≥ 5  Theo h th c VI- ÉT ta c ó :  2m  x1 + x2 = m − 1   thay v ào A ta c ó:  x .x = m − 4  1 2 m −1  2m m−4 6m + 2m − 8 − 8(m − 1) 0 A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 4 V y A = 0 v i m i m ≠ 1 và m ≥ . Do đó bi u th c A không ph thu c vào m 5 Nh n xét: - Lưu ý đi u ki n cho tham s đ phương trình đã cho có 2 nghi m - Sau đó d a vào h th c VI-ÉT rút tham s theo t ng nghi m, theo tích nghi m sau đó đ ng nh t các v ta s đư c m t bi u th c ch a nghi m không ph thu c vào tham s . Bài t p áp d ng: 1. Cho phương trình : x 2 − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 . Hãy l p h th c liên h gi a x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 đ c l p đ i v i m. 2 2 Hư ng d n: D th y ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghi m phân bi t x1 và x2 Theo h th c VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m + 2   ⇔ x1 x2 + 1  x1.x2 = 2m − 1 m = 2 (2)  T (1) và (2) ta có:
x1 x2 + 1 x1 + x2 − 2 = ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0 2 2. Cho phương trình : x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 . Tìm h th c liên h gi a x1 và x2 sao cho chúng không ph thu c vào m. Hư ng d n: D th y ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghi m phân bi t x1 và x2 Theo h th c VI- ÉT ta có  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)  ⇔  x1.x2 = 2(m − 4) 4m = 2 x1 x2 + 16(2) T (1) và (2) ta có: −( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0 VI.TÌM GIÁ TR THAM S C A PHƯƠNG TRÌNH THO MÃN BI U TH C CH A NGHI M ĐÃ CHO Đ i v i các bài toán d ng này, ta làm như sau: - Đ t đi u ki n cho tham s đ phương trình đã cho có hai nghi m x1 và x2 (thư ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - T bi u th c nghi m đã cho, áp d ng h th c VI-ÉT đ gi i phương trình (có n là tham s ). - Đ i chi u v i đi u ki n xác đ nh c a tham s đ xác đ nh giá tr c n tìm. Ví d 1: Cho phương trình : mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 Tìm giá tr c a tham s m đ 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : x1 + x2 = x1.x2 Bài gi i: Đi u ki n đ phương trình c ó 2 nghi m x1 và x2 l à : m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  2 ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 2 2   ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0   ∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0  m ≥ −1  6(m − 1)  x1 + x2 =  m Theo h th c VI- ÉT ta c ó:  v à t gi thi t: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:  x x = 9(m − 3)  1 2  m 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7 m m (tho mãn đi u ki n xác đ nh ) V y v i m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : x1 + x2 = x1.x2 Ví d 2: Cho phương trình : x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + 2 = 0 . Tìm m đ 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Bài gi i: Đi u ki n đ phương trình có 2 nghi m x1 & x2 là : ∆ ' = (2m + 1)2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0 ⇔ 4m 2 + 4 m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0 7 ⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4
 x1 + x2 = 2m + 1 Theo h th c VI-ÉT ta có:  2 và t gi thi t 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra  x1 x2 = m + 2 3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0  m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔  2  m = 4 ( KTM )  3 V y v i m = 2 thì phương trình có 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Bài t p áp d ng 1. Cho phương trình : mx 2 + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 Tìm m đ 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : x1 − 2 x2 = 0 2. Cho phương trình : x 2 + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0 Tìm m đ 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c: 4 x1 + 3 x2 = 1 3. Cho phương trình : 3x 2 − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 . Tìm m đ 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : 3x1 − 5 x2 = 6 Hư ng d n cách gi i: Đ i v i các bài t p d ng này ta th y có m t đi u khác bi t so v i bài t p Ví d 1 và ví d 2 ch + Trong ví d thì bi u th c nghi m đã ch a s n t ng nghi m x1 + x2 và tích nghi m x1 x2 nên ta có th v n d ng tr c ti p h th c VI-ÉT đ tìm tham s m. + Còn trong 3 bài t p trên thì các bi u th c nghi m l i không cho s n như v y, do đó v n đ đ t ra đây là làm th nào đ t bi u th c đã cho bi n đ i v bi u th c có ch a t ng nghi m x1 + x2 và tích nghi m x1 x2 r i t đó v n d ng tương t cách làm đã trình bày Ví d 1 và ví d 2. 16 BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤ 15  −(m − 4)  x1 + x2 =  m -Theo VI-ÉT:  (1) x x = m + 7  1 2  m  x1 + x2 = 3x2 - T x1 − 2 x2 = 0 Suy ra:  ⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2) 2( x1 + x2 ) = 3 x1 - Th (1) vào (2) ta đưa đư c v phương trình sau: m 2 + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96  x1 + x2 = 1 − m - Theo VI-ÉT:  (1)  x1 x2 = 5m − 6  x1 = 1 − 3( x1 + x2 )  ⇒ x1 x2 = [1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1] - T : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1 (2) 2 ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 1
m = 0 - Th (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔  (tho mãn ĐKXĐ) m = 1 BT3: - Vì ∆ = (3m − 2)2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 v i m i s th c m nên phương trình luôn có 2 nghi m phân bi t.  3m − 2  x1 + x2 = 3  - -Theo VI-ÉT:  (1) x x = −(3m + 1)  1 2  3 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6  ⇒ 64 x1 x2 = [5( x1 + x2 ) + 6] .[3( x1 + x2 ) − 6] - T gi thi t: 3x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6 (2) ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36 m = 0 - Th (1) vào (2) ta đư c phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔  32 (tho mãn ) m = −  15 VII. XÁC Đ NH D U CÁC NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH B C HAI Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm đi u ki n đ phương trình có 2 nghi m: trái d u, cùng d u, cùng dương, cùng âm …. Ta l p b ng xét d u sau: D u nghi m x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Đi u ki n chung trái d u ± m P0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0 cùng dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0;S>0 cùng âm − − S0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví d : Xác đ nh tham s m sao cho phương trình: 2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghi m trái d u. Đ phương trình có 2 nghi m trái d u thì ∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m2 − m − 6) ≥ 0 ∆ ≥ 0  ∆ = (m − 7)2 ≥ 0∀m  ⇔ 2 m −m−6 ⇔ ⇔ −2 < m < 3 P < 0 P =
Áp d ng tính ch t sau v b t đ ng th c: trong m i trư ng h p n u ta luôn phân tích đư c: A+ m C= (trong đó A, B là các bi u th c không âm ; m, k là h ng s ) (*) k − B Thì ta th y : C ≥ m (v ì A ≥ 0 ) ⇒ min C = m ⇔ A = 0 C ≤ k (v ì B ≥ 0 ) ⇒ max C = k ⇔ B = 0 Ví d 1: Cho phương trình : x 2 + ( 2m − 1) x − m = 0 G i x1 và x2 là các nghi m c a phương trình. Tìm m đ : A = x12 + x2 − 6 x1 x2 có giá tr nh nh t. 2  x1 + x2 = −(2m − 1) Bài gi i: Theo VI-ÉT:   x1 x2 = −m 2 A = x12 + x2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 2 Theo đ b ài : 2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m 2 − 12m + 1 = (2m − 3)2 − 8 ≥ −8 3 Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m = 2 Ví d 2: Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0 G i x1 và x2 là các nghi m c a phương trình. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c sau: 2 x1 x2 + 3 B= 2 2 x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) 1  x1 + x2 = m Ta có: Theo h th c VI-ÉT thì :   x1 x2 = m − 1 2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 2(m − 1) + 3 2m + 1 ⇒B= 2 2 = 2 = = 2 x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2 m2 + 2 m +2 Cách 1: Thêm b t đ đưa v d ng như ph n (*) đã hư ng d n Ta bi n đ i B như sau: 2 m 2 + 2 − ( m2 − 2m + 1) ( m − 1) B= = 1− 2 m2 + 2 m +2 2 Vì ( m − 1) 2 ≥0⇒ ( m − 1) ≥ 0 ⇒ B ≤1 m2 + 2 V y max B=1 ⇔ m = 1 V i cách thêm b t khác ta l i có:
1 2 1 1 2 m + 2m + 1 − m 2 ( m + 4m + 4 ) − 1 ( m 2 + 2 ) ( m + 2 ) 2 1 B= 2 2 =2 2 = − m2 + 2 m2 + 2 2 ( m2 + 2 ) 2 2 2 Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒ ( m + 2) ≥0⇒ B≥− 1 2 ( m + 2) 2 2 1 V y min B = − ⇔ m = −2 2 Cách 2: Đưa v gi i phương trình b c 2 v i n là m và B là tham s , ta s tìm đi u ki n cho tham s B đ phương trình đã cho luôn có nghi m v i m i m. 2m + 1 B= 2 ⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0 (V i m là n, B là tham s ) (**) m +2 Ta có: ∆ = 1 − B(2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B Đ phương trình (**) luôn có nghi m v i m i m thì ∆ ≥ 0 hay −2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1)( B − 1) ≤ 0  1  2 B + 1 ≤ 0 B ≤ − 2   B −1 ≥ 0  B ≥ 1 1 ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ B ≤1  2 B + 1 ≥ 0 2  B ≥ − 1  B − 1 ≤ 0   2 B ≤ 1  V y: max B=1 ⇔ m = 1 1 min B = − ⇔ m = −2 2 Bài t p áp d ng 2 1. Cho phương trình : x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .Tìm m đ bi u th c A = ( x1 − x2 ) có giá tr nh nh t. 2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 . Tìm m sao cho nghi m x1 ; x2 th a mãn đi u ki n x12 + x2 ≥ 10 . 2 3. Cho phương trình : x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0 xác đ nh m đ phương trình có 2 nghi m x1 ; x2 th a mãn a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đ t giá tr l n nh t b) B = x12 + x2 − x1 x2 đ t giá tr nh nh t 2 4. Cho phương trình : x 2 − (m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 . V i giá tr nào c a m, bi u th c C = x12 + x2 d t giá 2 tr nh nh t. 5. Cho phương trình x 2 + (m + 1) + m = 0 . Xác đ nh m đ bi u th c E = x12 + x2 đ t giá tr nh nh t. 2 C. K T LU N Do th i gian có h n và m c đích chính c a chuyên đ là áp d ng cho h c sinh đ i trà, riêng m c VII và VIII dành cho h c sinh khá gi i nên lư ng bài t p còn đơn gi n và chưa th t s đa d ng, đ y đ , do đó không tránh kh i thi u sót, rât mong các đ ng nghi p tham gia góp ý xây d ng đ chuyên đ c a chúng tôi có kh năng áp d ng r ng rãi và có tính thi t th c hơn! Chúng tôi xin chân thành c m ơn!
Ngư i vi t Ngô Qu c Hưng Dương Th Nam