http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 toancapba@gmail.com 1
ỨNGDỤNGTÍCHPHÂNTÍNHTHỂTÍCHVẬTTHỂTRÒNXOAY
1)DẠNG1:
Hình phẳng
( )
( )
:
y f x
S x a
x b a b
= ì
ï =
í
ï =
î p
quayquanhtrụcOx,tạo thànhvậtthểtròn xoaycóthểtích :
( )
2
b
a
V f x dx
p
= ò
Vídụ1:
Tính thểtích vậtthể tròn xoaytạothành khiquayquanh Ox hìnhphẳnggiới hạnbởi cácđường
sau: ln , 0, 1;y x x y x x e = = = =
Giải:
Tacó thêtích vậtthểlà:
( ) ( )
2 2
2
1 1
ln ln
e e
V x x dx x x dx
p p
= =
ò ò
Tatính tích phântrênbằngPPtừngphần
Đặt
( ) ( )
2
3
2
2 ln
ln
3
dx
du x
u x x
x
dv x dx v
ì =
ï
ì =
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
î =
ï
î
Ápdụngcôngthức tích phântừngphần tacó:
( )
3 3
2 2 2
1
1 1
2 2
ln ln ln
3 3 3 3
e e
e
x e
V x x xdx x xdx
p p
p
é ù
= - = -
ê ú
ë û
ò ò
TiếptụcPPtừngphântacó:
Đặt:
1
1
2 3
1
1
ln
3
dx
du
u x x
dv x dx x
v
ì =
ï
=
ì ï
Þ
í í
=
î ï =
ï
î
Vậy :
3 3
2
1
1
2 ln 1
3 3 3 3
e
e
e x x
V x dx
p p
é ù
= - -
ê ú
ë û
ò
( )
3 3 3
3
1 1
2 ln 5 3
3 3 3 9 27
e e
e x x x
V e
p p p
é ù
= = - - = -
ê ú
ë û
Vídụ2:
2 3 2
: 0
y x x
S y
ì = - +
í =
îquayquanhtrụcOx
(Dạng1,nhưngkhuyết x=avàx=b)
Hoành độgiaođiểm củađồthị với trụchoành : 2 1
3 2 0 2
x
x x x
=
é
- + = Û ê =
ë
Vậy :
( ) ( )
2 2
2
2 4 2 3 2
1 1
3 1 9 1 6 2 6V x x dx x x x x x dx
p p
= - + = + + - + -
ò ò
( )
2 5
4 3 2 4 3 2 2
1
1
3 11
6 11 6 1 3 1
5 2 3
x
x x x x dx x x x
p p
æ ö
= - + - + = - + - + =
ç ÷
è ø
ò
Bàitâp:
Tính Vcủavậtthểtạo thành khiquaycáchình phẳnggiới hạn bởi cácđườngsauđâyquanh Ox
a) , 0, 1; 2
x
y xe y x x = = = = b) tan ; 0; ; 3
y x y x o x
p
= = = =
c) 4 4
1 sin cos , 0; ,
2
y x x y x x
p p
= + + = = =d) , 0, 0, 1
x
y xe y x x = = = =
http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 toancapba@gmail.com 2
2)DẠNG2:
Hình phẳng
( )
( )
( )
:
y f x
y g x
S x a
x b a b
= ì
ï =
ï
í =
ï
ï =
î p
(trongđóđóđồthị haihàm số
( ) ( )
,y f x y g x = =
nằmvềcùngmộtphía
đối
với trụcquay ox ) quayquanhtrục Ox,tạo thànhvậtthểtròn xoaycóthểtích :
( ) ( )
2 2
b
a
V f x g x dx
p
= -
ò
Nếutrênkhoảng(a;b)hai đồthị khôngcắtnhau,và
( )
y f x =
nằmngoài
( )
y g x =sovới trụcquay Ox,
thì côngthứctrêntrở thành :
( ) ( )
2 2
b
a
V f x g x dx
p
é ù
= -
ë û
ò
Vídụ1:
( )
2
2
4 6
2 6
y x x
S ox
y x x
ì = - +
ï
í = - - +
ï
î
(Dạng2,khuyếta,b)
Giải:
Hoành độgiaođiểm củahai đồthị 2 2 0
4 6 2 6 1
x
x x x x x
=
é
- + = - - + Û ê =
ë
Trên đoạn [0;1],tathấy
( ) ( )
2 2
2 6 4 6 0,f x x x g x x x = - - + = - + f f
Dođóhai đồthị đềunằm trêntrụchoành,và
( )
y f x =nằm ngoài
( )
y g x =sovới trục ox.
Vậy tacó:
( ) ( )
1 2 2
2 2
0
2 6 4 6V x x x x dx
p
é ù
= - - + - - +
ê ú
ë û
ò
Dễdàngtính được: 3V
p
=
Vídụ2:
( )
2
2
1
1
2
y x
S ox
x
y
ì =
ï
ï +
í
ï =
ï
î
Giải:
Hoành độgiaođiểm củahai đồthị :
2
4 2
2
1
1 2 0 1
1 2
x
x x x x
x
= -
é
= Û + - = Û ê =
+ ë
Trên đoạn
[ ]
( ) ( )
2
2
1
1;1 : 0
1 2
x
f x g x
x
- = ³ =
+ f
(muốnbiếthàmsốnàolớnhơntathử1giátrịbấtkìcủaxtrongkhoảng(1;1), ởđâytathửx=0thì
( ) ( )
0 1 0 0f g = = f
)
Vậytacó:
( )
2
2
1 1 1
2 4
2
2 2
1 1 1
1
1 2 4
1
x dx x
V dx dx
x x
p p p
- - -
æ ö
æ ö
æ ö
ç ÷
= - = -
ç ÷
ç ÷
ç ÷
+
è ø è ø +
è ø
ò ò ò
*Tính:
1 4 5
1
1 1
1
4 20 10
x x
A dx
-
= = =
-
ò
*Tính :
( )
1
2
2
1 1
dx
B x
-
= +
ò
Đặt tanx t =với ;
2 2
t
p p
æ ö
Î -
ç ÷
è øsuyra: 2
1
cos
dx dx
x
=
1 4
x t
p
= - Þ = -, 1 4
x x
p
= Þ =
http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 toancapba@gmail.com 3
Vậy
( )
( )
4 4 4
2
2
2 2
4 4 4
1
cos 1 cos2
2
1 tan cos
dt
B tdt t dt
t t
p p p
p p p
- - -
= = = +
+
ò ò ò
1 sin 2 1
4
2 2 4 2
4
t
t
p
p
p
æ ö
= + = +
ç ÷
è ø -
Vậy 1 4
4 2 10 4 5
V
p p p
p p
æ ö æ ö
= + - = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bàitập:
Tính Vkhiquayhìnhsauquanh Ox
1) 2 2
4 , 2y x y x = - = +
2) 2,y x y x = =
3)DẠNG3:
HÌnh phẳng
( )
( )
y f x
y f x
S x a
x b
= ì
ï = -
ï
í =
ï
ï =
î
quayquanhtrụcOx.
Khiđócôngthứcthểtíchlà:
( )
2
b
a
V f x dx
p
= ò
Nhậnxét:Mộtsốđườngcong (đườngtròn,elip,hypebol,parabol…)cóthểcoinhưlàhợpcủahaiđồ
thịhàmsố
*Đườngtròn :
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
y b R x a
x a y b R
y b R x a
é = + - -
ê
- + - = Û ê = - - -
ê
ë
Trongđónửatrên đườngconglàđồthị củahàm số(1)
Nửadưới làđồthị củahàm số(2)
*Elip:
2 2
2 2
2 2 2 2
1
b
y a x
x y a
b
a b y a x
a
é = -
ê
+ = Û ê
ê = - -
ê
ë
Vídụ1:
TÍnh thểtíchvậtthểtròn xoaykhiquayhình phẳnggiớihạn bởi đườngtròn
( )
2
2 1 1x y + - = quay
quanhtrụcOx
Giải :Tacóđườngtròn trênlàhợpcủahai đồthị hàm số
2 2
1 1 , 1 1y x y x = - - = + -
Vậy đườngtrònlàhìnhphẳnggiới hạnbởihai đồthị hàm sốtrên
2
2
1 1
: 1 1
y x
S y x
ì = - -
ï
í = + -
ï
î
Hai đồthị này nằmvềmộtphíađối với trụcOx (vẽhình )
(dạng2,khuyếtx=a,x=b)
Hoành độgiaođiểm củahai đồthị trênlà: 2 2
1 1 1 1 1x x x - - = + - Û = ±
Vậy thểtíchlà:
( ) ( )
1 2 2
2 2
1
1 1 1 1V x x dx
p
-
é ù
= + - - - -
ê ú
ë û
ò
1
2
1
4 1 x dx
p
-
= -
ò,tatính tích phânnàybằngppđổi biến sin , ;
2 2
x t t
p p
é ù
= Î -
ê ú
ë û
4)DẠNG4: Hìnhphẳnggiớihạnbởinhiềuđồthịhàmsố.Taphânchiahìnhphẳngđốthànhcáchình
thangcong,tamgiáccong (theocácđườngđiquagiaođiểm,vuônggócvớitrụcquay) ,vàtìnhthểtích
củatừnghìnhthangcong,tamgiáccong đóquayquanhtrục
http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 toancapba@gmail.com 4
Vídụ1:
( )
2
: 2
y x
S y x
=
ì
ï
í = -
ï
î
.Tính thểtích vậtthể tròn xoaykhiquayhình phẳngtrên
a)Quanhtrục Ox
b)QuanhtrụcOy
Giải :
a)QuanhtrụcOx:
Hoànhđộgiaođiểm củahai đồthị (2)và(3)là:
( )
2 2
2 5 4 0 1, 4x x x x x x = - Û - + = Û = =
Trên đoạn
[ ]
1;4 ,hai đồthị nàynằm trêntrụchoành.(vì
( )
2
2 0x x ³ - ³ ,nênvẽrasẽthấy )(Thuộcdạng2)
Vậy :
( )
[ ]
( )
4 4
2
2 2
1 1
4
2 4 4 2 4 18
1
V x x dx x dx x x
p p p p
é ù
= - - = - = - =
ë û
ò ò
b)QuayquanhtrụcOy: (Viếtcáchàm sốdạng
( )
x f y =
Hình phẳnggiớihạnbởi cácđồthị hàm số(theotrụcOy): 2
2
x y
x y
x y
ì =
ï = -
í
ï = +
î
Tungđộgiaođiểm củacácđườngtrênlà:
2 1
2
x y y y y
x y
=
ì
ï Þ = - Û =
í = -
ï
î
, 2 4
2
x y y y y
x y
=
ì
ï Þ = + Û =
í = +
ï
î
2 2 2 0
2
x y y y y
x y
ì = -
ï Þ - = + Û =
í = +
ï
î
Phânchiahìnhphẳngthành 2hình (xemhìnhvẽ): 1 2
2 2
: , :
2
x y y y
S S x y
x y
ì = + ì = +
ï ï
í í =
= - ï
ï î
î
Vậy :
( ) ( ) ( )
1 4
2 2 2 2
1 2
0 1
2 2 2V V V y y dy y y dy
p p
é ù é ù
= + = + - - + + -
ê ú ê ú
ë û ë û
ò ò
Vídụ2:
Tính thểtích khiquayhinhsauquanhtrụcOy:
2 3 2
: 0
0
y x x
S y
x
ì = - +
ï =
í
ï =
î
Tachuyển sanghàm sốdạng
( )
x f y =
2 2
3 2 3 2 0y x x x x y = - + Û - + - = (coi đâylàpTbậchai ẩn x,ylàthamsố)tacó:
( )
9 4 2 1 4y y D = - - = +
3 1 4 3 1 4
,
2 2
y y
x x
- + + +
= =
Dựavàohìnhvẽtacó:
2 2 2
0 2
1 2
1 0
4
3 1 4 3 1 4 3 1 4
2 2 2
y y y
V V V dy dy
p p
-
é ù
æ ö æ ö æ ö
+ + - + - +
ê ú
= + = - +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø è ø
ë û
ò ò
Vídụ3;
Tính Vkhiquayhình phẳnggiới hạn bởi đồ thị hàm số 1
1
x
y x
-
= +vàhaitrục tọađộquanhtrụcOy
1 1
1
1 1
x y
y yx y x x
x y
- +
= Û + = - Û =
+ -,
2
0
1
1
1
y
V dy
y
p
-
æ ö
+
= ç ÷
-
è ø
ò
http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
 toancapba@gmail.com 5
BÀITẬPLUYỆNTẬP
1)
( )
ln , 0, 1, 2y x y x x Ox = = = =
2)
( )
2 8 , 2 ,y x x Ox Oy = =
3)
( ) ( )( )
2
2 2 0x y b a a b Ox + - = £ p
4) , 0, 0, 1
x
y xe y x x = = = =
5)
( )
6 6
sin cos , 0, 0, 2
y x x y x x Ox
p
= + = = =
6)
( )
2 4 , , 2 ,y x oy y Ox Oy = =
7)
[ ]
2 3 2, , ,y x x Ox Oy Ox Oy = - - -
8)
[ ]
ln , ,
x
y ox x e Ox
x
= =
9)
[ ]
2 3 2, ,
3
x x
y ox oy Oy
x
- +
= -
10)
[ ]
2, ,y x ox oy Oy = +