ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.417
lượt xem 115
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

ỨNG DỤNG TÍ CH P H ÂN TÍ NH TH Ể TÍ CH VẬT TH Ể TRÒN XOAY 1) DẠNG 1: ì y = f ( x ) ï Hình phẳng S : í x = a quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : ï x = b a p b ( ) î b 2 V = p ò f ( x ) dx a Ví d ụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : y = x ln x, y = 0, x = 1; x = e Giả i : Ta có thê tích vật thể là : e e 2 2 V = p ò ( x ln x) dx = p ò x2 ( ln x) dx 1 1 Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần dx ì ìu = ( ln x 2 ïdu = 2 ( ln x x ) ) Þï ï Đặt í í 3 ïdv = x dx ïv = x 2 î ï 3 î Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có : e ù p e 2p e 2 é x3 3 2 2 e V = p ê ( ln x ) 1 - ò x2 ln xdxú = 3 ò - x ln xdx ë3 31 3 û 1 Tiếp tục PP từng phân ta có : dx ì ïdu1 = x ìu1 = ln x ï Đặt : í Þí 2 3 îdv1 = x dx ïv = x ï 1 3 î e p e 2p é x3 ln x e 1 2 ù 3 Vậy : V = 3 ò - 1 - x dxú ê 3 3ë 3 û 1 p e3 2p é x3 ln x e x3 e ù p ê 3 1 - 9 1 ú = 27 ( 5e - 3 ) 3 =V = - 3 3ë û ì y = x2 - 3 x + 2 Ví dụ 2: S : í quay quanh trục Ox y = 0 î ( Dạng 1 , nhưng khuyết x = a và x = b ) é x = 1 Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành : x2 - 3x + 2 = 0 Û ê ë x = 2 2 2 2 Vậy : V = p ò ( x2 - 3 x + 1) dx = p ò ( x4 + 9 x2 + 1 - 6 x3 + 2 x2 - 6 x) dx 1 1 2 æ x5 3 ö 2 11 = p ò x4 - 6 x3 + 11x2 - 6 x + 1) dx = p ç - x4 + x3 - 3 x2 + 1 1 = ( ÷ è5 2 3 ø 1 Bà i tâ p : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox p a) y = xe x , y = 0, x = 1; x = 2 b) y = tan x; y = 0; x = o; x = 3 p c) y = 1 + sin 4 x + cos 4 x , y = 0; x = d) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 , x = p 2 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 1
2) DẠNG 2: ì y = f ( x ) ï ï y = g ( x ) ( trong đó đó đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) n ằ m về cù n g một ph ía đối Hình phẳng S : í x = a ï ï x = b ( a p b ) î với trục quay ox ) quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : b 2 2 V = p ò f ( x ) - g ( x ) dx a Nếu trên khoảng (a ; b) hai đồ thị không cắt nhau, và y = f ( x ) n ằ m n goà i y = g ( x ) so với trục quay Ox, b 2 2 thì công thức trên trở thành : V = p ò é f ( x ) - g ( x ) ù dx ë û a 2 ì y = x - 4 x + 6 ï ( ox ) Ví dụ 1: S í 2 ï y = - x - 2 x + 6 î ( Dạng 2 , khuyết a, b ) é x = 0 Giả i : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị x2 - 4 x + 6 = - x2 - 2 x + 6 Û ê ë x = 1 Trên đoạn [0;1], ta thấy f ( x ) = - x2 - 2 x + 6 f g ( x ) = x2 - 4 x + 6 f 0, Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y = f ( x ) nằm ngoài y = g ( x) so với trục ox. 1 2 2 Vậy ta có : V = p ò é( - x2 - 2 x + 6 ) - ( x2 - 4 x + 6 ) ù dx ê ú ë û 0 Dễ dàng tính được : V = 3p 1 ì ï y = x + 1 2 ï ( ox ) Ví dụ 2: S í 2 ï y = x ï î 2 2 é x = -1 1 x Û x4 + x - 2 = 0 Û ê 2 Giả i : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị : = 2 ë x = 1 x + 1 2 x 2 1 f 0 Trên đoạn [ -1;1] : f ( x ) = ³ g ( x = ) x2 + 1 2 ( mu ốn biết h à m số n à o lớn h ơn ta th ử 1 giá tr ị bấ t kì củ a x tr on g kh oả n g (1; 1) , ở đâ y ta th ử x = 0 th ì f ( 0 ) = 1 f g ( 0 ) = 0 ) æ æ 1 ö2 æ x2 ö 2 ö 1 1 1 4 dx x Vậy ta có : V = p ò ç ç 2 ÷ - ç ÷ ÷ dx = p ò - p ò dx 2 ç è2ø ÷ -1 ( x + 1) -1 è è x + 1 ø -1 4 2 ø 1 4 5 x 1 x 1 * Tính : A = ò dx = = 20 -1 10 -1 4 1 dx * Tính : B = ò x 2 ( + 1) 2 -1 æ p pö 1 Đặt x = tan t với t Î ç - ; ÷ suy ra : dx = 2 dx è 2 2 ø cos x p p x = -1 Þ t = - , x = 1 Þ x = 4 4 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 2
p p p 4 4 1 4 dt 2 = ò cos tdt = ò (1 + cos 2 ) dt Vậy B = t ò 2 (1 + tan 2 t ) cos 2 t - p 2 p p - - 4 4 4 p æp 1ö p æ p 4 ö p 1 1 æ sin 2t ö 4 Vậy V = p ç + ÷ - = p ç + ÷ = çt + ÷ p= + 2è 2ø 4 2 è 4 2 ø 10 è 4 5 ø - 4 Bà i tậ p : Tính V khi quay hình sau quanh Ox 1) y = 4 - x2 , y = x2 + 2 2) y = x2 , y = x ì y = f ( x ) ï ï y = - f ( x ) quay quanh trục Ox. 3) DẠNG 3: HÌnh phẳng S í ï x = a ïx = b î b 2 Khi đó công thức thể tích là : V = p ò f ( x) dx a Nh ậ n xét : Một số đư ờn g con g ( đư ờn g tr òn , elip , h ypebol , pa r a bol …) có th ể coi n h ư là h ợp củ a h a i đồ th ị h à m số é y = b + R2 - ( x - a ) 2 * Đường tròn : ( x - a ) + ( y - b ) = R2 Û ê 2 2 ê 2 2 ê y = b - R - ( x - a ) ë Trong đó nửa trên đường cong là đồ thị của hàm số (1) Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2) b 2 é 2 ê y = a a - x 2 2 x y * Elip : 2 + 2 = 1 Û ê ê y = - b a 2 - x a b 2 ê a ë 2 Ví dụ 1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2 + ( y - 1) = 1 quay quanh trục Ox Giải : Ta có đường tròn trên là hợp của hai đồ thị hàm số y = 1 - 1 - x2 , y = 1 + 1 - x2 ì y = 1 - 1 - x 2 ï Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên S : í ï y = 1 + 1 - x2 î Hai đồ thị này nằm về một phía đối với trục Ox ( vẽ hình ) ( dạng 2 , khuyết x = a , x = b ) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là : 1 - 1 - x2 = 1 + 1 - x2 Û x = ±1 1 2 2 é ù ( ) - (1 - ) Vậy thể tích là : V = p ò ê 1 + 1 - x2 1 - x2 ú dx -1 ë û 1 é p pù = 4p ò 1 - x2 dx , ta tính t ích phân này bằng pp đổi biến x = sin t , t Î ê - ; ú ë 2 2 û -1 4) DẠNG 4: H ìn h ph ẳ n g giới h ạ n bởi n h iều đồ th ị h à m số. Ta ph â n ch ia h ìn h ph ẳ n g đố th à n h cá c h ìn h th a n g con g, ta m giá c con g ( th eo cá c đư ờn g đi qu a gia o điểm , vu ôn g góc với tr ụ c qu a y ) , và tìn h th ể tích củ a từ n g h ìn h th a n g con g , ta m giá c con g đó qu a y qu a n h tr ụ c h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 3
ì y = x ï Ví dụ 1: S : í 2 . Tính t hể t ích vật t hể t rò n xo ay k hi qu ay hình p hẳng t rên ï y = ( x - 2 ) î a) Quanh trục Ox b) Quanh trục Oy Giải : a) Quanh trục Ox: 2 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : x = ( x - 2 ) Û x2 - 5 x + 4 = 0 Û x = 1, x = 4 2 Trên đoạn [1; 4 , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x ³ ( x - 2 ) ³ 0 , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 ) ] 4 4 4 2 Vậy : V = p ò é x2 - ( x - 2 ) ù dx = p ò 4 x - 4] dx = p ( 2 x2 - 4 x) = 18 [ p ë û 1 1 1 b) Quay quanh trục Oy: ( Viết các hàm số dạng x = f ( y ) ì x = y ï Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ): í x = 2 - y ï î x = 2 + y Tung độ giao điểm của các đường trên là: ì x = y ì x = y ï ï Þ y = 2 - y Û y = 1 , í Þ y = 2 + y Û y = 4 í ï x = 2 - y ï x = 2 + y î î ì x = 2 - y ï Þ 2 - y = 2 + y Û y = 0 í ï x = 2 + y î ì x = 2 + y ì y = 2 + y ï ï Phân chia hình phẳng thành 2 hình ( xem hình vẽ ) : S1 : í , S : í 2 ï x = y ï x = 2 - y î î 1 4 2 2 2 Vậy : V = V + V2 = p ò é 2 + y - 2 - y ù dy + p ò é 2 + y ) - y ù dy ( )( ) ( 2 ê ú ê ú 1 ë û ë û 0 1 ì y = x2 - 3 x + 2 ï Ví dụ 2: Tính thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy: S : í y = 0 ï x = 0 î Ta chuyển sang hàm số dạng x = f ( y) y = x2 - 3x + 2 Û x2 - 3 x + 2 - y = 0 ( coi đây là pT bậc hai ẩn x, y là tham số ) ta có : D = 9 - 4 ( 2 - y ) = 1 + 4 y 3 - 1+ 4 y 3 + 1 + 4 y x= , x = 2 2 Dựa vào hình vẽ ta có : 2 2 2 0é æ 3 + 1+ 4y ö æ 3 - 1+ 4y ö ù 2 æ 3 - 1 + 4 y ö V = V + V2 = p ò êç ÷ údy + p ò ÷ -ç ÷ dy ç êç ÷ç ÷ú ç ÷ 1 2 2 2 1 è øè øû 0 è ø -ë 4 x - 1 Ví dụ 3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và hai trục tọa độ quanh trục Oy x + 1 2 0 æ 1 + y ö x -1 1 + y , V = p ò ç y= Û yx + y = x - 1 Û x = ÷ dy x +1 1 - y è 1 - y ø -1 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 4
BÀI TẬP LUYỆ N TẬP 1) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 ( Ox ) 2) y2 = 8 x, x = 2 ( Ox, Oy ) 2 3) x2 + ( y - b ) = a 2 ( 0 p a £ b ) ( Ox) 4) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 p 5) y = sin 6 x + cos 6 x , y = 0, x = 0, x = ( Ox) 2 6) y2 = 4 x, oy, y = 2 ( Ox, Oy ) 7) y = - x2 - 3x - 2, Ox, Oy [Ox, Oy] ln x , ox, x = e [Ox ] 8) y = x x2 - 3x + 2 , ox, oy [Oy ] 9) y = x - 3 10) y = x + 2 , ox, oy [ Oy] h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 5