Vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

1.991
lượt xem 197
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - chéo hóa', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 16. Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n và c a phép bi n đ i tuy n tính - Chéo hóa PGS TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n 1.1 Các khái ni m cơ b n Cho A là ma tr n vuông c p n, (A ∈ Mn (R))   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n     . . .. .  . . .  . . . .  an1 an2 . . . ann Khi đó • Đa th c b c n c a bi n λ: a11 − λ a12 ... a1n a21 a22 − λ ... a2n PA (λ) = det(A − λI) = . . . . .. . . . . . . an1 an2 ... ann − λ = (−1)n λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ1 + a0 g i là đa th c đ c trưng c a ma tr n A. • Các nghi m th c c a đa th c đa th c đ c trưng PA (λ) g i là giá tr riêng c a ma tr n A. • N u λ0 là m t giá tr riêng c a A thì det(A − λ0 I) = 0. Do đó h phương trình thu n nh t:     x1 0  .   .  . = .  (A − λ0 I)  . . (1) xn 0 1
có vô s nghi m. Không gian nghi m c a h (1) g i là không gian con riêng c a ma tr n A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ khác không là nghi m c a h (1) g i là các vectơ riêng c a ma tr n A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ t o thành m t cơ s c a không gian riêng (t c là các vectơ t o thành h nghi m cơ b n c a h (1)) g i là các vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ0 . 1.2 Ví d Tìm đa th c đ c trưng, vectơ riêng, giá tr riêng c a ma tr n:   0 1 1 A= 1 0 1  1 1 0 Gi i −λ 1 1 • Ta có PA λ = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ + 2 1 1 −λ V y đa th c đ c trưng c a ma tr n A là PA (λ) = −λ3 + 3λ + 2 • PA (λ) = 0 ⇔ −λ3 + 3λ + 2 = 0 ⇔ (λ + 1)2 (2 − λ) = 0 ⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = −1, λ = 2. • Đ tìm vectơ riêng c a A, ta xét hai trư ng h p: – ng v i giá tr riêng λ = −1. Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1, ta gi i h :   1 1 1 0  1 1 1 0  1 1 1 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a − b, x2 = a, x3 = b. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = −1 là V−1 = {(−a − b, a, b) | a, b ∈ R}. Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = −1 là t t c các vectơ có d ng: (−a − b, a, b) v i a2 + b2 = 0 (vì vectơ riêng ph i khác không). Ta có dim V−1 = 2 và A có 2 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1). – ng v i giá tr riêng λ = 2. Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2, ta gi i h :     −2 1 1 0 1 1 −2 0  1 −2 1 0  −→  1 −2 1 0  1 1 −2 0 −2 1 1 0     1 1 −2 0 1 1 −2 0 −→  0 −3 3 0  −→  0 −3 3 0  0 −3 3 0 0 0 0 0 2
H có vô s nghi m ph thu c tham s x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a, x2 = a, x3 = a. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là V2 = {(a, a, a) | a ∈ R}. Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là t t c các vectơ có d ng: (a, a, a) v i a = 0. Ta có dim V2 = 1 và A có 1 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ = 2 là α3 = (1, 1, 1). Chú ý r ng, n u xét c hai trư ng h p, A có t t c 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 , α2 , α3 . 2 Chéo hóa ma tr n 2.1 Ma tr n đ ng d ng • Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Ta nói A đ ng d ng v i B, ký hi u A ∼ B, n u t n t i ma tr n T vuông c p n, không suy bi n sao cho B = T −1 AT . B n đ c có th d dàng ki m tra r ng quan h đ ng d ng là m t quan h tương đương. • Quan h đ ng d ng b o toàn khá nhi u các tính ch t c a ma tr n, ch ng h n n u A ∼ B thì det A = det B, rank A = rank B, PA (λ) = PB (λ), giá tr riêng c a A và B là như nhau... 2.2 Chéo hóa ma tr n • Đ nh nghĩa. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta nói ma tr n A chéo hóa đư c n u A đ ng d ng v i m t ma tr n chéo. Như v y ma tr n A chéo hóa đư c n u t n t i ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT là ma tr n chéo. Chéo hóa ma tr n A t c là tìm ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT là ma tr n chéo. • Ý nghĩa c a vi c chéo hóa ma tr n N u ma tr n A chéo hóa đư c thì vi c nghiên c u các tính ch t (b o toàn qua quan h đ ng d ng) c a ma tr n A d n đ n vi c nghiên c u các tính ch t đó trên m t ma tr n chéo và như v y v n đ s tr nên đơn gi n hơn nhi u. Mu n bi t ma tr n A có chéo hóa đư c hay không, ta có đ nh lý sau: • Đ nh lý (Đi u ki n c n và đ đ m t ma tr n vuông chéo hóa đư c) Ma tr n A vuông c p n chéo hóa đư c khi và ch khi A có đ n vectơ riêng đ c l p tuy n k tính, khi và ch khi dim Vλi = n, trong đó λ1 , . . . , λk là t t c các giá tr riêng c a A. i=1 3
2.3 Cách chéo hóa m t ma tr n Cho A là ma tr n vuông c p n. Đ chéo hóa ma tr n A, ta làm như sau: Tìm các giá tr riêng và các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A. Khi đó x y ra m t trong hai kh năng sau: k 1. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A bé hơn n (t c là dim Vλi < n, trong i=1 đó Vλi là không gian con riêng ng v i giá tr riêng λi ) thì k t lu n ma tr n A không chéo hóa đư c, t c là không t n t i ma tr n T đ T −1 AT là ma tr n chéo. k 2. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A b ng n (t c là dim Vλi = n thì ma i=1 tr n A chéo hóa đư c. Khi đó ma tr n T c n tìm là ma tr n mà các c t c a nó chính là các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A vi t theo c t, và khi đó   λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0  −1 T AT =  .   . . .. . .  .   . . . . 0 0 . . . λn là ma tr n chéo, trong đó λi chính là giá tr riêng c a A ng v i vectơ riêng là vectơ c t th i c a ma tr n T . 2.4 Ví d Chéo hóa ma tr n   0 1 1 A= 1 0 1  1 1 0 Gi i Trư c h t tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a A. Theo ví d b), m c 1, ma tr n A có hai giá tr riêng là λ = −1, λ = 2 và A có ba vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), λ = (−1, 0, 1) ng v i giá tr riêng λ = −1 và α3 = (1, 1, 1) ng v i giá tr riêng λ = 2. Do đó, ta k t lu n: - Ma tr n A chéo hóa đư c. - Ma tr n c n tìm là:   −1 −1 1 T = 1 0 1  0 1 1 và   −1 0 0 T −1 AT =  0 −1 0  0 0 2 4
3 Vectơ riêng, giá tr riêng c a phép bi n đ i tuy n tính 3.1 Các khái ni m cơ b n Cho V là không gian vectơ và f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính. N u U là không gian vectơ con b t bi n c a V sao cho f (U ) ⊂ U thì U g i là không gian con b t bi n c a V . Gi s U là không gian con b t bi n 1 chi u và α là m t vectơ khác không, thu c U (do đó α là cơ s c a U ), khi đó vì f (U ) ⊂ U nên f (α) ∈ U và f (α) = λα. T đó ta có đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa. Cho V là không gian vectơ, f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính c a V . N u ta có f (α) = λα trong đó α ∈ V là vectơ khác không và λ ∈ R thì α g i là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ. 3.2 Cách tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính Các giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính có s tương ng ch t ch v i các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n c a nó. Ta s th y rõ đi u đó qua ph n trình bày dư i đây. Cho V là không gian vectơ n-chi u (dim V = n) và cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính. Gi s (U ) : u1 , . . . , un là cơ s c a V và A = Af /(U ) là ma tr n c a f trong cơ s (U ). Ta có bi u th c t a đ c a f như sau (xem bài 15): [f (α)]/(U ) = A.[α]/(U ) (∗) N u α là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 thì f (α) = λ0 f . Thay vào vào (∗) ta có: λ0 .[α]/(U ) = A.[α]/(U ) hay [A − λ0 I][α]/(U ) = 0 (∗∗) Vì vectơ α khác không nên h phương trình (∗∗) có nghi m khác không ⇔ det[A − λ0 I] = 0 ⇔ λ0 là giá tr riêng c a A. Như v y, λ0 là giá tr riêng c a f ⇔ λ0 là giá tr riêng c a ma tr n A = Af /(U ) và α ∈ V là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 ⇔ [α]/(U ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ0 . T đó ta có quy t c tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính f : V → V như sau: 1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong m t cơ s (U ) : u1 , . . . , un nào đó c a V , nghĩa là tìm A = Af /(U ) . 2. Bư c 2. Tìm các giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A. 3. Bư c 3. K t lu n • Các giá tr riêng c a A cũng chính là giá tr riêng c a f . • N u (a1 , . . . , an ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ0 thì a1 u1 + · · · + an un là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 . 5
3.3 V n đ tìm cơ s c a V đ ma tr n c a f trong cơ s là ma tr n chéo Đ nghiên c u m t phép bi n đ i tuy n tính f : V → V , ta có th qui v vi c nghiên c u ma tr n c a f . T đó d n đ n vi c c n tìm cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo (là ma tr n khá đơn gi n, d nghiên c u). Sau đây là cách tìm cơ s như v y: Đ u tiên ta tìm các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a f . N u f có ít hơn n vectơ riêng đ c l p tuy n tính (n = dim V ) thì không có cơ s nào c a f đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. N u f có n vectơ riêng đ c l p tuy n tính là (α) : α1 , . . . , αn thì n vectơ riêng đ c l p tuy n tính đó làm thành cơ s (α) c a V và ma tr n c a f trong cơ s (α) đó là ma tr n chéo. C th :   λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0  Af /(U ) =  .   . .. .   .. . . . .  . 0 0 . . . λn trong đó λi là giá tr riêng ng v i vectơ riêng αi (các λi có th b ng nhau). 3.4 Ví d Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) và cho phép bi n đ i tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f (u1 ) = (4, 3, 2) f (u2 ) = (4, 3, 1) f (u3 ) = (1, 0, 0) Tìm cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i Đ u tiên ta tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f . Đ tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f , ta tìm ma tr n c a f trong m t cơ s nào đó c a R3 . Trong bài toán c th này, tìm ma tr n c a f trong cơ s (U ) : u1 , u2 , u3 là d nh t. V y: 1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong cơ s (U ) Ta ph i gi i 3 h phương trình sau: • H 1   1 1 1 4  1 1 0 3  1 0 0 2 a1 = 2, a2 = 3 − a1 = 1, a3 = 4 − a1 − a2 = 1 6
• H 2   1 1 1 4  1 1 0 3  1 0 0 1 b1 = 1, b2 = 3 − b1 = 2, b3 = 4 − b1 − b2 = 1 • H 3   1 1 1 1  1 1 0 0  1 0 0 0 c1 = 0, c2 = −c1 = 0, c3 = 1 − c1 − c2 = 1   2 1 0 V y Af /(U ) =  1 2 0  1 1 1 2. Bư c 2. Tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a A và c a f 2−λ 1 0 2−λ 1 PA (λ) = 1 2−λ 0 = (1 − λ) 1 2−λ 1 1 1−λ PA (λ) = (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)2 (3 − λ) PA (λ) = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3 V y A có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3. Suy ra f có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3. • Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 1 là nghi m c a h     1 1 0 0 1 1 0 0  1 1 0 0  −→  0 0 0 0  1 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a, x2 = a, x3 = b. Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 1, là (−a, a, b), a2 + b2 = 0. Trong trư ng h p này, A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0) và α2 = (0, 0, 1). Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 1, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng −au1 + au2 + bu3 = (b, 0, −a) v i a2 + b2 = 0. Trong trư ng h p này, f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −u1 + u2 + 0u3 = (0, 0, −1) β2 = 0u1 + 0u2 + u3 = (1, 0, 0) 7
• Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 3 là nghi m c a h     −1 1 0 0 −1 1 0 0  1 −1 0 0  −→  0 0 −2 0  1 1 −2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s x2 . Ta có: x2 = a, x3 = 0, x1 = a Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a, x2 = a, x3 = 0. Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 3, là (a, a, 0), a = 0. Trong trư ng h p này, A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 0). Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 3, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng au1 + au2 + 0u3 = (2a, 2a, a), a=0 Trong trư ng h p này, f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1u1 + 1u2 + 0u3 = (2, 2, 1) 3. Bư c 3. K t lu n f có ba vectơ riêng đ c l p tuy n tính là các vectơ β1 , β2 ( ng v i λ = 1) và β3 ( ng v i λ = 3). Do đó, β1 , β2 , β3 làm thành cơ s c a R3 mà ma tr n c a f trong cơ s β1 , β2 , β3 là ma tr n chéo. C th :   1 0 0 Af /(β) =  0 1 0  0 0 3 8
Bài t p 1. (a) Cho f : Rn → R. Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s a1 , . . . , an ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn . (b) Cho f : Rn → Rm . Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s aij ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ). 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 (tìm f (x1 , x2 , x3 )) bi t: (a) f (1, 1, 2) = (1, 0, 0) f (2, 1, 1) = (0, 1, 1) f (2, 2, 3) = (0, −1, 0) (b) f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1) f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0) f (1, 3, 4) = (1, 0, 2) 3. Trong R3 cho 2 cơ s u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (U ) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (V ) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi , i = 1, 2, 3. (a) Tìm công th c c a f . (b) Tìm các ma tr n sau: Af /(U ) , Af /(U ),(V ) , Af /(V ) , Af /(V ),(U ) , Af /(ε3 ) 4. Cho ánh x tuy n tính Θ : Rn [x] → Rn [x], p(x) → p (x). Tìm ma tr n c a Θ trong cơ s : (a) 1, x, x2 , . . . , xn (x − a)2 (x − a)n (b) 1, (x − a), , ..., 2! n! 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 + x3 + x4 ) Tìm cơ s , s chi u c a Ker f , Im f . 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng chéo hóa các ma tr n sau:   1 0 1 (a)  0 0 0  1 0 1   5 −1 1 (b)  −1 2 −2  1 −2 2 9
  1 2 1 (c)  2 4 2  1 2 1   1 0 0 0  0 0 0 0  (d)    0 0 0 0  1 0 0 1   1 3 1 2  0 −1 1 3  (e)   0  0 2 5  0 0 0 −2 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm m t cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo. 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: Im ϕ + Ker ϕ = V Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} 9. Cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W 10