Bài giảng Chuỗi lũy thừa

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

171
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chuỗi lũy thừa cung cấp cho các bạn những kiến thức về định nghĩa, tính chất chuỗi lũy thừa; chuỗi Taylor; chuỗi Maclaurin cơ bản và một số kiến thức khác. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về những nội dung này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chuỗi lũy thừa

CHUỖI LŨY THỪA
ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: n an ( x − x0 ) , an R là giá trị cho trước n =1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: � n � D = �x �R : an ( x − x0 ) ho�i tu� � � n =1 Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành an X n , n =1 nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.
Định lý Abel Ne� u an x n ho� i tu� ta� i x0 0 th�ho� i tu� n =1 tuye� i trong ( − x0 , x0 ) t �o� Hệ quả: Ne� u an x n pha� n ky� ta� i x0 th�pha� n ky� n =1 ta� i mo� ix [ − x0 , x0 ]
Chứng minh định lý Ne� u an x n ho� i tu� ta� i x0 0 th�lim an x0n = 0 n =1 n n � ∃M > 0 : an x0 �M , ∀n n n n n �x � x an x = an x0 � � M x �x0 � 0 x ∀x �( − x0 , x0 ) :
Bán kính hội tụ So� R >0 sao cho an x n ho� trong ( − R, R ) i tu� n =1 va� pha� n ky� be� i [ − R, R ] go� n ngoa� i la� ba� n k� nh ho� i tu� cu� a chuo� i. ( − R, R ) go� i la� khoa� ng ho� i tu� cu� a chuo� i. Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R
Trường hợp chuỗi tổng quát n an ( x − x0 ) n =1 So� R >0 sao cho an ( x − x0 ) n ho� i tu� trong n =1 ( x0 − R, x0 + R ) va� pha� n ky� be� i [ x0 − R, x0 + R ] n ngoa� go� i la� ba� n k� nh ho� i tu� cu� a chuo� i. Khoảng hội tụ: ( x0 − R, x0 + R )
Cách tìm bán kính hội tụ an +1 Tính: α = lim n an hoặc α = lim n n an 0, α = + 1 �R= , 0 < α < +� (BKHT) α + , α = 0 R = 0 : MHT ={ 0} ( hoa� i TQ ) c{ x0 } cho chuo� R= : MHT = ( − , + )
Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 an R = lim hay R = lim n n a n x an +1 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. 3. Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra khoảng ht. Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này để chỉ ra MHT.
Ví dụ n n (−1) n (−1) 1 / T� m mie� n ho� i tu� x an = n =1 n n 1 n R = lim = lim n = 1 Khoảng ht: (−1,1) n n a n n (−1) n x = 1 : chuo�i tr�� tha�nh , ht theo tc L. n =1 n 1 x = −1: chuo� i tr�� tha�nh , pha� n ky� n =1 n Va�y mie� n ho� i tu�la�: D = ( −1,1]
2 (n!) n 2 / T� m ba� n k� nh ho� i tu� : x n =1 (2n)! 2 (n!) an = (2n)! (n!) 2 an (2n)! R = lim = lim n an +1 n [ (n + 1)!] 2 (2n + 2)! (2n + 1)(2n + 2) = lim 2 =4 n (n + 1)
( x − 1) n 1 3 / T� m mie� n ho� i tu� an = 2 n n =1 n 2 2 n n 2 1 n 2 n R = lim = lim n 2 = 2 n n a n n Khoảng ht: (1 − 2,1 + 2) = (−1,3) n n (−2) (−1) x = −1 : � 2 n = � 2 , ht theo tc L. n =1 n 2 n =1 n n 2 1 x = 3 : � 2 n = � 2 ht . D = [ −1,3] n =1 n 2 n =1 n
n ( x + 3) 4 / T� m mie� n ho� i tu� n n =1 5 n n ( x + 3) �x + 3� � n = �� : chuo� i ca� p so� nha� n n =1 5 n =0 � 5 � x+3 Điều kiện hội tụ: < 1 � −8 < x < 2 5 Va� y mie� n ho� i tu� : D = ( −8,2 ) la�
Tính chất của chuỗi lũy thừa Cho chuo� i lu� y th�� a an x n co� ba� n k� nh n =1 ho� i tu� R, go� i S ( x) la� to� ng chuo￣ i. 1/ S ( x) lie� n tu� c tre� n mie� n ho� i tu� . 2 / S ( x) = nan x n −1, ∀x �( − R, R ) n =1 x an n+1 3 / S (t )dt = x , ∀ �( − R, R ) 0 n =1 n + 1
Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu. S ( x) = �an x n � S ( x) = �nan x n−1 n =0 n =1
Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi Nhắc lại: 1 x � n =0 x = n , �x = 1 − x n=1 n 1− x Điều kiện: |x| < 1
n x 1/ S ( x) = MHT: D = [ −1,1) n =1 n 1 S ( x) = x n −1 = x n = , ∀x �( −1,1) n =1 n =0 1− x dt x � S ( x) − S (0) = = − ln(1 − x), ∀x �( −1,1) 0 1− t Do S (0) = 0 � S ( x) = − ln(1 − x), x < 1 S (−1) = lim S ( x) = − ln 2 x −1+
n 2 / S ( x) = (n + 1)x MHT: D = ( −1,1) n =1 x n +1 S (t )dt = x , x �( −1,1) 0 n =1 =x x , x �( −1,1) n n =1 2 x = , x �( −1,1) 1− x �x 2 � 2 x − x 2 � S ( x) = � � = , x �( −1,1) �1 − x � (1 − x) 2
3 / S ( x) = nx n MHT: D = ( −1,1) n =1 n −1 S ( x) = x nx n =1 � � � x � =x x n = x � �, x �( −1,1) n =1 1− x � � x = 2 , x �( −1,1) (1 − x)
CHUỖI TAYLOR Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ. f ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + L + an ( x − x0 ) n + L f ( x) = a1 + 2.a2 ( x − x0 ) + 3.a3 ( x − x0 ) 2 +L ( n) f ( x) = n!an + (n + 1)!an +1 ( x − x0 ) +L
f ( x0 ) = a0 , f ( x0 ) = a1, f ( x0 ) = 2!a2 ,L, ( n) f ( x0 ) = n!an ,... a0 = f ( x0 ), a1 = f ( x0 ) f ( x0 ) a2 = 2! ... f ( n ) ( x0 ) an = ,... n!