intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
103
lượt xem 21
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Chuỗi lũy thừa có nội dung trình bày về chuỗi lũy thừa - miền hội tụ, chuỗi lũy thừa – bán kính hội tụ, miền hội tụ; chuỗi lũy thừa – tính tổng chuỗi, chuỗi Taylor - Maclaurint.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ﾥ n ﾥ n � an ( x - x0 ) hay � an x a0, a1, a2, .. là hằng số n=0 n=0 Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
  2. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ﾥ n Miền HT của chuỗi lũy thừa ﾥ an x là tập D nếu n=1 ﾥ n " x = x0 ﾥ D chuỗi số ﾥ an x0 HT n=1 ﾥ n Ví dụ: Chuỗi ﾥ x n=0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|
  3. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ﾥ 1 Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi ﾥ 2n n=11 + x 1 un ( x ) = xác định với mọi x 2n 1+ x Khi |x|1: Cho n ﾥ ﾥ un = : =ﾥ 2ﾥ ﾥ ﾥ 1+ x 2n (x ) 2 n � ﾥ ﾥ| x | � Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
  4. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ﾥ ﾥ an x n Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa n=1 HT tại x=x0, ﾥ ﾥ an x0 n tức là chuỗi số n=1 HT. Theo đkccsht ta được lim an x0 n = 0 � $M > 0 : an x n 0 < M, " n nﾥ ﾥ Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: n n n �� x n � � �� x� �� x an x = an x 0 � � = an x n 0 n � �< M � � = v n, " n �� �� �� �0 � x �0 � x � �� x �0 � ﾥ Nếu |x|
  5. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : ﾥ Nếu chuỗi lũy thừa ﾥ an x HT tại x0 ﾥ 0 thì nó HTTĐ tại n n=1 mọi điểm x �(- | x0 |,| x0 |) ﾥ Hệ quả: Nếu chuỗi n=1 an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x thỏ n ﾥ |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): ﾥ Số R>0 sao cho chuỗi ﾥ an x n HT với mọi x: |x|R được gọi là BKHT của chuỗi
  6. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa ﾥlim n | a | ﾥnﾥ ﾥ n 1 Đặt: r = ﾥ | a | Thì BKHT là R = r ﾥ lim n+1 ﾥnﾥ ﾥ ﾥ | an | Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
  7. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau ﾥ ﾥ xn 1. � ( nx )n 2. � n 2 n=1 n=1 2 .n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: r = lim n | an | = lim n = +ﾥ � R = 0 nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 1 1 2. an = n 2 � lim n | a | = lim n n n 2 = �R =2 2 .n nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ 2 .n 2 Khi x=2: ﾥ 1 là chuỗi số dương HT ﾥ 2 n=1 n ﾥ (- 1)n Khi x=-2: ﾥ 2 là chuỗi HTTĐ n=1 n Vậy MHT [-2,2]
  8. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: n n ﾥ x ﾥ � +1 � n 1. � n 2. � ﾥ ﾥ ﾥ ( x - 1)2n ﾥ n=1 3 + 5 n n=1 2 ﾥ �n - 1� n ﾥ (n - 1)! x ﾥ n! 3. � 4. � n n n=1 5n n=1 n x 1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5) 1 1 1 an = n n � lim n | a | = lim n n n n = → R=5 3 +5 nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ 3 +5 5 ﾥ (ﾥ 5)n Khi x=± 5: ﾥ n n Là 2 chuỗi PK theo đkccsht n=1 3 + 5 Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
  9. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n � +1 � n 2. Chuỗi lũy thừa với an = ﾥ ﾥ ﾥ , X = ( x - 1)2 ﾥ 0 ﾥ �n - 1� 2 ﾥ n n | a | = lim n ﾥ n � +1 � 1 ﾥ lim nﾥ ﾥ n nﾥ ﾥ ﾥ 2n - 1� = 2 → R=2 � ﾥ ﾥ n ﾥ � +1 � n n Ta chỉ xét X=2: ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ 2 Chuỗi PK theo đkccsht vì ﾥ n=1 �n - 1� 2 ﾥ 3 n � 2 n- 1 � n- 1 �n + 2� ﾥ 2 n ﾥ� 3 �3 ﾥ ﾥ 2 3 un = � � = ﾥ�+ 1 � ﾥ nﾥ ﾥ e 2ﾥ 0 � n - 1� ﾥ� 2n - 1� ﾥ �2 � ﾥ� � � ﾥ � uuuuuur ﾥ � ﾥ � Suy ra, chuỗi đã cho HT khi 0 ﾥ X < 2 ﾥ 0 ﾥ ( x - 1)2 < 2 ﾥ 1- 2 < x < 1+ 2 Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
  10. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT (n - 1)! 3. Chuỗi lũy thừa với an = 5n | an +1 | n! 5n n � lim = lim n +1 . = lim = +� → R=0 n ﾥ ﾥ | an | nﾥ ﾥ 5 (n - 1)! nﾥ ﾥ 5 Vậy BKHT R=0, MHT là {0}
  11. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n! 1 4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X = n x n n | an +1 | (n + 1)! n �n � 1 lim = lim . = lim ﾥ ﾥ n ﾥ ﾥ | an | n ﾥ ﾥ ( n + 1)n +! n ! ﾥ n + 1� = e nﾥ ﾥ � ﾥ ﾥ → R=e ﾥ n! n Khi X=e: ﾥ e n n =1 n un +1 (n + 1)! e n +1 n n e � Dn = = n +1 . n = n�� 1 n uuuuuur un (n + 1) n!e 1+ 1 ( ) n n � 1� Tuy nhiên, vì �+ � < e < �+ � , " n � 1� 1 n+ 1 � 1 � n� � � � � � n� � Nên Dn
  12. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n! 1 4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X = , R=e n x Khi X=-e: � (- e ) = � (- 1)n n ! e n n! ﾥ n ﾥ n n =1 n n =1 nn Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi ﾥx > 1 1 1 ﾥ e X
  13. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi ﾥ n Tính chất của chuỗi lũy thừa: ﾥ an x (1) n =1 Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R � ﾥ n� ﾥ ﾥ ﾥ S ﾥ( x ) = ﾥ � an x ﾥ = � an ( x )ﾥ = � an nx n- 1, " x �(- R, R ) ﾥ n=1 ﾥ n � � n=1 n =1 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R x x ﾥ n ﾥ x x n +1 ﾥ tn � (t )dt = �� ant dt = � an � dt = � an S , " x �(- R, R ) 0 0 n =1 n =1 0 n =1 n +1
  14. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau ﾥ xn ﾥ n 1. � 2. � nx n =1 n n =1 ﾥ ﾥ xn 3. � (- 1)n 2nx 2n- 1 4. � 2 n =1 n =1 n + n 1 1. Chuỗi có an = Dễ dàng suy ra R=1. n ﾥ xn Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt S( x ) = ﾥ n =1 n ﾥ �n � ﾥ ﾥ x 1 �S ﾥ( x ) = � ﾥ ﾥ = � x n- 1 = ﾥ ﾥ ﾥ , " x �(- 1,1) n =1ﾥ n � n =1 � ﾥ 1- x x 1 Vậy: S( x ) = ﾥ dt = - ln(1- x ), " x �(- 1,1) 0 1- t
  15. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt ﾥ n ﾥ n- 1 S( x ) = � nx = x � nx n =1 n =1 ﾥ ﾥ � n � � 1 � (1- x ) - x (- 1) ﾥ S( x ) = x ﾥ ﾥ x ﾥ = x ﾥ x ﾥ= ﾥ n =1 � ﾥ 1- x � x � ﾥ � ﾥ ﾥ (1- x )2 x S( x ) = 2 , " x �(- 1,1) (1- x )
  16. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt ﾥ n 2n - 1 � ﾥ n 2n � ﾥ S( x ) = ﾥ (- 1) 2nx = ﾥ ﾥ (- 1) x ﾥ ﾥ n=1 ﾥ n =1 � � � ﾥ 2 n� ﾥ = ﾥ ﾥ (- x ) ﾥ ﾥ n=1 ﾥ � � � 2 1 �ﾥ = ﾥ(- x ) ﾥ ﾥ ﾥ 2ﾥ ﾥ � 1- (- x ) � - 2 x (1 + x 2 ) + x 2.2 x = (1 + x 2 )2 2x Vậy: S( x ) = - 2 2 , " x �(- 1,1) (1 + x )
  17. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt ﾥ xn ﾥ n � 1 1 � ﾥ xn ﾥ xn ﾥ= � S( x ) = � 2 = �x ﾥ - ﾥ n n + 1� n=1 n - n�1 n + 1 ﾥ ﾥ n =1 n + n n =1 � = ﾥ xn 1 ﾥ x n +1 S( x ) = � - � n =1 n x n=1 n + 1 ﾥ xn 1� xn x� ﾥﾥ S( x ) = � - ﾥ� - ﾥ Sử dụng kết quả câu 1. ﾥ ﾥ n =1 n x ﾥ n =1 n � 1�ﾥ 1 S( x ) = - ln(1- x ) - ( - ln(1- x ) - x ) x � � 1 ﾥ Vậy : S( x ) = ln(1- x ) ﾥ - 1ﾥ + 1, " x �(- 1,1) ﾥx � � ﾥ
  18. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi ﾥ f (n )( x ) 0 ( x - x )n ﾥ 0 n =0 n! Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm ﾥ f ( n ) (0) n ﾥ x n =0 n ! Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x).
  19. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n (n ) thì f ( x ) = ﾥ f ﾥ ( x0 ) ( x - x0 )n , " x �( x0 - R, x0 + R ) n =0 n! Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint
  20. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản n x x 1/ e = , MHT: D = R n =0 n! 1 2/ = xn , 1 = (−1) x , D = ( −1,1) n n 1 − x n =0 1 + x n =0 α α (α − 1)...(α − n + 1) n 3 / (1+ x) =1+ x n =1 n! R, α N [ −1,1] , α > 0 D= ( −1,1] , − 1 < α < 0 ( −1,1) , α −1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1