intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
35
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi lũy thừa" bao gồm: Chuỗi lũy thừa - Miền hội tụ, bán kính hội tụ, chuỗi Taylor - Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 2)

  1. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ¥ n ¥ n å an ( x - x0 ) hay å an x a0, a1, a2, .. là hằng số n= 0 n= 0 Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
  2. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ n Miền HT của chuỗi lũy thừa å an x là tập D nếu n= 1 ¥ n " x = x0 Î D chuỗi số å a x n 0 HT n= 1 ¥ n Ví dụ: Chuỗi å x n= 0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|
  3. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ 1 Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi å 2n n= 11 + x 1 un ( x ) = xác định với mọi x 2n 1+ x Khi |x|1: Cho n ® ¥ un = : = ç ÷ ç 2÷ 1+ x 2n 2 n (x ) è| x | ø÷ ç Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
  4. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ¥ n Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa å an x HT tại x=x0, n= 1 ¥ n tức là chuỗi số å an x0 HT. Theo đkccsht ta được n= 1 n n a x lim n 0 = 0 Þ $ M > 0 : an x 0 < M, " n n® ¥ Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: n n n æ ö n ç x ÷ æx ö æx ö n an x = an x 0 ç ÷ = a x n çç ÷ ÷ < M çç ÷ ÷ = vn, " n çè x0 ø÷ n 0 ÷ çè x0 ø ÷ çè x0 ø ¥ Nếu |x|
  5. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : ¥ n Nếu chuỗi lũy thừa å an x HT tại x0 ¹ 0 thì nó HTTĐ tại n= 1 mọi điểm x Î (- | x0 |,| x0 |) ¥ n Hệ quả: Nếu chuỗi å an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x n= 1 thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): ¥ Số R>0 sao cho chuỗi å an x n HT với mọi x: |x|R được gọi là BKHT của chuỗi
  6. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa élim n | a | ên® ¥ n 1 Đặt: r = êê | a | Thì BKHT là R = lim n+ 1 r ên® ¥ êë | an | Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
  7. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi n sau ¥ n ¥ x 1. å (nx ) 2. å n 2 n= 1 n= 1 2 .n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: r = lim n | an | = lim n = + ¥ Þ R = 0 n® ¥ n® ¥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 n 1 1 2. an = n 2 Þ lim | an | = lim n n 2 = Þ R= 2 2 .n n® ¥ n® ¥ 2 .n 2 ¥ 1 Khi x=2: å là chuỗi số dương HT 2 n= 1 n ¥ (- 1)n Khi x=-2: å 2 là chuỗi HTTĐ n= 1 n Vậy MHT [-2,2]
  8. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: n n ¥ x ¥ æn + 1 ö 2n 1. å n 2. å çç ÷ ÷ ( x - 1) n= 1 3 + 5 n ÷ n= 1è2n - 1ø n ¥ (n - 1)! x ¥ n! 3. å 4. å n n n= 1 5n n= 1 n x 1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5) 1 n 1 1 an = n n Þ lim | an | = lim n n n = → R=5 3 +5 n® ¥ n® ¥ 3 + 5 5 ¥ (± 5)n Khi x=± 5: å n n Là 2 chuỗi PK theo đkccsht n= 1 3 + 5 Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
  9. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT æn + 1 ön 2 2. Chuỗi lũy thừa với an = çç ÷ ÷ , X = ( x - 1) ³ 0 è2n - 1ø ÷ n æ n + 1÷ö 1 n lim | an | = lim ç n ç ÷ = → R=2 n® ¥ n® ¥ è2n - 1ø÷ 2 n ¥ æn + 1 ö n Ta chỉ xét X=2: å çç ÷ ÷ 2 Chuỗi PK theo đkccsht vì n= 1è2n - 1ø ÷ 3 n n æ 2 n- 1ö 2 n- 1 æ2n + 2ö ççæ 3 ö 3 ÷ ÷ 3 un = çç ÷ = ç ç1 + ÷ ÷ n ® ¥ uuuuuur e 2 ¹ 0 è 2n - 1÷ ÷ ø ççèç 2n - 1÷ ÷ ø ÷ ÷ ÷ çè ø Suy ra, chuỗi đã cho HT khi 0 £ X < 2 « 0 £ ( x - 1)2 < 2 « 1- 2 < x < 1+ 2 Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
  10. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT (n - 1)! 3. Chuỗi lũy thừa với an = 5n | an + 1 | n! 5n n Þ lim = lim n + 1 . = lim = + ¥ → R=0 n ® ¥ | an | n® ¥ 5 (n - 1)! n ® ¥ 5 Vậy BKHT R=0, MHT là {0}
  11. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n! 1 4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X = n x n n | an + 1 | (n + 1)! n æ n ÷ö 1 lim = lim . = lim ç ç ÷ = n ® ¥ | an | n ® ¥ ( n + 1) n + ! n ! n ® ¥ èn + 1ø ÷ e → R=e ¥ n! n Khi X=e: å e n n= 1 n un + 1 (n + 1)! e n + 1 n n e Þ Dn = = n+ 1 . n = n® ¥ 1 n uuuuuur un (n + 1) n!e 1+ 1 ( ) n n n+ 1 Tuy nhiên, vì ç1 + 1÷æ ö æ ö 1÷ çè n ÷ ç < e < ç1 + ÷ ," n ÷ ø è nø ÷ Nên Dn
  12. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n! 1 4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X = , R=e n x Khi X=-e: å ¥ n ! n ¥ n n! n n (- e ) = å (- 1) n e n= 1 n n= 1 n Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi éx > 1 1 1 ê e X < e« < e« < x« ê x e êx < - 1 êë e Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)
  13. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi ¥ n Tính chất của chuỗi lũy thừa: å an x (1) n= 1 Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R æ¥ nö ¢ ¥ n ¥ n- 1 S ¢( x ) = çç å an x ÷ ÷ = å an ( x )¢= å an nx , " x Î (- R, R ) èn= 1 ø n= 1 n= 1 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R x x ¥ x n+ 1 n ¥ n x ¥ ò S(t )dt = ò å an t dt = å an ò t dt = å an , " x Î (- R, R ) 0 0 n= 1 n= 1 0 n= 1 n+ 1
  14. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìmn BKHT và tính tổng các chuỗi sau ¥ x ¥ n 1. å 2. å nx n= 1 n n= 1 ¥ ¥ xn 3. å (- 1)n 2nx 2n- 1 4. å 2 n= 1 n= 1 n + n 1 1. Chuỗi có an = Dễ dàng suy ra R=1. n ¥ xn Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt S( x ) = å n= 1 n ¥ æx n ö¢ ¥ 1 ¢ Þ S (x) = å ç ÷ ç ÷ = å x n- 1 = , " x Î (- 1,1) n = 1ç ÷ èn÷ø n= 1 1- x x1 Vậy: S( x ) = ò dt = - ln(1- x ), " x Î (- 1,1) 0 1- t
  15. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt ¥ n ¥ n- 1 S( x ) = å nx = x å nx n= 1 n= 1 æ¥ n ö¢ æ 1 ö¢ (1- x ) - x (- 1) S( x ) = x çç å x ÷ = x ççx ÷ èn = 1 ø ÷ ø= x è 1- x ÷ ÷ (1- x )2 x S( x ) = 2 , " x Î (- 1,1) (1- x )
  16. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt ¥ n 2n - 1 æ¥ ö¢ n 2n ÷ S( x ) = å (- 1) 2nx = çç å (- 1) x ÷ n= 1 èn = 1 ø æ¥ 2 nö ¢ = çç å (- x ) ÷ èn = 1 ø÷ æ 2 1 ö¢ = çç(- x ) ÷ ÷ çè 1- (- x ) ÷ 2 ø - 2 x (1 + x 2 ) + x 2 .2 x = (1 + x 2 )2 2x Vậy: S( x ) = - 2 2 , " x Î (- 1,1) (1 + x )
  17. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt ¥ xn ¥ æ1 1 ö ¥ x n ¥ This image cannot currently be displayed. x n S( x ) = å 2 = å x n çç - ÷ ÷ ÷ = å - å n= 1 n + n n= 1 èn n + 1ø n = 1 n n = 1 n + 1 ¥ x n 1 ¥ x n+ 1 S( x ) = å - å n= 1 n x n= 1 n + 1 ¥ xn 1æ ¥ xn x ö ÷ S( x ) = å - çç å - ÷ ÷ Sử dụng kết quả câu 1. n= 1 n x çèn = 1 n 1÷ø 1 S( x ) = - ln(1- x ) - (- ln(1- x ) - x ) x æ1 ö Vậy : S( x ) = ln(1- x )çç - 1÷ ÷ ÷ + 1, " x Î (- 1,1) èx ø
  18. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi ¥ f (n)( x ) 0 ( x - x )n å 0 n= 0 n ! Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm ¥ f ( n ) (0) n å x n= 0 n ! Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x).
  19. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n (n ) thì f ( x ) = å¥ f ( x0 ) ( x - x0 )n , " x Î ( x0 - R, x0 + R ) n= 0 n! Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint
  20. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản  n x x 1 / e   , MHT: D  R n 0 n!   1 2/   x n , 1   (1)n x n , D   1,1 1  x n 0 1  x n 0    (  1)...(  n  1) n 3 / 1  x   1   x n 1 n! R ,  N  1,1 ,   0  D  1,1 ,  1    0  1,1 ,   1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2