Bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

420
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm, mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về đa thức nội suy Lagrange; đa thức nội suy Newton; Spline bậc 3; bài toán xấp xỉ thực nghiệm. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Chöông 4 NOÄI SUY VAØ XAÁP XÆ HAØM
I. ÑAËT BAØI TOAÙN : Ñeå tính giaù trò cuûa moät haøm lieân tuïc baát kyø, ta coù theå xaáp xæ haøm baèng moät ña thöùc, tính giaù trò cuûa ña thöùc töø ñoù tính ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa haøm
Xeùt haøm y = f(x) cho döôùi daïng baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn  Caùc giaù trò xk, k = 0, 1, .., n ñöôïc saép theo thöù töï taêng daàn goïi laø caùc ñieåm nuùt noäi suy  Caùc giaù trò yk = f(xk) laø caùc giaù trò cho tröôùc cuûa haøm taïi xk Baøi toaùn : xaây döïng 1 ña thöùc pn(x) baäc ≤n thoaû ñieàu kieän pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Ña thöùc naøy goïi laø ña thöùc noäi suy cuûa haøm f(x).
II. ÑA THÖÙC NOÄI SUY LAGRANGE: Cho haøm y = f(x) vaø baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Ta xaây döïng ña thöùc noäi suy haøm f(x) treân [a,b]=[x0, xn].
Ñaët n  ( x  xi ) pn( k ) ( x )  i  0,i  k n  i  0,i  k ( x k  xi ) ( x  x 0 )( x  x1 )...( x  x k 1 )( x  x k 1 )...( x  x n )  ( x k  x 0 )( x k  x1 )...( x k  x k 1 )( x k  x k 1 )...( x k  x n ) Ta coù (k ) 1 ik p ( xi )   n 0 ik
Ña thöùc n L n ( x )   pn( k ) ( x ) y k k 0 coù baäc ≤ n vaø thoûa ñieàu kieän Ln(xk) = yk goïi laø ña thöùc noäi suy Lagrange cuûa haøm f Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 0 1 3 y 1 -1 2 Xaây döïng ña thöùc noäi suy Lagrange vaø tính gaàn ñuùng f(2).
Giaûi (0) ( x  1)( x  3) 1 2 n=2 p ( x)  n  ( x  4 x  3) (0  1)(0  3) 3 (1) ( x  0)( x  3) 1 2 p ( x)  n   ( x  3x) (1  0)(1  3) 2 (2) ( x  0)( x  1) 1 2 p ( x)  n  (x  x) (3  0)(3  1) 6 Ña thöùc noäi suy Lagrange 1 2 1 2 1 2 7 2 19 Ln ( x ) ( x  4 x  3)  ( x  3 x )  ( x  x )  x  x  1 3 2 3 6 6 f(2)  Ln(2) = -2/3
 Caùch bieåu dieãn khaùc : Ñaët (x) = (x- x0)(x- x1) .... (x- xn) n n  '( x )   ( x  xi ) k 0 i 0 i k ’(xk) = (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk- xn) (k ) ( x)  pn ( x )   '( xk )( x  xk ) n yk  Ln ( x )   ( x ) k  0  '( x k )( x  xk ) n yk  Ln ( x )   ( x ) vôùi Dk = ’(xk) (x-xk) k  0 Dk
Ñeå tính giaù trò cuûa Ln(x), ta laäp baûng x x0 x1 .... xn x0 x- x0 x0- x1 .... x0- xn D0 x1 x1- x0 x- x1 .... x1- xn D1 tích … .... .... .... .... … doøng xn xn- x0 xn- x1 .... x- xn Dn (x) tích ñöôøng cheùo
Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gaàn ñuùng f(-6) Ta laäp baûng taïi x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 3 -2 -5 30 -7 2 1 -3 -6 -4 5 3 -2 -30 -6 Vaäy f(-6)  L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6
Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gaàn ñuùng f(2) Ta laäp baûng taïi x = 2 x=2 0 1 3 4 0 2 -1 -3 -4 -24 1 1 1 -2 -3 6 3 3 2 -1 -1 6 4 4 3 1 -2 -24 4 Vaäy f(2)  L3(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2
 TH ñaëc bieät : caùc ñieåm nuùt caùch ñeàu vôùi böôùc h = xk+1 – xk ( x  x0 ) Ñaët q h Ta coù xk = xo + kh  x-xk = x- xo-kh = (q-k)h xi-xj = (xo+ih)-(xo+jh) = (i-j)h  (x)=(x-x0)(x-x1) .... (x-xn)=q(q-1)…(q-n)hn+1 ’(xk) = (xk-x0) ... (xk-xk-1)(xk-xk+1) … (xk-xn) = k.(k-1) … 1.(-1)(-2) … (k-n)hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn
n yk Ln ( x )   ( x ) k  0  '( x k )( x  x k ) (1)n  k yk n  Ln ( x )  q(q  1)...(q  n) k  0 k !(n  k )!(q  k ) Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 1.1 1.2 1.3 1.4 y 15 18 19 24 Tính gaàn ñuùng f(1.25)
giaûi Ta coù n=3 x = 1.25 h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5 15 18 19 24 Ln (1.25)  (1.5)(0.5)(0.5)(1.5)[    ] 3!(1.5) 2!(0.5) 2!(0.5) 3!(1.5)  18.375 Vaäy f(1.25)  18.375
 Coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá : Giaû söû haøm f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp n+1 lieân tuïc treân [a,b]. Ñaët Mn 1  max | f ( n 1) (x) | x[ a , b ] Ta coù coâng thöùc sai soá Mn 1 | f ( x )  Ln ( x ) | | ( x) | (n  1)!
Ví duï : Cho haøm f(x)=2x treân ñoaïn [0,1]. Ñaùnh giaù sai soá khi tính gaàn ñuùng giaù trò haøm taïi ñieåm x=0.45 söû duïng ña thöùc noäi suy Lagrange khi choïn caùc ñieåm nuùt xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1 Giaûi Ta coù n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x  M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5 coâng thöùc sai soá Mn 1 | f ( x )  Ln ( x ) | | (x) | (n  1)! 2(ln 2)5  | (0.45)(0.20)(0.05)(0.30)(0.55) | 0.198 x10 5 5!
III. ÑA THÖÙC NOÄI SUY NEWTON: 1. Tæ sai phaân : Cho haøm y = f(x) xaùc ñònh treân [a,b]=[xo, xn] vaø baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn f ( xk 1 )  f ( xk ) Ñaïi löôïng f [ xk , xk 1 ]  xk 1  xk goïi laø tæ sai phaân caáp 1 cuûa haøm f treân [xk,xk+1]
Tæ sai phaân caáp 2 f [ xk 1 , xk  2 ]  f [ xk , xk 1 ] f [ xk , xk 1 , xk  2 ]  xk  2  xk Baèng qui naïp ta ñònh nghóa tæ sai phaân caáp p f [ xk 1 , xk  2 , ... , xk  p ]  f [ xk , xk 1 , ... , xk  p 1 ] f [ xk , xk 1 , ... , xk  p ]  xk  p  xk
Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 1.0 1.3 1.6 2.0 y 0.76 0.62 0.46 0.28 Tính caùc tæ sai phaân Giaûi : ta laäp baûng caùc tæ sai phaân k xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] 0 1.0 0.76 -0.4667 -0.111 0.23 1 1.3 0.62 -0.5333 0.119 2 1.6 0.46 -0.45 3 2.0 0.28
2. Ña thöùc noäi suy Newton : Tæ sai phaân caáp 1 f ( x0 )  f ( x ) f [ x , x0 ]  x0  x  f ( x )  y0  f [ x , x0 ]( x  x0 ) Tæ sai phaân caáp 2 f [ x0 , x1 ]  f [ x , x0 ] f [ x , x0 , x1 ]  x1  x  f [ x , x0 ]  f [ x0 , x1 ]  f [ x , x0 , x1 ]( x  x1 ) neân f ( x )  y0  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )  f [ x , x0 , x1 ]( x  x0 )( x  x1 )