intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chia sẻ: Hoathachthao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
25
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và ví dụ; Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính; Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở; Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Lê Nhật Nguyên

  1. Chương 3: Ánh xạ tuyến tính
  2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa và ví dụ. II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
  3. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) f : X Y x  X , ! y  Y : y  f ( x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu y  Y , x  X : y  f ( x) Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.
  4. I. Định nghĩa và ví dụ ------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. Ánh xạ tuyến tính f : V  W giữa hai không gian véctơ V, W là một ánh xạ thỏa 1. (v1 , v2 V ) f (v1  v2 )  f (v1 )  f (v2 ) 2. (  K , v  V ) f ( v )   f (v )
  5. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3  R2 cho bởi x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 ) là ánh xạ tuyến tính. x  ( x1, x2 , x3 ); y  ( y1, y2 , y3 )  R3 f ( x  y )  f ( x1  y1, x2  y2 , x3  y3 ) f ( x  y )  ( x1  y1  2 x2  2 y2  3 x3  3 y3 , 2 x1  2 y1  x3  y3 ) f ( x  y )  ( x1  2 x2  3x3 , 2 x1  x3 )  ( y1  2 y2  3 y3 , 2 y1  y3 ) f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
  6. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính. Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V. Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en). x  V  x  x1e1  x2e2    xn en f ( x)  f ( x1e1  x2e2    xn en ) f ( x)  f ( x1e1 )  f ( x2 e2 )    f ( xn en ) f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )    xn f (en ) Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V.
  7. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5)   (1,1, 0)   (1,1,1)   (1, 0,1)       3     1    2,   3,   2     5   f (3,1,5)  f ( (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1))  f (3,1,5)   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1) f (3,1,5)  2(2, 1)  3(1, 2)  2( 1,1)  (3,10)
  8. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử x  ( x1 , x2 , x3 )   (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1)       x1   x1  x3       x2     x1  x2  x3     x3   x1  x2    f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1) f ( x)  ( x1  x3 )(2, 1)  ( x1  x2  x3 )(1, 2)  ( x1  x2 )(1,1) f ( x)  (2 x2  x3 , 2 x1  x2  3x3 )
  9. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? 1. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  3 x2 , x1 ) 2. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  2 x2 ,0) 3. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  x2 , x1  1) 4. f : R2  R2 ; f ( x1 , x2 )  (1, x1  x2 ) 2 5. f : R2  R2 ; f ( x , 1 2x )  ( x1  x x 2 1) , 6 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x2 , x1 )
  10. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0. Kerf  x V | f ( x)  0 V W Kerf 0
  11. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian véctơ W sao cho tồn tại x  V để y = f(x). Im f  y  W | x  V : y  f ( x) V W Imf
  12. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W 1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V. 2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Chứng minh.
  13. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mệnh đề Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V. Chứng minh. Giả sử tập sinh của V là E  {e1 , e2 ,..., en} y  Im f  x V : y  f ( x) Vì x thuộc V nên x là thtt của E. y  f ( x1e1  x2e2  ...  xn en ) Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có y  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  ...  xn f (en ) F  {f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )} sinh ra y.  Im f  f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )  Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
  14. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 3 , biết x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 : f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 ) 1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. x  ( x1 , x2 , x3 )  Kerf  f ( x)  0  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 )  (0, 0, 0)  x1  x2  x3  0  x1  2 ; x2   ; x3      2 x1  3 x2  x3  0  x  (2 ,  ,  ) 3x  5 x  x  0  x   (2, 1,1)  1 2 3 Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf dim(Kerf) = 1.
  15. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 : f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 ) 2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf. Chọn cơ sở chính tắc của R3 là E  {(1, 0, 0), (0,1, 0),(0,0,1)} Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3. Im f  f (1, 0, 0), f (0,1,0), f (0, 0,1)  Im f  (1, 2,3), (1,3,5),(1, 1, 1)  Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: dim(Im f )  2 Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}
  16. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết f (1,1,1)  (1, 2,1); f (1,1, 2)  (2,1, 1); f (1, 2,1)  (5, 4, 1); 1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. Cách 1(thường sử dụng). x  (x 1, x 2 , x 3 )  R 3 x  (x 1 , x 2 , x 3 )   (1,1,1)   (1,1,2)   (1,2,1)       x1   3x 1  x 2  x 3        2  x2    x 3  x1   2     x3   x 2  x1    f (x )  ( 4x 1  4x 2  x 3 , x 1  2x 2  x 3 ,5x 1  2x 2  2x 3 ) x  (x 1, x 2 , x 3 )  K erf  f (x )  0 Hệ thuần nhất  x  (2 , ,4 )  x   (2,1,4) Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
  17. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết f (1,1,1)  (1, 2,1); f (1,1, 2)  (2,1, 1); f (1, 2,1)  (5, 4, 1); 2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf. Chọn cơ sở của R3 là E  {(1,1,1), (1,1, 2), (1, 2,1)} Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3. Im f  f (1,1,1), f (1,1, 2), f (1, 2,1)  Im f  (1, 2,1),(2,1, 1),(5, 4, 1)  Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: dim(Im f )  2 Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}
  18. III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V. F = {v1, v2, …, vm} là một cơ sở của W. Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ f (e j ) trong cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F .   [ f ]E , F   [ f (e1 )]F [ f (e2 )]F  [ f (en )]F       
  19. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Ánh xạf : R3 R2 cho bởi x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 ) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở E  {(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)};F  {(1,1),(1,2)}  3  f (1,1,1)  (0,3)  [f (1,1,1)]F    3 Vậy ma trận cần tìm là  7  f (1,0,1)  (2,3) [f (1, 0,1)]F     3 7 4   5  A   3 5 1    4 f (1,1,0)  (3,2) [f (1,1,0)]F     1 
  20. III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý 1. Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W . Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận [f]E,F cở mxn sao cho [ f ( x)]F  [ f ]E , F [ x]E với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng. 2. Cho ma trận A  ( aij )mn trên trường số K. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : K n  K m thỏa [ f ( x)]F  [ f ]E , F [ x]E Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận và ngược lại. Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt hai khái niệm này.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2