zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Báo xấu

8
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian Euclide, cung cấp cho người học những kiến thức như tích vô hướng và các khái niệm; tìm cơ sở và số chiều của không gian bù vuông góc. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 3: Không gian Euclide TS. Đặng Văn Vinh Bộ môn Toán Ứng Dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Tp.HCM Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG tp HCM, 2019 Ngày 11 tháng 3 năm 2020 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 1/9
Vấn đề 1. Tích vô hướng và các khái niệm. Vấn đề 2. Tìm cơ sở và số chiều của không gian bù vuông góc. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 2/9
Tích vô hướng Định nghĩa Cho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y là một số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau: 1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x); 3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y); 4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z). 1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x) 2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và y là đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y) 3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9
Tích vô hướng Định nghĩa Cho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y là một số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau: 1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x); 3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y); 4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z). 1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x) 2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và y là đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y) 3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9
Tích vô hướng Định nghĩa Cho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y là một số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau: 1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x); 3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y); 4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z). 1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x) 2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và y là đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y) 3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9
Tích vô hướng Định nghĩa Cho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y là một số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau: 1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x); 3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y); 4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z). 1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x) 2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và y là đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y) 3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với (x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 . Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính: 1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||; 3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v. 1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6. Ngoài ra ta có cách tính sau: (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 = (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1 = 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT y2 −1 4 y2 2 −1 2 Suy ra (u, v) = 3 1 =6 −1 4 −4 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 4/9
Tích vô hướng √ 2 −1 3 2/ ||u|| = (u, u) = u · M · uT = 3 1 =4 −1 4 1 √ 2 −1 2 √ ||v|| = (v, v) = v · M · vT = 2 −4 = 88 −1 4 −4 3/ Góc α giữa u và v thỏa √ √ (u, v) 6 3 22 3 22 cos α = = √ = ⇒ α = arccos . ||u|| · ||v|| 4 · 88 88 88 4/ Khoảng cách giữa u và v: 2 −1 1 √ d(u, v) = ||u − v|| = ||(1; 5)|| = 1 5 = 92. −1 4 5 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 5/9
Tích vô hướng √ 2 −1 3 2/ ||u|| = (u, u) = u · M · uT = 3 1 =4 −1 4 1 √ 2 −1 2 √ ||v|| = (v, v) = v · M · vT = 2 −4 = 88 −1 4 −4 3/ Góc α giữa u và v thỏa √ √ (u, v) 6 3 22 3 22 cos α = = √ = ⇒ α = arccos . ||u|| · ||v|| 4 · 88 88 88 4/ Khoảng cách giữa u và v: 2 −1 1 √ d(u, v) = ||u − v|| = ||(1; 5)|| = 1 5 = 92. −1 4 5 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 5/9
Tích vô hướng √ 2 −1 3 2/ ||u|| = (u, u) = u · M · uT = 3 1 =4 −1 4 1 √ 2 −1 2 √ ||v|| = (v, v) = v · M · vT = 2 −4 = 88 −1 4 −4 3/ Góc α giữa u và v thỏa √ √ (u, v) 6 3 22 3 22 cos α = = √ = ⇒ α = arccos . ||u|| · ||v|| 4 · 88 88 88 4/ Khoảng cách giữa u và v: 2 −1 1 √ d(u, v) = ||u − v|| = ||(1; 5)|| = 1 5 = 92. −1 4 5 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 5/9
Tích vô hướng √ 2 −1 3 2/ ||u|| = (u, u) = u · M · uT = 3 1 =4 −1 4 1 √ 2 −1 2 √ ||v|| = (v, v) = v · M · vT = 2 −4 = 88 −1 4 −4 3/ Góc α giữa u và v thỏa √ √ (u, v) 6 3 22 3 22 cos α = = √ = ⇒ α = arccos . ||u|| · ||v|| 4 · 88 88 88 4/ Khoảng cách giữa u và v: 2 −1 1 √ d(u, v) = ||u − v|| = ||(1; 5)|| = 1 5 = 92. −1 4 5 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 5/9
Phần bù vuông góc Định nghĩa Cho F là không gian con của V. Tập hợp F⊥ = x ∈ V x ⊥ F được gọi là phần bù vuông góc của không gian con F. Định lý Cho F là không gian con của V. Khi đó F⊥ là không gian con của V. Ví dụ Trong không gian R3 , cho không gian con F là mặt phẳng (P) với phương trình 2x + 3y − z = 0. Tìm không gian con bù vuông góc của F. Không gian bù vuông góc của F là đường thẳng qua gốc O và vuông góc với mặt phẳng (P) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 6/9
Phần bù vuông góc Định nghĩa Cho F là không gian con của V. Tập hợp F⊥ = x ∈ V x ⊥ F được gọi là phần bù vuông góc của không gian con F. Định lý Cho F là không gian con của V. Khi đó F⊥ là không gian con của V. Ví dụ Trong không gian R3 , cho không gian con F là mặt phẳng (P) với phương trình 2x + 3y − z = 0. Tìm không gian con bù vuông góc của F. Không gian bù vuông góc của F là đường thẳng qua gốc O và vuông góc với mặt phẳng (P) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 6/9
Phần bù vuông góc Định nghĩa Cho F là không gian con của V. Tập hợp F⊥ = x ∈ V x ⊥ F được gọi là phần bù vuông góc của không gian con F. Định lý Cho F là không gian con của V. Khi đó F⊥ là không gian con của V. Ví dụ Trong không gian R3 , cho không gian con F là mặt phẳng (P) với phương trình 2x + 3y − z = 0. Tìm không gian con bù vuông góc của F. Không gian bù vuông góc của F là đường thẳng qua gốc O và vuông góc với mặt phẳng (P) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 6/9
Phần bù vuông góc Định nghĩa Cho F là không gian con của V. Tập hợp F⊥ = x ∈ V x ⊥ F được gọi là phần bù vuông góc của không gian con F. Định lý Cho F là không gian con của V. Khi đó F⊥ là không gian con của V. Ví dụ Trong không gian R3 , cho không gian con F là mặt phẳng (P) với phương trình 2x + 3y − z = 0. Tìm không gian con bù vuông góc của F. Không gian bù vuông góc của F là đường thẳng qua gốc O và vuông góc với mặt phẳng (P) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 6/9

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.