zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Báo xấu

46
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ" cung cấp cho người học các kiến thức: Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2, định nghĩa không gian vec-tơ, không gian vec-tơ con, tổ hợp tuyến tính, không gian vec-tơ liên kết ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

Không gian vec-tơ Lê Xuân Thanh
Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là y một đoạn thẳng có hướng 6 xuất phát từ gốc tọa độ 5 tới một điểm đích nào đó. 4 Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi 3 u = (2, 3) tọa độ điểm đích: 2 1 u = (u1 , u2 ). x 0 1 2 3 4 5 6 Phép cộng hai vec-tơ: u + v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) := (u1 + v1 , u2 + v2 ). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R: c · u = c · (u1 , u2 ) := (cu1 , cu2 ).
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là y một đoạn thẳng có hướng 6 xuất phát từ gốc tọa độ 5 u + v = (5, 4) tới một điểm đích nào đó. 4 u = (2, 3) Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi 3 tọa độ điểm đích: 2 1 v = (3, 1) u = (u1 , u2 ). x 0 1 2 3 4 5 6 Phép cộng hai vec-tơ: u + v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) := (u1 + v1 , u2 + v2 ). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R: c · u = c · (u1 , u2 ) := (cu1 , cu2 ).
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là y một đoạn thẳng có hướng 6 2u = (4, 6) xuất phát từ gốc tọa độ 5 tới một điểm đích nào đó. 4 Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi 3 u = (2, 3) tọa độ điểm đích: 2 1 u = (u1 , u2 ). x 0 1 2 3 4 5 6 Phép cộng hai vec-tơ: u + v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) := (u1 + v1 , u2 + v2 ). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R: c · u = c · (u1 , u2 ) := (cu1 , cu2 ).
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Tính chất Cho 0 = (0, 0), u, v, w ∈ R2 , c, d ∈ R. Ta có u + v ∈ R2 . u + v = v + u. (u + v) + w = u + (v + w). u + 0 = u. ∃ − u ∈ R2 : u + (−u) = 0. c · u ∈ R2 . c · (u + v) = c · u + c · v. (c + d) · u = c · u + d · u. c(d · u) = (cd) · u. 1 · u = u.
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong không gian tọa độ Descartes R3 Một vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới một điểm đích nào đó. Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi tọa độ điểm đích: u = (u1 , u2 , u3 ). Phép cộng hai vec-tơ: u+v = (u1 , u2 , u3 )+(v1 , v2 , v3 ) := (u1 +v1 , u2 +v2 , u3 +v3 ). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R: c · u = c · (u1 , u2 , u3 ) := (cu1 , cu2 , cu3 ).
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Tính chất Cho 0 = (0, 0, 0), u, v, w ∈ R3 , c, d ∈ R. Ta có u + v ∈ R3 . u + v = v + u. (u + v) + w = u + (v + w). u + 0 = u. ∃ − u ∈ R3 : u + (−u) = 0. c · u ∈ R3 . c · (u + v) = c · u + c · v. (c + d) · u = c · u + d · u. c(d · u) = (cd) · u. 1 · u = u.
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Định nghĩa không gian vec-tơ Tập hợp V ̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị Phép cộng vec-tơ: +:V×V→V (u, v) 7→ u+v, Phép nhân vec-tơ với vô hướng: ◦:R×V→V (c, u) 7→ c◦u, thỏa mãn các tiên đề sau: 1 u+v = v+u ∀ u, v ∈ V, 2 (u+v)+w = u+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V, 3 ∃ 0 ∈ V : u+0 = u ∀ u ∈ V, 4 ∀ u ∈ V ∃ u′ ∈ V : u+u′ = 0, 5 c◦(u+v) = c◦u+c◦v ∀ c ∈ R, u, v ∈ V, 6 (c + d)◦u = c◦u+d◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V, 7 c◦(d◦u) = (cd)◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V, 8 1◦u = u ∀ u ∈ V.
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1 , . . . , xn ] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1 , . . . , xn ]+[y1 , . . . , yn ] = [x1 + y1 , . . . , xn + yn ], c◦[x1 , . . . , xn ] = [cx1 , . . . , cxn ] (với c ∈ R).   x1 n  ..  Tập hợp R các cột n-thành phần thực  .  xn là một không gian vec-tơ với các phép toán           x1 y1 x1 + y1 x1 cx1  ..     ..   ..   ..   . + ... =  . , c ◦ .  =  .  (với c ∈ R). xn yn xn + yn xn cxn
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1 , . . . , xn ] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1 , . . . , xn ]+[y1 , . . . , yn ] = [x1 + y1 , . . . , xn + yn ], c◦[x1 , . . . , xn ] = [cx1 , . . . , cxn ] (với c ∈ R).   x1 n  ..  Tập hợp R các cột n-thành phần thực  .  xn là một không gian vec-tơ với các phép toán           x1 y1 x1 + y1 x1 cx1  ..     ..   ..   ..   . + ... =  . , c ◦ .  =  .  (với c ∈ R). xn yn xn + yn xn cxn
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1 , . . . , xn ] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1 , . . . , xn ]+[y1 , . . . , yn ] = [x1 + y1 , . . . , xn + yn ], c◦[x1 , . . . , xn ] = [cx1 , . . . , cxn ] (với c ∈ R).   x1 n  ..  Tập hợp R các cột n-thành phần thực  .  xn là một không gian vec-tơ với các phép toán           x1 y1 x1 + y1 x1 cx1  ..     ..   ..   ..   . + ... =  . , c ◦ .  =  .  (với c ∈ R). xn yn xn + yn xn cxn
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n , c◦(aij )m×n = (caij )m×n (với c ∈ R). Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (f+g)(x) = f(x) + g(x), (c◦f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n , c◦(aij )m×n = (caij )m×n (với c ∈ R). Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (f+g)(x) = f(x) + g(x), (c◦f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Pn (x) các đa thức theo một ẩn x, với hệ số thực, có bậc KHÔNG QUÁ n là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (an xn + . . . + a0 ) + (bn xn + . . . + b0 ) = (an + bn )xn + . . . + (a0 + b0 ), c◦(an xn + . . . + a0 ) = can xn + . . . + ca0 (với c ∈ R). Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu đặt điều kiện “đa thức có bậc chính xác bằng n”. Khẳng định trên vẫn đúng nếu bỏ điều kiện “đa thức có bậc ≤ n”. Khi đó ta ký hiệu tập hợp P(x) thay cho Pn (x).
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Cho (V, +, ·), (W, +, ·) là các không gian vec-tơ. Tập hợp V × W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W} là một không gian vec-tơ với các phép toán (v, w) + (v′ , w′ ) = (v+v′ , w + w′ ), c◦(v, w) = (c·v, c · w) (với c ∈ R).
Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Một số tính chất Cho (V, +, ◦) là một không gian vec-tơ. Ta có: Phần tử 0 ∈ V là duy nhất. Với mỗi u ∈ V, tồn tại duy nhất phần tử u′ ∈ V thỏa mãn u+u′ = 0. Phần tử u′ như vậy được ký hiệu là −u. 0◦u = 0 với mọi u ∈ V. c◦0 = 0 với mọi c ∈ R. c◦u = 0 =⇒ c = 0 hoặc u = 0. (−c)◦u = c◦(−u) = −(c◦u) với mọi c ∈ R, u ∈ V. ( m )  n  ∑ ∑ ∑ m ∑ n ci ◦   uj = (ci ◦uj ) với ci ∈ R, uj ∈ V. i=1 j=1 i=1 j=1
Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.