zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng học toán kinh tế

Chia sẻ: Nguyễn Quang Hòa | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Báo xấu

901
lượt xem 309
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về toán kinh tế - Giới hạn vô hạn của hàm số

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng học toán kinh tế

Bài giảng toán kinh tế 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f ( x) = + ∞ x → x0 ∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) > N lim f ( x) = −∞ x → x0 ∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) < N Ví dụ: chứng minh 1 =+∞ lim x→a ( x − a ) 2 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 • Lim [f(x)g(x)] = L1L2 • Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L1m (L1m ∈ R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL1 ∞ Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞ , ∞ - ∞ , 1 thì phải biến đổi để khử chúng. Ví dụ: Tìm x2 − 1 x3 − 8 sin x b) lim c) lim a ) lim 2 x →1 x − 1 x →2 x − 2 x→ π 3 x + x + 1 2 Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu lim g ( x) = lim h( x ) = L = > lim f ( x) = L x → x0 x→ x0 x → x0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ c ấp xác đ ịnh trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm  πx 2 + 1  lim sin  2  2x − x   x →∞   4. Một số giới hạn đặc biệt: ln(1 + x) x ax −1  1 lim(1 + x ) sin x 1/ x =e =1 = ln a lim = 1 lim1 +  = e lim lim x x →0 x x →0  x x →0 x x →∞ x→0 Ví dụ: Chứng minh: arctgx tgx arcsin x =1 lim =1 =1 lim lim x x →0 x →0 x x x →0 Ví dụ: Tìm: x +3 x  x + 2 3+ x lim  lim  x →∞ x − 1 x   x →∞ Nguồn: 1 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế 5. So sánh vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞ , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh • được Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh sin 2 x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2 = lim 3x 3 x →0 Khi x →0 sin x x ~ x 2 + x 3 6. So sánh vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = ∞ • Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL • Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: • Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞ , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hi ệu • F(x)~G(x) Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, N ếu F(x)~F1(x) , G(x)~G 1(x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm 7 x3 − x5 + 6 x lim x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Nếu chỉ có lim f ( x) = f ( x0 ) hoặc lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 − x → x0 + Nguồn: 2 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0 Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x0. Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định tại x0 - Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x → x0 - Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x → x0 Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0  x + 1 khi x ≤ 0 1 f ( x) =  f ( x) =  x − 1 khi x > 0 x Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại m ọi điểm thuộc khoảng đó, • f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] n ếu nó liên t ục t ại m ọi đi ểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì ∃ x0 ∈ (a,b): f(x0) = 0 Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b] Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại f ( x) − f ( x0 ) lim x − x0 x → x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt ∆ x = x – x0, ta có x = x0 + ∆ x và ∆y đặt ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) thì y ' = lim ∆x →0 ∆x Ký hiệu dy/dx, df/dx ∆y Đạo hàm bên phải: y ' = lim ∆x ∆x →0+ ∆y Đạo hàm bên trái: y ' = lim ∆x →0 − ∆x - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm t ại m ọi đi ểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại m ọi đi ểm trong kho ảng - (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Nguồn: 3 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u '  u  u ' v − v' u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠ 0 và  = v2 v Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm t ương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm s ố ng ược x = f -1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 ( f −1 )' ( y ) = = f ' ( x ) f '[ f −1 ( y )] Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 1 1 (log a x)' = (ln x)' = (xα)’ = αxα-1 x ln a x (ax)’ = axlna 1 1 (ex)’ = ex (arcsin x)' = (arccos x)' = − 1 − x2 1− x 2 (sinx)’ = cosx 1 1 (cot gx)' = − 2 (arctgx )' = (cosx)’ = -sinx 1+ x2 sin x 1 1 (tgx)' = (arc cot gx )' = − 1 + x2 cos2 x Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm c ấp 1. Đ ạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx 2 dx 2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dn f , dx n dx n α Ví dụ: Cho y = x (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv )( n ) = ∑ Cn u ( n−k ) .v k k trong đó u(0) = u, v(0) = v k =0 ξ2. VI PHÂN Nguồn: 4 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.  u  vdu − udv Vi phân của tổng, tích, thương: d   = v2 v d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì t ồn t ại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f ( a) = f ' (c ) b−a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong kho ảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f (b) − f ( a) f ' (c) = g (b) − g (a ) g ' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì ∀x ∈ D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... 1! 2! f ( n +1) (c ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n +1 ... + ( x − x0 ) +n (n + 1)! n! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f ( n +1) (c ) ( x − x0 ) n +1 Rn ( x) = (n + 1)! Đa thức Taylor: • f k ( x0 ) n Pn ( x) = ∑ ( x − x0 ) k k! k =0 Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n ) (0) n f ( n +1) (c ) n +1 f ' (0) f " (0) 2 f ( x) = f (0) + x+ x + ... + x+ x (n + 1)! 1! 2! n! L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Nguồn: 5 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b) f ' ( x) f ' ( x) = lim =L lim lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x →a g ' ( x ) x→a g ' ( x) x→a x →a Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x ) = lim g ( x) = 0 lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ x →∞ x →∞ x →a x →a lim f ( x) = lim g ( x ) = ∞ x →∞ x →∞ • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 1. Dạng 0/0, ∞ /∞ Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) π tgx − x x − sin x x3 − 27 − arctgx lim lim lim 2 x →0 x − sin x 3 2 x x →3 x − 4 x + 3 x →0 lim 1 x →∞ Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞ /∞ ) x xn ln x ln x lim lim lim x →+ ∞ e x x →+ ∞ x n x →0+ cot gx 2. Dạng 0.∞ , ∞ - ∞ : Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞ /∞ . Ví dụ: 1 − tgx ) lim ( lim( 4 − x 2 )tg (πx / 4) lim x 5 ln x x →π / 2 cos x x →0 + x →2 3. Dạng vô định: 00, 1∞ , ∞ 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 2 1 lim x1− x lim(cot gx) ln x x2 lim x x→1 x→1 x →0 + CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm. Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x 0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là đi ểm tới hạn của f: Nguồn: 6 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực ti ểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút. 2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá tr ị l ớn nh ất (nh ỏ nhất cần tìm). Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] Biến kinh tế: Sản lượng Q Quantity Lượng cung QS Quantity Supplied Lượng cầu QD Quantity Demanded Giá cả P Price C Cost Chi phí Tổng chi phí TC Total Cost R Revenue Doanh thu Tổng doanh thu TR Total Revenue Lợi nhuận Pr Profit Tư bản K Capital Lao động L Labour Định phí FC Fix Cost Biến phí VC Variable Cost Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) : π = TR - TC • Hàm lợi nhuận Nguồn: 7 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có l ời v ới giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày điện nước Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nhân viên 500đ/tô Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. Q=5 L • Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghi ệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. • Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ • Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. • Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị. • Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)  dπ  d (TR − TC )  dx = 0 =0    dx ⇔ 2 2 d π < 0  d (TR − TC ) < 0  dx    2 dx 2 Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: • Nguồn: 8 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -7/8 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa. Nguồn: 9 www.nguyenngoclam.com
Bài giảng toán kinh tế Nguồn: 10 www.nguyenngoclam.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.