KHÔNG GIAN EUCLIDE
TRẦN NGỌC DIỄM
Tích vô hướng và kg Euclide
=
)
i
= a
)
f
ii
.
+
x +
)
)
)
( f y z
( f y x , ( ) f x ( = f x z ,
y z ,
,
ngướ trên kg vector V, n u:ế ) ) .
) iii )
(cid:0) "
0
0.
=
x 0, =� x )
x y ,
( f x y ,
f là tích vô h ( ( f x y , ) ( ( a ( ( f x ( ( ) iv f x x , ) ( = f x x ,
Ký hi u:ệ
ớ ọ Không gian vector v i 1 tvh g i là kg Euclide.
Tích vô hướng và kg Euclide
ị Đ nh nghĩa:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x xx , ộ x : đ dài vector
(cid:0) (cid:0) x y yxd ( , ) ả ữ x, y : kho ng cách gi a
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
cos
yx , yx .
(cid:0) (cid:0) : (cid:0) là góc gi a ữ x và y
Tích vô hướng và không gian Euclide
1. Trên R2, v i tvh
ớ
a) Tính
x2y2 ớ
b) Tính kho ng cách gi a x và y
c)
ữ ả
ộ Tìm đ dài vector x
2. Trên R3 tích vô h
+
ướ ớ ng
+
+
5
2
2
3
x y 1 1
x y 1 2
x y 2 1
x y 2
2
x y 3 3
(v i x = (x1,x2,x3), y = + (y1,y2,y3)) >= < x y ,
a) Tính tích c a x = (1,2,3) và y = (1,1,2)
ủ
ủ ộ b) Tính đ dài c a x
c) Tính kho ng cách gi a x, y
ữ ả
Sự trực giao
i)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x, y tr c giao
ự x(cid:0) y (cid:0)
(cid:0) ộ ự ồ ự ii) S tr c giao S g m các vector đôi m t tr c giao.
ự ự ẩ ế iii) S tr c chu n n u S tr c giao và ?x॥= 1, (cid:0) x (cid:0) S
(cid:0) (cid:0) iv) x(cid:0) M (cid:0) x(cid:0) y , (cid:0) y(cid:0) M
(cid:0) v) M (cid:0) M’ (cid:0) x(cid:0) y , (cid:0) x(cid:0) M, (cid:0) y(cid:0) M’
(cid:0) (cid:0) ự vi) Bù tr c giao ủ c a M : M = {x (cid:0) V: x(cid:0) M}
(cid:0) ự ổ vii) U, W ≤ E, U(cid:0) W : U+W=U(cid:0) W: t ng tr c giao
Sự trực giao
ộ ố ế ả ầ
ớ M t s k t qu c n nh : 1. x (cid:0) x= 0 E (cid:0)
2. x(cid:0) y, x(cid:0) z (cid:0)
(cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) y + (cid:0) (cid:0) z, (cid:0) ,(cid:0) (cid:0) R
(cid:0) U(cid:0) E, < S > = U, x (cid:0) U (cid:0) x (cid:0) S
3. = U, < S’> = U’, U (cid:0) U’ (cid:0) S (cid:0) S’
(cid:0) 4. M (cid:0) E (cid:0) (cid:0) M(cid:0)
(cid:0) (cid:0) ế N u M E E thì dimM + dimM(cid:0) = dimV và M(cid:0) M(cid:0) = E
Sự trực giao
5. M t h tr c giao không có vector 0 thì đ c l p tuy n tính
ộ ệ ự ộ ậ ế
ự ế 6. Hình chi u tr c giao:
$� �� x E kg Euclide U E (
!
y U z U ,
), = + y
z
x
(cid:0)
ủ ự ế y =prU x : hình chi u tr c giao (vuông góc) c a x lên U
Sự trực giao
7.
=
=
x [ ] S
y , [ ] S
y
x � � 1 � � x � � 2 M � � � � x � � n
y � � 1 � � y � � 2 M � � � � � � n
=
a x . i
x e , i =
+
+
+
L
b x y .
,
x y n
n
x y 1 1
x y 2
2
=
+
+
+
L
c x .
2 x n
2 x 1
2 x 2
ơ ở ự ẩ ủ S ={ e1, e2,…,en} là c s tr c chu n c a E
Sự trực giao
1. Trên R2, v i tvh
ớ
x2y2
ự ớ Vector nào sau đây tr c giao v i nhau:
ẩ ừ ừ x = (1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4) ự các vector tr c giao v a tìm ệ ự Tìm 1 h tr c chu n t
đ cượ
2. Trên R2 v i tvh chính t c cho u=(1, 2, 1), v=(4,m+2,1)
ắ ớ
+
<
+
+
2
3
ự ể Tìm m đ u và v tr c giao.
x y 1 2
x y 2 1
x y 2
2
x y 3 3
ạ ớ i v i tvh sau: • Làm l + >= x y x y 5 2 , 1 1
Sự trực giao
ắ ớ 3. Trên không gian R3 v i tvh chính t c, cho
)
(
( ) 1,1, 1 , 2,3,2
-
ớ
(
(
) = w 5,4, 1 ,
) 3,1,1 ,
) 5,4, 1
= - - U = a. Vector nào sau đây vuông góc v i U: ( = - u v
b. Tìm m đ ể v = (– 3, m, m – 3) vuông góc v i ớ U
+
+
+
+
2
2
3
x y 1 1
x y 1 2
x y 2 1
x y 2
2
x y 3 3
Làm l < ạ ớ i v i tvh: >= x y , 5
Sự trực giao
ắ ớ 4. Trong R3, v i tvh chính t c cho
} 0
= + - U , , : x x x 1 2 3 x 1 x 2 = x 3
( (
) )
{ {
} 0
= + + = W , , : 2 x x x 1 2 3 x 1 x 2 x 3
Tìm vector u trong U sao cho u vuông góc v i ớ W
Sự trực giao
(cid:0) ơ ở ủ ắ ớ 5. Trên R3 v i tvh chính t c, tìm c s c a W
a. Cho W=
+
ủ ệ ệ b. W là không gian nghi m c a h pt
x 4
- (cid:0)
= =
(cid:0)
- (cid:0)
+ + +
+
+
=
(cid:0)
2 4 2
0 0 0
5
x 1 x 2 1 x 1
x 2 x 2 x 2
x 3 x 3 3 x 3
x 4
(cid:0)
Sự trực giao
=
=
+
U
,
,
:
x x x 1 2 3
x 2
x 3
=
+
6. Trên R3, cho 2 khôg gian con
- -
( (
) )
{ {
W
,
,
:
0,
} 0
x x x 1 2 3
x 1
x 2
} 0 = x 3
x 1
+ x 2
= x 3
U W^
ứ Ch ng minh
Sự trực giao
=
7. Trong R4, cho
U
=
W
m
n
( ) ( ) 1, 1, 2,1 , 2,0,3, 1 ( ( ) ) , 0,5,1,
1,3,0,
- -
Tìm m, n để U W^
Sự trực giao
=
8. Trong R3 cho 2 kg con
(
U
=
-
( ) 1,2,1 , (
) 1,0,1 )
-
{
W
,
,
:
0,
2
} 0
x x x 1 2 3
x 1
= + x mx 3 2
+ x 1
+ x 2
= x 3
=
^
Tìm m đ ể U W
Sự trực giao
9. Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (2,1,1), (0,1,1)}.
a) Ki m tra tính tr c giao c a S
ự ủ ể
b) Tìm 1 c s tr c chu n S’ c a R3 t
ơ ở ự ủ ẩ ừ S.
c) Cho u = (1,2,2), tìm t a đ c a u theo S’
ọ ộ ủ
Sự trực giao
ự
Qua trình tr c giao hóa Gram Schmidt: ệ cho {x1, …, xp} là h đltt trong E.
=
,
y 1
x 1
=
Đ t:ặ
y
,
2
x 2
y 1
< <
> >
-
k
1
>
j
=
-
y
p
2,...,
k
x k
= y k , j
<
>
j
= 1
x y , 2 1 y y , 1 1 < x y , k y y , j
j
- (cid:0)
ệ ự Khi đó {y1, …, yp} là h tr c giao.
Sự trực giao
ệ ự 1. Trên không gian R3, tr c giao hóa các h vecor sau:
(
)
(
{
}
) 0,1,1
= - u 1,3, 2 , u 1 = 2
( = -
(
(
{
}
) 1,1,1 ,
) 1, 1,1 ,
) 1,1, 1
- - u u 1 = 2 = u 3
2. B sung vào các t p h p sau đ đ
ể ượ ậ ổ ợ ơ ở c 1 c s
ủ ự
(
{
}
) 1,1,1
= - u tr c giao c a R3. ) ( 1, 3,2 , u 1 = 2
Sự trực giao
3. B sung vào các t p h p sau đ đ
ể ượ ậ ổ ợ ơ ở c 1 c s
ự ủ tr c giao c a R4.
(
)
(
{
}
) 2,2, 1,1
4. Cho U = <(2,1,0), (1,0,3)>, x = (1,1,2). Tìm y(cid:0)
- - - - 2,2, 2, 2 ,
sao cho x = y + z U, z(cid:0) U(cid:0)
Sự trực giao
(
) 1,1,1
x = ự ủ ế 5. Tìm hình chi u tr c giao c a
)
)
( U = -
( 1,1,2 , 3,0, 5
-
lên kg con
6. Trên kg R3 v i tích vô h
ớ
< >= - - x y , 4 2 2 3 x y 1 1 x y 1 3 ướ ng + x y 3 1
+ x y 2 2 ( x = x y 3 3 3 ) 1,1,1 ủ ự ế Tìm hình chi u tr c giao c a
)
)
( U = -
( 1,1,2 , 3,0, 5
-
lên kg con
Sự trực giao
ệ 7. ủ ệ Trong R4 cho U là không gian nghi m c a h
+
ươ ph
x
x
2
0
2
3
4
1
- (cid:0) ầ ng trình thu n nh t sau: = x ấ + x
+
+
+
=
(cid:0)
x
x
3
0
1
2
3
4
(cid:0)
+
x +
x =
(cid:0)
x
x
x
2
2
5
0
1
2
4
(cid:0)
,U U ^
- z = (4,0, 3,3) Và vector
ế ủ ố Tìm hình chi u c a z xu ng không gian
![Quyển ghi Xác suất và Thống kê [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251030/anh26012006/135x160/68811762164229.jpg)
