Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh<br /> Bộ môn Toán Ứng dụng<br /> -------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Đại số tuyến tính<br /> <br /> Chương 5: Không gian Euclid<br /> <br /> •<br /> <br /> Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)<br /> www.tanbachkhoa.edu.vn<br /> <br /> Nội dung<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> 5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.<br /> 5.2 – Bù vuông góc của không gian con.<br /> 5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.<br /> 5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.<br /> <br /> 5.1 Tích vô hướng<br /> <br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Định nghĩa tích vô hướng<br /> Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho<br /> mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký<br /> hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:<br /> a. (u , v V ) (u , v)  (v, u )<br /> b. (u , v, w  V) (u  v, w)  (u , w)  (v, w)<br /> c. (  R, u , v V ) ( u , v)   (u , v)<br /> d. (u  V ) (u, u )  0;(u, u )  0  u  0<br /> Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô<br /> hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.<br /> <br /> 5.1. Tích vô hướng<br /> -----------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ<br /> Trong không gian R cho qui tắc<br /> 2<br /> x  ( x1, x2 )  R2 ; y  ( y1, y2 )  R2<br /> <br /> ( x, y )  (( x1, x2 ),( y1, y2 ))  x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  10 x2 y2<br /> 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.<br /> 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1)<br /> <br /> Giải.<br /> 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1) là<br /> <br /> (u, v)  ((2,1),(1, 1))<br />  2.1  2.2.( 1)  2.1.1  10.1.( 1)  10<br /> <br /> 5.1. Tích vô hướng<br /> -----------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ<br /> Trong không gian P [x] cho qui tắc<br /> 2<br /> p( x)  a1x 2  b1x  c1; q ( x)  a2 x 2  b2 x  c2  P2 [x].<br /> 1<br /> <br /> ( p, q)   p( x)q( x)dx<br /> 0<br /> <br /> 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.<br /> 2. Tính tích vô hướng của p ( x)  2 x 2  3 x  1, q ( x)  x  1<br /> 2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> ( p, q)   p( x).q ( x)dx   (2 x 2  3 x  1)( x  1)dx  1<br /> 0<br /> 6<br /> 0<br /> <br />