Bài giảng phương pháp tính cho sinh viên IT - 6

Chia sẻ: Cao Thi Nhu Kieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

178
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

7.7. Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) Xây dựng hàm nội suy của f(x) thoả mãn giá trị hàm và giá trị đạo hàm các cấp theo bảng giá trị sau: xi yi =f(xi) y'i=f’(xi) yi'’= f’’(xi) ... yi(k) =f(k)(xi) x0 y0 y'0 y''0 … y1(k) x1 y1 y'1 y’’1 … y2(k) ... ... ... ... xn yn y'n y’’n … yn(k) Giả sử hàm nội suy cần tìm là đa thức bậc m: Hm(x) m=n+ ∑ si i =1 k (Si : số giả thiết được cho ở đạo hàm cấp i ) Hm(x) = Ln(x) + W(x) Hp(x) ( Vì Hm(xi) = Ln(xi) + W(xi) Hp(xi) = yi )...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng phương pháp tính cho sinh viên IT - 6

7.7. Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) Xây dựng hàm nội suy của f(x) thoả mãn giá trị hàm và giá trị đạo hàm các cấp theo bảng giá trị sau: xi x0 x1 ... xn yi =f(xi) y0 y1 ... yn y'i=f’(xi) y'0 y'1 ... y'n yi'’= f’’(xi) y''0 y’’1 ... y’’n ... … … … yi(k) =f(k)(xi) y1(k) y2(k) yn(k) Giả sử hàm nội suy cần tìm là đa thức bậc m: Hm(x) k ∑ si m=n+ (Si : số giả thiết được cho ở đạo hàm cấp i ) i =1 Hm(x) = Ln(x) + W(x) Hp(x) ( Vì Hm(xi) = Ln(xi) + W(xi) Hp(xi) = yi ) Với: W(x) = (x-x0) * (x-x1)*....*(x-xn) p= m - (n + 1) Đạo hàm cấp 1: H’m(x) = Ln’(x) + W(x) H’p(x) + W’(x)Hp(x) Xét tại các điểm xi: Hm(xi) = Ln’(xi) + 2W(xi) H’p(xi) + W’(xi)Hp(xi) = yi 0 => Hp(xi) Đạo hàm cấp 2: H”m(x) = Ln’’(x) + 2W’(x) H’p(x) + W’’(x) Hp(x) + W(x)Hp”(x) 51
Xét tại các điểm xi: H”m(xi) = Ln’’(xi) + 2W’(xi) H’p(xi) + W’’(xi) Hp(xi) + W(xi)Hp”(xi) =yi’’ 0 => Hp’(xi) Tương tự: Đạo hàm đến cấp k suy ra Hp(k-1)(xi) Ta xác định hàm Hp(x) thoả mãn: xi x0 x1 ... xn Hp(xi) h0 h1 ... hn Hp’(xi) h'0 h'1 ... h'n ... Hp(k-1)(xi) h0(k-1) h1(k-1) hn(k-1) ... Về bản chất, bài toán tìm hàm Hp(x) hoàn toàn giống bài toán tìm hàm Hm(x). Tuy nhiên ở đây bậc của nó giảm đi (n+1) và giả thiết về đạo hàm giảm đi một cấp. Tiếp tục giải tương tự như trên, cuối cùng đưa về bài toán tìm hàm nộI suy Lagrange (không còn đạo hàm). Sau đó thay ngược kết quả ta được hàm nội suy Hecmit cần tìm Hm(x). Ví dụ 6. Tìm hàm nội suy của hàm f(x) thoả mãn: xi 0 1 3 f(xi) 4 2 0 f’(xi) 5 -3 Giải: Hàm nội suy cần tìm là đa thức H4(x) H4(x) = L2(x) + W(x) H1(x) 52
W(x) = x(x-1)(x-3) =x3 – 4x2 +3x 4 ( x − 1)( x − 3) x ( x − 3) L 2 (x ) = +2 −2 3 1 = ( x 2 − 7x + 12) 3 2 7 x − + ( 3 x 2 − 8 x + 3 ) H 1 ( x ) + W(x)H' H '4 ( x ) = (x ) 1 3 3 7 22 H '4 ( 0 ) = − x + 3 H 1 ( 0 ) = 5 => H 1 ( 0 ) = 3 9 5 2 H ' 4 (1 ) = − x − 2 H 1 (1 ) = - 3 => H 1 (1 ) = 3 3 Tìm hàm H1(x) thoả mãn: xi 0 1 H1(xi) 22/9 2/3 22 ( x − 1) 2 ( x − 1) − 16 x + 22 + = H1(x) = 9 (0 − 1) 3 (1 − 0) 9 Vậy H4(x) =(x2 –7x +12)/3 + x(x-1)(x-3)(-16x +22)/9 7.8. Phương pháp bình phương bé nhất Giả sử có 2 đại lượng (vật lý, hoá học, …) x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một trong các dạng đã biết sau: - y = fax + b - y = a + bx + cx2 Tuyến tính - y = a + bcosx + csinx - y = aebx Phi tuyến tính - y = axb 53
nhưng chưa xác định được giá trị của các tham số a, b, c. Để xác định được các tham số này, ta tìm cách tính một số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i=1, 2, …,n bằng thực nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất. * Trường hợp: y = ax + b Gọi εi sai số tại các điểm xi εi = yi - a - bxi n ∑ ε i2 Khi đó tổng bình phương các sai số: S = i =1 Mục đích của phương pháp này là xác định a, b sao cho S là bé nhất. Như vậy a, b là nghiệm hệ phương trình: ∂S =0 ∂a 1 ∂S =0 ∂b Ta có: S = Σ(yi2 + a2 + b2xi2 - 2ayi - 2bxiyi + 2abxi) ∂S n = ∑ (2a − 2 y i + 2bx i ) ∂a i=1 ∂S n = ∑ (2bx i − 2 x i y i + 2ax i ) 2 ∂b i=1 n n na + b ∑ x i = ∑ yi i =1 i =1 1⇔ n n n a∑ xi + b∑ xi =∑ xi yi 2 i =1 i =1 i =1 Giải hệ phương trình ta được: a, b * Trường hợp y = a + bx + cx2 Gọi εi sai số tại các điểm xi εi = yi - a - bxi - cxi2 54
n ∑ ε i2 Khi đó tổng bình phương các sai số: S = i =1 Các hệ số a, b xác định sao cho S là bé nhất. Như vậy a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: n n n ∂S na + b ∑ x i + c ∑ x ∑ 2 = yi =0 i ∂a i =1 i =1 i =1 n n n n ∂S a ∑ x i + b∑ x i + c∑ x i = ∑ xiyi 2 3 ⇔ =0 ∂a i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n ∂S a ∑ x i + b∑ x i + c∑ x i 4 = ∑ xi 2 3 2 yi =0 ∂c i =1 i =1 i =1 i =1 Giải hệ phương trình ta được a, b, c * Trường hợp: y = aebx Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa về dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta được A, B => a = eA, b=B * Trường hợp y = axb Lấy Logarit cơ số 10 hai vế: Lgy = lga + blgx Đặt Y = lgy; A = lga; B = b; X = lgx Ta đưa về dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta được A, B => a = 10A, b=B Ví dụ 7. Cho biết các cặp giá trị của x và y theo bảng sau: xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 yi 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58 Lập công thức thực nghiệm của y dạng aebx 55
Giải Ta có: y = aebx Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa về dạng: Y = A + BX X i = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 Yi = lnyi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46 ΣXi2 ΣXi ΣXiYi ΣYi 4.35 3.93 0.92 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B là nghiệm hệ phương trình n n nA + B ∑ X ∑ = Yi i i =1 i=1 n n n A ∑ X i + B ∑ X i = ∑ X i Yi 2 i =1 i =1 i =1 5A + 4.35B =0.89 4.35A + 3.93B = 0.92 Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = 1 Suy ra: a = eA = ½, b = B =1 1 x Vậy f(x) = e 2 56
CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 8.1. Giới thiệu Xét hàm số f(x) liên tục trên [a,b], nếu xác định được nguyên hàm F(x) ta có công thức tính tích phân: b ∫ f (x )dx = F(b) − F(a ) a Nhưng trong đa số các trường hợp ta không xác định được nguyên hàm của, hoặc không xác định được biểu thức của f(x) mà chỉ nhận được các giá trị của nó tạI nhưng điểm rời rạc. Trong trường hợp như vậy ta có thể sử dụng các công thức gần đúng sau để tính tích phân: - Công thức hình thang. - Công thức Parabol - Công thức Newton _Cotet 8.2. Công thức hình thang Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau với khoảng cách h = (b - a)/n theo các điểm chia: x0=a, x1=a+h, ..., xn = b x1 xn b x2 ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx = =S a x1 x n −1 x0 =a S là diện tích giới hạn bởi đường cong f(x), x=a, x=b, và trục x S1 f(x) S Sn x 0 =a x 1 xn-1 xn = b Xét trên [x0, x1], ta xem đường cong f(x) là đường thẳng 57
1 S1 ≈ S hthang = h ( y 0 + y1 ) 2 Tương tự: 1 S2 ≈ h ( y1 + y 2 ) 2 ... … … 1 Sn ≈ h(y n −1 + y n ) 2 b h ∫ f ( x ) dx ≈ ( y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + ... + 2 y n − 1 + y n ) Vậy: 2 a 8.3. Công thức Parabol Chia [a, b] thành 2n đoạn bằng nhau với khoảng cách h = (b - a)/2n theo các điểm chia: x0=a, x1=a+h, ..., x2n = b x2 x4 x 2n b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +... + ∫ f ( x )dx a x0 x2 x 2n −2 Xét trên [x0, x2] xem đường cong f(x) là Parabol (nội suy bậc 2 của 3 điểm x0, x1, x2) ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) f (x) ≈ L 2 (x) = y 0 + y1 + ( x 0 − x1 )( x 0 − x 2 ) ( x1 − x 0 )( x1 − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x1 ) + y2 ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 ) x2 x2 ∫ f ( x )dx ≈ ∫ L 2 (x )dx x0 x0 Thay x0 = a, x1 = a + h , x2 = a+2h vào, ta có: x2 h ∫ f ( x )dx ≈ 3 ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) x0 Tương tự: 58
x4 h ∫ f (x )dx ≈ 3 ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) x2 x2n h ∫ f ( x )dx ≈ ( y 2 n −2 + 4 y 2 n −1 + y 2 ) 3 x 2 n −2 b h ∫ f ( x )dx ≈ 3 ( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + ... + 2 y 2n −2 + 4 y 2n −1 + y 2n ) Vậy: a 5 dx Ví dụ. Tính J = ∫ theo 3 cách 1+ x2 1 Giải 5 Cách 1: J = arctgx 1 = arctg5 − Π / 4 ≈ 0.588 Cách 2: chia [1, 5] thành 4 đoạn bằng nhau (h=1) với các điểm chia xi 1 2 3 4 5 yi 1/2 1/5 1/10 1/17 1/26 Công thức hình thang: J ≈ (1/2 + 2/5 +2/10 +2/17 + 1/26) /2 ≈ 0.628 Cách 3: Công thức Parabol: J ≈ (1/2 + 4/5 +2/10 +4/17 + 1/26) /3 ≈ 0.591 8.4. Công thức Newton-Cotet Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau với khoảng cách h = (b - a)/n với x0=a; x1 = a + h , ...., xn = b. Đặt x = a + (b - a)t => dx = (b - a) dt xi a a+h a + 2h ... b ti 0 1/n 2/n ... 1 Khi đó: b 1 1 ∫ f ( x )dx = (b − a ) ∫ f (a + (b − a ) t )dt = (b − a ) ∫ Φ( t )dt a 0 0 φ(t)= f(a + (b - a)t V ới Xem φ(t) là hàm nội suy Lagrange của n + 1 điểm: t0, t1, ..., tn 59
1 2 2 ( t − )( t − )...( t − 1) ( t − 0)( t − )...( t − 1) n n n Φ( t ) ≈ L n ( t ) = y 0 + y1 + ... 1 2 1 12 1 (− )(− )...(−1) ( − 0)( − )...( − 1) n n n nn n n −1 1 ( t − 0)( t − )...( t − ) n n + yn n −1 1 (1 − 0)(1 − )...(1 − ) n n 1 1 ∫ Φ( t )dt ≈ ∫ L n ( t )dt Khi đó: 0 0 i −1 i +1 1 ( t − 0)( t − ) ... ( t − )( t − ) ...( t − 1) 1 n n n i Đặt Pn = ∫ dt i i −1 i i +1 i i1 i 0 ( − 0)( − ) ... ( − )( − ) ... ( − 1) n nn n nn n n b n ∫ f ( x )dx ≈ (b − a )∑ y i p n i Vậy: i =0 a Xét n = 1 ( h = b-a ) t −1 t−0 1 1 1 1 =∫ =∫ P10 P11 dt = − dt = ; 0 0 −1 01− 0 2 2 b y 0 y1 h ∫ f ( x )dx = (b − a )( + ) = ( y 0 + y1 ) → Công thức hình thang 2 2 2 a Lưu ý: Giá trị của Pni có thể tra trong bảng sau: i n Pn 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 9/71 16/45 2/15 16/45 9/70 5 19/288 25/95 25/144 25/144 25/95 19/288 … … … … … … … 60