Bài giảng Toán 2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 trình bày về dãy số và chuỗi. Chương này trình bày các nội dung chính như: Dãy số và sự hội tụ, chuỗi số, các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 DÃY SỐ VÀ CHUỖI ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 2
1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , … • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, … , 2𝑛, … có phần tử thứ nhất là 𝑎1 = 2, phần tử thứ hai là 𝑎2 = 4, … phần tử thứ 𝑛 là 𝑎𝑛 = 2𝑛, … • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành 𝑎1 , biến 2 thành 𝑎2 , … biến 𝑛 thành 𝑎𝑛 , … • Dãy số được mô tả bằng công thức 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 3
Ví dụ dãy số • Dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có các phần tử là 𝑎𝑛 = 1, 2, 3, 4, … , 𝑛, … 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 4
1 • Dãy số 𝑎𝑛 = có các phần tử là 𝑛 1 1 1 1 𝑎𝑛 = 1, , , , … , , … 2 3 4 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 5
−1 𝑛+1 • Dãy số 𝑎𝑛 = có các phần tử là 𝑛 1 1 1 −1 𝑛+1 𝑎𝑛 = 1, − , , − , … , ,… 2 3 4 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 6
Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi 𝑛 lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). 1 • Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 = tiến về 0 khi 𝑛 lớn. 𝑛 𝑛−1 • Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 = tiến về 1 khi 𝑛 lớn. 𝑛 • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có thể lớn tùy ý khi 𝑛 đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 7
• Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = −1 𝑛+1 nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số 𝑎𝑛 được nói là hội tụ (converge) về 𝐿 nếu ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 > 𝑁, 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 Nếu không số 𝐿 nào như vậy, ta nói dãy 𝑎𝑛 phân kỳ (diverge). Nếu 𝑎𝑛 hội tụ về 𝐿 ta viết lim 𝑎𝑛 = 𝐿 hay 𝑎𝑛 → 𝐿. Và 𝑛→∞ khi đó ta nói 𝐿 là giới hạn (limit) của dãy số 𝑎𝑛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 8
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 9
Một số tính chất 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 10
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 11
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 12
Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 13
Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. ln 𝑛2 𝑛 1. lim 2. lim 𝑛2 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 1 3. lim 3𝑛 4. lim − 𝑛→∞ 𝑛→∞ 2 𝑛 𝑛−2 100𝑛 5. lim 6. lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 𝑛! 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 14
2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ 𝑛 𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 và sau đó cho 𝑛 → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 1 1 1 1 + + + + ⋯ + 𝑛−1 + ⋯ 2 4 8 2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 15
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 16
Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ Dãy 𝑠𝑛 được định nghĩa bởi 𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 … 𝑛 𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 𝑘=1 … được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 17
Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về 𝐿 thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng 𝐿, ta viết ∞ 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = 𝑎𝑛 = 𝐿 𝑛=1 Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 18
Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng ∞ ∞ 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + ⋯ = 𝑎𝑟 𝑛−1 ≡ 𝑎𝑟 𝑛 𝑛=1 𝑛=0 trong đó 𝑎 và 𝑟 là các số thực cho trước (𝑎 ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học ∞ 1 1 1 1 1 + + + ⋯ + 𝑛−1 + ⋯ = 2 4 2 2𝑛−1 𝑛=1 𝑛−1 ∞ 𝑛 2 2 1 1 2 − + − ⋯+ 2 − +⋯= 2 − 3 9 3 3 𝑛=0 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 19
Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học ∞ ∞ 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + ⋯ = 𝑎𝑟 𝑛−1 ≡ 𝑎𝑟 𝑛 𝑛=1 𝑛=0 Nếu 𝑟 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và ∞ ∞ 𝑛 𝑛−1 𝑎 𝑎𝑟 = 𝑎𝑟 = , 𝑟