zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Nguyễn Quốc Tiến

Chia sẻ: Tomjerry010 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới hạn và tính liên tục; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; lý thuyết chuỗi;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Nguyễn Quốc Tiến

NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011
NGUYỄN QUỐC TIẾN 1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Dãy số Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực R . x:   n  x(n) : xn x(n ) thường được ký hiệu là xn gọi là số hạng thứ n của dãy. Một dãy số với các số hạng là xn thường được viết gọn là ( xn ) . 1 1 1 1 Ví dụ 1): ( xn ) với xn  . Khi đó: x1  1, x2  , x3  ..., xn  ,... n 2 3 n 2): ( xn ) với xn  ( 1) n . Khi đó: x1  1, x2  1, x3  1..., xn  ( 1) n ,... 1.1.2 Giới hạn của dãy số Dãy (xn) được gọi có giới hạn là a nếu:   0,  n0  0 : n  n0  xn  a   Khi đó ta cũng nói dãy ( xn ) hội tụ về a. Kí hiệu lim xn  a hoặc xn  a , n   . Nếu dãy n ( xn ) không hội tụ thì ta nói dãy ( xn ) phân kỳ. n Ví dụ Cho dãy số ( xn ) với xn  . Chứng minh lim xn  1 n 1 n  Ta có n 1 xn  1  1  n 1 n 1 do đó khi muốn xn gần 1 bao nhiêu cũng được ta đặt: xn  1   ,   0 hay 1   ,   0 n 1 1  n  1  1  1 Chọn n0    1 ( phần nguyên của  1 ). Khi đó n  n0 thì xn gần 1 bao nhiêu cũng được.    Hay lim xn  1 n  1
NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.1.3 Định lí. Nếu dãy ( xn ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất a b Chứng minh. Giả sử xn  a và xn  b, a  b khi n   , chọn    0 theo định nghĩa về 2 giới hạn của dãy tồn tại n01 , n02  N sao cho:   n  n01  xn  a  và n  n02  xn  b  . 2 2 Đặt n0  max(n01 , n02 ) . Khi đó với n  n0 ta có:   a b a  b  xn  a  xn  b     2 2 2 a b suy ra a  b  . Điều này vô lí. Vậy a  b . 2 1.1.4 Định lí . Cho ba dãy ( xn ), ( yn ), ( zn ) . Nếu xn  yn  z n , n  N và lim xn  lim zn  a n  n  thì lim yn  a n    Chứng minh. Vì lim xn  lim zn  a nên n0  N : n  n0  ( xn  a  , zn  a  ) do đó n  n  2 2   n  n0  yn  a  xn  a  z n  a    . 2 2 Vậy lim yn  a n Cho x0  R ,  -lân cận của x0 là khoảng số thực có dạng ( x0   , x0   ),  0 . 1.2 Giới hạn của hàm số 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x) khi x dần đến x0 nếu:   0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   ) và được kí hiệu lim f ( x)  L hay f ( x )  L khi x  x0 . x  x0 Giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau: lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L x  x0 2
NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.2.2 Giới hạn một phía Cho hàm số f ( x ) xác định trong khoảng ( , x0 ] (có thể trừ tại x0 ). Số L1 được gọi là giới hạn trái của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 ( x  ( , x0 ] )nếu:   0,   0, x  ( , x0 ] : (0  x  x0    f ( x)  L1   ) . Kí hiệu lim f ( x)  L1 hay x  x0 f ( x)  L1 khi x  x0  . Cho hàm số f ( x ) xác định trong khoảng [ x0 ,  ) (có thể trừ tại x0 ). Số L2 được gọi là giới hạn phải của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 ( x  [ x0 ,  ) ) nếu:   0,   0, x  [ x0 ,  ) : (0  x  x0    f ( x)  L2   ) . Kí hiệu lim f ( x)  L2 hay f ( x)  L2 khi x  x0  . x  x0 1.2.3 Định lí lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 Ví dụ Chứng minh lim(2 x  3)  5 x 1  Ta có   0, f ( x) - 5    2 x  3- 5    2 x -1    x -1  2   Chọn  = khi đó   0,    0 : x  1    f ( x)  5   . Vậy lim(2 x  3)  5 2 2 x 1 4 x 2  16 Ví dụ Chứng minh lim  16 x 2 x2 Ta có 4 x 2  16 4( x 2  4)   16   16  4( x  2)  16  4 x  2   0, 4 x  2    x  2  ( x  2) x2 x2 4   4 x 2  16 Vậy   0,    0, x  2, x  2    16   4 4 x2 1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn ở vô cực Cho hàm số f ( x ) xác định trong một lân cận của x0 trừ tại x0 . Hàm số f ( x) có giới hạn là  khi x dần đến x0 nếu với mọi M  0 lớn tùy ý tồn tại   0, 0  x  x0    f ( x)  M . Kí hiệu lim f ( x)   x  x0 Hàm số f ( x ) có giới hạn là  khi x dần đến x0 nếu với mọi M  0 lớn tùy ý tồn tại   0, 0  x  x0    f ( x)   M . Kí hiệu lim f ( x)   x  x0 Hàm số f ( x ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi   0 tùy ý tồn tại 3
NGUYỄN QUỐC TIẾN M  0: x  M  f ( x)  L   . Kí hiệu lim f ( x )  L . x  Hàm số f ( x ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi   0 tùy ý tồn tại M  0: x   M  f ( x)  L   . Kí hiệu lim f ( x)  L x   1 Ví dụ Chứng minh lim  1    1 x   x 1 1 1 Ta có 1 1    x  M x x  1 1 1 Khi x    x  . Chọn M   x  M  1   1     x 1 1 1 Khi x    x   . Chọn M   0  x   M  1   1     x 1.2.5 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 . Nếu u ( x)  f ( x)  v( x) với mọi x thuộc lân cận đó và lim u ( x)  lim v ( x )  L thì x  x0 x  x0 lim f ( x)  L x  x0 sin x Vidụ Chứng minh lim 1 x0 x  sin x sin x Thật vậy x :0  x  ta có bất đẳng thức cos x   1 , mà lim cos x  1 suy ra lim 1 2 x x  0 x  x 0 1.2.6 Một số tính chất của giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x)  L thì giới hạn đó là duy nhất x  x0 ii) lim C  C (C : hằng số) x  x0 iii) Nếu f ( x)  g ( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực thì lim f ( x)  lim g ( x) (nếu các giới hạn này tồn tại). x  x0 x  x0 iv) Nếu f ( x)  g ( x)  h( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực và lim f ( x)  L  lim h ( x) thì lim g ( x)  L x  x0 x  x0 x x 0 v) Giả sử các hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn khi x  x0 khi đó ta có các kết quả sau : lim ( f ( x )  g ( x))  lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 x  x0 4
NGUYỄN QUỐC TIẾN lim kf ( x)  k lim f ( x) x  xo x  xo lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x) x  xo x  xo x  xo f ( x) xlim f ( x) lim x  x0 x  0  , lim g ( x )  0 g ( x ) lim g ( x) x x0 x  x0  1.3 Vô cùng bé-vô cùng lớn Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x  xo . (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác) 1.3.1 Vô cùng bé. Hàm  ( x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x  xo nếu lim  ( x )  0 x  x0 x 1 Ví dụ sin x, tgx, 1  cos x là những VCB khi x  0 , còn là VCB khi x   x2  2 1.3.2 So sánh hai VCB Cho  ( x) và  ( x ) là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x  xo ). Khi đó tốc độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng. Cụ thể ta có các định nghĩa:  ( x) Nếu lim  0 thì ta nói  ( x) là VCB bậc cao hơn VCB  ( x ) trong quá trình đó (  ( x) dần  ( x) tới 0 nhanh hơn  ( x ) khi x  xo )  ( x) Nếu lim  L  0 thì ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (  ( x) và  ( x)  ( x ) dần tới 0 ngang nhau khi x  xo . Đặc biệt khi L  1 ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB tương đương, kí hiệu là  ( x)   ( x) . Ví dụ Một số VCB tương đương cơ bản khi x  0 (ax)2 1 sin x  x ; tgx  x ; arcsin x  x ; arctgx  x; 1  cos ax  log (1  x)  x ; 2 a ln a  1  x   1   x ; ln(1  x)  x ; a x -1  x ln a ; e x -1  x ; an x n  an 1 x n 1  ...  a p x p  a p x p , ( n  p , a p  0) Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập) Ví dụ So sánh cấp của các VCB:  ( x)  sin x  tgx;  ( x)  1  cos x , khi x  0 Ta có: 5
NGUYỄN QUỐC TIẾN  1  sin x  1    ( x) sin x  tgx  cos x  sin x lim  lim  lim  lim 0 x 0  ( x) x  0 1  cos x x 0 1  cos x x  0 cos x Do đó,  ( x) là VCB cấp cao hơn  ( x ) Ví dụ So sánh cấp của các VCB:  ( x)  1  cos x,  ( x)  x 2 , x  0  ( x) 1  cos x 1 Ta có: lim  lim 2  0 x 0  ( x) x0 x 2 Do đó,  ( x ) và  ( x) là hai VCB cùng cấp. 1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu  ( x )  1 ( x) và  ( x)  1 ( x) trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy  ( x)  ( x) lim  lim 1  ( x) 1 ( x ) ii) Cho  ( x) và  ( x) là hai VCB trong một quá trình và  ( x ) có cấp cao hơn  ( x) . Khi đó  ( x )   ( x)   ( x) . Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử  ( x) và  ( x) là hai VCB trong một quá trình nào đó.  ( x ) và  ( x) đều là tổng của  ( x) nhiều VCB . Khi đó giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong  ( x)  ( x ) và  ( x) . Ví dụ Tìm các giới hạn sau: x  3sin 2 x  4 sin 3 x 1) lim x 0 5 x  x3  x8 x  3sin 2 x  4 sin 3 x x 1 Ta có lim 3 8  lim  x 0 5x  x  x x 0 5x 5 1  x 1 2) lim . x 0 3 1  x 1 1 1 1 1 Khi x  0 ta có 1  x  1  (1  x) 2  1  x ; 3 1  x  1  (1  x) 3  1  x 2 3 1  x 1 3 1  x 1 3 Suy ra 3  . Vậy lim  2 x 0 3 2 1  x 1 1  x 1 tgx  sin x 3) lim x 0 x Khi x  0 , ta có: 6
NGUYỄN QUỐC TIẾN tgx  sin x x  x tgx  sin x   2 khi x  0 . Do đó lim 2 x x x0 x tgx  sin x  sin 3 x 4) Tính lim . x 0 x3 Ta có 1 x. x 2 sin x(1  cos x ) 1 tgx  sin x   2  x3 khi x  0 cos x 1 2 1 3 3 Do đó tgx  sin x  sin 3 x  x  x3  x3 khi x  0 2 2 3 3 x3 tgx  sin x  sin x 2 3 Suy ra 3  3  khi x  0 x x 2 tgx  sin x  sin 3 x 3 Vậy lim  x  x0 x3 2 1.3.4 Vô cùng lớn. Hàm f ( x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) trong một quá trình nào đó nếu lim f ( x )   x  x0 1 1 Ví dụ , , cot gx là những VCL khi x  0 còn x 2 , 2 x  1 là những VCL khi x   x sin x 1.3.5 So sánh hai VCL Cho f ( x ) và g ( x) là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x  xo ). Khi đó f ( x) nếu lim   thì ta nói f ( x ) là VCL cấp (bậc) cao hơn g ( x ) (theo nghĩa f ( x ) tiến tới  g ( x) f ( x) nhanh hơn g ( x) ). Nếu lim  L  0 thì ta nói f ( x ) và g ( x) là hai VCL ngang cấp trong g ( x) quá trình đó (  ( x) và  ( x) dần tới  ngang nhau). Đặc biệt khi L  1 ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCL tương đương, kí hiệu là  ( x)   ( x) . Ví dụ 1) So sánh cấp của các VCL f ( x)  x3  2, g ( x)  x ; x   f ( x) x3  2  2  Ta có lim  lim  lim  x 2 x     x  g ( x) x x x   x Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x) 2) So sánh cấp của các VCL: f ( x)  3 x6  2 x  1 và g ( x)  4 2 x8  4 x 2  2 x  1 khi x   7
NGUYỄN QUỐC TIẾN Ta có: 3 6 f ( x) x  2x 1 lim  lim x  g ( x) x  4 2x  4x2  2 x  1 8 2 1 3 1  lim x5 x 6 4 1 x  4 2 1 2 4 2 6  7  8 x x x Do đó, f ( x)  3 x6  2 x  1 và g ( x)  4 2 x8  4 x 2  2 x  1 là hai VCL cùng cấp 1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f ( x ) và g ( x) là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn x   ) và f ( x)  f1 ( x) , g ( x)  g1 ( x) . Khi đó trong cùng một quá trình ấy f ( x) f1 ( x) lim  lim g ( x) g1 ( x) Từ đó ta rút ra quy tắc sau: Giả sử f ( x ) và g ( x) là hai VCL trong quá trình nào đó. f ( x ) và g ( x) đều là tổng của nhiều f ( x) VCL. Khi đó giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong f ( x ) và g ( x) g ( x) . 3x 4  x 3  4 x  1 3x 4 3 Ví dụ lim 4  lim 4  x  2x  8 x  2x 2 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Các định nghĩa Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục tại xo  D nếu lim f ( x )  f ( x0 ) . Khi đó x0 gọi là điểm liên x  x0 tục của hàm f ( x ) . Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên (a, b) nếu f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b) Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x0  D nếu lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f ( x )  f ( x0 ) ). x  x0 x  x0 Hàm f ( x) được gọi là liên tục trên [a, b] nếu f ( x ) liên tục trên (a, b) và liên tục bên phải tại a, bên trái tại b. 8
NGUYỄN QUỐC TIẾN Nhận xét: f ( x ) liên tục tại x0  D khi và chỉ khi f ( x ) liên tục bên phải và bên trái tại x0 . Nếu hàm số sơ cấp f ( x ) có miền xác định là D thì f ( x ) liên tục trên D. Nếu f ( x ) liên tục trên [a, b] thì đồ thị của nó là một đường nối liền từ điểm A (a, f (a)) đến điểm B(b, f (b)) . Hình 1.6 1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục Giả sử f ( x), g ( x) là hai hàm liên tục trên [a, b] . Khi đó: f ( x) i) f ( x)  g ( x) và f ( x) g ( x) liên tục trên [a, b] , nếu g ( x)  0 thì liên tục trên [a, b] . g ( x) ii) f ( x) liên tục trên [a, b] . iii) Nếu u ( x) liên tục tại x0 và f (u ) liên tục tại u0  u ( x0 ) thì hàm f 0u ( x) liên tục tại x0 . iv) f ( x ) liên tục trên [a, b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó. 1.4.3 Điểm gián đoạn Nếu f ( x ) không liên tục tại x0  D thì ta nói f ( x ) gián đoạn tại x0 và điểm x0 gọi là điểm gián đoạn. Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại x0 , x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2. Ví dụ Xét tính liên tục của hàm 1, x  0  (1) f ( x )   sin 2 x  2 , x  0 Ta có sin 2 x lim f ( x )  lim  2  f (0)  1 . x 0 x 0 x Vậy f ( x ) gián đoạn tại x  0 ,và x  0 là điểm gián đoạn loại 1 1  x, x  0 (2) f ( x)   -1  x, x  0 9
NGUYỄN QUỐC TIẾN Hàm số gián đoạn tại x  0 và lim f ( x)  1, lim f ( x )  1 x  0 x 0 nên x  0 là điểm gián đoạn loại 1 2x  3 (3) f ( x)  , có điểm gián đoạn tại x0  2 x2 Ta có lim f ( x )   và lim f ( x )     x 2 x 2 Suy ra x0  2 là điểm gián đoạn loại 2. BÀI TẬP CHƯƠNG I Hàm số Câu 1. Tìm miền xác định của hàm số 1 a) y  ln 1  x 2 ; ds (1;1) b) y  arctan ; ds (1;  ) x 1 1 x 2 c) 2 ; ds (; ) d) e x  x 1 ; ds (; ) x  x 1 sin x c) ; ds (3;1) 2 x  2x  3 Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y  x b) y  x 2  4 x  4 e x  e x c) y  x  x  2 d) y  2 e x  e x e) y  2 Giới hạn hàm số Câu 1. Tính giới hạn của các dãy số sau: 1 n4  n  n a) lim ( n 2  n  n ) ; ds b) lim ;ds 1 n 2 n  1  n2 3n  4n  1 1 1  c) lim ;ds 0 d) lim    ...   n 2n  7 n n  1.2 2.3 n.(n  1)   Câu 2. Tính giới hạn sau: x2 x  2x  1 x 2 1 a) lim ;ds 1/ 2 b) lim ;ds 1 x  2 x2 x  3 x 1 x2  4 x  3 3 x 1 x4  a4 4 d) lim 2 ;ds 1/6 e) lim 3 3 ;ds a x 1 x  1 xa x a 3 f) lim( x  x 2  2 x ) ; ds : không tồn tại giới hạn x  g) lim(2 x  x 2  2 x ) ;ds  x  Câu 3. Tính giới hạn sau: 10
NGUYỄN QUỐC TIẾN (1  cos x) 2 1  cos 2 x a) lim ; ds 1/4 b) lim ; ds 1 x  0 x sin x tan 2 x x 0 sin 2 x sin 3 x tgx  sin x c) lim ; ds 3/2 d) lim ; ds 1/2 x  0 ln(2 x  1) x 0 x3 Câu 4. Tính giới hạn sau: a) lim(s in x  cos x)cot x ; ds e b) lim x ln x ; ds 0 x 0 x0 1 c) lim xe x ; ds 0 d) lim x 2( x 1) ; ds e x  x 1 x  sin 3 x  tan5 x e) lim ;ds 1/3 x 0 3x  x 2  9 x 6 Hàm số liên tục Câu 1. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng. 1  ( x  0) a) y   x 2 ; ds 2  a ( x  0) 1  cos x  x 2 ( x  0) b) y   ; ds 1  a  2 x 2 ( x  0)  2  x ln x 2 ( x  0) c) y    a ( x  0) Câu 2. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào  sin x x 1 x2  x  2 0 x  0  ( x  0) a) y  b) y  c) y   y x 2x  5 x2 1 x  0 a  ( x  0) 11
NGUYỄN QUỐC TIẾN 2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Đạo hàm tại một điểm f ( x )  f ( x0 ) Cho hàm số y  f ( x) xác định tại x0 và tại lân cận x0 . Khi đó nếu tỉ số x  x0 có giới hạn khi x  x0 thì ta nói f ( x) khả vi tại x0 hay f ( x ) có đạo hàm tại x0 và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f ( x ) tại x0 . Ký hiệu là f '( x0 ) hay y '( x0 ) .Vậy f ( x)  f ( x0 ) f '( x)  lim . x  x0 x  x0 Nếu đặt  x  x0  x x  x  x0    x  x0  x  0 Lúc đó f ( x 0  x )  f ( x 0 ) f '( x0 )  lim x  0 x Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0  ( a, b) . Khi đó đạo hàm của hàm số f ( x) là một hàm số xác định trên (a, b) . Cho nên ký hiệu của đạo hàm của y  f ( x) trên (a, b) là f '( x) hoặc y ' f ( x  x )  f ( x) Vậy y '  f '( x)  lim x  0 x Ví dụ Xét hàm số y  f ( x)  x 2 Ta có miền xác định của hàm số là R . Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là f ( x  x )  f ( x ) ( x  x) 2  x 2 y '  lim  lim x  0 x x  0 x ( x  x  x )( x  x  x )  lim  lim (2 x  x)  2 x x  0 x x  0 Do đó y '  f '( x)  ( x 2 ) '  2 x 2.1.2 Đạo hàm trái, đạo hàm phải f ( x 0  x )  f ( x 0 ) Đạo hàm trái của f ( x ) tại x0 là: f '( x0 )  lim  x  0 x f ( x0  x )  f ( x0 ) Đạo hàm phải của f ( x ) tại x0 là f '( x0 )  lim  x  0 x Nhận xét: 12
NGUYỄN QUỐC TIẾN Hàm số f ( x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f '( x0 )  f '( x0 ) . Khi đó f '( x0 )  f '( x0 )  f '( x0 ) . Nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 . Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số f ( x)  x tại x0  0 Xét tính liên tục:  lim (  x)  0  f (0)  x 0 Ta có lim f ( x)  lim x   x 0 x 0  xlim( x)  0  f (0)  0 Suy ra f ( x ) liên tục bên trái và liên tục bên phải tại x0  0 . Do đó f ( x ) liên tục tại x0  0 . Xét sự tồn tại f '(0) : Ta có: f ( x0  x )  f ( x0 ) f (0  x )  f (0) f ( x )  f (0) lim  lim  lim x  0 x x  0 x x  0 x  x  lim   1  f '(0  ) x x 0 x   lim  x  0 x   lim x  1  f '(0  )  x 0 x  Do đó f ( x ) không có đạo hàm tại x0  0 Vậy hàm số f ( x) | x | liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0  0 2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm Cho đường cong (C ) : y  f ( x) . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại M ( x0 , y0 )  (C ) bằng đạo hàm của f ( x ) tại điểm x0 và phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) tại M ( x0 , y0 ) là y - y0  f '( x0 )( x - x0 ) . Minh họa hình 2.1 Sau đây là bảng các đạo hàm cơ bản C' 0 ( C  const ) ' 1 ( x ) '   x 1 ,   R   x  n n n x n 1  ln x  '  1x 1 (log a x ) '  x ln a ( e) '  e x Hình 2.1 13
NGUYỄN QUỐC TIẾN (sin x) '  cos x (cos x)'  -sin x 1 (tgx)'  2  1  tg 2 x cos x 1 (cot gx) '   2  (1  cot g 2 x) sin x 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm Nếu hai hàm u ( x) và v ( x) có đạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và: (u  v) '  u ' v ' (ku ) '  ku ', k  R (u.v) '  u ' v  uv ' u u ' v - uv ' ( )'  , v0 v v2 2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp Xét hàm hợp y  y  u ( x)  nếu hàm y  y(u ) có đạo hàm đối với u và u  u ( x) có đạo hàm đối với x thì y  y  u ( x)  có đạo hàm đối với x và y '( x)  y '(u ).u '( x) Ví dụ Xét hàm số y  (1  x 3 )10 Ta có y '  10(1  x 3 )9 (1  x3 ) '  10(1  x 3 ) 9 3 x 2  30 x 2 (1  x 3 ) 9 Ví dụ Giả sử  ( x),  ( x) có đạo hàm với mọi x  R . Tính đạo hàm của hàm y   2 ( x)   2 ( x) Đặt u   2 ( x)   2 ( x) khi đó y  u Ta có 1 y '( x )  y '(u ).u '( x)   2 ( x) '( x )  2 ( x) '( x)  2 u  ( x) '( x)  ( x) '( x)   2 ( x)  2 ( x) x  1 Ví dụ Tính các đạo hàm của hàm số sau: y  1    x 1 Ta có ln y  x ln(1  ) x y' 1 1 Lấy đạo hàm hai vế ta được:  ln(1  )  y x x 1 14
NGUYỄN QUỐC TIẾN x  1  1 1  Suy ra y '   1   ln(1  )   x  x x  1  2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược Giả sử hàm số y  f ( x) có hàm ngược là x  f -1 ( y ) , nếu y có đạo hàm tại x0 và 1 y '( x0 )  0 thì hàm ngược x  f -1 ( y ) có đạo hàm tại y0  f ( x0 ) và x '( y0 )  y '( x0 ) Ví dụ Tính đạo hàm của y  f ( x)  arctgx Ta có y  arctgx  x  tgy  x '( y )  1  tg 2 y . 1 1 1 Do đó: y '( x )   2  x '( y ) 1  tg y 1  x2 Tương tự ta tính được đạo hàm của các hàm số ngược: 1 1 (arcsin x) '  ; (arccos x ) '   ; 2 1 x 1  x2 1 1 (arctgx ) '  2 ; ( arc cot gx) '   1 x 1  x2 2.1.7 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) . Hàm số f '( x) được gọi là đạo hàm cấp một của f ( x) . Nếu f '( x) khả vi thì đạo hàm của f '( x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f ( x ) và ký hiệu là f ''( x) . Vậy f ''( x)   f '( x )  ' Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n  1 của f ( x ) được gọi là đạo hàm cấp n của f ( x ) ký hiệu f ( n ) ( x) vậy f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  ' Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của y  f ( x )  xe x Ta có y '  e x  xe x  (1  x )e x y "  e x  (1  x) e x  (2  x )e x ... Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau y ( n )  (n  x)e x 2.2 Vi phân 2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a, b) và x  (a, b) , nếu hàm số y  f ( x) khả vi tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng f ( x)  f ( x  x) - f ( x)  f '( x)x  o(x ) với o (x) là VCB cấp cao hơn x khi x  0 . 15
NGUYỄN QUỐC TIẾN Biểu thức f '( x).x được gọi là vi phân của f ( x) tại x . Ký hiệu: df ( x) hoặc dy ( x) tức là df ( x)  f '( x).x Xét hàm y  f ( x)  x ta có f '( x )  1 nên df ( x)  dx  1.x  x từ đó ta có df ( x)  f '( x).x  f '( x).dx . Để ngắn gọn ta viết df  f '( x).dx Giả sử y  f ( x), x   (t ) là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm y  f  (t )  là df  ( f  (t ) ) ' dt  f '( x) x '(t )dt  f '( x)dx . Vậy dạng vi phân của hàm y  f ( x) không thay đổi dù x là biến độc lập hay là x là hàm khả vi theo biến t . Tính chất này gọi là tính bất biến của dạng vi phân. Ví dụ Tìm vi phân của hàm y  ln x dx Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta được dy  d (ln x)  x 2.2.2 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Cho hàm y  f ( x) khả vi tại x0 . Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại x0 là : f  f ( x0  x) - f ( x0 )  f '( x0 )x  o( x) Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng. f ( x0  x)  f '( x0 ) x  f ( x0 ) Ví dụ Tính gần đúng 122 Ta thấy 122  1211 Xét hàm y  f ( x)  x Áp đụng công thức gần đúng f ( x0  x)  f '( x0 ) x  f ( x0 ) suy ra 1 x0  x  .x  x0 . Chọn x0  121, x  1 ta được 2 x0 1 122  .1  121  0, 0454  11  11, 0454 2 121 Ví dụ Tính gần đúng sin 29o    Ta thấy sin 290  sin    . Xét hàm y  f ( x)  sin x  6 180    Ta có sin( x0  x)  cos x0 .x  sin x0 , áp dụng cho x0  , x  - ta được 6 180         1 3  sin 29 o  sin     sin  cos .     .  0, 484  6 180  6 6  180  2 2 180 16
NGUYỄN QUỐC TIẾN 2.2.3 Vi phân cấp cao Nếu hàm y  f ( x) khả vi trên (a, b) thì df  f '( x)dx được gọi là vi phân cấp một của f ( x ) , nó là một hàm số của x trên ( a , b) trong đó dx không đổi. Vi phân của vi phân cấp một gọi là vi phân cấp hai của hàm f ( x ) trên (a, b) ký hiệu: d 2 f tức là: d 2 f  d (df )  d [ f '( x)dx]  [ f '( x)dx]' dx  f "( x)(dx) 2 Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp (n -1) của hàm y  f ( x) được gọi là vi phân cấp n của f ( x ) . Ký hiệu d n f tức là : d n f  f ( n) ( x)(dx) n Chú ý : Công thức d n f  f ( n ) ( x)(dx) n chỉ đúng cho x là biến độc lập. Ví dụ 4. Xét hàm f ( x)  x3  2 x  1 Ta có df  (3x 2  2)dx; d 2 f  6 x(dx)2 ; d 3 f  6(dx)3 ; d 4 f  0 2.3 Ứng dụng đạo hàm 2.3.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital). Cho f ( x), g ( x)  0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0 ( x0 hữu hạn hoặc  ). Giả sử lim f ( x)  lim g ( x)  0 và g '( x)  0 với mọi x thuộc lân cận x0 . Khi đó nếu x  xo x  xo f '( x ) f ( x) lim L thì lim L x  xo g '( x ) x  xo g ( x) ax  xa 0 Ví dụ Tính lim (dạng ) xa xa 0 (a x  x a ) ' a x ln a  ax a 1 Ta có: lim  lim  a a ln a  a a . xa ( x  a ) ' x a 1 a x  xa Vậy lim  a a ln a  a a xa x  a 2.3.2 Định lí . Cho f ( x), g ( x)  0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0 . Giả sử lim f ( x)  lim g ( x)   và g '( x)  0 , với mọi x thuộc lân cận x0 . Khi đó: x  xo x  xo f '( x) f ( x) Nếu lim  L thì lim L x  xo g '( x ) x  xo g ( x) x  Ví dụ Tính lim x (dạng ) x  e  x' 1 x Ta có: lim x  lim x  0 . Vậy lim 0 x  (e ) ' x  e x  ex 17
NGUYỄN QUỐC TIẾN f '( x ) Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới x0 ), nếu lim x  x0 g '( x) f ( x) không tồn tại thì không kết luận được cho lim . Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới x  x0 g ( x) 0  hạn vẫn còn dạng vô định 0 hoặc thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa và  tiếp tục cho đến hết dạng vô định. 1  cos  x Ví dụ Tính lim x 1 x2  2x  1 Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được  sin  x  sin  x   cos  x  2 lim  lim  lim  . x 1 2x  2 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 1  cos  x 2 Vậy lim  x 1 x2  2x  1 2 x3 Ví dụ Tính lim x 0 x  sin x Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có: x3 3x 2 6x 6 lim  lim  lim  lim 6 x 0 x  sin x x 0 1  cos x x0 sin x x 0 cos x x3 Vậy lim 6 x 0 x  sin x Đối với các dạng vô định   , 0., 0 0 ,  0 và 1 ta phải đưa các dạng vô định đó về 0  một trong hai dạng 0 hoặc sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital.  Ví dụ Tính lim x.ln x ( dạng 0. ) x 0  Ta biến đổi để đưa giới hạn về dạng  1 ln x x   lim x  0 lim x ln x  lim  lim  x 0 x 0 1  x 0  1 x 0   2 x x 1 1  Ví dụ Tính lim   x  (dạng - ) x 0  x e 1  0 Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng 0 sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital x x x 1 1  e 1  x e 1 e 1 lim   x   lim x  lim x x  lim x x  x 0  x e 1  x  0 x (e  1) x  0 e  1  xe x  0 2e  xe 2 18
NGUYỄN QUỐC TIẾN Ví dụ Tính lim  x  ln 3 x  (dạng  -  ) x  ln 3 x Ta có: x  ln 3 x  x(1- ) và x 1 3 3ln 2 x. 2 ln x x  lim 3 ln x  lim 6 ln x  lim 6 1  0 lim  lim x  x x  1 x  x x  x x  x  ln 3 x  Vậy: lim  x  ln 3 x   lim x  1-   .1   x  x   x  Ví dụ Tính lim xsin x  ( dạng 0 0) x 0 sin x Ta có xsin x  eln x  esin x ln x . Do đó lim sin x ln x lim xsin x  lim esin x ln x  e x 0 x 0 x 0 Bây giờ ta đi tính lim sin x ln x (dạng 0.  ) x 0 1 ln x x  x sin 2 x lim sin x ln x  lim  lim  lim 2 0 x0 x 0 1 x0 cos x x 0 x cos x  2 sin x sin x lim sin x ln x Vậy lim xsin x  e x 0  e0  1 x0 Ví dụ Tính lim (1  x) ln x  ( dạng 1 ) x 0 lim (1 x 1)ln x lim x ln x   Ta có : lim (1  x)ln x  e x0   e x 0 x 0 mà lim x ln x  0 (đã xét ). Vậy lim (1  x) ln x  e 0  1   x 0 x 0 2 Ví dụ Tính lim x x ( dạng 0) x  1 2 ln x 2 lim ln x 2 lim 2 lim x Ta có lim x x  e x  x e x x e x 1  e0  1 x  2.3.3 Sự biến thiên của hàm số Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm hữu hạn trên (a, b) , khi đó ta có các kết quả sau : Nếu f ( x ) luôn tăng (giảm) trên [a, b] thì f '( x)  0, x  (a , b) ( f '( x)  0, x  (a , b) ) Nếu f '( x)  0, x  (a, b) ( f '( x)  0, x  (a , b) ) thì trên [ a, b] hàm f ( x ) đơn điệu tăng (giảm) Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange. Sinh viên tự chứng minh như bài tập. 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.