Bài giảng Toán cao cấp - Chương A: Hàm số một biến số

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:115

Thêm vào BST

Báo xấu

374
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương A: Hàm số một biến số" cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm số lượng giác ngược, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến số, đạo hàm,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương A: Hàm số một biến số

 ChươngA. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục ……………………………. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y  ¡ khác rỗng. Ánh xạ f : X  Y với x a y  f (x ) là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là:   G  y  f (x ) x  X . 1
Chương A. Hàm số một biến số – Nếu f (x 1)  f (x 2)  x 1  x 2 thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. x a) Hàm số f : ¡  ¡ thỏa y  f (x )  2 là đơn ánh. b) Hàm số f : ¡  [0;  ) thỏa f (x )  x 2 là toàn ánh. c) Hsố f : (0;  )  ¡ thỏa f (x )  ln x là song ánh. • Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm chẵn nếu: f ( x )  f (x ),  x  D f . • Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm lẻ nếu: f ( x )   f (x ),  x  D f . 2
 Chương A. Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g  D f . Khi đó, hàm số h(x )  ( f o g )(x )  f [g(x )] được gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( f o g)(x )  (g o f )(x ). VD 2. Hàm số y  2(x 2  1)2  x 2  1 là hàm hợp của f (x )  2x 2  x và g(x )  x 2  1. 3
Chương A. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,  1 ký hiệu g  f , nếu x  g(y ),  y  G f . Nhận xét  1 – Đồ thị hàm số y  f (x ) đối xứng với đồ thị của hàm số y  f (x ) qua đường thẳng y  x . x VD 3. Cho f (x )  2 thì  1 f (x )  log2 x , mọi x > 0. 4
 Chương A. Hàm số một biến số 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm sốy = arcsin x    • Hàm số y  sin x có hàm ngược trên  ;  là  2 2  1       f :[ 1; 1]   ;   2 2   x a y  arcsin x . VD 4. arcsin0  0;  arcsin( 1)   ; 2 3  arcsin  . 2 3 5
 Chương A. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm sốy = arccos x • Hàm số y  cosx có hàm ngược trên [0;  ] là  1 f : [ 1; 1]  [0;  ] x a y  arccosx .  VD 5. arccos0  ; 2 arccos( 1)   ; 3   1 2 arccos  ; arccos  . 2 6 2 3 Chú ý  arcsin x  arccosx  ,  x  [ 1; 1]. 2 6
 Chương A. Hàm số một biến số 1.2.3. Hàm sốy = arctan x    • Hàm số y  tan x có hàm ngược trên  ;  là    2 2  1    f : ¡   ;   2 2 x a y  arctan x . VD 6. arctan0  0;  arctan( 1)   ; 4  arctan 3  . 3   Quy ước. arctan     , arctan      . 2 2 7
Chương A. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm sốy = arccot x • Hàm số y  cot x có hàm ngược trên (0;  ) là f  1 : ¡  (0;  ) x a y  arc cot x .  VD 7. arc cot 0  ; 2 3 arc cot( 1)  ; 4  arc cot 3  . 6 Quy ước. arc cot(  )  0, arc cot(  )   . 8 ………………………………………
 Chương A. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  x 0  [a ; b], ký hiệu lim f (x )  L , nếu    0 cho trước ta tìm được   0 x  x0 sao cho khi 0  x  x 0   thì f (x )  L   . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  x 0  [a ; b], ký hiệu lim f (x )  L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b) \ {x 0} mà x  x0 x n  x 0 thì lim f (x n )  L . 9 n 
Chương A. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x    , ký hiệu lim f (x )  L , nếu    0 cho trước ta tìm x   được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x )  L   . • Tương tự, ký hiệu lim f (x )  L , nếu    0 cho x   trước ta tìm được N
 Chương A. Hàm số một biến số • Tương tự, ký hiệu lim f (x )    , nếu  M  0 có trị x  x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được   0 sao cho khi 0  x  x 0   thì f (x )  M . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x  x 0 với x  x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L . x  x 0 0 x x 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x  x 0 với x  x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L . x  x 0 0 x x 0 Chú ý. lim f (x )  L  lim f (x )  lim f (x )  L . x  x0 x x  x x 11 0 0
 Chương A. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Cho lim f (x )  a và lim g(x )  b . Khi đó: x  x0 x  x0 1) lim[C .f (x )]  C .a (C là hằng số). x  x0 2) lim[f (x )  g(x )]  a  b . x  x0 3) lim[f (x )g(x )]  ab ; x  x0 f (x ) a 4) lim  , b  0; x  x 0 g(x ) b 5) Nếu f (x )  g(x ),  x  (x 0   ; x 0   ) thì a  b . 6) Nếu f (x )  h(x )  g(x ),  x  (x 0  ; x 0   ) và lim f (x )  lim g(x )  L thì lim h(x )  L . x  x0 x  x0 x  x0 12
 Chương A. Hàm số một biến số Định lý Nếu lim u (x )  a  0, lim v(x )  b thì: x  x0 x  x0 v (x ) b lim[u (x )]  a . x  x0 2x  2x x  1 VD 1. Tìm giới hạn L  lim   . x    x  3 A. L  9; B. L  4; C. L  1; D. L  0. x  2x 2.x  1 Giải. Ta có: L  lim   2  2  B . x    x  3 13
 Chương A. Hàm số một biến số Các kết quả cần nhớ 1 1 1) lim    , lim    . x  0 x x  0 x an x n  an  1x n  1  ...  a 0 2) Xét L  lim , ta có: x  bm x m  bm  1x m  1  ...  b0 an a) L  nếu n  m ; bn b) L  0 nếu n  m ; c) L   nếu n  m . sin  x tan  x 3) lim  lim  1.  x 0  x  x 0  x 14
 Chương A. Hàm số một biến số 4) Số e: x 1  1   lim 1   lim 1 x  x  e. x     x  x 0 2x  3x   VD 2. Tìm giới hạn L  lim 1   . x    2x  1 2 3 2 A. L   ; B. L  e ; C. L  e ; D. L  1. 3x 2x .  2x 2 1  2x 2 1   3x   3x   Giải. L  lim 1   . x     2x  1 2    15
 Chương A. Hàm số một biến số 3x 3x Khi x   thì  0, 2x .  3 2 2 2x  1 2x  1 2x 2 1  3x   3x   lim 1    e  L  e 3  B . x    2x  1 2 16
Chương A. Hàm số một biến số 1 VD 3. Tìm giới hạn L  lim 1 tan2 x x  0   4x . 4 A. L   ; B. L  1; C. L  e ; D. L  e . 1 . tan2 x  1 4x    Giải. L  lim  1 tan2 x x  0   tan2 x     2   1  tan x  .  1 4  x     2  lim  1 tan x x  0   tan2 x    4 e  C .   ……………………………………… 17
Chương A. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa Hàm số  (x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi x  x 0 nếu lim  (x )  0 (x 0 có thể là vô cùng). x  x0   VD 1.  (x )  tan3 sin 1 x là VCB khi x  1 ; 1  (x )  là VCB khi x    . 2 ln x 18
 Chương A. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu  (x ),  (x ) là các VCB khi x  x 0 thì  (x )   (x ) và  (x ). (x ) là VCB khi x  x 0. 2) Nếu  (x ) là VCB và  (x ) bị chận trong lân cận x 0 thì  (x ). (x ) là VCB khi x  x 0. 3) lim f (x )  a  f (x )  a   (x ), trong đó  (x ) là x  x0 VCB khi x  x 0. 19
 Chương A. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa  (x ) Cho  (x ),  (x ) là các VCB khi x  x 0, lim  k . x  x 0  (x ) Khi đó: – Nếu k  0, ta nói  (x ) là VCB cấp cao hơn  (x ), ký hiệu  (x )  0( (x )) . – Nếu k   , ta nói  (x ) là VCB cấp thấp hơn  (x ). – Nếu 0  k   , ta nói  (x ) và  (x ) là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k  1, ta nói  (x ) và  (x ) là các VCB tương đương, ký hiệu  (x ) :  (x ) . 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn