zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4.3 - Khoảng tin cậy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Báo xấu

45
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 4.3 - Khoảng tin cậy" trình bày các nội dung chính sau đây: Khoảng tin cậy cho kỳ vọng; Khoảng tin cậy cho phương sai; Khoảng tin cậy cho tỷ lệ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4.3 - Khoảng tin cậy

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Chương 4 THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 (1) Phòng BIS.201–D3.5 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 1/88 SAMI.HUST – 2023 1 / 88
4.3. KHOẢNG TIN CẬY 1 4.3.1 Khái niệm 2 4.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 4.3.2.1 Trường hợp phương sai V (X) = σ 2 đã biết 4.3.2.2 Trường hợp mẫu kích thước lớn 4.3.2.3 Trường hợp phương sai V (X) = σ 2 chưa biết 3 4.3.2 Khoảng tin cậy cho phương sai 4.3.2.1 Khoảng tin cậy hai phía 4.3.2.2 Khoảng tin cậy một phía 4 4.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 4.3.3.1 Xấp xỉ phân phối chuẩn cho tỷ lệ 4.3.3.2 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 5 Bài tập Mục 4.3 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 2/88 SAMI.HUST – 2023 2 / 88
Khái niệm Xét một biến ngẫu nhiên X với θ là một tham số chưa biết của X (θ có thể là kỳ vọng, phương sai hoặc tỷ lệ. . . ). Từ biến ngẫu nhiên này ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n, WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Khi đó, nếu định nghĩa được hai thống kê Θi = gi (X1 , X2 , . . . , Xn ), i = 1, 2, sao cho, với một số γ lớn gần 1 cho trước, γ có thể là 0,95; 0,99; 0,995 . . . , ta thu được hệ thức P (Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 ) = γ, thì, ta đã xây dựng được một ước lượng khoảng cho tham số θ và Khoảng ngẫu nhiên (Θ1 ; Θ2 ) được gọi là khoảng tin cậy cho tham số θ. γ được gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng. Θ2 − Θ1 được gọi là độ dài của khoảng tin cậy. Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ta thu được mẫu cụ thể Wx = (x1 , x2 , . . . , xn ), từ đó, tính được các giá trị của Θ1 và Θ2 , ký hiệu là θ1 và θ2 . Như vậy, có thể nhận định tham số θ nằm trong khoảng (θ1 , θ2 ). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 3/88 SAMI.HUST – 2023 3 / 88
Khái niệm Các cận Θ1 và Θ2 phụ thuộc vào mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) nên chúng là các biến ngẫu nhiên. Đôi khi ta chỉ quan tâm đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của tham số. Ví dụ, xét hai kết luận sau: “Với xác suất 95% thì chiều cao trung bình của người Việt Nam nhỏ hơn 168 centimét”. “Với xác suất 95%, chiều cao trung bình của sinh viên Đại học Bách khoa Hà Nội lớn hơn 165 centimét”. Ở kết luận thứ nhất, với độ tin cậy 95% thì chiều cao trung bình của người Việt Nam nằm trong khoảng (0; 168) và ta chỉ quan tâm đến giá trị lớn nhất. Ở kết luận thứ hai, với độ tin cậy 95% thì chiều cao trung bình của sinh viên Đại học Bách khoa Hà Nội thuộc khoảng (165; +∞) và ta chỉ quan tâm đến giá trị nhỏ nhất. Các khoảng tin cậy dạng này được gọi là khoảng tin cậy một phía. Khoảng tin cậy mà chỉ quan tâm đến cận trên được gọi là khoảng tin cậy trái. Khoảng tin cậy mà chỉ quan tâm tới cận dưới được gọi là khoảng tin cậy phải. Khoảng tin cậy mà ta quan tâm tới cả hai cận (trên và dưới) được gọi là khoảng tin cậy hai phía. Trong trường hợp các cận trên, cận dưới đối xứng qua ước lượng điểm của tham số thì ta có khoảng tin cậy đối xứng. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 4/88 SAMI.HUST – 2023 4 / 88
4.3. KHOẢNG TIN CẬY 1 4.3.1 Khái niệm 2 4.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 4.3.2.1 Trường hợp phương sai V (X) = σ 2 đã biết 4.3.2.2 Trường hợp mẫu kích thước lớn 4.3.2.3 Trường hợp phương sai V (X) = σ 2 chưa biết 3 4.3.2 Khoảng tin cậy cho phương sai 4.3.2.1 Khoảng tin cậy hai phía 4.3.2.2 Khoảng tin cậy một phía 4 4.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 4.3.3.1 Xấp xỉ phân phối chuẩn cho tỷ lệ 4.3.3.2 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 5 Bài tập Mục 4.3 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 5/88 SAMI.HUST – 2023 5 / 88
Bài toán Bài toán 1 Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N (µ; σ 2 ) với kỳ vọng E(X) = µ chưa biết cần ước lượng. Từ biến ngẫu nhiên X, lập mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) kích thước n và xét bài toán tìm khoảng tin cậy cho µ dựa trên các quan sát Wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). Ta xét các trường hợp sau đây Phương sai V (X) = σ 2 đã biết. Mẫu kích thước lớn. Phương sai V (X) = σ 2 chưa biết. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 6/88 SAMI.HUST – 2023 6 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết Vì X ∼ N (µ; σ 2 ), nên X −µ Z= √ ∼ N (0; 1). (38) σ/ n Ký hiệu zα/2 là giá trị tới hạn mức α/2 sao cho diện tích miền giới hạn bởi đường cong chuẩn, trục hoành và bên phải zα/2 là α/2. Khi đó, X −µ P − zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 = 1 − α hay P − zα/2 ≤ √ ≤ zα/2 = 1 − α σ/ n (xem Hình 7). Suy ra, σ σ P X − zα/2 √ ≤ µ ≤ X + zα/2 √ = 1 − α. (39) n n Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 7/88 SAMI.HUST – 2023 7 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết N (0; 1) 1−α α/2 α/2 −zα/2 0 zα/2 z Hình 7: P (−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 ) = 1 − α Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 8/88 SAMI.HUST – 2023 8 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết Định lý 8 Nếu X là kỳ vọng mẫu của mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) kích thước n lấy từ biến ngẫu nhiên X ∼ N (µ; σ 2 ) với σ 2 đã biết, thì khoảng tin cậy đối xứng cho µ với độ tin cậy 1 − α được cho bởi σ σ X − zα/2 √ ≤ µ ≤ X + zα/2 √ , (40) n n ở đây, zα/2 là giá trị tới hạn mức α/2 của phân phối chuẩn được xác định từ hệ thức Φ(zα/2 ) = 1 − α/2. Khi có mẫu cụ thể WX = (x1 , x2 , . . . , xn ), ta tính được giá trị cụ thể x của X và nhận được khoảng tin cậy đối xứng cho µ là σ σ x − zα/2 √ ≤ µ ≤ x + zα/2 √ . (41) n n Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 9/88 SAMI.HUST – 2023 9 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết Ví dụ 25 Trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 6 gam. Cân thử 36 sản phẩm loại này ta thu được kết quả sau: 177 165 152 174 159 166 160 152 162 175 158 169 166 162 181 168 170 150 173 164 167 177 167 175 165 182 166 158 166 170 168 165 160 160 169 166 (a) Với độ tin cậy 1 − α = 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên. (b) Nếu yêu cầu độ tin cậy là 99% thì kết quả thế nào? Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 10/88 SAMI.HUST – 2023 10 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết Giải. (a) Đây là bài toán ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng E(X) = µ của biến ngẫu nhiên gốc X ∼ N (µ; σ 2 ) với σ = 6. Với độ tin cậy 1 − α = 0, 95, Φ(zα/2 ) = Φ(z0,025 ) = 0, 975. Suy ra z0,025 = 1, 96. Từ số liệu đã cho, kích thước mẫu n = 36, trung bình mẫu x = 166, 22 (gam), áp dụng (41), suy ra khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình của sản phẩm với độ tin cậy 95% là 6 6 166, 22 − 1, 96 × √ ≤ µ ≤ 166, 22 + 1, 96 × √ 36 36 hay 164, 26 ≤ µ ≤ 168, 18. Như vậy, dựa trên dữ liệu mẫu, trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên từ 164,26 gam đến 168,18 gam. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 11/88 SAMI.HUST – 2023 11 / 88
Khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng, phương sai đã biết (b) Nếu yêu cầu độ tin cậy 1 − α = 99%, zα/2 = z0,005 = 2, 58. Khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của sản phẩm với độ tin cậy 99% là 6 6 166, 22 − 2, 58 × √ ≤ µ ≤ 166, 22 + 2, 58 × √ 36 36 hay 163, 64 ≤ µ ≤ 168, 80. Trên cùng một mẫu dữ liệu, nếu độ tin cậy càng lớn thì độ dài của khoảng tin cậy càng lớn. Không thể viết P (164, 26 ≤ µ ≤ 168, 18) = 0, 95 vì độ tin cậy gắn với khoảng tin cậy ngẫu nhiên chứ không gắn với mẫu cụ thể. Hơn nữa vì µ là một hằng số nên nó chỉ có thể thuộc hoặc không thuộc khoảng (164,26; 168,18) nên (164, 26 ≤ µ ≤ 168, 18) không phải là sự kiện ngẫu nhiên. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 12/88 SAMI.HUST – 2023 12 / 88
Sai số của ước lượng. Kích thước mẫu Giả sử θ là một tham số của tổng thể và Θ = g(X1 , X2 , . . . , Xn ) là một hàm ước lượng điểm cho θ dựa trên mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) kích thước n. Cho trước số ε > 0 và 1 − α ∈ (0; 1), ta nói rằng Θ có sai số ε với độ tin cậy 1 − α nếu P θ − Θ ≤ ε ≥ 1 − α. (42) Nếu kích thước mẫu n càng lớn thì sai số càng nhỏ. Tuy nhiên kích thước mẫu càng lớn thì nhà nghiên cứu càng tốn nhiều thời gian, tiền bạc và công sức cho việc thu thập dữ liệu. Bài toán đặt ra là cần chọn kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu để đủ đạt được sai số mong muốn. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 13/88 SAMI.HUST – 2023 13 / 88
Sai số của ước lượng. Kích thước mẫu Giả sử với độ tin cậy 1 − α cho trước, ta muốn có ước lượng cho giá trị trung bình µ với sai số không quá ε. Nếu X ∼ N (µ; σ 2 ) với σ 2 đã biết thì σ P X − µ ≤ zα/2 √ = 1 − α. (43) n σ Do đó nếu n thỏa mãn zα/2 √n ≤ ε hay tương đương với σ 2 (zα/2 )2 n≥ (44) ε2 thì σ P |X − µ| ≤ ε ≥ P |X − µ| ≤ zα/2 √ = 1 − α. n Ta sẽ chọn kích thước mẫu n là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn điều kiện (44) thì sẽ đạt được sai số mong muốn với độ tin cậy 1 − α. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 14/88 SAMI.HUST – 2023 14 / 88
Sai số của ước lượng. Kích thước mẫu √ Độ dài khoảng tin cậy đối xứng trong (41) là 2zα/2 σ/ n. Như vậy, nếu sử dụng x để ước lượng µ, thì sai √ số |x − µ| nhỏ hơn hoặc bằng ε = zα/2 σ/ n với độ tin cậy (1 − α). Với phương sai σ 2 đã biết không đổi và độ tin cậy 1 − α không đổi thì giá trị zα/2 không đổi, do đó sai số của ước lượng chỉ phụ thuộc vào kích thước mẫu n. Ví dụ 26 Trong Ví dụ 25(a), sai số của ước lượng là 6 ε = 1, 96 × √ = 1, 96. 36 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 15/88 SAMI.HUST – 2023 15 / 88
Sai số của ước lượng. Kích thước mẫu Ví dụ 27 Cần một kích thước mẫu là bao nhiêu nếu muốn ước lượng khoảng tin cậy cho µ trong Ví dụ 25 với độ tin cậy 95% và sai số của ước lượng là 1? Giải. Ta có ε = 1, σ = 6, zα/2 = 1, 96. Từ (44), 62 (1, 96)2 n≥ = 138, 2976. 12 Nghĩa là ta phải cân ít nhất 139 sản phẩm. Tuy nhiên, vì ta đã cân 36 sản phẩm, nên thực tế cần cân bổ sung thêm 133 sản phẩm nữa. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 16/88 SAMI.HUST – 2023 16 / 88
Khoảng tin cậy một phía cho kỳ vọng, phương sai đã biết Ta có X −µ σ P √ ≤ zα = 1 − α hay P µ > X − zα √ = 1 − α. σ/ n n Tương tự, X −µ σ P √ > −zα = 1 − α hay P µ < X + zα √ = 1 − α. σ/ n n Từ đó ta có công thức xác định khoảng tin cậy một phía cho kỳ vọng E(X) = µ như sau. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 17/88 SAMI.HUST – 2023 17 / 88
Khoảng tin cậy một phía cho kỳ vọng, phương sai đã biết Định lý 9 Giả sử X là trung bình mẫu của mẫu ngẫu nhiên WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) kích thước n lấy từ tổng thể phân phối chuẩn với phương sai là σ 2 . Khi đó, Khoảng tin cậy trái cho µ với độ tin cậy (1 − α) là σ −∞ < µ ≤ X + zα √ . (45) n Khoảng tin cậy phải cho µ với độ tin cậy (1 − α) là σ X − zα √ ≤ µ < +∞, (46) n ở đây, zα là giá trị tới hạn mức α của phân phối chuẩn được xác định từ hệ thức Φ(zα ) = 1 − α. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 18/88 SAMI.HUST – 2023 18 / 88
Khoảng tin cậy một phía cho kỳ vọng, phương sai đã biết Định lý 9 (tiếp theo) Khi có mẫu cụ thể Wx = (x1 , x2 , . . . , xn ), ta tính được giá trị cụ thể x của X và nhận được khoảng tin cậy một phía cho µ ứng với mẫu này. Khoảng tin cậy trái cho µ là σ −∞ < µ ≤ x + zα √ . (47) n Khoảng tin cậy phải cho µ là σ x − zα √ ≤ µ < +∞. (48) n Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 19/88 SAMI.HUST – 2023 19 / 88
Khoảng tin cậy một phía cho kỳ vọng, phương sai đã biết Ví dụ 28 Với số liệu trong Ví dụ 25, với độ tin cậy 99% hãy tính cận trên của khoảng tin cậy phải dựa vào số liệu đã cho. Giải. Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng của tổng thể phân phối chuẩn, phương sai đã biết bằng khoảng tin cậy một phía (khoảng tin cậy phải). Với độ tin cậy 1 − α = 99% suy ra Φ(zα ) = Φ(z0,01 ) = 0, 99. Suy ra z0,01 = 2, 33 (xem Hình 8). Giá trị bé nhất cho trọng lượng trung bình là σ 6 x − zα √ = 166, 22 − 2, 33 √ = 163, 89. n 36 Như vậy, với độ tin cậy 99%, ta tính được cận trên của khoảng tin cậy phải là 163,89 gam. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 4 – MỤC 4.3 20/88 SAMI.HUST – 2023 20 / 88

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.