Bài giảng Xác suất thống kê Chương 6: ThS. Nguyễn Phương (tóm tắt, đầy đủ)

Chương 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 27 tháng 1 năm 2015

Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ của X. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu. Đây là một trong những bài toán cơ bản của thống kê. Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ . Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm. Ngoài ra, ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1, θ2) có thể chứa được θ. Ước lượng này được gọi là ước lượng khoảng.

1 Ước lượng điểm

2 Ước lượng khoảng

Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm

Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2 biết Trường hợp 2: n ≥ 30, σ2 chưa biết Trường hợp 3: n < 30, σ2 biết, X có phân phối chuẩn Trường hợp 4: n < 30, σ2 chưa biết, X có phân phối chuẩn Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng

Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng

Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể

Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể Trường hợp 1: biết trung bình tổng thể µ Trường hợp 2: chưa biết trung bình tổng thể µ

Ước lượng điểm

Bài toán: Giả sử cần ước lượng tham số θ của biến ngẫu nhiên X. Từ X, ta lập mẫu ngẫu nhiên có kích cỡ n:(X1, X2, . . . , Xn). Ta chọn hàm ˆθ = f(X1, X2, . . . , Xn) để ước lượng cho tham số θ. Khi đó, ˆθ được gọi là hàm ước lượng cho θ. Ta thường chọn, hàm ước lượng:

n(cid:80) i=1

Xi để ước lượng cho trung bình tổng thể µ. Chọn ˆθ = X = 1 n

(Xi − X)2 để ước lượng cho phương sai tổng thể σ2. Chọn ˆθ = S2 = 1 n−1

n(cid:80) i=1 n(cid:80) i=1

Xi để ước lượng cho tỉ lệ tổng thể p. Chọn ˆθ = Fn = 1 n

Từ mẫu cụ thể (x1, x2, . . . , xn), ta tính được giá trị ˆθ∗ = f(x1, x2, . . . , xn). Khi đó, ˆθ∗ được gọi là ước lượng điểm của θ.

Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng

Có vô số cách chọn hàm ước lượng, do đó có vô số ước lượng của tham số θ cho trước. Vì vậy, cần đưa ra tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước lượng. Từ đó, chọn được hàm ước lượng tốt. a) Ước lượng không chệch:

Định nghĩa Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng không chệch của tham số θ nếu E( ˆθ) = θ. Ngược lại, nếu E( ˆθ) (cid:44) θ thì ˆθ được gọi là ước lượng chệch của θ.

Ý nghĩa

- Ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0 (vì E( ˆθ) − θ = 0 ). - Giá trị của ˆθ không bị chệch về một phía.

Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng

b) Ước lượng hiệu quả:

Định nghĩa Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng hiệu quả của tham số θ nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch của θ.

P−→ θ.

c) Ước lượng vững:

Định nghĩa Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu ˆθ(X1, X2, . . . , Xn)

Var( ˆθ) = 0 thì ˆθ là ước lượng

Định lý Nếu ˆθ là ước lượng không chệch của θ và lim n→∞ vững cho θ.

Ý nghĩa Với n đủ lớn thì với xác suất gần 1, ta có ˆθ ≈ θ.

Ước lượng điểm Các phương pháp ước lượng điểm

a) Sử dụng các đặc trưng mẫu:

i=1 f(xi, θ).

F, X, S2 là ước lượng không chệch, vững cho p, µ, σ2. (cid:98)S2 là ước lượng chệch, vững cho σ2. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì X là ước lượng hiệu quả cho µ, nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả cho p.

b) Phương pháp ước lượng hợp lí tối đa Nguyên lí hợp lí tối đa: Tìm giá trị θ là hàm của quan sát (x1, x2, . . . , xn) sao cho xác suất thu được tại các quan sát đó lớn nhất. Giả sử X có hàm mật độ xác suất f(x) từ mẫu (x1, x2, . . . , xn) lập hàm hợp lí: L(x1, x2, . . . , xn, θ) = (cid:81)n Giá trị của hàm hợp lí chính là xác suất (hay mật độ xác suất) tại điểm (x1, x2, . . . , xn). Giá trị θ∗ được gọi là ước lượng hợp lí tối đa của tham số θ nếu ứng với giá trị này hàm hợp lí đạt cực đại.

Ước lượng khoảng

Cho xác suất 1 − α, từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, . . . , Xn), tìm các thống kê ˆθ1, ˆθ2 sao cho P( ˆθ1 < θ < ˆθ2) = 1 − α. Khi đó,

1 − α : độ tin cậy của ước lượng. ( ˆθ1, ˆθ2) : khoảng tin cậy của ước lượng. ˆθ2 − ˆθ1 = 2(cid:15) : độ dài của ước lượng; (cid:15) được gọi là độ chính xác của ước lượng.

Với mẫu cụ thể (x1, x2, . . . , xn), ˆθ1 nhận giá trị θ1 và ˆθ2 nhận giá trị θ2, khi đó (θ1, θ2) được gọi là ước lượng khoảng của θ. Bài toán tìm ước lượng khoảng với độ tin cậy 1 − α còn được gọi là bài toán tìm khoảng tin cậy 1 − α.

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Bài toán: Giả sử tổng thể có E(X) = µ chưa biết. Với độ tin cậy 1 − α, tìm khoảng tin cậy cho µ. Nhắc lại phân phối của trung bình mẫu: √ n ( ¯X − µ) Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2 biết: G = (cid:39) N(0, 1). √ σ ( ¯X − µ) n (cid:39) N(0, 1). S Trường hợp 2: n ≥ 30, σ2 chưa biết: G = Trường hợp 3: n < 30, σ2 biết, X có phân phối chuẩn: √ n ( ¯X − µ) ∼ N(0, 1). σ G = Trường hợp 4: n < 30, σ2 chưa biết, X có phân phối chuẩn: √ ( ¯X − µ) n G = ∼ T(n − 1). S

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2 biết

(cid:33) (cid:32) σ √ σ √ Khoảng tin cậy đối xứng n n x − zα/2 (cid:32) σ √ Khoảng tin cậy bên phải x − zα n , x + zα/2 (cid:33) , +∞ (cid:33) (cid:32) σ √ Khoảng tin cậy bên trái −∞, x + zα n

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Trường hợp 2: n ≥ 30, σ2 chưa biết

(cid:33) (cid:32) Khoảng tin cậy đối xứng s √ n s √ n x − zα/2 (cid:32) Khoảng tin cậy bên phải x − zα s √ n , x + zα/2 (cid:33) , +∞ (cid:33) (cid:32) Khoảng tin cậy bên trái −∞, x + zα s √ n

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Trường hợp 3: n < 30, σ2 biết, X có phân phối chuẩn

Giống trường hợp 1.

σ√ n

(cid:19) Khoảng tin cậy đối xứng

σ√ n

Khoảng tin cậy bên phải , x + zα/2 (cid:19) , +∞ (cid:19) Khoảng tin cậy bên trái (cid:18) σ√ x − zα/2 n (cid:18) x − zα (cid:18) −∞, x + zα

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Trường hợp 4: n < 30, σ2 chưa biết, X có phân phối chuẩn

s√ n

(cid:19) Khoảng tin cậy đối xứng , x + t(n−1,α/2)

s√ n

Khoảng tin cậy bên phải (cid:19) , +∞ (cid:19) Khoảng tin cậy bên trái (cid:18) x − t(n−1,α/2) (cid:18) x − t(n−1,α) (cid:18) −∞, x + t(n−1,α)

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

σ√ n

s√ n

σ√ n x − zα

σ√ n

s√ n

s√ n Trường hợp 4

(cid:19) (cid:19) (cid:18) Đối xứng (cid:18) x − zα/2 (cid:18) Trường hợp 2 , x + zα/2 (cid:19) , +∞ Bên phải Trường hợp 1 , x + zα/2 (cid:19) , +∞ (cid:19) (cid:18) (cid:19) Bên trái −∞, x + zα x − zα/2 s√ n (cid:18) x − zα (cid:18) −∞, x + zα

σ√ n

s√ n

σ√ n x − zα

σ√ n

s√ n

σ√ n Trường hợp 3 , x + zα/2 (cid:19) , +∞ (cid:19)

σ√ n

s√ n

(cid:19) (cid:18) (cid:19) Đối xứng , x + t(n−1,α/2) (cid:18) x − zα/2 (cid:18) (cid:19) Bên phải , +∞ (cid:19) (cid:18) Bên trái −∞, x + zα x − t(n−1,α/2) (cid:18) x − t(n−1,α) (cid:18) −∞, x + t(n−1,α)

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Ví dụ

Khảo sát về thu nhập của 100 nhân viên (đv: triệu đồng/tháng)làm việc trong một công ty thu được kết quả:

Thu nhập Số người 1 2 2 5 3 8 4 12 5 17 6 16 7 24 8 16

a) Biết rằng thu nhập của các nhân viên là biến ngẫu nhiên có độ lệch chuẩn 200 ngàn đồng. Hãy ước lượng thu nhập trung bình của một nhân viên làm việc ở công ty này với độ tin cậy 95%.

b) Trong trường hợp không cho phương sai tổng thể.Hãy ước lượng thu nhập trung bình của một nhân viên làm việc ở công ty này với độ tin cậy 95%. c) Những nhân viên có thu nhập ≤ 3 triệu đồng/ tháng được gọi là thu nhập thấp. Hãy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập thấp với độ tin cậy 95%.

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

√

(cid:15)

s√ n

α/2s2 z2 ε2

−→ zα/2 = −→ Φ(zα/2) −→ 1 − α = 2Φ(zα/2) Bài toán 1: Biết 1 − α, n, tìm độ chính xác (cid:15). Bài toán 2: Biết (cid:15), n, tìm độ tin cậy 1 − α. (cid:15) = zα/2 Bài toán 3: Biết 1 − α, (cid:15), tìm kích thước mẫu tối thiểu cần điều tra n, tìm kích   thước mẫu tối thiểu cần điều tra thêm m: n = + 1  

Ví dụ

Chủ một kho cung cấp sơn muốn ước lượng lượng sơn chứa trong một thùng. Điều tra một mẫu 50 thùng được lượng sơn trung bình là 0,97 thùng, độ lệch chuẩn 0,08 thùng. a) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng lượng sơn trung bình trong thùng đạt độ chính xác 0,02 thùng thì đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu?

b) Nếu chủ kho muốn ước lượng lượng sơn trung bình trong thùng đảm bảo độ chính xác 0,02 thùng và độ tin cậy 99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu thùng nữa.

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể

Bài toán: Giả sử tỉ lệ p của tổng thể chưa biết. Với độ tin cậy 1 − α, tìm khoảng tin cậy cho p.

f(1−f) n

f(1−f) n (cid:113)

f(1−f) n

(cid:33) (cid:32) (cid:113) (cid:113) Khoảng tin cậy đối xứng , f + zα/2 f − zα/2 (cid:32) f − zα Khoảng tin cậy bên phải (cid:33) , +∞ (cid:33) (cid:32) Khoảng tin cậy bên trái −∞, f + zα

Ví dụ

Giám đốc một ngân hàng muốn xác định số khách hàng gửi tiền tại ngân hàng được chi trả theo tuần. Một mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng có 30 người được chi trả theo tuần. Với độ tin cậy 90%, a) hãy ước lượng tỉ lệ khách hàng được chi trả theo tuần. b) hãy ước lượng số khách hàng được chi trả theo tuần, biết ngân hàng có 2000 khách hàng.

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể

f(1−f) n

f(1−f)

(cid:113) (cid:113) n −→ Φ(zα/2) −→ 1 − α = 2Φ(zα/2)

α/2f(1 − f) z2 ε2

Bài toán 1: Biết 1 − α, n, tìm độ chính xác (cid:15). Bài toán 2: Biết (cid:15), n, tìm độ tin cậy 1 − α. (cid:15) = zα/2 −→ zα/2 = (cid:15) Bài toán 3: Biết 1 − α, (cid:15), tìm kích thước mẫu tối thiểu cần điều tra n, tìm kích   thước mẫu tối thiểu cần điều tra thêm m: n = + 1  

Ví dụ

Phòng cảnh sát giao thông muốn ước lượng tỉ lệ xe chở quá tải với độ tin cậy 95% và độ chính xác không vượt quá 5% thì cần phải kiểm tra tối thiểu bao nhiêu lượt xe chạy trên đường. Biết một mẫu điều tra sơ bộ 100 xe thì thấy có 40 xe chở quá tải.

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

1 σ2

(n−1)S2

σ2 = 1 σ2

n(cid:80) i=1

(Xi − µ)2 ∼ χ2(n) nếu biết µ. Bài toán: Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X ∼ N (µ, σ2) với σ2chưa biết. Với độ tin cậy 1 − α, tìm khoảng tin cậy cho σ2. Nhắc lại: n(cid:80) i=1 (cid:16) (cid:17)2 ∼ χ2(n − 1). Xi − X

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

Trường hợp 1: biết trung bình tổng thể µ

(cid:80) ni(xi−µ)2

χ2

(n;

α 2 )

Khoảng tin cậy đối xứng ( ; )

(cid:80) ni(xi−µ)2 (n;1− α 2 ) ; +∞)

Khoảng tin cậy bên phải (

χ2

χ2 (cid:80) ni(xi−µ)2 χ2 (n;α) (cid:80) ni(xi−µ)2 (n;1−α)

Khoảng tin cậy bên trái (0; )

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

Trường hợp 2: chưa biết trung bình tổng thể µ

(n−1)s2 χ2

χ2

(n−1;

) Khoảng tin cậy đối xứng

(n−1;1− α 2 ) ; +∞)

χ2

(n−1;α)

Khoảng tin cậy bên phải

χ2

(n−1;1−α)

Khoảng tin cậy bên trái ( (n−1)s2 ; α 2 ) ( (n−1)s2 (0; (n−1)s2 )

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

)

(n;1−

(n;

)

(n−1;

)

(n−1;1−

Trường hợp 1 Trường hợp 2 (cid:80) ni(xi − µ)2 ; ( ) ( ; ) Đối xứng χ2 (n − 1)s2 χ2 (n − 1)s2 χ2 χ2 (cid:80) ni(xi − µ)2 α α α α

) 2 (n − 1)s2 χ2

(n−1;α)

Bên phải 2 ; +∞) ( ( 2 ; +∞)

(n;1−α)

(n−1;1−α)

(cid:80) ni(xi − µ)2 χ2 (n;α) (cid:80) ni(xi − µ)2 Bên trái (0; ) (0; ) χ2 (n − 1)s2 χ2

Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

Ví dụ

Mức hao phí nguyên liệu của một loại sản phẩm X cho một đơn vị sản phẩm có phân phối chuẩn. Người ta cân thử một mẫu 25 sản phẩm

X(gam) Số sản phẩm 19,5 5 20,0 18 20,5 2

Với độ tin cậy 90%, hãy tìm khoảng tin cậy cho độ lệch tiêu chuẩn của mức hao phí nguyên liệu trên. Trong hai trường hợp: a) Biết E(X) = 20. b) Không biết E(X).