Bài tập toán A2 : bài tập đại số tuyến tính

Chia sẻ: Kata_10 Kata_10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

204
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sưu tầm một số bài tập đại số tuyến tính trong chương trình toán học cao cấp a2 giúp cho các bạn chuyên ngành toán tham khảo để học tốt và chuẩn bị cho bài kiểm tra có kết quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán A2 : bài tập đại số tuyến tính

Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Hoï vaø teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Simpo PDF MergeÖÙng Duïng.Unregistered Version - http://www.simpopdf.com _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Boä moân Toaùn and Split Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ÑEÀ LUYEÄN TAÄP SOÁ 10 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian: 90 phuùt   2 1 −1 Caâu 1 : Tính det( A) , vôùi I laø ma traän ñôn vò caáp 3 vaø A =  3 4 . 100 0   −2 5 2 Caâu 2 : Trong khoâng gian I 3 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho hai khoâng gian con R F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } vaø G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >. Tìm chieàu vaø moät cô sôû cuûa ( F ∩ G) ⊥ . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû R R   2 2 −2 E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } laø A =  1 3 −1  .   −1 1 1 Tìm m ñeå veùctô ( 2 , 1 , m) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 4 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä  x +y + z+ t = 0   2x + 3y + 4z − t = 0 3x + 5y + 7z − 3t = 0   4x + 7y +1 0z − 5t = 0  Caâu 5 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 2 −→ I 2 , bieát R R f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ; f ( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) . Tìm cô sôû cuûa I 2 sao cho ma traän cuûa f trong cô sôû ñoù laø ma traän cheùo D. Tìm D. R Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 thoaû R R ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ I 3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 − x3 , 2 x1 − x2 + 2 x3 , x1 − x2 + 2 x3 ) . R Tìm ma traän A cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }. −1 1 6 Caâu 7 : Cho ma traän vuoâng caáp 2 A = . −2 0 11 Tìm ma traän B sao cho B 2010 = A. Caâu 8 : Chöùng minh raèng A laø ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 khoâng laø trò rieâng 1 cuûa A. Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa ma traän A, chöùng toû laø trò rieâng cuûa A−1 λ0 Giaûng vieân: TS Ñaëng Vaên Vinh
ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 1   7 4 16 Caâu 1 : Cho ma traän A =  2 8 . Tính A2010 , bieát A coù hai trò rieâng laø 1 vaø 3 . 5   −2 −2 −5 Caâu 2 : Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình   x1 + x2 − x3 − 2 x4 =0   2x + x2 − 3 x3 − 5 x4 =0 1  3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 =0   5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 =0  Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc laø R R   2 1 −1 . Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. A= 1 3 4   −1 1 0 Caâu 4 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû R R  2 1 −1 E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  3 4 . Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa kerf . 2   4 3 9 Caâu 5 : ChoA laø ma traän vuoâng tuøy yù, thöïc, caáp n, thoaû A10 = 0 . Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi A laø ma traän khoâng.   1 −2 3 Caâu 6 : Tìm m ñeå ma traän A =  −2 1  coù ba trò rieâng döông (coù theå truøng nhau). 5   3 1 m √ √ Caâu 7 : Trong heä truïc toaï ñoä Oxy cho ñöôøng cong ( C ) coù phöông trình 5 x2 +2 xy +5 y 2 −2 2 x+4 2 y = 0 . Nhaän daïng vaø veõ ñöôøng cong ( C ) . Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 1 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieå . m    −2 −1 −4 1 0 0 Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 1ñ) A = P DP ; P =  −1 0 . D =  0 0 . −1 1 3     1 0 1 0 0 3     1 1 4 1 0 0 = P D P , tính ra ñöôïc P =  1 4 ; D . 2010 2010 2010 −1 −1 2010 2 = 0 3 0 A     2010 −1 −1 −3 0 0 3 Caâu 2 (1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa khoâng gian nghieäm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 67
  1 1 1 Simpo PDF Merge and Splitcaùch laøm. Ma traän chuyeåhttp://www.simpopdf.comE laø: P =  2 Caâu 3 (1.5ñ). Coù nhieàu Unregistered Version - n cô sôû töø chính taéc sang 1 1   1 2 1   8 11 6 Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong cô sôû E laø B = P −1 AP = −2 −1 −2    −3 −9 −2 Caâu 4(1.5ñ) . Giaû  x ∈ Kerf ; [x = ( x1 , x2 , 3 ) . Khi f ( x) = 0 ⇔ [f ( x) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0 söû ñoù T ]E x     2 1 −1 x1 0 6α 4   x2  =  0  ⇔ [x]E =  −1 1 α ⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) . ⇔3 2       43 9 x3 0 α Dim( Kerf ) = 1 , cô sôû: ( 1 0 , −7 , 4 ) . Caâu 5 (1.5ñ). Vì A10 = 0 neân A chæ coù moät trò rieâng laø λ = 0 (theo tính chaát, neáu λ0 laø TR cuûa A, thì λ10 laø TR cuûa A10 . A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P −1 , D laø ma traän 0 neân A = 0 . 0 Caâu 6 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc coù ba trò rieâng döông, suy ra daïng toaøn phöông töông öùng xaùc ñònh döông ( hay ma traän ñaõ cho xaùc ñònh döông). Theo Sylvester, A xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi caùc ñònh thöùc con chính döông ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ 2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 . 51 Caâu 7(1.0ñ). Xeùt daïng toaøn phöông 5 x2 + 2 x1 x2 + 5 x2 coù ma traän A = . Cheùo hoùa tröïc 1 2 15 1 1 −1 60 giao ma traän A bôûi ma traän tröïc giao P = √ vaø ma traän cheùo D = 1 1 04 2 1 1 −1 1 Ñöôøng cong ( C ) coù ptrình trong heä truïc Ouv vôùi hai veùctô cô sôû laø √ , √ , √ , √ laø: 2 2 2 2 6 ( u + 1 ) 2 + 4 ( v + 3 ) 2 = 11 . Ñaây laø ñöôøng cong ellipse. Heä truïc Ouv thu ñöôïc töø heä Oxy baèng caùch 6 4 12 quay 1 goùc 4 5 ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà. o
ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 2 7 −3 Caâu 1 : a/ Cho ma traän A = . 10 −4 a/ Cheùo hoaù ma traän A. b/ AÙp duïng, tìm ma traän B sao cho B 20 = A. Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû R R  1 2 0 E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 1 −1 .   3 0 2 Tìm ma traän cuûa f trong cô sôû chính taéc .   3 2 2 Caâu 3 : Cho ma traän A =  −3 −3  . Tìm trò rieâng, cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa −2   2 2 3 ma traän A . 6   −5 3 3 Caâu 4 : Tìm m ñeå vectô X = ( 2 , 1 , m) laø veùctô rieâng cuûa ma traän A =  −3 3 . T 1   −3 3 1   1 3 −2 Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A =  3 −4  coù ñuùng hai trò rieâng döông vaø moät trò rieâng aâm. m   −2 −4 6 Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp quay trong heä truïc toaï ñoä Oxy quanh goác toïa ñoä CUØNG chieàu kim ñoàng hoà moät goùc 6 0 o . Tìm aùnh xaï tuyeán tính f . Giaûi thích roõ. Caâu 7 : Cho A laø ma traän vuoâng caáp n. Chöùng toû raèng A khaû nghòch khi vaø chæ khi λ = 0 KHOÂNG laø trò rieâng cuûa A. 1 Khi A khaû nghòch chöùng toû raèng neáu λ laø trò rieâng cuûa A, thì laø trò rieâng cuûa A−1 . λ Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 2 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 ñieåm; caâu 7: 1.0 ñieåm. 31 20 Caâu 1(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän ( 0.5ñ) A = P DP −1 ; P = . D= . 52 01 Ta coù A = P · D · P −1 . Giaû söû B = Q · D1 · Q−1 , ta coù B 20 = Q · D1 · Q−1 = A. Choïn Q = P vaø 20 √ 20 2 0 . Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1 √ D1 = 20 0 1 Caâu 2 (1.5ñ). Coù nhieàu caùch laøm. Goïi ma traän chuyeån cô sôû töø E sang chính taéc laøP . Khi ñoù ma   111 traän chuyeån cô sôû töø chính taéc sang E laø : P −1 =  2 1 1  Ma traän cuûa aùnh xaï tuyeán tính trong   121
  −6 52 cô PDF Merge and Split −1 AP = −9 Version - http://www.simpopdf.com sôû chính taéc laø B = P Unregistered 6 4    Simpo −1 2 8 4 Caâu 3 (1.5ñ). Giaû söû λ0 laø trò rieâng cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 . Khi ñoù A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ6 · x0 . 0 Laäp ptrình ñaëc tröng, tìm ñöôïc TR cuûa A: λ1 = 1 , λ2 = 2 , Cô sôû cuûa Eλ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, cuûa Eλ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. TR cuûa A6 : δ1 = 1 6 , δ2 = 2 6 , Cô sôû cuûa: Eδ1 : {( −1 ,  0 ) T , ( −1 , 0 , )  }, cuûa Eδ2 : ( 2 , −3 , 2 ) T }. 1T 1, {   −5 3 3 2 2 Caâu 4 (1.5ñ). x laø VTR cuûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔  −3 1 3   1  = λ ·  1  ⇔ m = 1      −3 3 1 m m Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x1 + mx2 + 6 x2 + 2 2 3 6 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 + 2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x2 . Ma traän A coù moät TR döông, 1 TR aâm ⇔ m < 1 1 . 3 Caâu 6 (1.5ñ). f : I −→ I 2 . f ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn neáu bieát aûnh cuûa moät cô sôû cuûa I 2 . 2 R R R Choïn cô sôû chính taéc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }. √ √ √ √ Khi ñoù f ( 1 , 0 ) = ( 1 , −2 3 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( 23 , 1 ) . f ( x, y ) = ( x + y 2 3 , −x2 3 + y ) 2 2 2 2 Caâu 7 (1.0ñ). A khaû nghòch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 khoâng laø TR cuûa A. Giaû söû λ0 laø TR cuûa A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ0 · x0 (vì λ0 = 0 ) → ñpcm. 1
ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 3 Caâu 1 : Trong khoâng gian I 4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc, cho khoâng gian con R F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 − 2 x4 = 0 & 2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0 & 3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0 } Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa F . Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuû f trong cô sôû a R R −1 4 −2 E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  −3 4 0 .   −3 1 3 Cheùo hoaù aùnh xaï tuyeán tính f . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuûa f trong cô sôû R R  1 1 2 E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 0 . 3   3 5 −4 Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa Imf . Caâu 4 : Cho A vaø B laø hai ma traän ñoàng daïng. Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi B cheùo hoaù ñöôïc.   1 4 −1 Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A =  4 m 2  coù ít nhaát moät trò rieâng aâm.   −1 2 4 Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + 2 x3 , −2 x1 + x2 + R R 2 x3 , x1 − x2 + x3 ) . Tìm m ñeå veùctô x = ( 2 , 2 , m) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp ñoái xöùng trong heä truïc toaï ñoä Oxy qua ñöôøng thaúng 2 x − 3 y = 0 . Tìm taát caû caùc trò rieâng vaø cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa f . Giaûi thích roõ. Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 3 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 ñieåm; caâu 4: 1.0 ñieåm. Caâu 1(1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 )} Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 67     211 2 0 0 Caâu 2(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän (1.0 ñ) A = P · D · P −1 , P =  3 1 3 . D =  0 . 0 1     314 003 Cô sôû caàn tìm laø B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma traän cuûa f trong B laø D. Caùc coät cuûa P laø caùc VTR cuûa A, phaûi ñoåi sang cô sôû chính taéc!! Caâu 3(1.5ñ). Dim(Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f ) =< f ( E ) >=< f ( 1 , 0 , 1 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >=
=< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cô sôû cuûa Im( f ) laø {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Caùch Simpo PDF Merge and Split A) = 3 , neân Im( f ) laø I - 3http://www.simpopdf.com sôû chính taéc cuûa I 3 . khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( Unregistered VersionR vaø cô sôû cuûa Im( f ) laø cô R Caâu 4(1.0ñ). A ñoàng daïng B ⇔ ∃Q : B = Q · A · Q. Giaû söû A cheùo hoùa ñöôïc ⇔ A = P · D · P −1 . −1 Khi ñoù B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →ñpcm. −1 Caâu 5 (1.5ñ). Ma traän ñoái xöùng thöïc. Daïng toaøn phöông töông öùng f ( x, x) = x2 + mx2 + 4 x2 + 1 2 3 8 x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 . Ñöa veà chính taéc baèng bieán ñoåi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3 ) 2 + 3 ( x3 + 2 x2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x2 . A coù moät TR aâm ⇔ m < 2 8 . 2 Caâu 6 (1.5ñ). x laø VTR cuûa f ⇔ f ( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m) ⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2 Caâu 7 (1.5ñ).f : I 2 −→ I 2 . VTR laø veùctô qua pheùp bieán ñoåi coù aûnh cuøng phöông vôùi veùctô ban R R ñaàu. Caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô chæ phöông a = ( 3 , 2 ) cuûa ñöôøng thaúng laø taát caû caùc VTR töông öùng vôùi TR λ1 = 1 ; caùc veùctô cuøng phöông vôùi veùctô phaùp tuyeán n = ( 2 , −3 ) cuûa ñöôøng thaúng laø taát caû caùc VTR töông öùng vôùi λ2 = −1 . Vì f laø axtt cuûa khoâng gian 2 chieàu neân khoâng coøn VTR khaùc. Kluaän: Cô sôû cuûa Eλ1 : ( 3 , 2 ) cuûa Eλ2 : ( 2 , −3 ) .