intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập trả lời ngắn môn Toán 10 - Vấn đề 22: Ba đường conic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Bài tập trả lời ngắn môn Toán 10 - Vấn đề 22: Ba đường conic" giới thiệu về các đường conic gồm đường tròn, elip, hypebol và parabol trong mặt phẳng tọa độ. Các bài tập giúp học sinh nhận diện phương trình đặc trưng của từng đường conic, xác định tiêu điểm, trục đối xứng và tính chất hình học liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để nắm vững cách phân biệt và phân tích các đường conic trong mặt phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập trả lời ngắn môn Toán 10 - Vấn đề 22: Ba đường conic

  1. TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Điện thoại: 0946798489 VẤN ĐỀ 22. BA ĐƯỜNG CONIC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN E. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN CÂU HỎI Câu 1. Cho parabol ( P ) có tiêu điểm F (1; 0) và đường thẳng d : x  6m  0 . Xác định m để parabol ( P ) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Trả lời: …………………………….. Câu 2. Cho parabol ( P) : y 2  2 x . Tìm những điểm thuộc ( P ) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm của ( P ) bằng 4 . Trả lời: …………………………….. x2 y2 Câu 3. Tìm tọa độ điểm M thuộc elip ( E ) :   1 sao cho M nhìn hai tiêu điểm của ( E ) dưới một 25 9 góc 60 . Trả lời: …………………………….. x2 y 2 Câu 4. Tìm toạ độ điểm N thuộc hypebol ( H ) :   1 sao cho N nhìn hai tiêu điểm của ( H ) dưới 16 9 một góc vuông. Trả lời: …………………………….. Câu 5. Bạn An cùng một lúc bắn hai phát súng về đích A và đích B cách nhau 400 m . Biết vận tốc trung bình của viên đạn là 760 m / s . Viên đạn bắn về đích A nhanh hơn viên đạn bắn về đích B là 0,5 giây. Hỏi những vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn tương tự như trên thuộc đường conic nào? Viết phương trình chính tắc của đường conic đó. Trả lời: …………………………….. x2 y 2 Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M chuyển động trên đường elip ( E ) :   1 . Tìm 25 16 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của OM . Trả lời: …………………………….. x2 y 2 Câu 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M chuyển động trên đường elip ( E ) :   1 . Tìm 25 16 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của DM , trong đó D(6;0) . Trả lời: …………………………….. Câu 8. Cho hai đường thẳng 1 và  2 vuông góc với nhau. Một chất điểm chuyển động trong một góc vuông tạo bởi 1 và  2 (Hình) có tính chất: ở mọi thời điểm, tích khoảng cách từ mỗi vị trí của chất điểm đến hai đường thẳng 1 và  2 luôn bằng 4 . Biết rằng chất điểm chuyển động trên một phần của đường hypebol. Tìm đường hypebol đó. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: …………………………….. x2 y2 Câu 9. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm những điểm M thuộc ( E ) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của ( E ) 9 1 dưới một góc vuông. Trả lời: …………………………….. x2 y2 Câu 10. Cho elip ( E ) :   1 với hai tiêu điểm F1 , F2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) sao cho góc 4 1  F1MF2  60 . Trả lời: …………………………….. x2 y2 Câu 11. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc ( E ) có hoành độ dương sao cho 4 1 tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. Trả lời: …………………………….. 1 Câu 12. Cho hai điểm F1 ( 2;  2), F2 ( 2; 2) . Với mọi điểm M ( x; y ) nằm trên đồ thị hàm số y  , x ta đều có MF1  MF2  a . Khi đó a  ? Trả lời: …………………………….. Câu 13. Viết phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) có phương trình đường chuẩn  song song và cách đường thẳng d : x  2 một khoảng bằng 5 . Trả lời: …………………………….. Câu 14. Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m , rộng 20 m . Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m lên đến nóc nhà vòm. Trả lời: …………………………….. Câu 15. Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình x2 y2  2  1 . Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến đến tâm đối xứng của 282 42 2 hypebol bằng lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. 3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Trả lời: …………………………….. Câu 16. Viết phương trình chính tắc của hypebol ( H ) biết rằng: 3 5  ( H ) có tiêu cự bằng 2 13 và đi qua điểm điểm M   2 ; 1 .    Trả lời: …………………………….. Câu 17. Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32 . Trả lời: ……………………………. Câu 18. Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm M (2 3; 2) và M nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông. Trả lời: ……………………………. x2 y 2 Câu 19. Cho elip có phương trình chính tắc ( E ) :   1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) trong 8 4 đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điềm M thuộc (E) sao cho MF1  MF2  2 . Trả lời: ……………………………. Câu 20. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) trong mỗi trường hợp sau:  5 15  (E) đi qua M (5; 0) và N   4 ;1 .    Trả lời: ……………………………. Câu 21. Một đường hầm có mặt cắt nửa hình elip cao 5 m , rộng 12 m . Viết phương trình chính tắc của elip đó? Trả lời: ……………………………. Câu 22. Trên mặt phẳng, cho tam giác ABC có A( 2; 2), B (2; 2), C (6; 2) .      Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn hệ thức | MA  MB |  | MA  MC | 12 . Trả lời: ……………………………. c Câu 23. Một elip với bán trục lớn a và bán tiêu cự c tỉ số e  được gọi a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ là tâm sai của elip. Quỹ đạo của trái đất quanh mặt trời là một elip ( E ) trong đó mặt trời là một trong các tiêu điểm. Biết khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa mặt trời và trái đất lần lượt là 147 triệu km, 152 triệu km . Tính tâm sai của elip (E)? Trả lời: ……………………………. Câu 24. Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Chiều rộng của đường hầm là 10 m , điểm cao nhất của mái vòm là 3 m . Gọi h là chiều cao của mái vòm tại điểm cách tâm của đường hầm 2 m . Tính h ? Trả lời: ……………………………. Câu 25. Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là 59 . Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điểm cận nhật. Lấy giá trị gần đúng. 61 Trả lời: ……………………………. Câu 26. Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trông cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phân trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức S   ab trong đó a, b lân lượt là đọ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể. Trả lời: ……………………………. x2 y2 Câu 27. Cho ( E ) :   1 và d : y  x  k . Với giá trị nào của k thì (d) có điểm chung với ( E ) ? 4 1 Trả lời: ……………………………. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Câu 28. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) biết rằng chu vi của hình chữ nhật cơ sở bằng 20 và c 5  . a 3 Trả lời: ……………………………. x2 y2  Câu 29. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm điểm M thuộc ( E ) sao cho góc F1MF2  60 với F1 , F2 là hai tiêu 4 1 điểm của ( E ) Trả lời: ……………………………. Câu 30. Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) biết một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của ( E ) là 12(2  3) . Trả lời: ……………………………. Câu 31. Cho Parabol ( P) : y 2  16 x và đường thẳng (d ) : x  a ( a  0) . Tìm a để (d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho   120 . AOB Trả lời: ……………………………. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của parabol ( P ) có tiêu điểm là F (5; 0) . Trả lời: ……………………………. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) có một tiêu điểm là F2 (6; 0) và đi qua điểm A2 (4; 0) . Trả lời: ……………………………. Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elíp biết độ dài trục bé là 6 và tiêu cự là 8 . Trả lời: ……………………………. Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elip, biết tỉ số trục bé và trục 1 lớn bằng và biết elip đi qua điểm M ( 15; 1) . 5 Trả lời: ……………………………. Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elip ( E ) biết ( E ) đi qua hai điểm  12  M (0;3) và N  3;   .  5 Trả lời: ……………………………. Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC  2 BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình (C ) : x 2  y 2  4 . Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) đi qua các đỉnh A, B, C , D của hình thoi với điểm A nằm trên trục Ox . Trả lời: ……………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng  : x  y  12  0 bằng 2 2 . Trả lời: ……………………………. Câu 39. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng 120 m , độ dài trục bé bằng 90 m . Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất. Trả lời: ……………………………. Câu 40. Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (xem hình). Tìm khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương, biết rằng phương trình cho mặt cắt của gương là x2 y2  1. 25 16 Trả lời: ……………………………. PHẦN E. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. Cho parabol ( P ) có tiêu điểm F (1; 0) và đường thẳng d : x  6m  0 . Xác định m để parabol ( P ) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Trả lời: m  0 Lời giải 2 Gọi phương trình parabol ( P) có dạng: y  2 px( p  0) . p y2 Parabol ( P) có tiêu điểm F (1; 0)   1  p  2  y 2  4 x  x  . 2 4 Ta có phương trình đường thẳng d : x  6m  0  x  6m . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN 2 y Phương trình tung độ giao điểm của ( P) và d là:  6 m  y 2  24m . (*) 4 Để ( P) và d có hai giao điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay 24 m  0  m  0 . Câu 2. Cho parabol ( P) : y 2  2 x . Tìm những điểm thuộc ( P ) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm của ( P ) bằng 4 . 7  7  Trả lời: M  ; 7  hoặc M  ;  7  . 2  2  Lời giải 1 1  Parabol ( P) có đường chuẩn là  : x   0 và tiêu điểm F  ;0  . 2 2  2 1 2 Gọi M  x0 ; y0  là điểm cần tìm. Có M  ( P) nên y0  2 x0  x0  y0  x0  0 . 2 1 x0  2 Khoảng cách từ M đến tiêu điểm F bằng 4 nên MF  d ( M ;  )   4. 1  02 2 7 9 7 2  x0  hoặc x0  . Mà x0  0 nên x0   y0  7  y0   7 . 2 2 2 7  7  Vậy M  ; 7  hoặc M  ;  7  .  2   2  x2 y 2 Câu 3. Tìm tọa độ điểm M thuộc elip ( E ) :   1 sao cho M nhìn hai tiêu điểm của ( E ) dưới một 25 9 góc 60 .  5 13 3 3   5 13 3 3   5 13 3 3   5 13 3 3  Trả lời:   ; ,  ; , ; , ;   4 4   4 4   4 4   4 4          Lời giải Từ phương trình chính tắc của elip ( E ) ta có a  5, b  3, c  4 . Elip ( E ) có hai tiêu điểm F1 (4;0), F2 (4;0) và F1 F2  2c  8 . Gọi M  x0 ; y0  là điểm cần tìm. 2 2 Có MF12  MF22   x0  4   y0   x0  4   y0   16 x0 . 2 2   Lại có, M  ( E ) nên MF1  MF2  2a  10. (1) MF12  MF22 16 x0 8 Có MF1  MF2    x0 . (2) MF1  MF2 10 5 4 4 Từ (1) và (2) suy ra MF1  5  x0 ; MF2  5  x0 . 5 5 Áp dụng định lí côsin cho MF1F2 , ta được: F1 F22  MF12  MF22  2 MF1  MF2  cos 60 2 2  4   4   4  4  1 48 2  64   5  x0    5  x0   2  5  x0   5  x0    64  25  x0  5   5   5  5  2 25 5 13 5 13  x0  hoặc x0  . 4 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 27 3 3 3 3 Từ đó tính được y0   y0  hoặc y0  . 16 4 4 Vậy có bốn điểm M thoả yêu cầu bài toán là:  5 13 3 3   5 13 3 3   5 13 3 3   5 13 3 3    ; ,  ; , ; , ; .  4 4     4 4   4   4   4   4   x2 y2 Câu 4. Tìm toạ độ điểm N thuộc hypebol ( H ) :   1 sao cho N nhìn hai tiêu điểm của ( H ) dưới 16 9 một góc vuông.  4 34 9   4 34 9   4 34 9   4 34 9  Trả lời:   ; ,  ; , ; , ;   5 5  5 5  5 5  5 5         Lời giải Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có a  4, b  3, c  5 . Hypebol ( H ) có tiêu cự là F1F2  2c  10 . 2 2 x0 y0 Gọi N  x0 ; y0  là điểm cần tìm. Ta có N  ( H ) nên   1. (1) 16 9 Theo đề bài, ta có NF1 F2 vuông tại N , có O là trung điểm của F1 F2 (với O là gốc tọa độ) nên FF ON  1 2  c  5  ON 2  25  x0  y0  25  y0  25  x0 (2) 2 2 2 2 2 Thay (2) vào (1) ta được 2 2 x0 25  x0 2 2 2 2 544   1  9 x0  400  16 x0  144  25 x0  544  x0  16 9 25 4 34 4 34  x0  hoặc x0  . 5 5 2 81 9 9 Từ đó tính được y0   y0  hoặc y0  . 25 5 5 Vậy có bốn điểm N thoả yêu cầu bài toán là:  4 34 9   4 34 9   4 34 9   4 34 9    ; ,  ; , ; , ; .  5 5    5 5  5   5  5   5 Câu 5. Bạn An cùng một lúc bắn hai phát súng về đích A và đích B cách nhau 400 m . Biết vận tốc trung bình của viên đạn là 760 m / s . Viên đạn bắn về đích A nhanh hơn viên đạn bắn về đích B là 0,5 giây. Hỏi những vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn tương tự như trên thuộc đường conic nào? Viết phương trình chính tắc của đường conic đó. x2 y2 Trả lời:  1 36100 3900 Lời giải Gọi s A , sB ( m) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích A , đích B . Theo để bài, ta có s A  sB  760  0, 5  380( m) . Lại có, khoảng cách giữa đích A và đích B là 400 m , do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu điểm là A và B . Đặt hệ trục toạ độ Oxy với O là trung điểm của AB, Ox trùng với AB và mỗi đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với 1 m trên thực tế. Khi đó, ta có A(200;0) và B(200;0) , tiêu cự của hypebol là 2c  AB  400 (hay c  200) . Gọi M là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài. Tập hợp các điểm M thoả mãn | MA  MB | 2a  380 (hay a  190 ) là hypebol có Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN 2 2 2 2 x y x y phương trình:  1  1. 190 2 200 2  190 2 36100 3900 x2 y 2 Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M chuyển động trên đường elip ( E ) :   1 . Tìm 25 16 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của OM . Trả lời: giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 . Lời giải 2 x y2 Giả sử M  x0 ; y0  thuộc đường elip. Ta có: 0  0  1 . 25 16 2 2 2 2 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 x0 y0 x 2  y0 2 x 2  y0 2 Vì x0  0, y0  0 nên       0 1 0 25 25 25 16 16 16 25 16 2 2 2 2  16  x0  y0  25  4  x0  y0  5  4  OM  5 M thuộc ( E ) và OM  4 khi M có toạ độ (0; 4) hoặc (0; 4) . M thuộc ( E ) và OM  5 khi M có toạ độ (5;0) hoặc (5;0) . Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 . x2 y 2 Câu 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M chuyển động trên đường elip ( E ) :   1 . Tìm 25 16 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của DM , trong đó D(6;0) . Trả lời: giá trị nhỏ nhất bằng 1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 11 Lời giải  DO  OM  DM  DO  OM Ta có:   6  5  DM  6  5  1  DM  11 OM  5, DO  6 DM  1 khi M có toạ độ (5;0), DM  11 khi M có toạ độ (5;0) . Vậy DM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 11 . Câu 8. Cho hai đường thẳng 1 và  2 vuông góc với nhau. Một chất điểm chuyển động trong một góc vuông tạo bởi 1 và  2 (Hình) có tính chất: ở mọi thời điểm, tích khoảng cách từ mỗi vị trí của chất điểm đến hai đường thẳng 1 và  2 luôn bằng 4 . Biết rằng chất điểm chuyển động trên một phần của đường hypebol. Tìm đường hypebol đó. x2 y2 Trả lời:  1 8 8 Lời giải Xét hệ trục toạ độ Oxy như Hình, trong đó các trục Ox, Oy lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và  2 . Phương trình hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt là 1 : x  y  0 và  2 : x  y  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giả sử chất điểm ở vị trí M  x0 ; y0  và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm x  y  0 của hệ bất phương trình  (điểm có toạ độ (1; 0) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình x  y  0 x  y  0 và x  y  0 . Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng 1 : x  y  0 và  2 : x  y  0 lần lượt là: x0  y0 x0  y0 x0  y0 x0  y0 x0  y0 x0  y0 d  M , 1     ; d  M , 2     . 12  12 2 2 12  12 2 2 2 2 x0  y0 x0  y0 x0  y0 Suy ra d  M , 1   d  M ,  2     . Do đó 2 2 2 x 2  y0 2 x2 y 2 d  M , 1   d  M ,  2   4  0  4  0  0  1 . Vậy chất điểm M chuyển động trên một phần của 2 8 8 2 2 x y đường hypebol   1. 8 8 x2 y 2 Câu 9. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm những điểm M thuộc ( E ) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của ( E ) 9 1 dưới một góc vuông.  3 14 2   3 14 2 Trả lời:    ; ,  ;   4 4     4 4   Lời giải: 2 2 2 2 Ta có: a  9  a  3; b  1  b  1; c  a  b  2 2  F1 F2  4 2 . c 2 2 c 2 2 Gọi M ( x; y )  ( E ) thì MF1  a  x  3 x, MF2  a  x  3  x. a 3 a 3  Ta có F1MF2  90 nên F1 F22  MF12  MF22 2 2 2 2 2   2 2   (4 2)   3   x  3   x  3   3   8  32  18  2   x 2 9 63 3 14  x2   x 8 4 1 2 Thay vào ( E ) , ta được: y 2   y   . 8 4  3 14 2   3 14 2 Vậy có bốn điểm M thỏa mãn là    ; ,  ; .  4 4     4 4   x2 y 2 Câu 10. Cho elip ( E ) :   1 với hai tiêu điểm F1 , F2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) sao cho góc 4 1  F1MF2  60 .  4 2 1  4 2 1 Trả lời:    ; ,  ;   3 3    3 3  Lời giải: 2 2 2 2 Ta có a  4  a  2; b  1  b  1; c  a  b  3  F1 F2  2 3 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN c 3 c 3 Gọi M ( x; y )  ( E ) thì MF1  a  x  2 x, MF2  a  x  2  x. a 2 a 2 Ta có: F1 F22  MF12  MF22  2 MF1  MF2  cos 60 2 2 2 3   3   3  3  1  (2 3)   2   x 2  x  2 2  x 2  x  2     2    2   2  2  3 3  3  9 4 2  12  4  2 3x  x 2  4  2 3x  x 2   4  x 2   8  x 2  x   . 4 4  4  4 3 32 1 1 Thay vào ( E ) , ta được:  y2  1  y2   y   . 9.4 9 3  4 2 1  4 2 1 Vậy có bốn điểm M thỏa mãn là:    ; ,  ; .  3 3    3 3  x2 y2 Câu 11. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc ( E ) có hoành độ dương sao cho 4 1 tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.  1   1   1   1  Trả lời: A  2;  , B  2;   hoặc A  2;   , B  2; .  2  2  2  2 Lời giải Do tam giác OAB cân tại O và hai điểm A, B có hoành độ dương nên A, B đối xứng nhau qua Ox Giả sử A( x; y ) với x  0 , suy ra B( x;  y ) . Gọi H là hình chiếu của O trên AB . Khi đó 1 1 : S OAB  AB  OH  | 2 y | x  x | y | . 2 2 x2 x2 2 x Theo bất đẳng thức AM-GM : 1   y2  2  y  2   | y | x | y | ( x  0) . 4 4 2 2 x Do đó S OAB  x | y | 1 . Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi:  y2 . 4 x2 y 2 1 1 Thay vào ( E ) :   1 , ta được: y 2  y 2  1  y 2   y   . 4 1 2 2 Suy ra x 2  2  x  2 .  1   1   1   1  Vậy A  2;  , B  2;   hoặc A  2;   , B  2; .  2  2  2  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 Câu 12. Cho hai điểm F1 ( 2;  2), F2 ( 2; 2) . Với mọi điểm M ( x; y ) nằm trên đồ thị hàm số y  , x ta đều có MF1  MF2  a . Khi đó a  ? Trả lời: 2 2 Lời giải 1  1 Gọi M ( x; y ) thuộc đồ thị hàm y   M  x;  . x  x 2 1  1 2 2 MF1  ( x  2)2    2   x 2  2 2 x  2  2  2 x  x x 2 2  1  1 1    x   2   x   2 ; MF2  ( x  2)2    2   x  x  x  2 2 1 2 2  1  1  x  2 2x  2  2  2  x  2  x  2 x x  x  x 1 1 1 1 Trường hợp 1: x  0 , ta có MF1  x   2  0 ; x   2  x   2  0  MF2  x   2  0 . Khi x x x x đó : MF1  MF2  2 2 . 1 1 1 1 1 Trường hợp 2: x  0 , ta có MF2   x   2 ; x   2  x   2  x    2  x   2  0 . x x x x x 1 Suy ra: MF1   x   2 . Khi đó: MF1  MF2  2 2 . x Vậy với mọi x khác 0 , ta có MF1  MF2  2 2 . Câu 13. Viết phương trình chính tắc của parabol ( P ) biết ( P ) có phương trình đường chuẩn  song song và cách đường thẳng d : x  2 một khoảng bằng 5 . Trả lời: y 2  12 x Lời giải: 2 Gọi phương trình chính tắc ( P ) : y  2 px( p  0) . p Phương trình đường chuẩn có dạng  : x   . 2  p p  2  2  5 Theo giả thiết: d (d , )  5  2 5   p 60. 2   p  2  5  2  2 Vậy phương trình chính tắc ( P ) là: y  12 x . Câu 14. Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m , rộng 20 m . Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m lên đến nóc nhà vòm. Trả lời: 6,928 m. Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN x2 y 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là ( E ) :   1( a  b  0, y  0) . a 2 b2 Ta có : 2a  20  a  10, b  8 . x2 y2 Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là ( E ) :   1( y  0) . 100 64 Gọi M là điểm thuộc ( E ) có hoành độ bằng 5 (hoặc 5 ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm M . (5) 2 y 2 Thay hoành độ M vào phương trình ( E ) :  1 100 64  y 2  48  y  4 3  6,928 m. Câu 15. Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình x2 y2  2  1 . Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến đến tâm đối xứng của 282 42 2 hypebol bằng lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. 3 Trả lời: bán kính nóc của tháp xấp xỉ 48,826 m , bán kính đáy của tháp xấp xỉ 66,212 m. Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.  HK  150 OH  OK  1   Ta có :  2  2  OH  60 m, OK  90 m . OH  3 OK OH  3 OK   Đường thẳng qua H , vuông góc Oy là 1 : y  60 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 2 602 1 cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn   1  x  4 149  48,826 m . 282 422 Đường thẳng qua K , vuông góc với Oy là  2 : y  90 . x 2 902  2 cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn  1 282 422  x  4 274  66, 212 m. Vậy bán kính nóc của tháp xấp xỉ 48,826 m , bán kính đáy của tháp xấp xỉ 66,212 m. Câu 16. Viết phương trình chính tắc của hypebol ( H ) biết rằng: 3 5  ( H ) có tiêu cự bằng 2 13 và đi qua điểm điểm M   2 ; 1 .    2 2 x y Trả lời: ( H ) :  1 9 4 Lời giải: x2 y2 Gọi phương trình chính tắc của hypebol là ( H ) : 2  2  1 . a b Ta có: 2c  2 13  c  13  c  a  b  13  a  13  b 2 (1). 2 2 2 2 3 5  45 1 45 1 (H) qua M   2 ; 1 nên   2  1 . Suy ra:  2 1   2 4a b 4 13  b2 b       45b 2  4 13  b 2  4b 2 13  b 2  4b 4  3b 2  52  0  b 2  4, a 2  9 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của hypebol là ( H ) :   1. 9 4 Câu 17. Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32 . x2 y2 Trả lời: ( E ) :  1 16 8 Lời giải: 2 x y2 Gọi phương trình chính tắc của elip ( E ) là 2  2  1, a 2  b2  c 2 (a, b, c  0) . a b Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên b  c . Mặt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên 2c.2b  32  b 2  8 . Suy ra a 2  b 2  c 2  16 . x2 y 2 Vậy Elip cần tìm có phương trình chính tắc ( E ) :   1. 16 8 Câu 18. Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm M (2 3; 2) và M nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN 2 2 x y Trả lời: ( E ) :  1 24 8 Lời giải: 2 x y2 Gọi phương trình chính tắc của elip ( E ) là 2  2  1(a  b  0) . a b Gọi hai tiêu điểm ( E ) là F1 (c;0), F2 (c;0) .   Khi đó: MF 1  (c  2 3; 2), MF2  (c  2 3; 2) .    Ta có: MF1  MF2  MF 1  MF2  0  (c  2 3)(c  2 3)  4  0  c 2  16 . Suy ra a 2  b2  16  a 2  16  b 2 * 12 4 12 4 Hơn nữa ( E ) qua M (2 3; 2) nên 2  2 1 2  2  1( do (*)) a b b  16 b  12b 2  4b 2  64  b 4  16b 2  b 4  64  b 2  8 . Suy ra a 2  b 2  c 2  24 . x2 y 2 Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc ( E ) :  1. 24 8 x2 y 2 Câu 19. Cho elip có phương trình chính tắc ( E ) :   1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) trong 8 4 đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điềm M thuộc (E) sao cho MF1  MF2  2 . Trả lời: M ( 2;  3) hoặc M ( 2; 3) . Lời giải: Ta có a  8  a  2 2; b  4  b  2; c  a  b 2  4  c  2 . 2 2 2 2 c 1 1 Gọi M ( x; y )  ( E )  MF1  a  x  2 2  x, MF2  2 2  x a 2 2 1  1  MF1  MF2  2  2 2  x 2 2  x   2  x  2. 2  2  2 y2 Thay vào ( E ) :   1  y2  3  y   3 . 8 4 Vậy M ( 2;  3) hoặc M ( 2; 3) . Câu 20. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) trong mỗi trường hợp sau:  5 15  (E) đi qua M (5; 0) và N  4 ;1 .    2 2 x y Trả lời: ( E ) :  1 25 16 Lời giải Phương trình chính tắc của Elip (E) có dạng: x2 y 2 a 2 b    2  1 a 2  b 2  c 2 ; a, b, c  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  5 15  Do M (5; 0) và N  4 ;1  ( E ) nên ta có hệ:     25 0  a2  b2  1  a 2  25   a 2  25   15 1  2 .  25.15  1  1   2  1 b  16  16a 2 b 2 16 b  x2 y 2 Vậy ( E ) :  25 16    1 a 2  b 2  c 2 ; a, b, c  0 . Câu 21. Một đường hầm có mặt cắt nửa hình elip cao 5 m , rộng 12 m . Viết phương trình chính tắc của elip đó? x2 y2 Trả lời:  1 36 25 Lời giải Vẽ hệ trục Oxy như hình vẽ: x2 y 2 Phương trình chính tắc của elip có dạng:   1(a  b  0) a2 b2 Elip có chiều cao 5 m nên b  5 . Elip có chiều rộng 12 m nên 2 a  12  a  6 . x2 y2 Phương trình chính tắc của elip:   1. 36 25 Câu 22. Trên mặt phẳng, cho tam giác ABC có A(2; 2), B ( 2; 2), C (6; 2) .      Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn hệ thức | MA  MB |  | MA  MC | 12 . x2 y2 Trả lời:  1 9 5 Lời giải Gọi D, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC . Khi đó D( 2; 0) , E (2;0)  DE  4         Ta có | MA  MB |  | MA  MC | 12 | 2 MD |  | 2 ME | 12  2MD  2ME  12  MD  ME  6. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Vậy tập hợp các điểm M là elip có hai tiêu điểm là D và E , độ dài trục lớn là 6 . DE (Elip này có c   2; a  3  b  32  22  5 ) 2 x2 y2 Vậy tập hợp tất cả các điểm M là elip có phương trình  1. 9 5 c Câu 23. Một elip với bán trục lớn a và bán tiêu cự c tỉ số e  được gọi a là tâm sai của elip. Quỹ đạo của trái đất quanh mặt trời là một elip ( E ) trong đó mặt trời là một trong các tiêu điểm. Biết khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa mặt trời và trái đất lần lượt là 147 triệu km, 152 triệu km . Tính tâm sai của elip (E)? Trả lời: e  0, 0167 Lời giải 2 2 x y Một elip có phương trình: 2  2  1, a  b  0 , khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm bất kì M có hoành a b c  xM độ xM là d M  a  , cho nên khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ một tiêu điểm đến một điểm thuộc a elip lần lượt là a  c và a  c .   299 a  c  152  a  2  Ta có hệ phương trình   a  c  147 c  5     2 c 5 Vậy tâm sai của ( E ) là e    0, 0167 . a 299 Câu 24. Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Chiều rộng của đường hầm là 10 m , điểm cao nhất của mái vòm là 3 m . Gọi h là chiều cao của mái vòm tại điểm cách tâm của đường hầm 2 m . Tính h ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 21 Trả lời: h  5 Lời giải 2 2 x y Phương trình của elip là2  2 1, 5 3 2 2 2 h 3 21 Khi đó: 2  2  1  h  5 3 5 Câu 25. Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là 59 . Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điểm cận nhật. Lấy giá trị gần đúng. 61 Trả lời: 91.450.000 Lời giải Ta có a  93.000.000 a  c 59 a 93.000.000 Và   61a  61c  59a  59c  c    1.550.000 . a  c 61 60 60 Suy ra khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điêm cận nhật là: a  c  91.450.000 dặm. Câu 26. Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trông cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phân trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức S   ab trong đó a, b lần lượt là đọ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể. ST 1 Trả lời: T   SE 2 Lời giải 2 Diện tích hình tròn: ST   .15 , diện tích elip là S E   .15.30 . ST  152 1 Tỉ số diện tích: T    S E  15  30 2 x2 y2 Câu 27. Cho ( E ) :   1 và d : y  x  k . Với giá trị nào của k thì (d) có điểm chung với ( E ) ? 4 1 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Trả lời:  5  k  5 Lời giải y  x  k  x 2 ( x  k )2 Tọa độ giao điểm của (d) và (E):  x 2 y 2    1  5 x2  8kx  4k 2  4  0 (1).YCBT   1 4 1 4 1    0  4k 2  20  0   5  k  5 . Câu 28. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) biết rằng chu vi của hình chữ nhật cơ sở bằng 20 và c 5  . a 3 x2 y 2 Trả lời: ( E ) :  1 9 4 Lời giải c 5    a 3 x2 y2    ( E ) : 2  2  1 a 2  b 2  c 2 ; a, b, c  0  2(2a  2b)  20  a 2  9, b 2  4. a b c 2  a 2  b 2    x2 y 2 (E) :   1. 9 4 x2 y2  Câu 29. Cho elip ( E ) :   1 . Tìm điểm M thuộc ( E ) sao cho góc F1MF2  60 với F1 , F2 là hai tiêu 4 1 điểm của ( E )  32 1   32 1   32 1   32 1  Trả lời: M 1  ; , M2  ;  , M3   ; , M4   ;  .  3 3  3 3  3 3  3 3         Lời giải 3 3 M  ( E ) . Ta có MF1  2  x, MF2  2  x. 2 2 9 32 F1 F22  MF12  MF22  2 MF1MF2 cos 60  12  4  x 2  x   . 4 3 32 1 Vì M  ( E ) nên x    y . 3 3  32 1   32 1   32 1   32 1   M1   3 3; , M2   3 ;   , M3   ; , M4   ;  .    3    3 3   3 3 Câu 30. Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) biết một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của ( E ) là 12(2  3) . x2 y2 Trả lời: ( E ) :   1. 36 27 Lời giải x2 y 2 ( E ) : 2  2  1 a 2  b 2  c 2 ; a, b, c  0  . Gọi F1 (c;0)  F2 (c;0) . a b Hai đỉnh trên trục nhỏ B1 (0; b), B2 (0; b) . Ta có hệ: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  3 b  2c a  6  2   x2 y 2 2(2a  2b)  12(2  3)   b  3 3  ( E ) :   1. c 2  a 2  b 2 c  3 36 27     Câu 31. Cho Parabol ( P) : y 2  16 x và đường thẳng (d ) : x  a( a  0) . Tìm a để (d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho   120 . AOB 16 Trả lời: a  3 Lời giải Tìm a để (d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho   120 . AOB Ta có: x  a  y 2  16a  y  4 a (a  0)  A( a; 4 a ), B ( a; 4 a ) .         120  (OA, OB)  120  cos(OA, AOB a 2  16a 1 16   a . a 2  16a  a 2  16a 2 3 Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của parabol ( P ) có tiêu điểm là F (5; 0) . Trả lời:  y 2  20 x Lời giải Gọi phương trình chính tắc của parabol ( P ) là: y 2  2 px( p  0) . p Vì ( P ) có tiêu điểm là F (5; 0) nên  5 , tức là p  10 . 2 Vậy phương trình chính tắc của parabol ( P ) là  y 2  20 x . Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) có một tiêu điểm là F2 (6; 0) và đi qua điểm A2 (4; 0) . x2 y2 Trả lời:  1 16 20 Lời giải x2 y2 Giả sử hypebol ( H ) có phương trình chính tắc là 2  2  1 với a  0, b  0 . a b 2 2 4 0 Do A2 (4; 0) thuộc ( H ) nên 2  2  1 , suy ra a  4 . a b Mà F2 (6; 0) là tiêu điểm của ( H ) nên c  6 . Suy ra b 2  c 2  a 2  36  16  20 . x2 y2 Vậy hypebol ( H ) có phương trình chính tắc là   1. 16 20 Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elíp biết độ dài trục bé là 6 và tiêu cự là 8 . x2 y 2 Trả lời:  1 25 9 Lời giải Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1