Báo cáo sáng kiến: Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn Toán lớp 7

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về tỉ lệ thức để học khá, giỏi môn Toán và để thuận tiện cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua kinh nghiệm của bản thân và tham khảo ý kiến của đồng nghiệp tôi thấy: một trong các chuyên đề cần thiết cho học sinh lớp 7 là tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. Vì vậy tác giả chọn đề tài “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn Toán lớp 7” nhằm đưa ra một số phương pháp dạy học về chủ đề tỉ lệ thức nhằm phát huy năng lực người học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo sáng kiến: Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn Toán lớp 7

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BÁO CÁO SÁNG KIẾN DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC, PHẨM CHẤT NGƯỜI HỌC MÔN TOÁN LỚP 7 1. Mô tả bản chất của sáng kiến: Môn Toán là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc THCS. Các kiến thức kĩ năng của môn toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng rất cần thiết để học các môn học khác ở THCS và các lớp trên. Hiểu biết về toán học giúp cho người ta có thể tính toán, ước lượng…và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic…trong giải quyết các vấn đề nảy sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng ngày. Ở trường THCS, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản, khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý tưởng liên quan...Vì vậy, có thể xem đó là cơ sở cho những phát minh khoa học. Kiến thức toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác, như: Vật lí, Hoá học, Sinh học… Do đó nếu học tốt môn Toán ở bậc THCS giống như việc đặt những viên gạch nền móng vững chắc cho "căn nhà tri thức" vậy. Trong quá trình học Toán ở THCS học sinh cần phải biết tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo, vì vậy người giáo viên cần rèn luyện, hướng dẫn cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy, sáng tạo sâu sắc. Từ đó học sinh sẽ phát triển tư duy kiến thức về mọi môn học. Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề... góp phần phát triển trí thông minh, tư duy logic, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo của học sinh Do đó ở trường THCS môn Toán có nhiều cơ hội giúp học sinh hình thành và phát triển các năng lực chung, như: năng lực tính toán, năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực làm chủ bản thân, năng lực sử dụng công nghệ thông tin. Như chúng ta đã biết, việc dạy học theo chủ đề có tác dụng rất lớn đối với việc tiếp thu kiến thức của học sinh, từ đó hình thành các thao tác tư duy, phương pháp suy luận cho học sinh. Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Ở lớp 7 hệ thống kiến thức về tỉ lệ thức chiếm thời lượng tương đối lớn, đóng vai trò quan trọng trong việc giải bài tập toán lớp 7 nói riêng và chương trình Toán THCS nói chung. Từ một tỉ lệ thức có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích và ngược lại. Trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được số hạng thứ tư. Khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong Hình học, để giải bài tập về định lí Ta-lét, tam giác đồng dạng (ở lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. 1
Xuất phát từ thực tế trên, tôi nhận thấy muốn cho học sinh nắm vững kiến thức về tỉ lệ thức để học khá, giỏi môn Toán và để thuận tiện cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua kinh nghiệm của bản thân và tham khảo ý kiến của đồng nghiệp tôi thấy: một trong các chuyên đề cần thiết cho học sinh lớp 7 là tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. Vì vậy tôi chọn đề tài “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn Toán lớp 7.”để đưa ra một số phương pháp dạy học về chủ đề tỉ lệ thức nhằm phát huy năng lực người học 1.1. Các giải pháp thực hiện, các bước và cách thực hiện: Nhìn chung, dạy học toán theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học đến nay đang còn là vấn đề mới, đang thảo luận và chưa có những nghiên cứu sâu. Với kinh nghiệm trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân. Cụ thể như sau: A. Các kiến thức trọng tâm cần nắm vững: a c 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số = ( a, b, c, d Q; b, d ≠ b d 0) Các số hạng a, d gọi là ngoại tỉ, các số hạng b, c gọi là trung tỉ 2. Tính chất * Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) a c a c Nếu = thì a.d = b.c (Từ tỉ lệ thức = các em chỉ cần nhân chéo các số b d b d hạng sẽ ra kết quả). * Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a a c Từ đẳng thức ad = bc ta lập được tỉ lệ thức ban đầu = , sau đó ta làm như sau: b d a b + Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được = ; c d d c + Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được = ; b a d b + Cuối cùng ta đổi chỗ cả trung tỉ và ngoại tỉ ta được = c a Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại: ad = bc = = = = 2
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau * Từ tỉ lệ thức = suy ra = = = (b ≠ d, b ≠ - d) * Từ dãy tỉ số bằng nhau = = , ta suy ra: = = = = = =…….. ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ) * Chú ý. a b c - Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 4 ta cũng có 2 3 4 thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4 a c - Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức = b d suy ra: 2 2 a c a c a c ka k c = = . ;k. = k . ; 1 = 2 (k1, k2 0) b d b d b d k1b k2d 3 3 3 2 a c e a c e a c e a c e Từ = = suy ra = = = . . ; = . b d f b d f b d f b d f Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, đồng thời cũng định hướng một số năng lực cần phát triển cho học sinh. Có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây: Dạng 1: Lập tỉ lệ thức * Phương pháp + Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức. + Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các tỉ số đã cho. + Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách: - Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ - Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ - Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau. + Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d=b.c rồi từ đó lập các tỉ lệ thức. Bài toán 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ đẳng thức sau: 6.63=9.42. Với kiến thức cơ bản đầu tiên từ tính chất của tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học sinh lập tỉ lệ thức ban đầu. Cụ thể từ đẳng thức 6.63=9.42 lập được tỉ lệ thức ban đầu 6 42 = , sau đó ta làm như sau: 9 63 6 9 + Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được = ; 42 63 3
63 42 + Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được = ; 9 6 63 9 + Cuối cùng ta đổi chỗ cả trung tỉ và ngoại tỉ ta được = 42 6 Bài toán 2: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không? a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 Từ định nghĩa tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh các tỉ số đã cho để xét xem các tỉ số đó có lập thành tỉ lệ thức không ? 0, 5 1 0,15 3 a) Ta có: 0,5 : 15 = = và 0,15 : 50 = = 15 30 50 1000 3 1 Vì nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức 1000 30 0, 3 1 1, 71 1 b) Ta cã : 0,3 : 2,7 = = và 1,71 : 15,39 = = 2, 7 9 15, 39 9 Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39 Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức. Bài toán 3: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau: a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8 (Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2) a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128) Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: 0,16 0, 4 0,16 0, 32 0,32 0,8 0, 4 0,8 = ; = ; = ; = 0,32 0,8 0, 4 0,8 0,16 0, 4 0,16 0,32 b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2 . 4 (= 8) 1 4 1 2 2 8 4 8 Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: = ; = ; = ; = 2 8 4 8 1 4 1 2 Bài toán 4: Cho tập hợp số A = {4; 8; 16; 32; 64}. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A Một tỉ lệ thức = có các số hạng khác nhau nếu a ≠ b, a ≠ c, d ≠ a, b ≠ c , b ≠ d, c ≠ d và a.d = b.c . Do đó xét các nhóm 4 phần tử của A sao cho từ 4 phần tử đó có thể lập được một đẳng thức giữa hai tích (Để lập các nhóm gồm 4 phần tử một cách nhanh chóng, chính xác, giáo vên có thể gợi ý cho học sinh: 4 = 22; 8 = 23; 16 = 24; 32 = 25; 64 = 26) Giải: * Xét nhóm {4; 8; 16; 32} ta có: 4.32 = 8.16. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau: 4 16 8 32 4 8 16 32 = ; = ; = ; = . 8 32 4 16 16 32 4 8 * Xét nhóm {4; 8; 32; 64} ta có: 4.64 = 8.32. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau: 4
4 32 8 64 4 16 32 64 = ; = ; = ; = . 8 64 4 32 32 64 4 8 * Xét nhóm {8; 16; 32; 64} ta có: 8.64 = 32.16. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau: 8 32 16 64 8 16 32 64 = ; = ; = ; = . 16 64 8 32 32 64 8 16 Như vậy ta có thể lập được 12 tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A. Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu bài toán không đòi hỏi các số hạng khác nhau thì ngoài 12 tỉ lệ thức trên ta còn lập được một số tỉ lệ thức khác nữa. Ví dụ: 4 8 8 16 4 16 16 64 8 16 16 32 16 32 32 64 = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = 8 16 4 8 16 64 4 16 16 32 8 16 32 64 16 32 Qua dạng toán này, các em củng cố được năng lực tính toán, năng lực sáng tạo (viết 8 = 2 ; 32 = 2 ; 128 = 2 ; 512 = 2 để dễ dàng lập được các đẳng thức dạng ad = bc) Bài tập tự luyện dạng 1 Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn trong năm số sau: a) 9; 81; 729; 6561; 59049 b) 5; 25; 125; 625; 3125 Bài 2: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức: (-5) : 10 ; : ; (-3,11) : 12,5 ; : 9 ; (-1,5) : 3 ; : 25 Bài 3: Cho ba số: 6; 8; 24. a) Tìm số x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức. b) Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức? Bài 4: Cho bốn số: 2; 4; 8; 16. a) Tìm số x sao cho x cùng với ba trong bốn số trên lập thành một tỉ lệ thức. b) Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức? Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức * Phương pháp Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu bài toán. a c Để chứng minh tỉ lệ thức = ta có các phương pháp sau: b d Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c a c Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỉ số = có cùng 1 giá trị nếu trong đề bài đã cho b d trước 1 tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung của các tỉ số tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải. Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi thành tỉ lệ thức phải chứng minh. 5
a c Bài toán 1: Cho tỉ lệ thức 1 Với a, b, c, d 0 b d a b c d Chứng minh : a c Giải a c Cách 1: = a.d = .c b b d Xét tích ( a. b).c a.c b.c Thay b.c a.d (a b).c a.c a.d (c d ).a a b c d Vậy ( a b).c (c d ).a a c a b c d Như vậy để chứng minh: . a c Ta phải có đẳng thức (a b).c (c d ).a . a c Cách 2: Đặt k a b.k ; c d .k b d a b.k b b( k 1) b k 1 Xét (1) a b.k b.k k c d d .k d d (k 1) k 1 Và (2) c d .k d .k k a b c d Từ (1) và (2) a c a b c d Trong cách này ta chứng minh tỉ số nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt a c giá trị số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k. a c a b Cách 3: Từ tỉ số b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a a b c d a b a b c d hay c d c d c c d c a a c Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chat của dãy tỉ số bằng nhau rồi hoán vị ngoại tỉ mtj lần nữa. a c b d Cách 4: Từ b d a c a b b b d c d XÐt 1 1 1 a a a c d 6
a b c d VËy a c a c b d Cách 5: Từ b d a c Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức: b d a b c d 1 1 a c a c Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức sau đó biến đổi đẳng thức cần chứng minh. Tãm l¹i tõ mét tØ lÖ thøc ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minh theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau cã thÓ sö dông trong bµi tËp. a c Bài toán 2: Cho tỉ lệ thức . Hãy chứng minh: b d a − b c− d a) = a+b c+d 2a + 5b 2c + 5d b) = 3a + 4b 3c − 4d Cách 1 Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh a c Đặt =k a = b.k; c = d.k b d Ta có: a b bk b b(k 1) k 1 a b bk b b(k 1) k 1 a b c d c d dk d d (k 1) k 1 a b c d c d dk d d (k 1) k 1 Cách 2: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau: a c a b Từ : = = (Hoán vị trung tỉ) b d c d a b a −b a +b Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = c d c−d c+d a−b c−d = (Hoán vị trung tỉ) a+b c+d Cách 3: Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: a c Từ = ad = bc b d 7
Xét tích: (a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd = ac − bd (vì ad = bc ad - bc = 0) (a b)(c d ) ac ad bc bd = ac − bd (vì ad = bc - ad + bc = 0) Do đó (a − b)(c + d ) = (a + b)(c − d ) (cùng bằng ac – bd) a b c d (Đpcm) a b c d Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỉ lệ thức đã đưa ra một số hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu để trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó học sinh tự giải phần b của bài toán này. a c Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức . Hãy chứng minh: b d ( a − b) 2 ab a 2 + b 2 ab a) = ; b) = ; (c − d) c 2 + d 2 cd 2 cd a 2 − b2 ab c) = ; c −d 2 2 cd Hướng giải của bài toán 3 tương tự như bài toán 2, song mức độ tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Do đó phải phân tích, cho học sinh ôn lại về luỹ thừa và kiến thức về tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Cần nhấn mạnh lại các công thức: 2 2 a c a c ac Nếu : = = = và hướng cho các em trình bày lời giải của bài b d b d bd toán phần a như sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau: a c a b Từ : = = (Hoán vị trung tỉ) b d c d a b a −b Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = c d c−d 2 a −b = = c−d Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh a c Đặt =k a = b.k ; c = d.k b d Ta có : = = = = = Từ đó suy ra : = Tương tự bài toán phần a học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời giải phần b, c và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh tỉ lệ thức. 8
a b a2 b2 a Bài toán 4: Cho . Hãy chứng minh : 2 b c b c2 c Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, không rập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỉ lệ thức để có hướng giải phù hợp. Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào vế trái và biến đổi ta có lời giải sau: a b Từ b2 = ac . Thay vào vế trái ta có: b c a2 b2 a2 ac a(a c) a (Đpcm) b2 c2 ac c2 c(a c) c Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân đẳng thức a b Vì cần có a2 ; b2 ; c2 nên ta nhân từng vế của với chính bản thân nó (hay bình b c phương 2 vế của tỉ lệ thức này) ta có lời giải sau : a b a a b b a 2 b2 a 2 + b2 = = = = = (1) b c b b c c b2 c2 b2 + c2 a b a2 a2 a mà = b = ac 2 = = (2) b c b 2 ac c a 2 + b2 a Từ (1) và (2) = (Đpcm) b2 + c2 c Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh Đặt = = k a = b.k và b = c.k Do đó a = c. k2 Ta có: = = = k2 (1) = = k2 (2) a2 + b2 a Từ (1) và (2) = (Đpcm) b2 + c 2 c Qua dạng toán này học sinh được hình thành và phát triển các năng lực sử dụng các phép tính, năng lực tư duy logic, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề và đặc biệt là năng lực sáng tạo. Bài tập tự luyện dạng 2 a c Bài 1: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: (víi b d gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). 3a 5b 3c 5d a b c d 1) 2) 3a 5b 3c 5d a b c d 9
3 a b c a b c a Bài 2: Cho . Chøng minh r»ng: b c d b c d d a b c d a c Bài 3: Cho . CMR: a b c d b d 2a 13b 2c 13d a c Bài 4: Cho tØ lÖ thøc . CMR: 3a 7b 3c 7 d b d Dạng 3: Tìm các số hạng của tỉ lệ thức. * Phương pháp. Để giải các bài toán dạng tìm các số hạng của tỉ lệ thức, học sinh có thể có các hướng làm như sau: Phương pháp 1: Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số Phương pháp 2: Dùng các tính chất của tỉ lệ thức Phương pháp 3: Dùng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Tuỳ từng bài tập, học sinh có thể chọn cho mình hướng giải phù hợp nhất Bài toán 1: Tìm x biết x −60 a) -0,52:x = -9,36:16,38 b) = −15 x x−3 5 x−2 x+4 c) = d) = 5− x 7 x −1 x + 7 Ở câu a các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết 3 trong số 4 số hạng của tỉ b.c b.c a.d a.d lệ thức a ;d ;b ;c d a c b Giải a) -0,52:x = -9,36:16,38 Suy ra: x. ( −9,36 ) = −0, 52.16,38 −0,52.16,38 x= = 0,91 −9,36 Ở câu b ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức nhưng có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị trí là cùng ngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai Giải x −60 Ta có: = suy ra x.x = −15.(−60) x 2 = 900 x 2 = 30 2 −15 x Suy ra x = 30 hoặc x = -30 Ở câu c ta có nhiều cách để giải quyết bài toán Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính. Giải x−3 5 Từ = suy ra 5− x 7 10
( x − 3).7 = (5 − x).5 7 x − 21 = 25 − 5 x 12 x = 46 5 x=3 6 Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Giải x−3 5 x−3 5− x Từ = suy ra = 5− x 7 5 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x −3 5− x x −3+5− x 2 1 = = = = 5 7 5+7 12 6 x −3 1 5 5 = 6( x − 3) = 5 x − 3 = x=3 5 6 6 6 (Hai cách này giáo viên có thể cho học sinh làm cách nào cũng được nhưng nên cung cấp cả hai cách cho học sinh) Ở câu d x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó khi biến đổi thì 2 x bị triệt tiêu do đó khi làm bài tập ở dạng này giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh về hệ số của biến trong tỉ lệ thức. Có thể giải quyết bài toán trên bằng các cách như sau Giải Cách 1: Biến đổi. x−2 x+4 = x −1 x + 7 (x − 2).( x + 7) = ( x − 1).( x + 4) x 2 + 7 x − 2 x − 14 = x 2 − x + 4 x − 4 5 x − 14 = 3x − 4 5 x − 3x = −4 + 14 2 x = 10 x=5 Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x−2 x+4 = x −1 x + 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x − 2 x + 4 x − 2 − x − 4 −6 3 = = = = x − 1 x + 7 x − 1 − x − 7 −8 4 x−2 3 = x −1 4 4 x − 8 = 3x − 3 x=5 Bài toán 2: Tìm x, y biết: x y a) và x y 20 2 3 11
x y b) và x.y = 90. 2 5 x y c) và x.y = 252. 7 9 x y d) và x2 – y2 = 4 (x, y > 0) 5 3 Phân tích câu a: Khởi điểm bài toán đi từ đâu? Có áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau không? Có áp dụng được tính chất cơ bản của tỉ lệ thức không? Nếu áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì nên theo tính chất nào? Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các em các hướng giải sau: Cách 1: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số x y Đặt = = k, suy ra: x = 2.k, y = 3.k 2 3 Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4 Do đó: x = 2.4 = 8, y 3.4 12 Vậy x = 8, y = 12 Cách 2: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y 20 x y 4 Do đó: 4 x 8, 4 y 12 2 3 2 3 5 2 3 Vậy x = 8, y = 12 Cách 3: Giáo viên hướng dẫn các em sử dụng phương pháp thế x y 2y Từ giả thiết x 2 3 3 2y 2.12 mà x y 20 y 20 5y 60 y 12 . Do đó: x 8 3 3 Vậy x = 8, y = 12 Đối với câu b bài toán này các em sử dụng các phương pháp tương tự như ở câu a nhưng lưu ý ở phương pháp sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học sinh thường mắc sai lầm như sau: x y x. y 90 = = = =9 2 5 2.5 10 x = 2.9 = 18. y = 5.9 = 45. Trong quá trình giảng dạy cần lưu ý ở dạng bài tập này học sinh không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Cách 1: Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp. x y Đặt k , suy ra x = 2.k, y 5k 2 5 12
Theo giả thiết: x. y = 90 2k .5k = 90 10k 2 = 90 k 2 = 49 k= 3 + Với k = 3 ta có: x = 2.3 = 6 y = 5.3 = 15 + Với k = −3 ta có: x = 2.(−3) = −6 y = 5.(−3) = −15 Vậy x = 6, y = 15 hoặc x = −6, y = −15 Cách 2: Từ tính chất của tỉ lệ thức xem có tính chất nào liên quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai 2 2 x y x y x. y Ta có: = = = (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức) 2 5 2 5 2.5 x2 y2 xy 90 = = = =9 4 25 10 10 x2 =9 x 2 = 36 x= 6 4 y2 =9 y 2 = 32.52 y = 15. 25 Mà = nên x và y cùng dấu. Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15) Cách 3: Làm thế nào để xuất hiện một tỉ lệ thức mà có một trung tỉ là tích xy? (Gợi ý: Nhớ lại tính chất a = b ac = bc (với c ≠ 0)) Học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ ba như sau: Hiển nhiên ta thấy x ≠ 0 Ta có = .x= .x = = = 18 x2 = 2.18 = 36 x= 6 = y= Với x = 6 ta có : y = = 15 Với x = -6 ta có : y = = -15 Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15) Tương tự, học sinh có thể biến đổi = .y= .y = = = 45 ………………………… Cách 4: Nếu đi từ tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì làm như thế nào? Từ tỉ lệ thức đã cho có tính được một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào biểu thức còn lại không? Học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ tư như sau: Có = y= 13
Thay y = vào biểu thức xy = 90 ta có : x. = 90 5x2 = 180 x2 = 36 x = 6 Với x = 6 ta có : y = = 15 Với x = -6 ta có : y = = -15 Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15) Qua việc hệ thống hoá, khái quát hoá tôi đã định hướng cho các em để có lời giải thích hợp, các em đã vận dụng để làm tốt các phần còn lại. Qua dạng toán trên tôi đã hình thành và củng cố cho học sinh một số năng lực cần thiết: năng lực tính toán, năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực tự tìm tòi nghiên cứu Bài tập tự luyện dạng III Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z a) = = và x + 2y – 3z = - 20 2 3 4 b) = = và x - 2y + 3z = 14 c) x = = và 4x - 3y + 2z = 36 d) x : y : z = 3 : 5 : (-2) và 5x - y + 3z = 124 x −1 y − 2 z − 3 e) = = ( 1) và 2x + 3y –z = 50 2 3 4 2x 2 y 4z g) = = ( 2 ) và x + y +z = 49 3 4 5 h) 2x = 3y = 5z và x + y –z = 95 x y z i) = = và xyz = 810 2 3 5 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z a) = = và x2 – y 2 + 2z2 = 108 2 3 4 x y b) = và x 2 + y 2 = 4 (x, y > 0) 5 3 c) = = và xy + yz + zx = 104 d) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 Bài 3. Tìm x, y, z biết x y y z a, = ; = và x + y + z = 98 2 3 5 7 x y y z b, = ; = và 2 x + 3 y − z = 372 3 4 5 7 c, 3x = 2y ; 7y = 5z và x - y + z = 32 d, 2x = 3y ; 5y = 7z và 3x - 7y + 5z = -30 Dạng 4 : Tính giá trị của biểu thức * Phương pháp 14
Phương pháp 1: x y z Đặt = = = k suy ra x = ak; y = bk; z = ck rồi thay vào biểu thức và thực hiện a b c biến đổi tính toán. - Phương pháp 2: x y z x+ y+z +) Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau = = = (tùy vào từng bài để a b c a +b+c biến đổi phù hợp). x y +) Dùng các tính chất của tỉ lệ thức: = x.b = y.a,... a b Bài toán 1: 3x − y 3 x Cho tỉ lệ thức = . Tính giá trị của tỉ số x+ y 4 y Bài giải : 3x − y 3 Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh nhân chéo tỉ lệ thức = sau đó biến x+ y 4 đổi và tính x/y 3x − y 3 Từ = 4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y 9x = 7y x+ y 4 x 7 Vậy = y 9 3x − y 3 Cách 2 : Giáo viên hướng dẫn ta chia vế trái của = với y sau đó đặt x/y x+ y 4 bằng một hằng số a. 3x −1 3x − y 3 y 3 x 3a − 1 3 Từ = = , Đặt = a = x+ y 4 x y a +1 +1 4 4 y 3a − 1 3 Từ = 4(3a - 1) = 3(a +1) a +1 4 7 x 7 Vậy a = hay = 9 y 9 x y z y+z−x Bài 2: Cho = = . Tính giá trị của biểu thức P = 2 3 4 x− y+z Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy số x y z Đặt = = =k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0) 2 3 4 3k + 4k − 2k 5k 5 P= = = 2k − 3k + 4k 3k 3 5 Vậy P = 3 15
Cách 2 : Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. x y z y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z Có = = = = = = 2 3 4 3+ 4− 2 5 2−3+ 4 3 y+z−x x− y+z y+z−x 5 = = 5 3 x− y+z 3 5 Vậy P = 3 Qua dạng toán trên tôi đã hình thành và củng cố cho học sinh một số năng lực cần thiết: năng lực tính toán, năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực tự tìm tòi nghiên cứu Bài tập tự luyện dạng 4 x y z 2x + y − z Bài 1: Cho = = . Tính B = 4 7 5 x + 6 y − 5z x y 5x2 + 3 y 2 Bài 2: Cho = . Tính C = 3 5 10 x 2 − 3 y 2 x + 4 y −2 y Bài 3: Cho = . Tính 2x − y 3 x Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức Để dạy dạng toán chứng minh bất đẳng thức trước hết tôi phải cung cấp thêm cho học sinh một số tính chất của bất đẳng thức mà SGK lớp 7 chưa đưa ra: + Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. + Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. + Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. a c Bài toán 1 ( Tính chất 1): Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0. b d a c Chứng minh : < ad < bc b d Giải: Có < , chứng minh ad < bc Ta có < < (1) Vì b > 0; d > 0 nên bd > 0. Nhân cả 2 vế của (1) với bd > 0 ta có: ad < bc (đpcm) Có ad < bc, chứng minh < Vì b > 0; d > 0 nên bd > 0. Chia cả 2 vế của bất đẳng thức ad < bc cho bd > 0 ta có: < < (đpcm) Vậy < ad < bc ( với b > 0; d > 0 ) Bài toán 2 ( Tính chất 2): Cho < (b > 0; d > 0). 16
Chứng minh < < Giải: Ta có < ; b > 0; d > 0 ad < bc (1) ( theo tính chất 1 ) + Cộng cả 2 vế của (1) với ab ta có: ad + ab < bc + ab a.(b + d ) < b.( a + c ) < (2) ( theo tính chất 1 ) + Cộng cả hai vế của (1) với dc ta có: ad + dc < bc + dc d.(a + c ) < c. ( b + d ) < (3) ( theo tính chất 1 ) + Từ (2) và (3) ta có: < < ( đpcm ) Tính chất 3: Cho a; b; c là các số dương: a a a+c a) Nếu < 1 thì < b b b+c a a a +c b) Nếu > 1 thì > b b b+c Bài toán 3. Cho a; b; c; d > 0. a b c d Chứng minh rằng : 1 < + + + 0 < (1) Mặt khác : a , b, c > 0 0 nên theo tính chất 3 ta có: < (2) a a a+d Từ (1) và (2) ta có: < < ( 3) a +b+c+ d a +b+c a +b+c+d * Tương tự ta có: b b b+a < < ( 4) a+b+c+d b+c +d a +b+c +d c c c+b < < ( 5) a +b +c + d c +d + a c +d +a +b d d d +c < < ( 6) d+a+b+c d + a + b a + b + c + d Cộng từng vế của các bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) ta được: a b c d 1< + + + < 2 (đpcm) a +b+c b+c +d c+d +a d +a +b Qua dạng toán này học sinh được hình thành và phát triển một số năng lực như: năng lực tư duy logic, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Bài tập tự luyện dạng 5 a ab + cd c Bài 1. Cho < ( b > 0; d > 0 ). Chứng minh : < < b b2 + d 2 d 17
Bài 2. Cho a; b; c là các số dương. Chứng minh 1 < + + < 2 Bài 3: Cho các số dương a1; a2; a3; b1; b2; b3 thoả mãn: ≤ ≤ Chứng minh rằng : ≤ ≤ Dạng 6: Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Phương pháp Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. Bước 2: Xác định tương quan tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng rồi áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch đẻ lập tỉ lệ thức. Bước 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ẩn Bước 4: Đối chiếu với điều kiện để kết luận đáp số của bài toán Bài toán 1: Người ta phân tích số M thành tổng của 4 số sao cho số thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; số thứ ba và số thứ tư tỉ lệ với 6 và 7 và số thứ tư hơn số thứ hai 22 đơn vị. Tìm số M. Để giải bài toán này tôi yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ mối tương quan giữa các số liệu, từ đó có lời giải sau: Giải: Gọi các số thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là a; b; c; d. Theo đề bài ta có: = ; = ; = và d - b = 22 Từ = => = Từ = => = Từ = => = Do đó ta có : = = = Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = = = =2 Do đó: a = 2.16 = 32 b = 2.24 = 48 c = 2.30 = 60 d = 2.35 = 70 M = a + b + c + d = 32 + 48 + 60 + 70 = 210 Vậy số M là 210. Sau khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán trên, tôi hướng dẫn học sinh khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện và gắn với thực tế để được những bài toán thực tế có phương pháp giải tương tự. Thông qua việc giải quyết các bài toán thực tế đó hình thành và phát triển cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề thực tế. Bài toán 2: 18
1 1 Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở 5 6 1 kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi 11 kho có bao nhiêu thóc? Giải: Gọi số thóc của ba kho I, II, III lần lựợt là a, b, c (tấn, a, b, c >0) Số thóc của kho I sau khi chuyển là: 1 4 a− a = a 5 5 Số thóc của kho II sau khi chuyển là: 1 5 b− b = b 6 6 Số thóc của kho III sau khi chuyển là: 1 10 c− c= c 11 11 Theo bài rat a có: 4 5 10 a = b = c và a + b + c = 710 5 6 11 4 5 10 a b c a= b= c = = Từ 5 6 11 5 6 11 4 5 10 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a +b+c 710 = = = = = 200 5 6 11 5 6 11 71 + + 4 5 10 4 5 10 20 Suy ra: a 5 = 200 a = 200. = 250 5 4 4 b 6 = 200 b = 200. = 240 6 5 5 c 11 = 200 c = 200. = 220 11 10 10 Vậy số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là: 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn. Qua việc giải các bài tập trên học sinh được hình thành và phát triển một số năng lực như: năng lực tính toán, năng lực tư duy logic, đặc biệt là năng lực giải quyết các vấn đề thực tế. Bài tập tự luyện dạng 6 Bài 1: Người ta chia 210m vải thành 4 tấm vải sao cho độ dài tấm thứ nhất và tấm thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; độ dài tấm thứ hai và tấm thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; độ dài tấm thứ ba và tấm thứ tư tỉ lệ với 6 và 7. Hãy tính độ dài mỗi tấm vải đó 19
2 3 Bài 2 : Trường có 3 lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và 3 4 4 bằng số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 5 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp? Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc 11h45phút. Sau khi đi được quãng đường thì ô tô giảm vận tốc chỉ còn 30 km/h trên quãng đường còn lại nên đến B lúc 12 giờ. Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét? 1.2 Phân tích tình trạng của giải pháp: 1.2.1. Thuận lợi: Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: - Không còn sợ dạng toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, dạng toán có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải các bài toán tương tự. - Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài toán đó ở dạng nào. - Các em có kỹ năng tính toán nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi từ những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải. - Các em không còn sợ dạng toán này nữa. - Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình. 1.2.2. Khó khăn: - Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập cho học sinh. - Nhiều học sinh rỗng nhiều kiến thức, không nắm được các kiến thức, kĩ năng cơ bản, và còn lười học. - Nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập - Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến. 1.3 Nội dung cải tiến: Sáng kiến “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn Toán lớp 7.” đã được áp dụng và triển khai có hiệu quả ở khối lớp 7, tại trường nơi tôi đang công tác. Khả năng áp dụng nhân rộng: 20