Chương 1: Ma trận hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

118
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng:f(x) = ax + b = 0\, b là một hằng số (hay hệ số bậc 0). a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Ma trận hệ phương trình tuyến tính

BAØI GIAÛNG TOÙM TAÉT ⎛ a1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 j ⎟ ⎜ ⎟ : coät thöù j cuûa ma traän A. MOÂN TOAÙN C2 ⎜ ⎟ ⎜ a mj ⎟ ⎝ ⎠ (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) Kyù hieäu: Mm×n (R) laø taäp hôïp taát caû nhöõng ma traän loaïi m×n treân R. ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ Ví duï: A = ⎜ ⎜ ⎟ ∈ M2×3 (R); ⎟ B = ⎜ 0 1 ⎟ ∈ M 3× 2 (R) ⎝ 0 1 2⎠ ⎜ 2 3⎟ CHÖÔNG 1 ⎝ ⎠ 1.2. Ñònh nghóa: MA TRAÄN Cho hai ma traän cuøng loaïi A = (aij)m×n vaø B = (bij)m×n. Ta noùi A baèng B, kyù n hieäu A = B, neáu aij = bij, ∀1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH 1.3. Ñònh nghóa: .v (i) Ma traän khoâng loaïi m × n, kyù hieäu: 0m×n hay 0, laø ma traän loaïi m × n maø taát caû caùc heä soá ñeàu baèng 0. h (ii) Moät ma traän vuoâng caáp n laø moät ma traän loaïi n × n (i.e. soá doøng = soá coät = n). A. MA TRAÄN Trong moãi ma traän vuoâng caáp coù moät ñöôøng cheùo chính (goïi taét laø ñöôøng 4 cheùo) goàm caùc heä soá aii, 1 ≤ i ≤ n. §1. ÑÒNH NGHÓA VAØ KYÙ HIEÄU 1.1. Ñònh nghóa: Moät ma traän loaïi m × n treân R laø moät baûng chöõ nhaät goàm m doøng, n coät vôùi mn heä soá thöïc coù daïng: ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ c 2 o ⎜ ⎟ a a 22 ... a 2n ⎟ A = ⎜ 21 ⎜ ..... ...... ... ...... ⎟ Taäp caùc ma traän vuoâng caáp n treân R ñöôïc kyù hieäu laø Mn(R). ih ⎜ ⎟ ⎝ a m1 a m2 ... a mn ⎠ (iii) Moät ma traän cheùo caáp n laø moät ma traän vuoâng caáp n maø taát caû caùc heä soá Vieát taét: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong ñoù aij ∈ R. naèm ngoaøi ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 0. ⎛ a11 0 ... 0 ⎞ u Ta goïi: ⎜ ⎟ 0 a 22 ... 0 ⎟ aij : heä soá ôû doøng i, coät j cuûa ma traän A; A=⎜ ⎜ ........................ ⎟ m : soá doøng cuûa ma traän A; ⎜ ⎟ V ⎝ 0 0 ... a nn ⎠ n : soá coät cuûa ma traän A; (iv) Ma traän ñôn vò caáp n, kyù hieäu In hay I, laø ma traän cheùo caáp n maø taát caû caùc (ai1 ai2 ... ain) : doøng thöù i cuûa ma traän A; heä soá naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1: 1 2
⎛ 1 0 ... 0 ⎞ 2.2. Pheùp nhaân voâ höôùng: ⎜ ⎟ 0 1 ... 0 ⎟ Cho ma traän A = (aij)m×n vaø soá thöïc α ∈ R. Ta ñònh nghóa αA laø ma traän coù In = ⎜ = (δ ij )n× n ⎜ ..................... ⎟ töø A baèng caùch nhaân taát caû caùc heä soá cuûa A cho α, nghóa laø: ⎜ ⎟ ⎝0 1 ⎠ αA = (αaij)m×n ⎧ 1 neáu i = j Ví duï: vôùi δ ij = ⎨ ⎩ 0 neáu i ≠ j ⎛3 4 1 ⎞ ⎛6 8 2 ⎞ 2⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0 1 − 3⎠ ⎝ 0 2 − 6 ⎠ (v) Moät ma traän tam giaùc treân (tam giaùc döôùi) caáp n laø moät ma traän vuoâng caáp n maø taát caû caùc heä soá naèm phía döôùi (phía treân) ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 0. Kyù hieäu: – A = (–1)A = (– aij)m×n Nhö vaäy, Ta deã daøng kieåm tra ñöôïc caùc tính chaát sau: A = (aij)n×n laø ma traän tam giaùc treân ⇔ aij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n, nghóa laø A coù daïng: ⎛ a 11 a 12 ... a 1n ⎞ ⎜ ⎜0 A =⎜ a 22 ... a 2n ⎟ ⎟ ............................. ⎟ (i) (ii) (αA)T = αAT .v (αβ)A = α(βA) n Vôùi A = (aij) vaø α, β ∈ R; (iii) 0.A = 0 vaø 1.A = A. h ⎜ ⎟ ⎜0 0 ... a nn ⎟ ⎝ ⎠ 2.3. Pheùp coäng ma traän: 4 B = (bij)n×n laø ma traän tam giaùc döôùi Cho hai ma traän cuøng loaïi m×n: A = (aij)m×n vaø = (bij)m×n. Ta ñònh nghóa toång ⇔ bij = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n, nghóa laø B coù daïng: hai ma traän A vaø B, kyù hieäu A + B, laø ma traän loaïi m×n maø caùc heä soá coù ñöôïc 2 baèng caùch laáy toång cuûa caùc heä soá töông öùng cuûa A vaø B, nghóa laø: ⎛ b11 0 ... 0 ⎞ ⎜ ⎟ A + B = (aij + bij)m×n c ⎜ b 21 b 22 ... 0 ⎟ B=⎜ ............................ ⎟ Ví duï: ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n1 b n 2 ... b nn ⎠ o ⎛ 2 3 0 ⎞ ⎛1 0 − 4⎞ ⎛ 3 3 − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 − 3 ⎟ + ⎜ 7 8 − 3 ⎟ = ⎜ 8 10 − 6 ⎟ §2. CAÙC PHEÙP TOAÙN MA TRAÄN ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ih 2.1. Pheùp laáy chuyeån vò: Ta deã daøng kieåm ñöôïc caùc tính chaát sau: Cho A = (aij) laø moät ma traän loaïi m×n. Ta goïi ma traän chuyeån vò cuûa A, kyù Vôùi A, B, C ∈ Mm×n(R) vaø α, β ∈ R ta coù: hieäu AT, laø ma traän loaïi n×m, coù ñöôïc töø A baèng caùch xeáp caùc doøng cuûa A thaønh (i) A + B = B + A (tính giao hoaùn); caùc coät töông öùng cuûa AT. Nghóa laø: A= ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ............................ ⎟ ⎜ ⎝ a m1 a m2 ... a mn ⎠ ⎟ ⎛ a11 a 21 ... a m1 ⎞ ⎜ ⎜ a 21 a 22 ... a 2n ⎟ ⇒ A T = ⎜ a12 a 22 ... a m2 ⎟ V u ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ⎝ a1n a 2n ... a mn ⎠ ⎟ (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (A + B) + C = A + (B + C) (tính keát hôïp); 0m×n + A = A + 0m×n = A; A + (–A) = (–A) + A = 0m×n; (A + B)T = AT + BT; α(A + B) = αA + αB (vii) (α + β)A = αA + βA; Nhö vaäy, heä soá ôû doøng i, coät j cuûa ma traän AT baèng heä soá ôû doøng j, coät cuûa ma (viii) (–α)A = α(–A) = –(αA) traän A. 3 4
Kyù hieäu: A – B = A + (–B) = (aij – bij)m×n InA = A.In = A 2.4. Pheùp nhaân ma traän: (ii) Vôùi A laø ma traän loaïi m×n ta coù: Cho hai ma traän A vaø B coù tính chaát: Soá coät cuûa ma traän A baèng soá doøng cuûa 0p×mA = 0p×n vaø A0n×q = 0m×q ma traän B. Cuï theå ma traän A = (aij) loaïi m×n vaø ma traän B = (bij) loaïi n×p. Ta Suy ra vôùi A laø ma traän vuoâng caáp n, ta coù: ñònh nghóa tích cuûa hai ma traän A vaø B, kyù hieäu AB, laø ma traän C loaïi m×p ñònh 0n×nA = A.0n×n = 0n×n bôûi: (iii) Pheùp nhaân ma traän coù tính keát hôïp: • Veà loaïi: C coù loaïi m×p. A ∈ Mm×n (R); B ∈ Mn×p (R); C ∈ Mp×q (R) [Ghi nhôù baèng kyù hieäu hình thöùc : (m×n)(n×p)= (m×p)] (AB)C = A(BC) • Veà heä soá: C coù heä soá doøng i, coät j ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: nhöng khoâng coù tính giao hoaùn, nghóa laø thoâng thöôøng AB ≠ BA (coù theå AB xaùc n n ñònh nhöng BA laïi khoâng xaùc ñònh). c ij = ∑ a ik bkj k =1 (iv) Pheùp nhaân ma traän coù tính phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng. .v Noùi caùch khaùc, heä soá ôû doøng i, coät j cuûa AB coù ñöôïc baèng caùch nhaân caùc heä soá ôû A(B + C) = AB + AC; doøng i cuûa ma traän A vôùi caùc heä soá töông öùng ôû coät j cuûa ma traän B roài laáy toång (B + C) A = BA + CA cuûa chuùng: h (v) (AB)T = BTAT ⎛ a11 ⎞ 4 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ (vi) Vôùi A = ⎜ a 22 ⎟ laø moät ma traän cheùo vaø k nguyeân döông, ta coù: ⎜ ⎟ c 2 ⎜ 0 ⎜ ⎝ ⎟ a 2n ⎟ ⎠ k ⎛ a11 ⎞ o ⎜ ⎜ A k = A ... A = ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ih k ⎛1 3 ⎞ ⎜ a 22 ⎟ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 − 1⎞ k ⎜ 0 ⎟ Ví duï: Vôùi A = ⎜ ⎜3 1 2 ⎟ ⎟ ,B = 2 ⎜ 1⎟, C = ⎜ ⎜ 1 0 ⎟ ta coù: ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 3 −1 ⎟ ⎜ k ⎟ a nn ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2 6⎞ AB = ⎜ ⎝ 11 8 ⎠ ⎛ 10 5 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 5 −5 ⎟ ⎝ nhöng AC vaø CB khoâng xaùc ñònh. ⎠ ⎛ 5 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ; BA = ⎜ 5 5 0 ⎟ ; BC = ⎜ 5 −2 ⎟ ; CA = ⎜ ⎜ 5 −3 ⎟ ⎝ Pheùp nhaân ma traän coù caùc tính chaát sau: (i) Vôùi A laø ma traän loaïi m×n, ta coù: ⎠ V u ⎛ −1 3 −4 ⎞ ⎝ 1 2 −1 ⎠ ⎟ Chuù yù: Nhieàu tính chaát quen thuoäc cuûa pheùp nhaân giöõa caùc soá thöïc khoâng coøn ñuùng ñoái vôùi pheùp nhaân ma traän, chaúng haïn: A2 = 0 AB = 0 ⎧ AB = AC ⎨ ⎩A ≠ 0 ⇒ A = 0. ⇒ A = 0 hay B = 0. ⇒ B = C. ⎛0 1⎞ ⎛0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ 2 ImA = A vaø AIn = A Ví duï: Vôùi A = ⎜ ⎟;B = ⎜ ⎟;C = O = ⎜ ⎟ , ta coù A = 0; AB = 0; AB = ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ Suy ra vôùi A laø ma traän vuoâng caáp n, ta coù AC, nhöng A, B ñeàu khaùc 0 vaø B ≠ C. 5 6
§3. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI SÔ CAÁP TREÂN DOØNG 3.1. Ñònh nghóa: Cho A = (aij)m×n. Ta goïi pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng (vieát taét laø BÑSCTD) treân A laø moät trong ba loaïi bieán ñoåi sau: 1) Loaïi 1: Ñoûi hai doøng cho nhau. Kyù hieäu : di ↔ dk chæ pheùp ñoåi hai doøng i vaø k cho nhau . 2) Loaïi 2: Nhaân moät doøng cho moät soá khaùc 0. trong ñoù k1 < k2
3.4. Ñònh lyù: 1) Neáu ma traän A coù moät doøng hay moät coät baèng 0 thì A khoâng khaû nghòch. Cho A laø moät ma traän loaïi m×n treân R. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ma Ñaûo laïi khoâng ñuùng. traän baäc thang ruùt goïn R sao cho A ~ R. Ta goïi R laø ma traän daïng baäc thang ruùt 2) Ma traän ñôn vò I khaû nghòch vaø I–1 = I. goïn cuûa A vaø soá löôïng doøng khaùc 0 cuûa R laø haïng cuûa ma traän A, kyù hieäu r(A). Nhaän xeùt: Haïng cuûa ma traän A cuõng baèng soá löôïng doøng khaùc 0 cuûa baát kyø 3) Vôùi A, B laø hai ma traän vuoâng caáp n ta coù: ma traän daïng baäc thang naøo (khoâng nhaát thieát ruùt goïn) töông ñöông doøng vôùi A. (A khaû nghòch vaø A-1 = B) ⇔ AB = In ⇔ BA = In Ví du 1: Tìm moät ma traän daïng baäc thang R töông ñöông doøng vôùi ma traän: 4) Neáu A khaû nghòch vaø α ∈ R, α ≠ 0 thì ma traän αA cuõng khaû nghòch vaø ⎛1 7 1 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 7 −1 −2 −2 ⎟ 1 −1 A= ⎜ 2 14 2 7 (αA)−1 = A . 0⎟ α ⎜ ⎟ ⎝ 6 42 3 13 −3 ⎠ Töø ñoù xaùc ñònh haïng cuûa A. ⎛1 ⎜ Ñaùp soá: A ∼ R = ⎜ ⎜0 0 7 1 0 0 1 30⎞ 0⎟ ⎟ 0 −2 − 5 −2 ⎟ . Ma traän A coù haïng laø r(A) = 3. .vn 5) Neáu A khaû nghòch thì AT cuõng khaû nghòch vaø (AT)–1 = (A–1)T 6) Neáu A, B laø hai ma traän khaû nghòch coù cuøng caáp thì ma traän tích AB cuõng khaû nghòch vaø: ⎜ ⎝0 0 0 0 0⎠ ⎟ Ví du 2: Tìm ma traän daïng baäc thang R töông ñöông doøng vôùi ma traän: ⎛1 7 1 3 0⎞ 4 h 4.2. Ñònh lyù: (AB)–1 = B-1A–1 2 ⎜ ⎟ 1 7 −1 −2 −2 ⎟ A =⎜ ⎜ 2 14 2 7 0⎟ Cho A laø moät ma traän vuoâng caáp n. Ta coù caùc khaúng ñònh sau töông ñöông: c ⎜ ⎟ ⎝ 6 42 3 13 −3 ⎠ 1) A khaû nghòch. 2) r(A) = n. ⎛1 ⎜ Ñaùp soá: A ∼ R = ⎜ 0 7 0 0 −1 ⎞ 0 1 0 1⎟ ⎟ . o 3) A ~ In . ih ⎜0 0 0 1 0⎟ 4) Toàn taïi caùc pheùp BÑSCTD e1, e2, ..., ek bieán ma traän A thaønh ma traän ñôn ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0 0⎠ vò In. Hôn nöõa, khi ñoù cuõng qua chính caùc pheùp bieán ñoåi e1, e2,..., ek, ma traän ñôn §4. MA TRAÄN KHAÛ NGHÒCH 4.1. Ñònh nghóa: V u Moät ma traän A vuoâng caáp n ñöôïc goïi laø khaû nghòch neáu coù moät ma traän B vuoâng caáp n sao cho AB = BA = In. Khi ñoù ma traän B laø duy nhaát vaø ñöôïc goïi laø ma traän nghòch ñaûo cuûa A kyù hieäu laø A–1. vò In seõ bieán thaønh ma traän nghòch ñaûo A–1, nghóa laø: thì Neáu e1 e1 e2 e2 → → e3 3 → → ek A ⎯⎯⎯ A1 ⎯⎯⎯ A 2 ⎯⎯⎯ ... ⎯⎯⎯ A k = In → ek → → e In ⎯⎯⎯ B1 ⎯⎯⎯ B2 ⎯⎯⎯ ... ⎯⎯⎯ Bk = A −1 . → Chuù yù: Trong thöïc haønh, ñeå xeùt tính khaû nghòch cuûa ma traän A vuoâng caáp n Nhaän xeùt: vaø tìm A-1 (neáu coù), ta tieán haønh nhö sau: Xeáp In beân phaûi ma traän A: (A⏐In) vaø duøng caùc pheùp BÑSCTD ñeå bieán ñoåi ma traän naøy theo höôùng ñöa A veà daïng baäc thang ruùt goïn R: 9 10
e e e (A In ) ⎯⎯⎯ (A 1 B1 ) ⎯⎯⎯ ... ⎯⎯⎯ (A p Bp ) ⎯⎯⎯ .... 1 → 2 → p → → Trong quaù trình bieán ñoåi coù theå xaûy ra hai tröôøng hôïp: §5. PHÖÔNG TRÌNH MA TRAÄN • Tröôøng hôïp 1: Toàn taïi p sao cho trong daõy bieán ñoåi treân, ma traän Ap coù ít Cho caùc ma traän: nhaát 1 doøng hay 1 coät baèng 0. Khi ñoù a khoâng khaû nghòch. • A vuoâng caáp n, khaû nghòch; • Tröôøng hôïp 2: Moïi ma traän Ai trong daõy bieán ñoåi treân ñeàu khoâng coù doøng • B loaïi n×p; hay coät baèng 0. Khi ñoù ma traän cuoái cuøng cuûa daõy treân coù daïng (In,B). Ta coù A khaû nghòch vaø A-1 = B (Thöû laïi AB = In). • C loaïi m×n. –1 Ví duï: Xeùt tính khaû nghòch cuûa A vaø tìm A (neáu coù) Khi ñoù: ⎛1 2 34⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AX = B ⇔ X = A -1B 2 5 47⎟ 2 1 1 0 ⎟ a) A = ⎜ b) A = ⎜ n ⎜3 7 8 12 ⎟ ⎜3 0 2 1 ⎟ ⎜ ⎜4 ⎟ ⎜ ⎟ YA = C ⇔ Y = CA -1 ⎝ 8 14 19 ⎟ ⎠ ⎜4 − 1 ⎝ 0 − 3⎟ ⎠ .v Ví duï: Cho hai ma traän: Ñaùp soá: ⎛1 2 3 − 2⎞ ⎛1 − 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) A khaû nghòch vaø ma traän nghòch ñaûo cuûa A laø: ⎜ 2 − 1 − 2 − 3⎟ ⎜0 1 − 1 0 ⎟ A= ⎜ ⎟ ; B = ⎜0 0 A −1 ⎛ 10 7 −9 1 ⎞ ⎜ =⎜ ⎜ 1 −3 3 −1 ⎟ ⎜ ⎟ −2 −3 4 −1 ⎟ ⎟ 4 h ⎜ 3 2 −1 −5 ⎜ 4 − 3 1 − 3⎟ ⎝ ⎟ ⎠ a) Chöùng toû A khaû nghòch vaø tìm A–1. ⎜ ⎜0 0 ⎝ 1 − 1⎟ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎠ ⎝ −2 2 − 2 1 ⎠ 2 b) Tìm ma traän X thoûa AXA = AB. c) Tìm ma traän X thoûa A2XA2 = ABA2. c b) A khoâng khaû nghòch. 4.3. Ñònh lyù: Giaûi: Cho A laø moät ma traän vuoâng caáp 2: o a) Ta tìm ñöôïc ih ⎛a b⎞ A=⎜ ⎟ ⎛ 47 81 − 50 − 29 ⎞ ⎝ c d⎠ ⎜ 3 5 −3 −2⎟ ⎟ A –1 = ⎜ ⎜ 2 3 −2 Ta coù: A khaû nghòch khi vaø chæ khi: −1 ⎟ ⎜ ⎟ u ⎜ 29 50 − 31 − 18 ⎟ ⎝ ⎠ a b det A = = ad − bc ≠ 0 . ⎛ 44 76 − 47 − 27 ⎞ c d ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 −1 -1 −1 ⎟ b) AXA = AB ⇔ XA = B ⇔ X = BA = ⎜ V 1 ⎛ d −b ⎞ − 27 − 47 29 17 ⎟ Khi ñoù: A −1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ad − bc ⎝ −c a ⎠ ⎜ 29 59 − 31 − 18 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 47 34 − 131 21 ⎞ Ví duï: Ma traän A = ⎜ ⎟ coù detA = 11 neân A khaû nghòch vaø ta coù: ⎜ 3 2 −8 1⎟ ⎟ ⎝3 4 ⎠ 2 2 c) A XA = ABA 2 ⇔ AX = B ⇔ X = A B = ⎜ –1 ⎜2 1 −5 1⎟ −1 1 ⎛ 4 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ ⎟. ⎜ 29 21 − 81 13 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ⎝ −3 2 ⎠ 11 12
⎛ a11 a12 ... a1n b1 ⎞ B. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2n b2 ⎟ (A⏐B) = ⎜ .......................... ... ⎟ §1. ÑÒNH NGHÓA VAØ KYÙ HIEÄU ⎜ ⎟ ⎜a bm ⎟ ⎝ m1 a m2 ... a mn ⎠ 1.1. Ñònh nghóa: (i) Moät heä phöông trình tuyeán tính treân R goàm m phöông trình, n aån soá laø ñöôïc goïi laø ma traän boå sung (hay ma traän môû roäng) cuûa heä (1). moät heä coù daïng: Khi ñoù, heä (1) ñöôïc vieát döôùi daïng ma traän nhö sau: ⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 AX = B (2) ⎪a x + a x + ... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ trong ñoù .................................................... (1) ⎪ n ⎪a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m ⎛ x1 ⎞ ⎩ ⎜ ⎟ x X = ⎜ 2 ⎟ : Ma traän coät caùc aån soá trong ñoù .v ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ • aij, bi ∈ R: Caùc aån soá; ⎝ xn ⎠ • x1, x2,..., xn : Caùc aån soá thöïc. 1.2. Ñònh nghóa: • Moãi boä soá (x1 , x2 ,..., xn) = (α1 , α2 ,..., αn) thoûa taát caû caùc phöông trình trong (1) ñöôïc goïi laø moät nghieäm cuûa (1). Khi heä coù nghieäm ta coøn noùi heä ñoù töông thích. 4 h Vôùi caùc kyù hieäu trong Ñònh nghóa 1.1, ta noùi: (i) Heä (1) vaø (2) laø heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát neáu B = 0, nghóa laø b1 = b2 = ... = bn = 0. 2 (ii) Ma traän (ii) Heä (1) vaø (2) laø heä phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát neáu coù ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ 1 ≤ j ≤ m sao cho bj ≠ 0, nghóa laø neáu B ≠ 0. c ⎜ ⎟ a a ... a 2n ⎟ A = (aij)m×n = ⎜ 21 22 1.3. Nhaän xeùt: ⎜ ........................... ⎟ o ⎜ ⎟ Moät heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát baát kyø luoân luoân coù nghieäm vì ⎝ a m1 a m2 ... a mn ⎠ noù nhaän (0,0,...,0) laøm moät nghieäm, goïi laø nghieäm taàm thöôøng. Ñieàu naøy khoâng ih ñöôïc goïi laø ma traän heä soá ôû veá traùi cuûa heä (1). ñuùng ñoái vôùi caùc heä khoâng thuaàn nhaát. Ma traän ⎛ b1 ⎞ §2. PHÖÔNG PHAÙP GAUSS GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH ⎜ ñöôïc goïi laø ma traän heä soá ôû veá phaûi cuûa heä (1). Ma traän b B= ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎝ bm ⎠ ⎟ V u Trong phaàn naøy ta seõ ñeà caäp ñeán phöông phaùp Gauss ñeå giaûi heä phöông trình tuyeán tính: ⎛ b1 ⎞ ⎜ trong ñoù A = (aij)m×n; B = ⎜ b2 ⎟ AX = B ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x ; X =⎜ 2 ⎟ . ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠ ⎝ xn ⎠ 13 14
2.1. Nhaän xeùt: 3) Neáu r1 = r2 < n thì AX = B coù voâ soá nghieäm vôùi baäc töï do laø n–r1, nghóa laø Khi giaûi moät heä phöông trình tuyeán tính, caùc pheùp bieán ñoåi sau ñaây cho ta coù n–r1 aån coù theå nhaän baát cöù caùc giaù trò thöïc naøo cho tröôùc, goïi laø n–r1 aån töï do, caùc heä töông ñöông: vaø r1 aån coøn laïi ñöôïc tính theo caùc aån töï do treân. • Hoùan ñoåi hai phöông trình cho nhau; Chuù yù: Coù nhieàu caùch choïn aån töï do, nhöng thoâng thöôøng, ta choïn caùc aån töï • Nhaân hai veá cuûa moät phöông trình cho moät soá khaùc 0. do laø caùc aån khoâng ñöùng ñaàu trong caùc phöông trình cuûa heä ruùt goïn RX = B' sau cuøng. • Coäng vaøo moät phöông trình moät boäi cuûa phöông trình khaùc. Töông öùng vôùi caùc pheùp bieán ñoåi treân laø caùc pheùp BÑSCTD ñoái vôùi ma traän Ñoäc giaû coù theå nghieân cöùu phöông phaùp Gauss qua caùc ví duï minh hoïa sau: boå sung. Ví duï 1: Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính sau: Töø nhaän xeùt treân ta coù keát quaû sau: ⎧x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4 x 4 =7 2.2. Ñònh lyù: ⎪ n ⎪ x 2 + 2 x 1 + 2 x 3 + 3x 4 =6 (i) Neáu A ~ R thì AX = 0 ⇔ RX = 0. a) ⎨3x + 2x + 2x + x =7 ⎪ 1 2 4 3 .v (ii) Neáu (A⏐B) ~ (R⏐B′) thì AX = B ⇔ RX = B′. ⎪4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 18 ⎩ Duøng Ñònh lyù 2.2 ta tìm ñöôïc phöông phaùp Gauss ñeå giaûi caùc heä phöông ⎧x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 5x 4 = 1 trình tuyeán tính nhö sau: ⎪ h ⎪x 1 + 3x 2 − 13x 3 + 22x 4 = −1 2.3. Phöông phaùp Gauss: b) ⎨3x + 5x + x − 2x = 5 ⎪ 1 2 3 4 4 Böôùc 1: Vieát ma traän boå sung (A⏐B) cuûa heä (sau khi vieát caùc aån theo moät ⎪2x 1 + 3x 2 + 4 x 3 − 7 x 4 = 4 ⎩ thöù töï naøo ñoù). ⎧ x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 4 x 4 = 2 2 Böôùc 2: Duøng caùc pheùp BÑSCTD bieán ñoåi ma traän (A⏐B) cho ñeán khi A bieán ⎪ thaønh ma traän daïng baäc thang (hay baäc thang ruùt goïn), nghóa laø ⎪3x 1 + 3x 2 − 5x 3 + x 4 = −3 c c) ⎨− 2x + x + 2x − 3x = 5 (A⏐B) → ... → (R⏐B′) ⎪ 1 2 3 4 ⎪3x 1 + 3x 3 − 10x 4 = 8 ⎩ Böôùc 3: Vieát laïi heä phöông trình tuyeán tính RX = B′ öùng vôùi ma traän boå o sung (R⏐B′). Sau ñoù giaûi heä naøy baèng caùch laàn löôït tính caùc aån döïa vaøo caùc phöông trình töø phía döôùi leân. Nghieäm cuûa heä naøy chính laø nghieäm cuûa heä ñaõ Ñaùp soá: ih cho. a) Ta vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng: 2.2. Ñònh lyù (Kronecker – Capelli): ⎧ x 1 + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 =7 u Xeùt heä phöông trình tuyeán tính AX = B. Ñaët: ⎪ ⎪2x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 =6 • r1 = r(A); ⎨ ⎪3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 =7 • r2 = r(A|B); V ⎪4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 ⎩ = 18 • n laø soá aån. Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: Khi ñoù: ⎧ x1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 7 ⎧ x1 =2 1) Neáu r1 < r2 thì heä AX = B voâ nghieäm. ⎪ ⎪ ⎪ x2 + 4x3 + 5x4 = 6 ⎪ x2 =1 ⎨ ⇔ ⎨ 2) Neáu r1 = r2 = n thì heä AX = B coù duy nhaát moät nghieäm. ⎪ x 3 + x4 = 2 ⎪ x3 =5 ⎪ ⎩ 2x 4 = −6 ⎪ x4 ⎩ = −3 15 16
Heä coù duy nhaát moät nghieäm laø: ⎧ x1 + 2x 2 + 2x 3 − 5x4 = 1 ⎪ ⎪ − x2 − 3x3 + 11x4 = −2 (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, –3). ⎨ (1) ⎪ − x 3 − x 4 = −1 b) Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: ⎪ ⎩ 0 = 2m - 4 ⎧ x1 + 2x 2 − 3x 3 + 5x 4 = 1 ⎨ • 2m – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2: Heä voâ nghieäm. ⎩ x 2 − 10x 3 + 17x 4 = −2 • m = 2: Heä coù voâ soá nghieäm vôùi moät aån töï do: Choïn x3 = α, x4 = β, ta tính ñöôïc: (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (1 − 21α, −1 + 14α,1 − α , α) ⎧ x 1 = 5 − 17α + 29β ⎨ b) Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: ⎩ x 2 = −2 + 10α − 17β ⎧ x1 + x 2 − x 3 + 2x4 =1 Vaäy heä ñaõ cho coù voâ soá nghieäm vôùi hai aån töï do: ⎪ ⎪ x2 − 2x 3 + 2x4 =1 (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β) ⎨ (1) n ⎪ x3 + x4 = m+1 vôùi α, β ∈ R tuøy yù. ⎪ ⎩ (m-7)x 4 = m 2 − 7m .v c) Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: • m – 7 ≠ 0 ⇔ m ≠ 7: Heä ñaõ cho coù duy nhaát moät nghieäm laø: ⎧ x1 − 2x 2 + 3x 3 − 4x4 = 2 (x1 , x2 , x3 , x4 )=(-1, 3-2m, 1, m) ⎪ ⎪ − 3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 h ⎨ • m = 7: Heä ñaõ cho coù voâ soá nghieäm vôùi moät aån töï do: ⎪ 10x3 − 20x4 = 18 (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (−8 + α,17 − 4α, 8 − α , α) ⎪ 0= 2 4 ⎩ ---------------------------------- Heä naøy voâ nghieäm. Do ñoù heä ñaõ cho ban ñaàu cuõng voâ nghieäm. Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình tuyeán tính sau theo tham soá m∈R: ⎧3x1 + 5x 2 + 3x 3 − 4x4 = 1 c2 ⎪ ⎪2x + 3x 2 + x 3 + x4 = 0 a) ⎨ 1 ⎪5x1 + 9x 2 + 6x3 − 15x4 = 2 o ih ⎪13x1 + 22x 2 + 13x 3 − 22x 4 = 2m ⎩ ⎧ x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 u ⎪ ⎪ x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2 b) ⎨ ⎪ x1 − x 2 + 4x 3 − x4 = m ⎪4x + 3x − x + mx = m2 − 6m + 4 ⎩ 1 2 3 4 Ñaùp soá: a) Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: V 17 18