Chuyên đề Toán phổ thông : Bất đẳng thức

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:220

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với chuyên đề Toán phổ thông : Bất đẳng thức sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập củng cố lại kiến thức và kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Toán phổ thông : Bất đẳng thức

M cl c L i nói đ u 2 Các thành viên tham gia biên so n 3 B t đ ng th c thư ng dùng 4 1 Bài 1 đ n bài 20 7 2 Bài 21 đ n bài 40 20 3 Bài 41 đ n bài 60 32 4 Bài 61 đ n bài 80 46 5 Bài 81 đ n bài 100 56 6 Bài 101 đ n bài 120 63 7 Bài 121 đ n bài 140 71 8 Bài 141 đ n bài 160 81 9 Bài 161 đ n bài 180 92 10 Bài 181 đ n bài 200 102 11 Bài 201 đ n bài 220 114 12 Bài 221 đ n bài 240 123 13 Bài 241 đ n bài 260 132 14 Bài 261 đ n bài 280 142 15 Bài 281 đ n bài 300 152 16 Bài 301 đ n bài 320 163 17 Bài 321 đ n bài 340 175 18 Bài 341 đ n bài 360 189 19 Bài 361 đ n bài 380 198 20 Bài 381 đ n bài 400 208 http://boxmath.vn/ 1
L i nói đ u Chinh ph c b t c m t s khó khăn nào luôn đem l i cho ngư i ta m t ni m vui sư ng th m l ng, b i đi u đó cũng có nghĩa là đ y lùi m t đư ng ranh gi i và tăng thêm t do c a b n thân. Quy n sách này đ n v i các b n chính là b t ngu n t câu tri t lí y. V i mong mu n đem l i ni m yêu thích và say mê cho các b n v m t m ng toán khó trong chương trình toán h c c a trung h c ph thông nhưng n ch a trong nó bi t bao nhiêu đi u thú v và đam mê. Đó chính là bài toán v “B t đ ng th c”. Quy n sách các b n đang đ c là s t ng h p t các bài toán hay và cách gi i th t đơn gi n ch s d ng nh ng “ch t li u” thư ng g p trong chương trình trung h c ph thông, nhưng l i mang đ n s hi u qu cùng nh ng đi u thú v đ n b t ng mà ban qu n tr di n đàn http://boxmath.vn/ biên t p l i t các bài toán b t đ ng th c trên di n đàn, nh m mang l i cho các b n m t tài li u h c t p t t nh t. Và ban biên t p xin g i l i c m ơn chân thành và kính tr ng t i th y giáo Châu Ng c Hùng - THPT Ninh H i – Ninh Thu n đã nhi t tình h tr kĩ thu t v Latex, đ ng th i c m ơn các b n đã tham gia g i bài, gi i bài trên di n đàn. Chính s nhi t huy t c a các b n đã đem đ n s ra đ i c a quy n sách này. M i bư c đi đ d n đ n thành công trong b t kì lĩnh v c nào c a cu c s ng luôn g n k t v i s đam mê, tìm tòi, h c h i và ch t l c kinh nghi m. Vì th qua quy n sách này hy v ng các b n s tìm đư c cho mình nh ng gì c n thi t nh t cho hư ng gi i quy t m t bài toán b t đ ng th c. Đ có đư c đi u đó các b n hãy xem quy n sách như m t ngư i b n và đ c quy n sách như các b n đang đ i ng u say mê v i ngư i b n tri k này v y! Và quy n sách này cũng mong mu n mang đ n cho các th y cô có thêm tư li u đ ph c v trong vi c gi ng d y và gieo cho các h c sinh c a mình ni m yêu thích và đam mê trong các bài toán b t đ ng th c. M c dù đã có s c g ng t p trung cao đ trong vi c biên t p nhưng ch c ch n không th không có sai xót, mong các b n đ c thông c m và g i nh ng chia s c a mình v quy n sách đ ban biên t p có thêm nh ng ý ki n quý báu đ hoàn thi n quy n sách hơn. M i chia s c a các b n xin g i v đ a ch liltee_tm@yahoo.com.vn Thay m t nhóm biên so n, tôi xin chân thành c m ơn. Thái Bình, ngày 29 tháng 10 năm 2011. Đ i di n nhóm biên so n Ch biên Tăng H i Tuân - Lil.Tee http://boxmath.vn/ 2
Các thành viên tham gia biên so n N i dung • Tăng H i Tuân - A12 [2008 - 2011] - THPT Nguy n Đ c C nh - TP Thái Bình. • Ph m Tu n Kh i - THPT Tr n Văn Năng - Đ ng Tháp. • T H ng Qu ng - TP H Chí Minh - Vũng Tàu. • Nguy n Qu c Vương Anh - A1 [2008 - 2011] - THPT Ninh Giang - H i Dương. • Đ ng Nguy n Duy Nhân - A1 [2009 - 2012] - THPT Sào Nam - Qu ng Nam. • Giang Hoàng Ki t - A6 [2009 - 2012] - THPT M c Đĩnh Chi - TP H Chí Minh. • Tr n Qu c Huy - THPT Phan Đình Phùng - Phú Yên. • Nguy n Văn Thoan - Nam Đ nh. • Nguy n Kh c Minh - [2009 - 2012] - Trư ng THPT Ki n Th y - H i Phòng. • Uchiha Itachi - TP H Chí Minh. A LTEX H tr kĩ thu t Latex • Châu Ng c Hùng - THPT Ninh H i - Ninh Thu n. • Tăng H i Tuân - A12 [2008 - 2011] - THPT Nguy n Đ c C nh - TP Thái Bình. • Ph m Tu n Kh i - THPT Tr n Văn Năng - Đ ng Tháp. • T H ng Qu ng - TP H Chí Minh - Vũng Tàu. • Đ ng Nguy n Duy Nhân - A1 [2009 - 2012] - THPT Sào Nam - Qu ng Nam. Trình bày bìa • Ph m Tu n Kh i - THPT Tr n Văn Năng - Đ ng Tháp. http://boxmath.vn/ 3
M T S B T Đ NG TH C THƯ NG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT I. B t đ ng th c AM-GM. 1. B t đ ng th c AM-GM cho 2 s . Cho a, b là các s th c không âm. Khi đó b t đ ng th c sau đúng: √ a + b ≥ 2 ab Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b. 2. B t đ ng th c AM-GM cho 3 s . Cho a, b, c là các s th c không âm. Khi đó b t đ ng th c sau đúng: √ a + b + c ≥ 3 3 abc Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. II. B t đ ng th c Cauchy-Schwarz. N u a, b, c, x, y, z là các s th c tùy ý thì (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) a b c Đ ng th c x y ra khi và ch khi = = (qui ư c: n u m u b ng 0 thì t cũng b ng 0). x y z H qu : N u a, b, c là các s th c và x, y, z là các s dương thì: a2 b 2 c 2 (a + b + c)2 • + + ≥ x y z x+y+z 1 1 4 • + ≥ x y x+y 1 1 1 9 • + + ≥ x y z x+y+z III. B t đ ng th c Véc tơ. Xét vec tơ → = (a; b), → = (x; y), → = (m; n) − u −v − w →| + |→| ≥ |→ + →|, hay là. − Ta có | u − v − − u v √ a2 + b2 + x2 + y 2 ≥ (a + x)2 + (b + y)2 Đ ng th c x y ra khi → và → cùng hư ng. −u −v →| + |→| + |→| ≥ |→ + → + →|, hay là − Ta có | u − v −w − − − u v w √ √ a2 + b2 + x2 + y 2 + m2 + n2 ≥ (a + x + m)2 + (b + y + n)2 Đ ng th c x y ra khi →, → và → cùng hư ng. − − u v − w http://boxmath.vn/ 4
III. B t đ ng th c Holder. Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các s th c dương. Khi đó ta có (a3 + b3 + c3 ) (x3 + y 3 + z 3 ) (m3 + n3 + p3 ) ≥ (axm + byn + czp)3 Ch ng minh: S d ng b t đ ng th c AM-GM ta có: a3 x3 m3 3axm + 3 + 3 ≥ a3 + b3 + c3 x + y 3 + z 3 m + n3 + p3 3 (a3 + b3 + c3 ) (x3 + y 3 + z 3 ) (m3 + n3 + p3 ) Thi t l p 2 bi u th c tương t v i b (b, y, n) và (c, z, p) r i c ng v v i v ta có đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi các bi n b ng nhau. Chú ý: B t đ ng th c Holder không đư c h c trong chương trình toán ph thông, nên khi đi thi ph i ch ng minh. IV. M t s b t đ ng th c hay s d ng. V i a, b, c, x, y, z là các s không âm. Khi đó ta có 1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 2 2 2 (a + b + c)2 2. a + b + c ≥ 3 2 3. (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) 4. x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ≥ xyz(x + y + z) 5. (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 2 3 6. 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a2 + b2 + c2 ) 9 7. (a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(b + c)(c + a) 8 Ch ng minh: 1 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca L i gi i: B t đ ng th c đúng do a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ 2 a2 + b2 + c2 ≥ 2 (ab + bc + ca) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. 2 (a + b + c)2 2 2 2 a +b +c ≥ 3 L i gi i: B t đ ng th c đúng theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz 12 + 12 + 12 a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. http://boxmath.vn/ 5
3 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) L i gi i: B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương v i 1 b t đ ng th c đúng sau: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. 4 x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ≥ xyz(x + y + z) L i gi i: B t đ ng th c đúng vì khi ta đ t a = xy, b = yz, c = zx thì b t đ ng th c tr thành b t đ ng th c a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z ho c y = z = 0 ho c x = y = 0 ho c z = x = 0. 5 (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) L i gi i: B t đ ng th c đúng vì khi ta đ t a = xy, b = yz, c = zx thì b t đ ng th c tr thành b t đ ng th c (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca). Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z ho c y = z = 0 ho c x = y = 0 ho c z = x = 0. 2 3 6 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a2 + b2 + c2 ) L i gi i: B t đ ng th c đúng vì theo b t đ ng th c Holder ta có: √ 3 √ 3 √ 3 3 3 13 + 13 + 13 a3 + b 3 + c 3 a3 + b 3 + c 3 ≥ 13 .a3 .a3 + 13 .b3 .b3 + 13 .c3 .c3 = a2 + b 2 + c 2 Đ ng th c x y ra khi a = b = c. 9 7 (a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(b + c)(c + a) 8 L i gi i: S d ng b t đ ng th c AM-GM ta có √ √ √ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2 ab.2 bc.2 ca = 8abc Do đó 1 (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc + (a + b)(b + c)(c + a) ≤ + 1 (a + b)(b + c)(c + a) 8 Đ ng th c x y ra khi a = b = c. V. M t s h ng đ ng th c đáng nh • (x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = (x + y + z)2 + xy + yz + zx • (x + y) (y + z) (z + x) + xyz = (x + y + z) (xy + yz + zx) • x2 + y 2 + z 2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) • x3 + y 3 + z 3 = (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(z + x) http://boxmath.vn/ 6
1 Bài 1 đ n bài 20 Bài 1. Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn a2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a2 ≥ a2 b 2 c 2 . Tìm giá tr nh nh t c a: a2 b 2 b2 c 2 c 2 a2 A= 3 2 + 3 2 + 3 2 c (a + b2 ) a (b + c2 ) b (c + a2 ) L i gi i: 1 1 1 Đ t x = ,y = ,z = . a b c Khi đó gi thi t đư c vi t l i là: x2 + y 2 + z 2 ≥ 1 và x3 y3 z3 A= + 2 + 2 y 2 + z 2 z + x2 x + y 2 S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có: 1 x(y 2 + z 2 ) = √ 2x2 (y 2 + z 2 )(y 2 + z 2 ) 2 3 1 2x2 + y 2 + z 2 + y 2 + z 2 ≤√ 2 3 √ 2 3 = . x 2 + y 2 + z 2 . x2 + y 2 + z 2 9 Tương t , ta cũng có: √ 2 2 2 3 y(z + x ) ≤ . x2 + y 2 + z 2 . x 2 + y 2 + z 2 9 √ 2 3 z(x2 + y 2 ) ≤ . x2 + y 2 + z 2 . x 2 + y 2 + z 2 9 M t khác, s d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz và k t h p các đánh giá trên, ta th y r ng: x3 y3 z3 A= 2 + 2 + 2 y + z 2 z + x2 x + y 2 2 (x2 + y 2 + z 2 ) ≥ x(y 2 + z 2 ) + y(z 2 + x2 ) + z(x2 + y 2 ) 2 (x2 + y 2 + z 2 ) ≥ √ 3. 2 9 3 . (x2 + y 2 + z 2 ) . x2 + y 2 + z 2 √ 3 = x2 + y 2 + z 2 √2 3 ≥ . √2 1 3 Mà khi x = y = z = √ thì A = . 3 √ 2 3 1 V y giá tr nh nh t c a A là khi x = y = z = √ . 2 3 Bài 2. Cho hai s th c dương x, y th a mãn x + y + 1 = 3xy. Tìm giá tr l n nh t c a: 3x 3y 1 1 M= + − 2− 2 y(x + 1) x(y + 1) x y L i gi i: Cách 1. http://boxmath.vn/ 7
T gi thi t √ √ √ √ 3xy − 1 = x + y ≥ 2 xy ⇔ ( xy − 1) (3 xy + 1) ≥ 0 ⇔ xy ≥ 1 ⇔ xy ≥ 1 Và xy + x + y + 1 = 4xy ⇔ (x + 1)(y + 1) = 4xy Ta có 3x 1 3xy − x − 1 y 1 − 2 = 2 = 2 = y(x + 1) y y (x + 1) y (x + 1) y(x + 1) Suy ra 1 1 2xy + x + y 5xy − 1 M= + = = y(x + 1) x(y + 1) 4x2 y 2 4x2 y 2 5t − 1 Xét hàm s f (t) = v i t = xy ≥ 1. Ta có 4t2 20t2 − 8t(5t − 1) 8t − 20t2 f (t) = = ≤0v it≥1 16t4 16t4 Vì v y hàm s ngh ch bi n v i t ≥ 1 ⇒ f (t)M AX = f (1) = 1 khi t = 1 ⇔ MM AX = 1 khi x = y = 1 Cách 2. 1 1 Đ t = a, = b ⇒ a + b + ab = 3 x y √ √3 Ta có: 3 = a + b + ab ≥ ab + 2 ab ≥ 3. a2 b2 ⇔ ab ≤ 1 Suy ra ab ab a+1+b+1 5 − ab M= + = ab.( ) = ab. a+1 b+1 ab + a + b + 1 4 − (ab)2 − 2ab + 1 + 3a + 1 −(ab − 1)2 + 3ab + 1 = = ≤1 4 4 D u b ng x y ra khi và ch khi a = b = 1. Bài toán đư c hoàn t t. Bài 3. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: a+b+c 1 3 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≤ 3 4 abc L i gi i: Do b t đ ng th c thu n nh n nên ta chu n hóa a + b + c = 1 Ta có b t đ ng th c tương đương 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 ≥ 64abc D th y 8 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca) 9 (bi n đ i tương đương và s d ng AM-GM) nên ta đư c (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc ⇔ (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Đi u cu i luôn đúng, do đó phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. http://boxmath.vn/ 8
Bài 4. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng: a4 + b 4 b4 + c 4 c 4 + a4 + + ≥3 1 + ab 1 + bc 1 + ca L i gi i: Ta có a4 + b 4 2(a4 + b4 ) a2 b2 = ≥ √ + √ sym 1 + ab sym 2 + 2ab cyc 2 + 2ab cyc 2 + 2ab S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có: a2 2(a + b + c)2 2(a + b + c)2 3 √ ≥ √ ≥ ≥ cyc 2 + 2ab 2 2 + 2ab ab + bc + ca + 9 2 Tương t b2 3 √ ≥ cyc 2 + 2ab 2 C ng 2 b t đ ng th c ta đư c a4 + b 4 b4 + c 4 c 4 + a4 + + ≥3 1 + ab 1 + bc 1 + ca Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1. Bài 5. Cho a, b, c là các s th c th a mãn a2 + b2 + c2 = 0. Ch ng minh r ng: a2 − bc ≥0 cyc 2a2 + b2 + c2 L i gi i: Cách 1. Ta có 2a2 − 2bc (a − c)(a + b) + (a − b)(a + c) = cyc 2a2 + b2 + c2 cyc 2a2 + b2 + c2 a+b b+c = (a − c)( − 2 ) cyc 2a2 +b 2 + c2 2a + b2 + c2 (a − c)2 (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = ≥0 cyc (2a2 + b2 + c2 )(2c2 + b2 + a2 ) B t đ ng th c cu i luôn đúng, do đó ta có đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c Cách 2. B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương 2a2 − 2bc 2b2 − 2ac 2c2 − 2ab − +1− 2 +1− 2 +1≥3 2a2 + b2 + c2 2b + a2 + c2 2c + a2 + b2 (a + b)2 ⇔ ≤3 cyc 2c2 + b2 + a2 http://boxmath.vn/ 9
M t khác (b + c)2 (b + c)2 b2 c2 = 2 ≤ 2 + 2a2 + b2 + c2 a + b 2 + a2 + c 2 a + b 2 a2 + c 2 Tương t ta đư c (a + c)2 a2 c2 ≤ 2 + 2 2b2 + a2 + c2 b + a2 b + c 2 Và (b + c)2 b2 c2 ≤ 2 + 2 2a2 + b2 + c2 a + b2 a + c 2 C ng v theo v ta đư c (a + b)2 ≤3 cyc 2c2 + b2 + a2 Đó chính là đi u c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1. Bài 6. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng: √ a(b + c) ≥ 3. 2abc cyc L i gi i: B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương b+c c+a a+b + + ≥3 2bc 2ac 2ab Ta có 3 a+b+c 1= ≥ abc 3 và (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Suy ra (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8(abc)2 (a + b)(b + c)(c + a) ⇔36 ≥3 8(abc)2 b+c c+a a+b ⇔ + + ≥3 2bc 2ac 2ab Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1. Bài 7. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: y z 2(x + y + z) 1+ x 1+ y 1+ ≥2+ √ z x 3 xyz L i gi i: Ta có: x y z 2(x + y + z) 1+ 1+ 1+ ≥2+ √ y z x 3 xyz x y z y z x 2(x + y + z) ⇔ + + + + + ≥ √ y z x x y z 3 xyz http://boxmath.vn/ 10
S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta th y x x x 3x + + ≥ √ y z x 3 xyz y y y 3y + + ≥ √ x y z 3 xyz z z z 3z + + ≥ √ x y z 3 xyz C ng t ng v ta đư c x y z y z x 3(x + y + z) + + + + + +3≥ √ y z x x y z 3 xyz M t khác: x+y+z √ 3 xyz ≥3 Suy ra x y z y z x 2(x + y + z) + + + + + ≥ √ y z x x y z 3 xyz Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Bài 8. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: (1 + a3 ) (1 + b3 ) (1 + c3 ) ≥ (1 + ab2 ) (1 + bc2 ) (1 + ca2 ) L i gi i: Áp d ng b t đ ng th c Holder ta đư c: 3 1 + a3 1 + b3 1 + b3 ≥ 1 + ab2 3 1 + b3 1 + c3 1 + c3 ≥ 1 + bc2 3 1 + c3 1 + a3 1 + a3 ≥ 1 + ca2 Nhân t ng v c a 3 b t đ ng th c trên ta đư c 1 + a3 1 + b3 1 + c3 ≥ 1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Bài 9. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng: bc √ ≤2 a + bc L i gi i: S d ng b t đ ng th c AM-GM và k t h p gi thi t, ta có: bc bc bc 1 bc bc √ = = ≤ + a + bc a(a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 2 a+b a+c http://boxmath.vn/ 11
Tương t ta đư c: ac 1 ac ac √ ≤ + b + ac 2 b+a b+c ab 1 ab ab √ ≤ + c + ab 2 c+a c+b C ng v theo v các b t đ ng th c trên, ta đư c bc 1 ab ab bc bc ca ca 1 √ ≤ + + + + + = a + bc 2 a+c b+c a+b a+c b+a b+c 2 Phép ch ng minh hoàn t t. 1 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = . 3 Bài 10. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: a b c 1 √ √ √ √ +√ +√ ≥√ a+ b+ c b+c a+c a+b 2 L i gi i: Cách 1. B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương a b c 1 P = √ √ √ √ + √ √ √ √ + √ √ √ √ ≥ 2a + 2b + 2c b+c 2a + 2b + 2c a+c 2a + 2b + 2c a+b 2 Theo b t đ ng th c AM-GM ta đư c √ √ 2a + b + c 2a b + c ≤ 2 √ √ 2b + a + c 2b a + c ≤ 2 √ √ 2c + a + b 2c a + b ≤ 2 Do đó ta có: 2a 2b 2c a2 b2 c2 P ≥ + + =2 + 2 + 2 2a + 5b + 5c 2b + 5a + 5c 2c + 5a + 5b 2a2 + 5ab + 5ac 2b + 5ab + 5bc 2c + 5ac + 5bc Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz a2 (a + b + c)2 (a + b + c)2 1 ≥ 2. 2 ≥ 2. 2 = cyc 2a2 + 5ab + 5ac 2a + 2b2 + 2c2 + 10ab + 10bc + 10ca 4(a + b + c) 2 Ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Cách 2. Ta có a b c 1 1 1 √ √ √ P =√ +√ +√ = (a+b+c) √ +√ +√ − b+c+ a+c+ a+b b+c a+c a+b b+c a+b a+c http://boxmath.vn/ 12
Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có 1 1 1 9.(a + b + c) (a + b + c) √ +√ +√ ≥√ √ √ b+c a+b a+c a+b+ b+c+ c+a Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: √ √ √ a+b+ b+c+ c+a≤ 3.2.(a + b + c) Suy ra 9(a + b + c) 3(a + b + c) 1 √ √ √ P ≥ − 3.2.(a + b + c) = √ ≥√ a+ b+ c 3.2.(a + b + c) 2 2 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Cách 3. Do b t đ ng th c thu n nh t, chu n hóa: a + b + c = 3. Ta s ch ng minh: √ t t 3 √ ≥ √ + √ (t − 1) 3−t 2 4 2 Th t v y, ta có: √ √ √ 2 √ √ √ √ t t 3(t − 1) 3 3−t− 2 3−t+ 2 5 3−t+6 2 √ −√ − √ =√ √ √ √ ≥0 3−t 2 4 2 2 4 3−t 2+ 3−t Suy ra a b c 1 √ √ √ 3 1 √ √ √ √ +√ +√ ≥√ a + b + c + √ (a + b + c − 3) ≥ √ a+ b+ c 3−a 3−b 3−c 2 4 2 2 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Bài 11. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn x + y + z = 6. Ch ng minh r ng: 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 L i gi i: Cách 1. Đ t a = 2x , b = 2y , c = 2z → abc = 64 B t đ ng th c đã cho đư c vi t l i như sau: √ 3 a3 + b 3 + c 3 ≥ abc a2 + b2 + c2 Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: √ 3 3 abc ≤ (a + b + c) Suy ra ta s ch ng minh 3 a3 + b3 + c3 ≥ (a + b + c) a2 + b2 + c2 http://boxmath.vn/ 13
Hay 2 a3 + b3 + c3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Th t v y, theo b t đ ng th c AM-GM ta có: a3 + a3 + b3 ≥ 3a2 b a3 + a3 + c3 ≥ 3a2 c a3 + b3 + b3 ≥ 3ab2 a3 + c3 + c3 ≥ 3ac2 b3 + b3 + c3 ≥ 3b2 c b3 + c3 + c3 ≥ 3bc2 C ng t ng v c a các b t đ ng th c trên ta đư c 2 a3 + b3 + c3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Cách 2. Đ t a = 2x , b = 2y , c = 2z → abc = 64 Ta ph i ch ng minh: a3 + b3 + c3 ≥ 4 (a2 + b2 + c2 ) Th t v y, ta có:  a3 + a3 + 64 ≥ 12a2  b3 + b3 + 64 ≥ 12b2 ⇒ a3 + b3 + c3 + 96 ≥ 4 (a2 + b2 + c2 ) + 2 (a2 + b2 + c2 )  3 c + c3 + 64 ≥ 12c2  √ 3 Ta l i có: 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 23 a2 b2 c2 = 96 Suy ra a3 + b3 + c3 ≥ 4 (a2 + b2 + c2 ) Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Cách 3. Ta có x y z x y z (2x − 2y )2 (2x + 2y ) (4 + 4 + 4 ) (2 + 2 + 2 ) cyclic 8x + 8y + 8z = + 3 3 Theo b t đăng th c AM-GM ta có √ x+y+z 2x + 2y + 2z ≥ 3. 3 2x+y+z = 3.2 3 = 3.22 = 12 Do đó: (4x + 4y + 4z ) (2x + 2y + 2z ) ≥ 4. (4x + 4y + 4z ) = 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 3 D th y: (2x − 2y )2 (2x + 2y ) ≥0 cyc 3 Suy ra: 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 2. http://boxmath.vn/ 14
Bài 12. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn xy + yz + zx = xyz. Ch ng minh r ng: x y z 1 1 1 + 2 + 2 ≥3 + 2+ 2 y2 z x x2 y z L i gi i: 1 1 1 Đ t x = , y = , z = ⇒ a + b + c = 1. a b c Ta c n ch ng minh: a2 b 2 c 2 + + ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) c a b Cách 1. Theo Cauchy-Schwarz ta có: 2 a2 b 2 c 2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 ) + + = 2 + 2 + 2 ≥ 2 c a b ac ba cb a c + b2 a + c 2 b Ta s ch ng minh: 2 (a2 + b2 + c2 ) ≥ 3 a2 + b 2 + c 2 a2 c + b 2 a + c 2 b ⇔ a2 + b 2 + c 2 ≥ 3 a2 c + b 2 a + c 2 b ⇔ (a + b + c) a2 + b2 + c2 ≥ 3 a2 c + b2 a + c2 b ⇔ a3 + b3 + c3 + ac2 + ba2 + cb2 ≥ 2 a2 c + b2 a + c2 b V y mà theo AM-GM thì:   3 2  a + ac ≥ 2a c 2  b3 + ba2 ≥ 2b2 a   3  c + cb2 ≥ 2c2 b ⇔ a3 + b3 + c3 + ac2 + ba2 + cb2 ≥ 2 (a2 c + b2 a + c2 b) 1 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = ⇔ x = y = z = 3. 3 Cách 2. Ta có: a2 b 2 c 2 + + ≥ 3 a2 + b 2 + c 2 c a b a2 b 2 c 2 ⇔ + + − (a + b + c)2 ≥ 3 a2 + b2 + c2 − (a + b + c)2 c a b 2 2 a b c2 ⇔ + + − (a + b + c) ≥ 3 a2 + b2 + c2 − (a + b + c)2 c a b 2 (a − c) (b − a)2 (c − b)2 ⇔ + + ≥ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 c a b 2 1 ⇔ (a − b) −1 ≥0 a 1 1 1 Vì a + b + c = 1 ⇒ , , > 1, do đó b t đ ng th c cu i đúng. a b c 1 Phép ch ng minh hoàn t t. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = ⇔ x = y = z = 3. 3 Bài 13. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn x, y ≥ 1; x + y + 3 = xy. Tìm giá tr l n nh t c a: √ x2 − 1 y2 − 1 1 P = + + x y x+y L i gi i: http://boxmath.vn/ 15
1 1 Đ ta= ,b = x y 3(a + b)2 2 Suy ra: a + b + 3ab = 1 ≤ a + b + ⇔a+b≥ 4 3 Ta có: √ √ ab P = 1 − a2 + 1 − b 2 + a+b 1 − (a + b) ≤ 2 [2 − (a2 + b2 )] + 3(a + b) (a + b)2 1 1 ≤ 2 2− + − 2 3(a + b) 3 2   2 √  3  1 1 1+8 2 ≤ 2 2 − + 2 − =   2 3 6 3.   3 √ 1 1+8 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = ⇔ x = y = 3. V y minP = . 3 6 Bài 14. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn x2 + y 2 + z 2 + 2xy = 3(x + y + z). Tìm giá tr nh nh t c a: 20 20 P =x+y+z+ √ +√ x+z y+2 L i gi i: Cách 1. Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: 1 3(x + y + z) = (x + y)2 + z 2 ≥ (x + y + z)2 → 0 < x + y + z ≤ 6 2 √ 1 2 x + z ≤ (4 + x + z) 2 1 2 y + 2 ≤ (6 + y) 2 Suy ra: 80 80 320 P ≥x+y+z+ + ≥ +x + y + z + 4+x+z 6+y 10 + x + y + z 320 Xét f (t) = t + 10 + t 320 Ta có: f (t) = 1 − ≤ 0 v i ∀t ∈ (0, 6] (10 + t)2 V y hàm s ngh ch bi n v i ∀t ∈ (0, 6] Suy ra f (t)M in = f (6) = 26 Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1, y = 2, z = 3. Cách 2. Ta có: 3(x + y + z) = (x + y)2 + z 2 ≥ 1 (x + y + z)2 ⇒ 0 < x + y + z ≤ 6 2 S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có: http://boxmath.vn/ 16
20 20 P =x+y+z+ √ +√ x+z y+2 80 ≥x+y+z+ √ √ x+z+ y+2 80 ≥x+y+z+ 2(x + z + y + 2) √ √ √ 16 2 16 2 8 2 = x+y+z+2+ + + −2 (x + z + y + 2) (x + z + y + 2) (x + z + y + 2) √ 3 √ √ 8 2 ≥ 3 16 2.16 2 + √ −2 6+2 ⇒ P ≥ 26. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1, y = 2, z = 3. V y minP = 26. Bài 15. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng 1+a a b c ≤2 + + b+c b c a L i gi i: Ta ph i ch ng minh: 1+a a b c ≤2 + + b+c b c a 2a + b + c a b c ⇔ ≤2 + + b+c b c a 2a a b c ⇔ +3≤2 + + b+c b c a a a b b c c 3 ⇔ − + − + − ≥ b b+c c a+c a a+b 2 ac bc ab 3 ⇔ + + ≥ b(b + c) a(a + b) c(c + a) 2 2 2 2 (ac) (bc) (ab) 3 ⇔ + + ≥ abc(b + c) abc(a + b) abc(c + a) 2 M t khác: Theo b t đ ng th c AM-GM ta có: (ab + bc + ca)2 ≥ 3 (a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3abc(a + b + c) Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có: (ac)2 (bc)2 (ab)2 (ab + bc + ca)2 3 + + ≥ ≥ abc(b + c) abc(a + b) abc(c + a) 2abc(a + b + c) 2 1 Bài toán đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = . 3 Bài 16. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a 1 + a2 b + b 2 c + c 2 a 81 P = 100 + (ab + bc + ca) 2 2 c + c2 a + a b+b (a + b)(b + c)(c + a) + abc L i gi i: Áp d ng b t đ ng th  AM-GM, ta có: c  a3 + a3 + b3 ≥ 3a2 b   b3 + b3 + c3 ≥ 3b2 c ⇒ a3 + b3 + c3 ≥ a2 b + b2 c + c2 a.   3  c + c3 + a3 ≥ 3ac2 http://boxmath.vn/ 17
Và: (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca). Cách 1. Ta có: ab + bc + ca 81 P ≥ 100 + ab + bc + ca + 3 3 + c3 + a +b 3(ab + bc + ca ab + bc + ca 27 = 100 + ab + bc + ca + + 30 − 9(ab + bc + ca) ab + bc + ca Đ t ab + bc + ca = t(0 < t ≤ 3) Ta có: t 81 P = f (t) = 100 + t + + 30 − 9t 3t (30 − 9t) + 9t 27 30 27 f (t) = 1 + 2 − 2 =1+ 2 − 2 < 0 v i 0 < t ≤ 3 (30 − 9t) t (30 − 9t) t V y f (t) ngh ch bi n v i 0 < t ≤ 3 ⇒ f (t)M in = f (3) = 113 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1. Cách 2. Ta s có thêm 1 đánh giá như sau: 1 2 2 a2 b + b 2 c + c 2 a = a b + b2 c + c2 a + (a2 b + b2 c + c2 a) 3 3 1 3 2 2 ≤ a + b3 + c 3 + a b + b2 c + c 2 a 3 3 1 = (a + b + c) a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2 3 = 9 − 2(ab + bc + ca). Suy ra: ab + bc + ca 27 P ≥ 100 + ab + bc + ca + 2 2 c + c2 a + a b+b ab + bc + ca ab + bc + ca 27 ≥ 100 + ab + bc + ca + + . 9 − 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca Đ t ab + bc + ca = t, 0 < t ≤ 3 t 27 9 9(9 − 2t) 18 9 Khi đó P ≥ 100 + +t+ = 95 + + + 2t + + 9 − 2t t 2(9 − 2t) 2 t t Theo b t đ ng th c AM-GM ta có t 9 − 2t + ≥ 3, 2(9 − 2t) 2 18 2t + ≥ 12 t 9 M t khác ≥ 3 t Vì v y P ≥ 95 + 3 + 12 + 3 = 113 K t lu n: PM IN = 113 khi và ch khi a = b = c = 1. Bài toán đư c hoàn t t. Bài 17. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1 1 3 P = + + ≥ √ √ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 3 abc 3 abc + 1 L i gi i: √ √ √ Đ t: x = 3 a, y = 3 b, z = 3 c Suy ra http://boxmath.vn/ 18