Cơ sở, số chiều của không gian vecto

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.248
lượt xem 114
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cơ sở, số chiều của không gian vecto', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ sở, số chiều của không gian vecto

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 11. Cơ S , S Chi u C a Không Gian Vectơ PGS TS M Vinh Quang Ngày 27 tháng 3 năm 2005 1. Cơ s Cho V là không gian vectơ, α1 , α2 , . . . , αn là m t h vectơ c a V . H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h sinh c a V n u m i vectơ β ∈ V đ u bi u th tuy n tính đư c qua h α1 , α2 , . . . , αn . H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là m t cơ s c a không gian vectơ V n u nó là h sinh c a V và là h đ c l p tuy n tính. T đ nh nghĩa, hai cơ s b t kỳ c a V đ u tương đương và đ c l p tuy n tính. Do đó, theo đ nh lý cơ b n chúng có s vectơ b ng nhau. S đó g i là s chi u V , ký hi u là dimV . V y theo đ nh nghĩa: dimV = s vectơ c a m t cơ s b t kỳ c a V Không gian vectơ có cơ s g m h u h n vectơ g i là không gian vectơ h u h n chi u. Không gian vectơ khác không, không có cơ s g m h u h n vvectơ g i là không gian vectơ vô h n chi u. Đ i s tuy n tính ch y u xét các không gian vectơ h u h n chi u. 2. Các ví d Ví d 1. Không gian Rn , xét các vectơ: e1 = (1, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, ..., 0) .................... e3 = (0, 0, ..., 1) D dàng ki m tra e1 , e2 , . . . , en là cơ s c a Rn , g i là cơ s chính t c c a Rn và ta có dimRn = n Ví d 2. Trong không gian vectơ các ma tr n c p m × n h s th c Mm×n (R). 1
Ta xét h vectơ {Eij }, trong đó:  . .  0 . 0 1≤i≤m Eij =  . . . 1 . . . . . .  ← hàng i,   . 1≤j≤n 0 . . 0 ↑ c tj là cơ s c a Mm×n (R) và do đó ta có dimMm×n (R) = mn Ví d 3. Rn [x] là t p các đa th c v i h s th c có b c ≤ n v i các phép toán thông thư ng là m t không gian vectơ. H vectơ 1, x, x2 , . . . , xn là m t cơ s c a Rn [x] và ta có dimRn [x] = n + 1 3. Tính ch t cơ b n c a không gian vectơ h u h n chi u Cho V là không gian vectơ h u h n chi u, dimV = n. Khi đó: (a) M i h vectơ có nhi u hơn n vectơ đ u ph thu c tuy n tính (b) M i h có n vectơ đ c l p tuy n tính đ u là cơ s c a V (c) M i h có n vectơ là h sinh c a V đ u là cơ s c a V (d) M i h đ c l p tuy n tính, có k vectơ đ u có th b sung têm n − k vectơ đ đư c cơ s c a V Chú ý r ng t tính ch t (b), (c) n u bi t dimV = n thì đ ch ng minh m t h n vectơ là cơ s c a V ta ch c n ch ng minh h đó là h đ c l p tuy n tính ho c h đó là h sinh. 4. T a đ c a vectơ trong cơ s . (a) Đ nh nghĩa Cho V là không gian vectơ n chi u (dimV = n) α1 , α2 , . . . , αn là cơ s c a V . V i x ∈ V , khi đó x vi t đư c duy nh t dư i d ng: x = a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn , ai ∈ R B s (a1 , a2 , . . . , an ) g i là t a đ c a x trong cơ s (α), ký hi u: x/ (α) = (a1 , a2 , ..., an ) Ho c:   a1  a2  [x]/ (α) =    . .   .  an (b) Ma tr n đ i cơ s , công th c đ i t a đ Trong không gian vectơ V cho 2 cơ s : α1 , α2 , . . . , αn (α) β1 , β2 , . . . , βn (β) 2
Khi đó, các vectơ β1 , β2 , . . . , βn vi t đư c duy nh t dư i d ng:   β1 =  a11 α1 + a12 α2 + . . . + an1 αn β2 = a21 α1 + a22 α2 + . . . + an2 αn   ... ...  ... ... ... ... ... ... ... βn = an1 α1 + a2n α2 + . . . + ann αn  Ma tr n các h s chuy nv:   a11 a21 . . . an1  a12 a22 . . . a2n  Tαβ =  .   . .. .   .. . . . ..  a1n a2n . . . ann g i là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β) −1 T đ nh nghĩa, ta có ngay Tαβ là ma tr n kh ngh ch và Tαβ = Tαβ (c) Công th c đ i t a đ Cho V là không gian vectơ, x ∈ V , và các cơ s c a V là: α1 , α2 , . . . , αn (α) β1 , β2 , . . . , βn (β) Gi s : x/ x/ = (y1 , y2 , ..., yn ) (α) = (x1 , x2 , ..., xn ) , (β) Khi đó ta có:     x1 y1  x2   y2   = Tαβ       . . . .   .   .  xn yn hay vi t m t cách ng n g n: [x]/(α) = Tαβ [x]/(β) Công th c trên cho phép tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a vectơ x trong cơ s (β). 5. M t s ví d Ví d 1. Trong R3 cho 2 cơ s : α1 = (1, 1, 1), α2 = (−1, 2, 1), α3 = (1, 3, 2) (α) β1 = (1, 0, 1), β2 = (1, 1, 0), β3 = (0, 1, 1) (β) (a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β). (b) Vi t công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ s (β). Gi i: 3
(a) Gi s : β1 = a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 (1) β2 = b1 α1 + b2 α2 + b3 α3 (2) β3 = c1 α1 + c2 α2 + c3 α3 (3) Khi đó theo đ nh nghĩa   a1 b 1 c 1 Tαβ =  a2 b2 c2  a3 b 3 c 3 Đ tìm ai , bi , ci ta ph i gi i các phương trình vectơ (1), (2), (3).   a1 − a2 + a3 = 1 Phương trình (1) tương đương v i h : a1 + 2a2 + 3a3 = 0 a1 + a2 + 2a3 = 1    b1 − b2 + b3 = 1 Phương trình (2) tương đương v i h : b1 + 2b2 + 3b3 = 1 b1 + b2 + 2b3 = 0    c1 − c2 + c3 = 0 Phương trình (3) tương đương v i h : c1 + 2c2 + 3c3 = 1 c1 + c2 + 2c3 = 1  Đ gi i 3 h trên, ta dùng phương pháp Gauss. Ma tr n các h s m r ng:     1 −1 1 1 1 0 1 −1 1 1 1 0  1 2 3 0 1 1 → 0 3 2 −1 0 1  1 1 2 1 0 1 0 2 1 0 −1 1   1 −1 1 1 1 0 → 0 1 1 −1 1 0  0 0 −1 2 −3 1 H 1) a3 = −2, a2 = −1 − a3 = 1, a 1 = a2 − a3 + 1 = 4 H 2) b3 = 3, b2 = 1 − b3 = −2, b1 = b2 − b3 + 1 = −4 H 3) c3 = −1, c2 = −c3 = 1, c1 = c2 − c3 = 2 V y ma tr n đ i  s t (α) sang (β) là: cơ  4 −4 2 Tαβ =  1 −2 1  −2 3 −1 (b) Gi s x/ x/ = (y1 , y2 , y3 ) (α) = (x1 , x2 , x3 ) , (β) Công th c tính t a đ c a vectơ x trong cơ s (α) theo t a đ c a x trong cơ s (β) là:      x1 4 −4 2 y1  x2  =  1 −2 1   y2  x3 −2 3 −1 y3 hay x1 = 4y1 − 4y2 + 2y3 x2 = y1 − 2y2 + y3 x3 = −2y1 + 3y2 − y3 4
Ví d 2. Trong Rn [x] cho 2 cơ s : u1 = 1, u2 = x, u3 = x2 , . . . , un+1 = xn (U ) 2 n v1 = 1, v2 = x − a, v3 = (x − a) , . . . , vn+1 = (x − a) (V ) trong đó a là h ng s . (a) Tìm ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) (b) Tìm ma tr n đ i cơ s t (V ) sang (U ) Gi i (a) Ta có: vk+1 = (x − a)k = Ck (−a)k + Ck (−a)k−1 x + . . . + Ck xk 0 1 k = Ck (−a)k u1 + Ck (−a)k−1 u2 + . . . + Ck uk+1 + 0uk+2 + . . . + 0un+1 0 1 k l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có: 0 0 C0 C1 (−a) . . . Ck (−a)k 0 . . . Cn (−a)n 0   1  0 C1 . . . Ck (−a)k−1 1 . . . Cn (−a)n−1 1  . . ... . . ...     . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . ... . ... .  TU V =   . . ... . . . Ck ... .   . . k .  . . .     . . . . ... 0 ... . .    . . . . ... . . . .   . . . .. . .  n 0 0 ... 0 ... Cn (b) Ta có uk+1 = xk = [(x − a) + a]k = Ck ak + Ck ak−1 x + . . . + Ck xk 0 1 k = Ck ak v1 + Ck ak−1 v2 + . . . + Ck vk+1 + 0vk+2 + . . . + 0vn+1 0 1 k l n lư t cho k = 0, 1, . . . , n ta có: 0 0 C0 C1 a . . . Ck ak 0 . . . Cn an 0   1  0 C1 . . . Ck ak−1 1 . . . Cn an−1 1  . . ... . . ...     . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . ... . ... .  TU V =   . . . . ... . . Ck .. .   . . k .  . . .     . . . . ... 0 ... . .    . . . . ... . . . .   . . . .. . .  n 0 0 ... 0 ... Cn 5
BÀI T P 1. Trong R3 [x] cho các vectơ: u1 = x3 + 2x2 + x + 1 u2 = 2x3 + x2 − x + 1 u3 = 3x3 + 3x2 − x + 2 Tìm đi u ki n đ vectơ u = ax3 + bx2 + cx + d bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 . 2. Trong R3 cho các h vectơ: u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −2, 1), u3 = (3, 2, 2) (U ) v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) (V ) (a) Ch ng minh r ng (U ), (V ) là các cơ s c a R (b) Tìm các ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) và t (V ) sang (U ) 3. Trong R2 cho các cơ s (α), (β), (γ) Bi t: 1 1 3 1 Tαβ = , Tγβ = 2 1 2 1 và cơ s (γ): γ1 = (1, 1), γ2 = (1, 0) Tìm cơ s (α) 4. Cho R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa 2 phép toán ∀x, y ∈ R+ x ⊕ y = xy + + ∀a ∈ R , x ∈ R a × x = xa + Bi t r ng (R , ⊕, ∗) là không gian vectơ. Tìm cơ s , s chi u c a không gian đó a −b 5. V = sao cho a, b ∈ R b a Bi t r ng V cùng v i phép c ng hai ma tr n và phép nhân 1 s v i 1 ma tr n là m t không gian vectơ. Tìm cơ s và s chi u c a V . 1 1 Đánh máy: NGUY N NG C QUYÊN, Ngày: 12/03/2005 6