Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Phú Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH PHÚ YÊN<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016<br /> Môn TOÁN<br /> Ngày thi : 02/3/2016<br /> Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức:<br /> p<br /> <br /> a a 1<br /> a a<br /> <br /> <br /> <br /> a a 1<br /> a a<br /> <br /> ( a <br /> <br /> 1<br /> a<br /> <br /> )(<br /> <br /> 3 a<br /> a 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2 a<br /> a 1<br /> <br /> ).<br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức P<br /> b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta<br /> đều có P>6.<br /> Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình 4 x 2  5x  1  2 x 2  x  1  9 x  3.<br /> Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  2.<br /> 1  2x 1  2 y 1  2z<br /> <br /> Chứng minh rằng xyz <br /> <br /> 1<br /> .<br /> 64<br /> <br /> Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ 90 0 .Dựng các tam giác<br /> vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và<br /> M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.<br /> Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC n i ti p đường tr n tâm ,G là trọng<br /> tâm. i p tuy n tại B của ( ) c t CG tại M. i p tuy n tại C của ( ) c t BG<br /> tại N.Gọi , th o thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng ua B<br /> song song với AC , th o thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng<br /> ua C song song với AB. Chứng minh rằng :<br /> a). AB.CZ = AC.BX.<br /> b) MAˆ B  NAˆ C .<br /> ------H t-----Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị không giải thích gì thêm<br /> <br /> 1<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức:<br /> a a 1 a a 1<br /> 1<br /> 3 a<br /> 2 a<br /> p<br /> <br /> ( a <br /> )(<br /> <br /> ).<br /> a a<br /> a a<br /> a<br /> a 1<br /> a 1<br /> a) Rút gọn biểu thức P<br /> <br /> a 3  13<br /> <br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a ( a  1)<br /> <br /> a ( a  1)<br /> <br /> ( a  1)(a  a  1)<br /> a ( a  1)<br /> (a  a  1)<br /> a<br /> 2 a<br /> a<br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a 3  13<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> )(<br /> <br /> 3 a ( a  1)<br /> ( a  1)( a  1)<br /> <br /> ( a  1)(a  a  1)<br /> a ( a  1)<br /> <br /> (a  a  1)<br /> a<br /> <br /> ( a  1)( a  1)<br /> a<br /> <br /> (<br /> <br /> a2 1<br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> a 1<br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (2  a )( a  1)<br /> ( a  1)( a  1)<br /> <br /> ).<br /> <br /> a  1 3a  3 a  2 a  2  a  a<br /> .<br /> a<br /> ( a  1)( a  1)<br /> <br /> 2a  2 a  2<br /> <br /> a ( a  1)( a  1)<br /> <br /> 2(a  a  1)<br /> ( a  1)( a  1)<br /> <br /> 2(a  a  1)<br /> a<br /> <br /> 2 a  2a  2 a  2<br /> <br /> 2 a<br /> <br /> a<br /> 2<br /> a<br /> <br /> 4<br /> <br /> b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.<br /> 2<br /> 2<br /> Ta có 2 a <br />  2 2 a.<br />  4 vậy p  8 hay p  6 (đpcm).<br /> a<br /> a<br /> Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình<br /> <br /> 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1  9 x  3.<br />  ( 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1)( 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1)  (9 x  3)( 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1)<br />  9 x  3  (9 x  3)( 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1)<br />  (9 x  3)( 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1  1)  0<br />  9x  3  0<br /> 1<br /> x<br /> 3<br /> <br /> 4 x 2  5x  1  2 x 2  x  1  1= 0 vô nghiệm<br /> 1<br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x <br /> 3<br /> a dễ chứng minh được phương trình<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn<br /> Chứng minh rằng xyz <br /> Ta có :<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  2.<br /> 1  2x 1  2 y 1  2z<br /> <br /> 1<br /> .<br /> 64<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2y<br /> 2z<br /> 4 yz<br />  1<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 1  2x<br /> 1 2y<br /> 1  2z 1  2 y 1  2z<br /> (1  2 y)(1  2 z )<br /> <br /> ương tự ta có :<br /> <br /> 1<br /> 4 xz<br /> 1<br /> 4 xy<br /> 2<br /> ,<br /> 2<br /> 1 2y<br /> (1  2 x)(1  2 z ) 1  2 z<br /> (1  2 x)(1  2 y)<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 64 x 2 y 2 z 2<br /> .<br /> .<br />  8.<br /> 1  2x 1  2 y 1  2z<br /> (1  2 x) 2 (1  2 y ) 2 (1  2 z ) 2<br /> 1<br /> 8 xyz<br /> Khi đó :  (1  2 x)(1  2 y )(1  2 z )  8. (1  2 x)(1  2 y )(1  2 z )<br />  1  64 xyz<br />  xyz <br /> <br /> 1<br /> 64<br /> <br /> Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ 90 0 .Dựng các tam giác vuông cân<br /> tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng<br /> bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.<br /> N<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> M<br /> <br /> Gọi H là giao điểm của MN và AC .<br /> 3<br /> <br /> NAˆ D  BAˆ M  2v<br /> Ta có :  NAˆ B  BAˆ D  BAˆ D  DAˆ M  2v<br />  NAˆ M  BAˆ D  2v<br /> Mặt khác : AB // CD  BAˆ D  ABˆ C  2v<br /> Do đó : NAˆ M  ABˆ C ( 2v  BAˆ D)<br /> Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có :<br /> AM=AB<br /> AN= BC<br /> NAˆ M  ABˆ C (cmt)<br /> Do đó hai tam giác bằng nhau<br /> Suy ra : BAˆ C  AMˆ N (Hai góc tương ứng).<br /> Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc<br /> BAM = 900.<br /> Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm).<br /> Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC n i ti p đường tr n tâm ,G là trọng tâm. i p<br /> tuy n tại B của ( ) c t CG tại M. i p tuy n tại C của ( ) c t BG tại N.Gọi , th o thứ<br /> tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng ua B song song với AC , th o thứ tự là<br /> giao điểm của BM,AM và đường thẳng ua C song song với AB. Chứng minh rằng :<br /> a). AB.CZ = AC.BX.<br /> b) MAˆ B  NAˆ C .<br /> <br /> Y<br /> T<br /> <br /> A<br /> M<br /> <br /> O<br /> <br /> N<br /> <br /> G<br /> B<br /> C<br /> <br /> Z<br /> <br /> X<br /> <br /> 4<br /> <br /> Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có :<br /> Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung)<br /> Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX).<br /> Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g).<br /> BZ CZ BC<br /> =><br /> .<br /> <br /> <br /> AC BC AB<br /> AB BC<br /> <br /> <br /> AC BZ<br /> => AB.CZ=BC.BC (1)<br /> Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g)<br /> AB BC AC<br /> <br /> <br /> <br /> CX BX CB<br /> BC AC<br /> <br /> <br /> BX CB<br /> AC.BX=BC.CB (2)<br /> Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2).<br /> Câu b.<br /> Mình nhìn không ra nhờ các bạn cùng suy nghĩ và đưa ra lời giải nhé (cảm ơn)<br /> <br /> 5<br /> <br />