Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hòa Bình

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT<br /> NĂM HỌC 2017 – 2018<br /> <br /> UBND TỈNH HÒA BÌNH<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> Môn thi: TOÁN<br /> Ngày thi: 15/12/2017.<br /> Thời gian làm bài 180 phút.<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi gồm có 01trang)<br /> <br /> Họ tên thí sinh:…..………………………………………………<br /> Số báo danh:…………............ Phòng thi:………………………<br /> Câu 1: (3,0 điểm):<br /> a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x) = 1 + 3x2 - 2 x3 .<br /> b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y =<br /> <br /> 2 x - mx 2 + 1<br /> <br /> (x - 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> có đường tiệm cận đứng.<br /> <br /> Câu 2 (5,0 điểm):<br /> a) Tính tổng các nghiệm x    ;   của phương trình:<br /> <br /> 2(cosx  3 sin x) cos x  cos x  3sinx  1.<br /> <br /> (<br /> <br /> b) Giải phương trình 3 + 5<br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> ) + (3 - 5 )<br /> <br /> - 7.2 x = 0.<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 2<br />  x  y  3 x  6 x  3 y  4  0<br /> ( x, y   ).<br /> 2<br /> ( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 y<br /> <br /> c) Giải hệ phương trình <br /> <br /> Câu 3 (4,0 điểm):<br /> Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 2 , BC  a và<br /> SA = SB = SC = SD = 2 a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và H là hình<br /> chiếu vuông góc của K trên SA .<br /> a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a.<br /> b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ADC quanh AD<br /> theo a.<br /> c) Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( BKH ) .<br /> Câu 4 (4,0 điểm):<br /> æ 2 2 ö÷n<br /> ççç x - ÷÷ , x ¹ 0<br /> xø<br /> è<br /> <br /> 7<br /> <br /> a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của<br /> , biết rằng n là số<br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> nguyên dương thỏa mãn 4Cn+1 + 2Cn = An .<br /> b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác<br /> đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có<br /> cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.<br /> Câu 5 (2,0 điểm):<br /> Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K (-2; -5) và đường tròn (C) có phương<br /> trình ( x - 1) + ( y - 1) = 10 . Đường tròn (C 2 ) tâm K cắt đường tròn (C) tại hai điểm A , B sao<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> cho dây cung AB = 2 5 . Viết phương trình đường thẳng AB .<br /> Câu 6 (2,0 điểm):<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> a) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng (a + b) a 2 + b2 ³ 8 a 2 b 2 .<br /> b) Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x > y > z > 0 và x + y + z = 1 .<br /> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ( x - y)<br /> <br /> +<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ( y - z)<br /> <br /> +<br /> <br /> ……………… Hết …………..<br /> <br /> 8<br /> 2<br /> .<br /> +<br /> xz y 3<br /> <br /> UBND TỈNH HÒA BÌNH<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> (Đáp án gồm có 03trang)<br /> <br /> Câu<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT<br /> NĂM HỌC 2017 – 2018<br /> Môn thi: TOÁN.<br /> Ngày thi: 15/12/2017<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Tập xác định của hàm số D =  . f ʹ ( x) = 6 x(1 - x)<br /> 1a<br /> (2đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> f ʹ ( x) = 0 khi x = 0, x = 1<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Xét dấu f ʹ ( x) .<br /> Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ (1; 2) và một cực tiểu (0;1) .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giới<br /> hạn: lim+ y = ¥ hoặc lim- y = ¥<br /> x1<br /> <br /> 1b<br /> (1đ)<br /> <br /> x1<br /> <br /> æ<br /> ö<br /> Ta có: lim çç2 x - mx 2 + 1÷÷ = 2 - m + 1 với m ³ -1 .<br /> ø<br /> x1 è<br /> Do đó với m < -1 thì hàm số không có giới hạn khi x  1 nên đồ thị hàm số không có<br /> tiệm cận đứng.<br /> Với m ³ -1 và m ¹ 3 thì<br /> 2<br /> æ<br /> ö<br /> lim çç2 x - mx 2 + 1÷÷ = 2 - m + 1 khác 0 và lim ( x - 1) = 0<br /> ø<br /> x1<br /> x1 è<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Khi đó lim y = ¥ nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.<br /> x1<br /> <br /> Khi m = 3 , ta có lim y = lim<br /> x1<br /> <br /> x1<br /> <br /> 2 x - 3x2 + 1<br /> 2<br /> <br /> (x - 1)<br /> <br /> = lim<br /> <br /> x2 - 1<br /> <br /> x1 æ<br /> <br /> 2<br /> ö<br /> ç2 x + 3 x 2 + 1÷÷( x - 1)<br /> çè<br /> ø<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x +1<br /> = ¥<br /> æ<br /> ö<br /> x1<br /> ç2 x + 3x 2 + 1÷÷( x - 1)<br /> çè<br /> ø<br /> Nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.<br /> Tóm lại, giá trị m cần tìm là m ³ -1<br /> = lim<br /> <br /> Pt đã cho  cos2x  3 sin 2 x  cosx  3 sin x<br /> <br /> k 2<br /> <br /> <br /> <br />  cos  2 x    cos   x   x <br /> , k <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2a<br /> (1,5đ)<br /> 2<br /> 2<br /> Vì x    ;   nên x1  0; x2 <br /> thỏa mãn<br /> ; x3 <br /> 3<br /> 3<br /> Vậy tổng các nghiệm x    ;   của phuơng trình đã cho là S = 0.<br /> <br /> 2b<br /> (1,5đ)<br /> <br /> 2c<br /> (2đ)<br /> <br /> æ 3 + 5 ö÷x æ 3 - 5 ö÷x<br /> ÷÷ + çç<br /> ÷÷ = 7 . Đặt<br /> Đưa PT về dạng ççç<br /> ç<br /> èç 2 ÷ø÷ èç 2 ø÷÷<br /> <br /> æ 3 + 5 ö÷x<br /> çç<br /> ÷<br /> çç 2 ÷÷÷ = t với t > 0 .<br /> è<br /> ø<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 7  3 5 æç 3  5 ö÷÷<br /> 2<br /> Ta có PT t + = 7  t - 7 t + 1 = 0  t =<br /> = çç<br /> ÷<br /> çè 2 ÷ø÷<br /> t<br /> 2<br /> Từ đó suy ra PT có 2 nghiệm x = 2 .<br /> <br /> ĐK: y  1<br /> Phương trình (1) tương đương :  x  1  3  x  1  y 3  3 y  y  x  1<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 1,0<br /> <br /> (x + 1)<br />   x  1<br /> <br /> x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  2  2   x  6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  7  3  x2  2x  8<br /> <br /> x6<br />  x 1<br /> <br />   x  2 <br /> <br />  x  4  0<br /> x7 3<br />  x22<br /> <br /> x  2<br />  x 1<br /> x6<br />  <br /> <br />  x  4  0  *<br /> x7 3<br />  x  2  2<br /> Chứng minh phương trình (*) vô nghiệm<br /> x2  x6<br /> x6<br /> 1<br />  x2<br /> <br /> <br /> <br />  0 x  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2   x7 3<br /> 2 <br /> x22<br />  x22<br /> Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> S<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> H<br /> 3a<br /> (2đ)<br /> <br /> A<br /> O<br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> K<br /> C<br /> <br /> Gọi O = AC Ç BD . Ta có SO ^ ( ABCD) .<br /> <br /> OA =<br /> <br /> 3b<br /> (1đ)<br /> <br /> AC a 3<br /> 3a 2 13a 2<br /> a 13<br /> =<br /> =<br />  SO =<br /> . SO 2 = SA 2 - OA2 = 4a2 .<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 1 a 13<br /> a3 . 26<br /> VS. ABCD = .<br /> .a 2.a =<br /> 3 2<br /> 6<br /> 2<br /> S xq   .DC. AC   a 6.<br /> Chỉ ra được K là trọng tâm tam giác BCD , KA = 2 KC .<br /> Chứng minh được SA ^ ( BKH ) .<br /> .<br /> Do đó góc giữa SB và ( BKH ) là góc SBH<br /> <br /> 3c<br /> (1đ)<br /> <br /> a 6<br /> 2 SO. AC a 39<br /> =<br /> , KH =<br /> 3<br /> 3 SA<br /> 6<br /> Tam giác BKH vuông ở K .<br /> 2a2 39a2 7 a2<br /> a 7<br /> +<br /> =<br />  BH =<br /> Từ đó suy ra BH 2 =<br /> 3<br /> 36<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Tính được BK =<br /> <br /> =<br /> và cos SBH<br /> 4a<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> BH<br /> 7<br /> =<br /> .<br /> SB<br /> 4<br /> <br /> Từ 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 . Điều kiện n Î  * , n ³ 3 . Tìm được n = 11 .<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> (2đ)<br /> Khai triển<br /> <br /> æ 2 2 ö÷11<br /> çç x - ÷ =<br /> çè<br /> x ø÷<br /> <br /> 11-k<br /> <br /> 11<br /> <br /> å C11k ( x2 )<br /> <br /> k<br /> <br /> (-2)<br /> <br /> k=0<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> k<br /> <br /> =<br /> <br /> 11<br /> <br /> k<br /> <br /> å C11k (-2)<br /> <br /> x 22-3 k<br /> <br /> k=0<br /> <br /> Hệ số x7 tương ứng với 22 - 3 k = 7  k = 5 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 5<br /> Vậy hệ số x7 là C11<br /> (-2) = -14784<br /> 3<br /> Tính số phần tử của không gian mẫu: n()  C14<br />  364 .<br /> Gọi A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X không có cạnh nào là cạnh của đa giác<br /> ”<br /> Suy ra A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X có ít nhất một cạnh là cạnh của đa<br /> giác ”<br /> <br /> 4b<br /> (2đ)<br /> <br /> TH 1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa<br /> mãn.<br /> TH 2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có 14.10=140<br /> tam giác thỏa mãn.<br /> Suy ra n( A)  14  140  154<br /> Vậy số phần tử của biến cố A là: n( A)  n()  n( A)  210<br /> n( A) 15<br /> Suy ra P ( A) <br /> <br /> n() 26<br /> Gọi H là giao điểm IK và AB .<br /> Tính được IH = 5<br /> <br /> 5<br /> (2đ)<br /> <br /> 6a<br /> (0,5đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Viết PT đường thẳng IK : -2 x + y + 1 = 0 . H Î IK  H (t ; 2t - 1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> IH = 5  H (0; -1) hoặc H (2; 3)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Đường thẳng AB đi qua H và vuông góc với IK nên có phương trình:<br /> x + 2 y + 2 = 0 hoặc x + 2 y - 8 = 0 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> (a + b)<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ³ 4 ab > 0; a 2 + b2 ³ 2 ab > 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Nhân các vế tương ứng hai bđt trên, suy ra điều phải chứng minh.<br /> 1<br /> 1<br /> 8<br /> 1<br /> 1<br /> 8<br /> với a , b > 0 nên<br /> .<br /> Theo phần a) ta có<br /> + ³<br /> +<br /> ³<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a<br /> b<br /> (a + b)<br /> ( x - y ) ( y - z) ( x - z )<br /> Suy ra P =<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ( x - y)<br /> <br /> +<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ( y - z)<br /> <br /> +<br /> <br /> 8<br /> 2<br /> 8<br /> 8<br /> 2<br /> +<br /> ³<br /> + +<br /> xz y 3 ( x - z)2 xz y 3<br /> 2<br /> <br /> m2 n2 (m + n)<br /> +<br /> ³<br /> với a , b , m , n > 0<br /> Ta chứng minh được bất đẳng thức :<br /> a<br /> b<br /> a+b<br /> 6b<br /> (1,5đ)<br /> <br /> a<br /> b<br /> đẳng thức xảy ra khi<br /> = . Ta có:<br /> m n<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (1 + 2)<br /> 4<br /> 9<br /> +<br /> ³<br /> =<br /> .<br /> 2<br /> 4 xz ( x - z) + 4 xz ( x + z)2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ( x - z)<br /> <br /> æ<br /> ö<br /> çç 1<br /> 4 ÷÷÷ 2<br /> 72<br /> 2<br /> 72<br /> 2<br /> ç<br /> .<br /> Vì vậy P ³ 8 ç<br /> +<br /> +<br /> =<br /> +<br /> ÷÷ + 3 ³<br /> 2<br /> 2<br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> çç( x - z)<br /> 4 xz ÷÷ y<br /> y<br /> y<br /> x<br /> +<br /> z<br /> y<br /> 1<br /> (<br /> )<br /> (<br /> )<br /> è<br /> ø<br /> æ 1ö<br /> 36<br /> 1<br /> Xét hàm số f (t) =<br /> với 0 < t < 1 . Ta được min f (t ) = f çç ÷÷ = 216<br /> +<br /> 2<br /> 3<br /> ç<br /> è 3 ÷ø<br /> (0;1)<br /> (1 - t) t<br /> 2<br /> 1<br /> 2<br /> Vậy P nhỏ nhất bằng 216 khi y = , và x + z = , ( x - z) = 2 xz<br /> 3<br /> 3<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> ;y= ;z= . Tức là x = +<br /> Hay x + z = , xz =<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> 27<br /> --- Hết ---<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />