Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br />
<br />
Khoa Khoa hoïc Cô baûn<br />
Boä moân Toaùn<br />
<br />
ÑEÀ THI MOÂN: TOAÙN CAO CAÁP C2<br />
<br />
Maõ moân hoïc: MATH 130901 -Ñeà thi goàm 01 trang<br />
Thôøi gian : 90 phuùt Được sử duïng taøi lieäu (Ngaøy thi: 16/6/2014)<br />
2<br />
<br />
Caâu 1 (1,5 ñieåm) Cho haøm saûn xuaát daïng Cobb-Douglas : Q( K , L) = 20.L 3 K<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
( Q laø saûn löôïng-ñôn vò laø 1000 saûn phaåm; K laø voán-ñôn vò laø $1,000,000 ; L laø löïc löôïng lao ñoäng-ñôn vò laø 1000 ngöôøi )<br />
′<br />
′<br />
a) Tìm saûn löôïng bieân teá cuûa voán QK vaø saûn löôïng bieân teá cuûa löïc löôïng lao ñoäng QL ôû möùc<br />
K = 5 vaø L = 3 .<br />
b) Giaû söû K = 5, L = 3 , löïc löôïng lao ñoäng taêng 60 ngöôøi/naêm, voán giaûm $150,000 /naêm. Aùp duïng quy<br />
taéc ñaïo haøm haøm hôïp, öôùc tính toác ñoä thay ñoåi cuûa saûn löôïng.<br />
<br />
Caâu 2 (1,5 ñieåm) Baøi toaùn phaân boå voán vaø ñaàu tö sao cho saûn löôïng lôùn nhaát<br />
Coâng ty öôùc tính ñöôïc neáu ñaàu tö x (ñôn vò laø $1,000) cho löïc löôïng lao ñoäng vaø y (ñôn vò laø<br />
$1,000) cho trang thieát bò saûn xuaát thì soá saûn phaåm saûn xuaát ñöôïc laø<br />
1<br />
<br />
Q( x, y ) = 100 x 3 y<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
ñôn vò saûn phaåm<br />
<br />
Bieát soá tieàn ñaàu tö cuûa coâng ty khoâng vöôït quaù $360,000. Hoûi coâng ty phaûi ñaàu tö bao nhieâu tieàn<br />
cho löïc löôïng lao ñoäng, vaø bao nhieâu tieàn cho trang thieát bò saûn xuaát ñeå saûn löôïng lôùn nhaát<br />
( Q ( x, y ) lôùn nhaát)?<br />
Caâu 3 (2 ñieåm) (Resale value problem)<br />
Giaù trò baùn laïi r (t ) cuûa moät maùy sau t naêm(tính töø luùc mua) seõ giaûm vôùi toác ñoä tyû leä vôùi hieäu giöõa giaù<br />
trò hieän taïi vaø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy. Töùc laø, neáu S laø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy thì r (t ) thoûa<br />
phöông trình<br />
dr<br />
= − k (r − S ) , vôùi k = const > 0 laø haèng soá tyû leä<br />
dt<br />
<br />
Xaùc ñònh r (t ) bieát giaù trò mua môùi cuûa maùy laø $24,000, giaù trò 3 naêm sau laø $12,000 vaø giaù trò pheá<br />
lieäu S = $500.<br />
Caâu 4 (2 ñieåm) (thôøi gian t tính baèng thaùng, giaù p tính baèng USD)<br />
Bieát giaù p = p(t ) cuûa moät loaïi saûn phaåm(haøng hoùa) taïi thôøi ñieåm t thoûa phöông trình vi phaân<br />
p' '+8 p'+16 p = 800 + e −t , p (0) = 70 , p ' (0) = −1<br />
Giaûi phöông trình vi phaân treân. Öôùc tính giaù cuûa saûn phaåm sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.<br />
Caâu 5 (2 ñieåm) (Moâ hình taêng tröôûng logictic)<br />
Giaû söû daân soá moät quoác gia sau t naêm tính töø naêm 2013 laø p (t ) , ñôn vò tính 10 trieäu ngöôøi, ñöôïc xaáp xæ<br />
bôûi moâ hình phöông trình vi phaân logictic<br />
1<br />
p ' (t ) = 0.003 p (1 −<br />
p ) , p (0) = 9 (töùc laø, naêm 2013 daân soá quoác gia laø 90 trieäu ngöôøi)<br />
18<br />
Giaûi phöông trình tìm p (t ) vaø öôùc tính giaù trò cuûa p (t ) khi t ñuû lôùn.<br />
1<br />
⎧<br />
-xy<br />
⎪0 ≤ x ≤<br />
Caâu 6 (1 ñieåm) Tính tích phaân keùp I = ∫∫10ye dxdy ; vôùi D : ⎨<br />
y.<br />
D<br />
⎪1≤ y ≤ 2<br />
⎩<br />
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….<br />
<br />
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br />
Ngaøy 13 thaùng 6 naêm 2014<br />
Boä moân duyeät<br />
<br />
ÑAÙP AÙN TOAÙN C2(ngaøy thi 16/6/2014)<br />
Caâu<br />
hoûi<br />
<br />
Noäi dung<br />
<br />
Ñieåm<br />
<br />
Caâu1<br />
<br />
1,5ñ<br />
′<br />
a) Saûn löôïng bieân teá cuûa voán : QK =<br />
<br />
20 ⎛ L ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎝K⎠<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
40 ⎛ K ⎞<br />
′<br />
Saûn löôïng bieân teá cuûa löïc löôïng lao ñoäng: QL = ⎜ ⎟<br />
3 ⎝L⎠<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
Saûn löôïng bieân teá cuûa voán ôû möùc K = 5 vaø L = 3 :<br />
20 ⎛ 3 ⎞<br />
′<br />
QK (5,3) =<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎝5⎠<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
≈ 4,74<br />
<br />
(1000 saûn phaåm)<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
′<br />
Saûn löôïng bieân teá cuûa löïc löôïng lao ñoäng QL ôû möùc K = 5 vaø L = 3 :<br />
40 ⎛ 5 ⎞<br />
′<br />
QL (5,3) = ⎜ ⎟<br />
3 ⎝3⎠<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
≈ 15,81<br />
<br />
b) Löïc löôïng lao ñoäng taêng 60 ngöôøi/naêm:<br />
<br />
(1000 saûn phaåm)<br />
dL<br />
≈ 0,06<br />
dt<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
dK<br />
Voán giaûm $150,000 /naêm:<br />
≈ −0,15<br />
dt<br />
<br />
Öôùc tính toác ñoä thay ñoåi saûn löôïng<br />
<br />
dQ ∂Q dK ∂Q dL<br />
+<br />
≈ 4,74 × ( −0,15) + 15,81 × 0,06 = 0,2376 (1000 saûn phaåm/naêm)<br />
=<br />
∂K dt ∂L dt<br />
dt<br />
<br />
Caâu2<br />
<br />
0.5ñ<br />
1.5ñ<br />
<br />
2<br />
⎧<br />
100 ⎛ y ⎞ 3<br />
'<br />
⎪Q =<br />
⎜ ⎟ =0<br />
⎪ x<br />
3 ⎝x⎠<br />
Heä phöông trình xaùc ñònh ñeåm döøng ⎨<br />
voâ nghieäm.<br />
1<br />
⎪ ' 200 ⎛ x ⎞ 3<br />
⎜ ⎟ =0<br />
⎪Q y =<br />
3 ⎜ y⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎩<br />
⎧ x=0<br />
♦ Xeùt treân bieân: ⎨<br />
⎩0 ≤ y ≤ 360<br />
Q ( x, y ) = 0<br />
⎧ y=0<br />
♦ Xeùt treân bieân: ⎨<br />
⎩0 ≤ x ≤ 360<br />
Q ( x, y ) = 0<br />
⎧ y = 360 − x<br />
♦ Xeùt treân bieân: ⎨<br />
⎩0 ≤ x ≤ 360<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
Q ( x, y ) = 100 x 3 (360 − x ) 3 = f (x ) , x ∈ [0,360]<br />
f ' ( x) = 0<br />
f (0) = 0, f (360) = 0<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
100 ⎛ 360 − x ⎞ 3 200 ⎛ x ⎞ 3<br />
f ' ( x) =<br />
⎟ ⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
3 ⎝ x ⎠<br />
3 ⎝ 360 − x ⎠<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
100 ⎛ 360 − x ⎞ 3 200 ⎛ x ⎞ 3<br />
f ' ( x) = 0 ⇔<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ =0<br />
3 ⎝ x ⎠<br />
3 ⎝ 360 − x ⎠<br />
360 − x<br />
Ñaët t =<br />
roài thay vaøo phöông trình giaûi ñöôïc t = 2 , töø ñoù tính ñöôïc<br />
x<br />
x = 120 vaø y = 240 .<br />
1<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
2<br />
<br />
f (120 ) = 100(120) 3 ( 240) 3 = 120003 4 ≈ 19049 (saûn phaåm)<br />
<br />
Vaäy coâng ty phaûi ñaàu tö $120,000 cho löïc löôïng lao ñoäng vaø $240,000 cho<br />
trang thieát bò saûn xuaát ñeå saûn löôïng lôùn nhaát xaáp xæ 19049 (saûn phaåm).<br />
<br />
Caâu3<br />
<br />
0.25ñ<br />
2ñ<br />
<br />
Phöông trình ñöôïc vieát laïi<br />
r (0) = 24<br />
r' (t) + kr = 0,5k , vôùi ⎧<br />
(ñôn vò $1000)<br />
⎨<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
⎩ r (3) = 12<br />
<br />
Nghieäm toång quaùt phöông trình<br />
⎞<br />
− ∫ kdt ⎛<br />
⎜ 0,5ke ∫ kdt dt + C ⎟ = e − kt ⎛ 0,5ke kt dt + C ⎞<br />
⎜∫<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜∫<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎠<br />
⎝<br />
= e − kt ⎛ 0,5e kt + C ⎞ = 0,5 + Ce − kt<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎧ 0,5 + C = 24<br />
⎧r (0) = 24<br />
⎧ C = 23,5<br />
⇔⎨<br />
⎨<br />
− 3k = 12 ⇔ ⎨k = 0,2382<br />
⎩ r (3) = 12<br />
⎩<br />
⎩0,5 + Ce<br />
Vaäy r (t ) = 0,5 + 23,5e − 0,2382t<br />
(ñôn vò $1000)<br />
r (t ) = e<br />
<br />
0.5ñ<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
hay r (t ) = 500 + 23500e − 0,2382t (ñôn vò $1)<br />
Caâu4<br />
<br />
2ñ<br />
Phöông trình thuaàn nhaát töông öùng : p ' '+8 p '+16 p = 0<br />
Phöông trình ñaëc tröng: k 2 + 8k + 16 = 0 ⇔ k = −4 (nghieäm keùp)<br />
Nghieäm toång quaùt phöông trình thuaàn nhaát: Po (t ) = C1e −4t + C 2 te −4t<br />
Nghieäm rieâng phöông trình p ' '+8 p '+16 p = 800 (1) daïng Y1 = A<br />
Tính ñöôïc Y1' = 0, Y1'' = 0 . Thay vaøo (1) ñöôïc A = 50 .<br />
Suy ra Y1 = 50<br />
Nghieäm rieâng phöông trình p' '+8 p '+16 p = e −t (2) daïng Y2 = Be − t<br />
<br />
0.25ñ<br />
0.25ñ<br />
0.25ñ<br />
<br />
1<br />
9<br />
<br />
Tính ñöôïc Y2' = − Be −t , Y2'' = Be −t . Thay vaøo (2) ñöôïc B = .<br />
1<br />
9<br />
<br />
Suy ra Y2 = e −t<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
Theo nguyeân lyù choàng chaát nghieäm thì nghieäm rieâng cuûa phöông trình<br />
1<br />
p ' '+8 p '+16 p = 800 + e −t laø P (t ) = Y1 + Y2 = 50 + e −t<br />
9<br />
Nghieäm toång quaùt phöông trình p ' '+8 p '+16 p = 800 + e −t laø<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
1<br />
p (t ) = Po (t ) + P (t ) = C1e −4t + C 2 te −4t + 50 + e −t<br />
9<br />
179<br />
236<br />
, C2 =<br />
p (0) = 70 , p ' (0) = −1 ⇔ C1 =<br />
9<br />
3<br />
1<br />
179 − 4t 236 − 4t<br />
p (t ) =<br />
e +<br />
te + 50 + e −t<br />
9<br />
9<br />
3<br />
1 −t<br />
Khi t ñuû lôùn C1e −4t + C 2 te −4t + e ≈ 0 neân p (t ) ≈ 50 (USD)<br />
9<br />
Sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn, giaù saûn phaåm xaáp xæ $50 .<br />
<br />
Caâu 5<br />
<br />
0.25ñ<br />
0.5ñ<br />
<br />
2ñ<br />
Phöông trình ñöôïc vieát laïi<br />
<br />
− 0,003 2<br />
p'<br />
1 − 0,003<br />
p ⇔ 2 − 0,003 =<br />
p<br />
18<br />
18<br />
p<br />
−1<br />
p'<br />
Ñaët y =<br />
⇒ y ' = 2 . Thay vaøo phöông trình ñöôïc<br />
p<br />
p<br />
− 0,003<br />
y '+0,003 y =<br />
18<br />
p ' (t ) − 0,003 p =<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
⎞<br />
0.5ñ<br />
− ∫ 0,003dt ⎛ − 0,003 ∫ 0,003dt<br />
⎜<br />
e<br />
dt + C ⎟<br />
⎟<br />
⎜ ∫ 18<br />
⎠<br />
⎝<br />
⎛ − 0,003 0,003t<br />
⎞<br />
⇔ y = e − 0,003t ⎜ ∫<br />
e<br />
dt + C ⎟<br />
18<br />
⎝<br />
⎠<br />
−1 −1<br />
⎛ −1<br />
⎞<br />
0.5ñ<br />
=<br />
⇔ y = e − 0,003t ⎜ e 0,003t + C ⎟ ⇔<br />
+ Ce − 0,003t<br />
p 18<br />
⎝ 18<br />
⎠<br />
18<br />
⇔ p=<br />
1 − 18C.e −0, 003t<br />
−1<br />
0.25ñ<br />
p ( 0) = 9 ⇔ C =<br />
18<br />
18<br />
p (t ) =<br />
1 + .e −0, 003t<br />
Khi t ñuû lôùn p (t ) ≈ 18 . Noùi caùch khaùc, sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn, daân<br />
⇔ y=e<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
soá quoác gia xaáp xæ 180 trieäu ngöôøi.<br />
Caâu 6<br />
<br />
1ñ<br />
I=<br />
<br />
∫∫10ye<br />
<br />
-xy<br />
<br />
2<br />
<br />
dxdy =<br />
<br />
D<br />
<br />
=<br />
<br />
1<br />
y<br />
<br />
∫ dy ∫ 10 ye<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
10<br />
∫ (10 − 10e ) 0 dy = 10 − e<br />
2<br />
<br />
−1<br />
<br />
1<br />
<br />
y<br />
<br />
− xy<br />
<br />
∫ (− 10e ) 0 dy<br />
2<br />
<br />
dx =<br />
<br />
− xy<br />
<br />
1<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
y<br />
<br />
1<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
1<br />
<br />
……………………………………………………………………Heát…………………………………………………………………………<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
