Hạng của ma trận

Chia sẻ: Vudinhthang Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

1.105
lượt xem 191
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng tham khảo về toán hạng của ma trận và nghiệm đầy đủ của Ax=0, Ax=b

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hạng của ma trận

BÀI GI NG TU N 5 H NG C A MA TR N VÀ NGHI M Y C A Ax = 0 , Ax = b PH M XUÂN NG M U: H phương trình Ax = b có th thu g n v m t h phương trình tuy n tính tương ương mà có s phương trình ít hơn. Ch ng h n:  x1 − 2 x2 + x3 = 1  1 −2 1 1  1 −2 1 1       x1 − 2 x2 + x3 = 1 − x1 + x2 + 2 x3 = −5 ⇔ − 1 1 2 − 5 ⇔ 0 − 1 3 − 4 ⇔   2 x − 5 x + 5 x = −2  2 − 5 5 − 2 0 0 0 0  − x2 + 3 x3 = −4  1 2 3     Ta th y nh ng hàng toàn 0 trong h phương trình có th b i. Câu h i t ra là: Kích thư c m × n c a ma tr n A có ph i là kích thư c g n nh t c a h phương trình Ax = b không? Làm th nào bi t ư c kích thư c th c h phương trình? 5.1 H NG C A MA TR N I. nh nghĩa: H ng c a ma tr n A là s các tr . Ký hi u là r(A) (rank). Chú ý: (1) N u A c p m × n thì r(A) ≤ m, r(A) ≤ n hay r(A) ≤ min{m, n}. (2) Cho A c p n × n , thì |A| ≠ 0 ⇔ r(A) = n (vì A có n tr ). (3) tìm h ng c a A thì ưa ma tr n A v ma tr n b c thang U và tìm s tr . 1 1 2 3 − 1 2 0  Ví d 1: Tìm h ng c a (a) A = 2 2 8 10 (b) B =  1 3 m  tùy theo m     3 3 10  13   2 6 4   1 1 2 3 1 1 2 3 Gi i: (a) A → 0 0 4 4   → U = 0 0 4  4 , nên r(A) = 2.  0 0 4 4   0 0 0  0  (b) S: m = 2 : r ( B ) = 2, m ≠ 2 : r ( B) = 3 1 − 2 4  Ví d 2: Tìm h ng c a A =   . Nh n xét các c t c a A và bi u di n A qua tích 2 véc tơ. 4 − 8 16 1 − 2 4 Gi i : A →   ⇒ r ( A) = 1 . 0 0 0  Nh n xét: các hàng, các c t t l nhau. Bi u di n A theo tích c a 1 c t v i 1 véc tơ là h s t l v i c t ó. 1 − 2 4   − 2   1  Ch n c t 2 và véc tơ h s t l c t 2 là (−1/2, 1, −2). Khi ó : A =   =  − 8   − 2 1 − 2 4 − 8 16     T Chú ý: (4) N u r(A) = 1 thì A= u.v II. nh nghĩa : + A g i là có h ng hàng y n u m i hàng c a nó u có tr , t c là r =m. + A g i là có h ng c t y n u m i c t c a nó u có tr , t c là r = n. + C t ch a tr g i là c t tr và bi n c a c t ó g i là bi n tr . + C t không có tr g i là c t t do và bi n c a c t này là bi n t do. + Hàng ch a tr g i là hàng tr . Ví d 3: Xác nh ma tr n nào sau ây có h ng c t y, h ng hàng y và tìm bi n tr , bi n t do c a nó 1 2 0 1 − 2 2 3 − 1 0 1 − 2 0 A=  , B = 0 − 1 3 ,   C = 0 3  ,   D=  0 1 6  0 0 2 0 0  0 0 3 1      1
Chú ý: (5) N u A có h ng c t y thì Ax = 0 có nghi m duy nh t x = 0. N u A có h ng hàng y và m < n thì Ax = 0 có vô s nghi m. 5.2 NGHI M C BI T , NGHI M Y C A Ax = 0.  x1 + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0  Ví d 4: Gi i h 2 x1 + 2 x 2 + 8 x3 + 10 x 4 = 0 3 x + 3 x + 10 x + 13 x = 0  1 2 3 4 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0  2 2 8 10 0 → 0 0 4 4 0 → 0 0 Gi i : [ A | 0] =  4 4 0       3 3 10 13 0   0 0 4 4 0   0 0  0 0 0   x + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0 nên h tương ương v i h  1 . Bi n tr là x1 và x3, bi n t do là x2 và x4.  4 x3 + 4 x 4 = 0 − x 2 − x 4  − 1 − 1  x  1    x = − x2 − x4  = x2   + x4  0  Ta có nghi m  1 ⇒ Không gian nghi n c a A là x n =  2  x3 = − x 4  − x4  0 − 1        x4  0 1 hay x n = c1 s1 + c 2 s 2 v i s1 = (−1,1,0,0), s 2 = (−1,0,−1,1) Chú ý : (6) Ta th y nghi m xn ư c tính qua các bi n t do, nên các nghi m s1, s2 ư c tìm nhanh hơn b ng cách cho t ng bi n t do b ng 1 và các bi n t do còn l i b ng 0. Các nghi m ó g i là nghi m c bi t c a Ax = 0 Cho x2 = 1, x4 = 0 ⇒ x3 =0 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s1 = (−1,1,0,0) Cho x4 = 1, x2 = 0 ⇒ x3 = −1 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s 2 = (−1,0,−1,1) nên nghi m y : xn = c1 s1 + c2 s 2 I. nh nghĩa : N u s1,..., sn-r là t t c các nghi m c bi t c a Ax = 0, thì xn= c1s1+⋅⋅⋅+cn-rsn-r (c1, ..., cn-r ∈ R) g i là nghi m y c a Ax = 0 (cũng là không gian nghi m c a A). Chú ý: (7) H ng c a A là r thì có (n−r) bi n t do ⇒ (n−r) nghi m c bi t. II. Cách tìm nghi m c bi t, nghi m y c a Ax = 0 . (Am×n) × + Bi n i [A|0] → [U|0] và xác nh r bi n tr và (n−r) bi n t do. + Cho t ng bi n t do b ng 1, các bi n t do còn l i b ng 0 ⇒ các bi n tr ⇒ (n−r) nghi m c bi t s1, s2, …sn−r. + Nghi m y là xn = c1s1 +…+cn-r sn-r.  1 −2 3  Ví d 5: Gi i h Ax = 0 v i A = − 2 4 − 6    3 −6 9     1 − 2 3 0 1 − 2 3 0 Gi i: [ A | 0] = − 2 4 − 6 0 → 0 0 0 0      3 − 6 9 0   0 0 0 0   Cho x 2 = 1, x3 = 0 ⇒ x1 = 2 ⇒ s1 = ( 2,1,0) , x3 = 1, x 2 = 0 ⇒ x1 = −3 ⇒ s1 = ( −3,0,1)  2 − 3 V y nghi m y là xn = c1 1  + c  0  . Hay N ( A) = {x | x = c ( 2,1,0) + c ( −3,0,1)}.   2  n n 1 2 0    1   2
5.3 NGHI M RIÊNG VÀ NGHI M Y C A Ax = b I. nh lý : N u x1 là nghi m c a Ax = b và x2 là nghi m c a Ax = 0 thì x = x1 + cx2 cũng là nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R. Ch ng minh : Ta có : Ax1 = b, Ax2 = 0 ⇒ Ax = A( x1 + cx2 ) = Ax1 + cAx2 = b + 0 = b hay x = x1 + cx2 cũng là nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R. II. nh nghĩa : Nghi m riêng c a Ax = b là m t nghi m nào ó c a phương trình. Ký hi u là xp Nghi m y c a Ax = b là nghi m x = xp + xn , v i xp là nghi m riêng c a Ax =b và xn là nghi m y c a Ax = 0 III. Cách tìm nghi m y c a Ax = b + Dùng phép kh ưa [A| b] v d ng b c thang [U| c]. + Tìm nghi m các nghi m c bi t c a Ax = 0 (xác nh t [U|0] ) + Tìm 1 nghi m riêng xp c a Ax = b (Cho các bi n t do b ng 0 ⇒ tìm xp trong [U|c]) + Nghi m y c a Ax = b là x = xp + xn  x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 1 2 x + 4 x + 6 x = 2  1 2 3 Ví d 6 : Gi i h phương trình:  2 x1 + 5 x 2 + 7 x3 = 4 3 x1 + 9 x 2 + 12 x3 = 9  1 2 31 1 2 3 1 1 2 3 1 2 4 6 2 0 0 0 0  0 1 1 2 Gi i :  ⇔  ⇔  2 5 7 4 0 1 1 2 0 0 0 0       3 9 12 9  0 3 3 6 0 0 0 0 x + 2 x2 + 3 = 0 * Cho x3 = 1 trong Ax = 0 ⇔  1 ⇔ x 2 = −1, x1 = −1 x2 + 1 = 0 − 3 − 1  x1 + 2 x 2 = 1 * Cho x3 = 0 trong Ax = b ⇔  ⇔ x 2 = 2, x1 = −3 . V y nghi m x =  2  + c − 1      x2 = 2 0 1     Ví d 7: Tìm i u ki n i v i véc tơ b = (b1, b2, b3) h Ax = b có nghi m? T ó suy ra m t t h p nào c a các hàng ma tr n A thì b ng hàng không? 1 1 1  A = 1 2 4    2 5 11   1 1 1 b1  1 1 1 b1  1 1 1 b1  Gi i : [ A | b] = 1 2 4 b   → 0 1 3 b − b   →0 1 3 b2 − b1   2  2 1    2 5 11 b3    0 3 9 b3 − 2b1    0 0 0 b3 − 3b2 + b1    i u ki n phương trình có nghi m là : b1 − 3b2 + b3 = 0 (1) T (1) ta có quan h các thành ph n c a b, cũng chính là quan h các véc tơ hàng ma tr n A. Do ó suy ra : 1× (hàng 1) − 3 × (hàng 2) + 1 × (hàng 3) = hàng không ⇒ yTA = 0T ây cũng là m t cách tìm không gian nghi m trái N(AT)= {y = c( 1, −3, 1)}, ch 1 l n bi n i ma tr n A mà không ph i bi n i AT như trong tu n 4 ã gi i. 3
a11 a12 ... a1n c1    U c   0 a 22 ... a 2 n c 2  Chú ý : (8) Bi n i [ A b ] ⇒  = mà d ≠ 0 thì h vô nghi m O d   ... ... ... ... ...    0 0 0 0 d (9) B n kh năng h phương trình tuy n tính ph thu c vào h ng r. 1 r = m = n (h ng hàng, c t y) A ⇒ [U ] vuông, kh ngh ch Ax = b có nghi m duy nh t 2 r = m < n (h ng hàng y) A ⇒ [U F ] ng n, r ng Ax = b có vô s nghi m U  3 r = n < m (h ng c t y) A ⇒  cao, h p Ax = b có 0 ho c 1 nghi m O  U F  4 r < m, r < n A ⇒  Ax = b có 0 ho c vô s nghi m O O  Ví d 8 : T i sao không th có m t h 1 phương trình 3 n Ax = b v i nghi m riêng x p = (1,−2,0) và nghi m thu n nh t x n = c (1,2,3) . Gi i : H có 1 bi n tr và 2 bi n t do nên nghi m thu n nh t ph i có 2 nghi m c bi t. Ví d 9 : T i sao x = (1, 2, −1, 4) không th là nghi m duy nh t c a phương trình Ax = (4, 0, 1) Gi i : Kích thư c A là 3×4, nên có ít nh t 1 bi n t do. N u có nghi m thì vô s nghi m (trư ng h p 4) 7   2  Ví d 10 : Tìm ma tr n A và véc tơ b n u bi t nghi m y c a Ax = b là x =   + c   2 1  Gi i : * A có n = 2 c t vì véc tơ nghi m 2 chi u (s hàng m b t kỳ). G i A=[c1 c2]. * Do s = ( 2,1) là nghi m c bi t : As = 0 ⇔ 2.c1 + 1.c 2 = 0 ⇔ c 2 = −2c1 (c t 2 b ng (−2) l n c t 1) * Do xp= (7, 2) là nghi m riêng nên Axp= b = 7.c1+2.c2 = 3c1 * Các c t không th là vectơ không vì ph i có 1 c t tr  2 − 4 6 Ch ng h n : A = − 1 2  , b = − 3      3 − 6   9   Ví d 11 : Tìm nghi m y c a phương trình Ax = b n u bi t véc tơ b b ng hi u c a c t 1 và c t 2 1 0 − 1 3  c a ma tr n A và ma tr n A ưa ư c v d ng b c thang U = 0 0 2 − 4   0 0 0  0   S : x = (1, −1, 0 , 0) + c1 (0 , 1 , 0 , 0) +c2 (−1, 0, 2, 1) Ví d 12 : Xây d ng m t ma tr n A có không gian c t ch a (−2, 1, 5) , (0, 3, 1) và không gian nghi m ch a (1, −1, 2). Gi i : G i các c t c a A là : (c t 1) = (−2, 1, 5) , (c t 3) = (0, 3, 1) ∈ C(A) . Do không gian nghi m ch a (1, −1, 2) nên 1×(c t 1) −1×(c t 2) + 2×(c t 3) = 0 nên (c t 2) = 1×(c t 1) + 2×(c t 3) = (− 2, 7, 7)  − 2 − 2 0 − 2 0 1  V y A= 1 7 3 (tương t A =  1 3 1  )      5 7 1    5 1 − 2  CÁC Ý CHÍNH BÀI GI NG TU N 5 1. H ng c a ma tr n và cách tìm. 2. C u trúc nghi m c a h Ax = 0 và Ax = b. 4