Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán biện luận số tiếp tuyến - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán biện luận số tiếp tuyến" cung cấp 1 số bài tập ví dụ hướng dẫn giải chi tiết từng ví dụ cụ thể. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán biện luận số tiếp tuyến - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN BI N LU N S Th y TI P TUY N (Nâng cao) ng Vi t Hùng Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y = 3 x − x 3 (C). Tìm trên ư ng th ng (d): y = − x các i m M mà t ó k ư c úng 2 ti p tuy n phân bi t v i Hư ng d n gi i: G i M (m; −m) ∈ d . PT ư ng th ng ∆ qua M có d ng: y = k ( x − m) − m . 3   ∆ là ti p tuy n c a (C) ⇔ h PT sau có nghi m: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1) th (C). 3 − 3 x = k  (2) (*) Thay (2) vào (1) ta ư c: 2 x 3 − 3mx 2 + 4m = 0 ⇔ m = T Mk Xét hàm s 2 x3 3x 2 − 4 2 x3 3x 2 − 4 (**) ư c úng 2 ti p tuy n v i (C) ⇔ (**) có 2 nghi m phân bi t f ( x) = . T p xác nh D = R \ −  2 3 2 3 6 x 4 − 24 x 2   f ′( x ) = ; ; f ′( x ) = 0 ⇔  x = 0 2 2 3   3  x = ±2 (3 x − 4)  D a vào BBT, (**) có 2 nghi m phân bi t ⇔  m = −2 . V y: M(−2;2) ho c M(2; −2) . m = 2 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s y = x 3 − 3 x + 2 . Tìm trên ư ng th ng d : y = 4 các i m mà t ó k ư c úng 2 ti p tuy n v i (C). Hư ng d n gi i: G i M (m;4) ∈ d . PT ư ng th ng ∆ qua M có d ng: y = k ( x − m) + 4  3−  ∆ là ti p tuy n c a (C) ⇔ h PT sau có nghi m:  x 2 3 x + 2 = k ( x − m) + 4 3 x − 3 = k  (1) (2) (*) Thay (2) vào (1) ta ư c: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0   (3) (4) ⇔ 2 2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0  x = −1 YCBT ⇔ (3) có úng 2 nghi m phân bi t + TH1: (4) có 2 nghi m phân bi t, trong ó có 1 nghi m b ng –1 ⇔ m = −1 + TH2: (4) có nghi m kép khác –1 ⇔ m = −  2  3   2 ∨ m=2 3 V y các i m c n tìm là: (−1; 4) ;  − ;4  ; (2; 4) . Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m (Cm). Tìm m t i m M(1;2) k ư c úng 2 ti p tuy n v i (Cm). Hư ng d n gi i: PT ư ng th ng ∆ qua M có d ng: y = k ( x − 1) + 2 . ∆ là ti p tuy n c a (Cm) ⇔ h PT sau có nghi m:  x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 2   2 3 x − 4 x + m − 1 = k  ⇒ f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3(m − 1) = 0 (*) qua M k ư c úng hai ti p tuy n n (Cm) thì (*) có úng 2 nghi m phân bi t 2 3  2 109  ⇒ Các i m c c tr c a (Cm) là: A(1;4 − 3m), B  ; − 3m  .  3 27  Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x = Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95  4 m = 3  A ∈ Ox Do ó (*) có úng 2 nghi m phân bi t ⇔  . ⇔  B ∈ Ox  m = 109  81  Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C). Tìm trên ư ng th ng (d): y = 2 các i m mà t ó k ư c 3 ti p tuy n phân bi t v i Hư ng d n gi i: G i M (m;2) ∈ (d ) . PT ư ng th ng ∆ i qua i m M có d ng : y = k ( x − m) + 2  3+ 2 − ∆ là ti p tuy n c a (C) ⇔ h PT sau có nghi m  x 2 3 x − 2 = k ( x − m) + 2  −3 x + 6 x = k  (1) (2) th (C). (*). Thay (2) và (1) ta ư c: 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 x 2 − (3m − 1) x + 2  = 0   ⇔ 2  f ( x ) = 2 x − (3m − 1) x + 2 = 0 (3) T Mk ư c 3 ti p tuy n n th (C) ⇔ h (*) có 3 nghi m x phân bi t  5  ∆ > 0 ⇔ (3) có hai nghi m phân bi t khác 2 ⇔  ⇔ m < −1 ∨ m > 3 .  f (2) ≠ 0  m ≠ 2  5  V y t các i m M(m; 2) ∈ (d) v i m < −1 ∨ m > 3 có th k ư c 3 ti p tuy n v i (C). m ≠ 2  x = 2 Ví d 5: [ VH]. Cho hàm s y = ( x + 1) . ( x − 1) Cho i m A(a;0) . Tìm a t A k ư c 3 ti p tuy n phân bi t v i th (C). Hư ng d n gi i: 4 2 Ta có y = x − 2 x + 1 . PT ư ng th ng d i qua A(a;0) và có h s góc k : y = k ( x − a) d là ti p tuy n c a (C) ⇔ h phương trình sau có nghi m:    2  4  x − 2 x + 1 = k ( x − a) 2 2 4x3 − 4x = k ( B) (I ) Ta có: (I ) ⇔   f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1)  + T h (A), ch cho ta m t ti p tuy n duy nh t là d1 : y = 0 . k = 0 ( A) 2 x −1 = 0   ho c 4 x( x − 1)2= k 2 +V y t A k ư c 3 ti p tuy n phân bi t v i (C) thì i u ki n c n và là h (B) ph i có 2 nghi m phân bi t ( x; k ) v i x ≠ ±1 , t c là phương trình (1) ph i có 2 nghi m phân bi t khác ±1 ⇔  ∆′ = 4a2 − 3 > 0 3 3 ⇔ −1 ≠ a < − hoaëc 1 ≠ a >  2 2  f (±1) ≠ 0 Ví d 6: [ VH]. Cho hàm s : y = Cho i m A(0; a) . Tìm a 2 phía c a tr c hoành. t Ak x+2 (C). x −1 ư c 2 ti p tuy n t i th (C) sao cho 2 ti p i m tương ng n m v Hư ng d n gi i: Phương trình ư ng th ng d i qua A(0; a) và có h s góc k: y = kx + a x +2  x − 1 = kx + a  d là ti p tuy n c a (C) ⇔ H PT  có nghi m −3 k =  ( x − 1)2  ⇔ PT: (1 − a) x 2 + 2(a + 2) x − (a + 2) = 0 (1) có nghi m x ≠ 1 . qua A có 2 ti p tuy n thì (1) ph i có 2 nghi m phân bi t x1, x2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y a ≠ 1 ⇔ ⇔ (*) a > −2 ∆′ = 3a + 6 > 0 a ≠ 1 NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Khi ó ta có: x1 + x2 = 2(a + 2) a+2 3 3 ; x1 x2 = và y1 = 1 + ; y2 = 1 + x1 − 1 x2 − 1 a −1 a −1 2 ti p i m n m v 2 phía  3  3 i v i tr c hoành thì y1.y2 < 0  x .x + 2( x + x ) + 4 2 1 2 1 2 ⇔ 1 + < 0 ⇔ 3a + 2 > 0 ⇔ a > −  .1 +  − 3 . a ≠ 1   2 Ví d 7: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm trên Oy t t c các i m t x +1 (C). x −1 ư c duy nh t m t ti p tuy n t i (C). Hư ng d n gi i: G i M (0; yo ) là i m c n tìm. PT ư ng th ng qua M có d ng: y = kx + yo (d) ók  x +1 ( y − 1) x 2 − 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)  x − 1 = kx + yo o o   o ⇔ (*) (d) là ti p tuy n c a (C) ⇔  −2 −2 =k  =k  x ≠ 1; 2 ( x − 1)   ( x − 1)2  YCBT ⇔ h (*) có 1 nghi m ⇔ (1) có 1 nghi m khác 1 y = 1 y ≠ 1  1  o  x = ; yo = 1 ⇒ k = −8 ⇔ ∨  o ⇔ 1 2 2  ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0 x = 2  x = 0; yo = −1 ⇒ k = −2   V y có 2 i m c n tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). x +3 (C). x −1 Tìm trên ư ng th ng d : y = 2 x + 1 các i m t Ví d 8: [ VH]. Cho hàm s y = ó k ư c duy nh t m t ti p tuy n t i (C). Hư ng d n gi i: G i M (m;2m + 1) ∈ d . PT ư ng th ng ∆ qua M có d ng: y = k ( x − m) + 2m + 1 PT hoành giao i m c a ∆ và (C): k ( x − m) + 2m + 1 = x+3 x −1 ⇔ kx 2 − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = 0 (*) ∆ ti p xuc v i (C) ⇔ (*) có nghi m kép ⇔  ⇔ k ≠ 0  2 ∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = 0  k ≠ 0 2 2 2 2  g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = 0 Qua M (m;2m + 1) ∈ d k ư c úng 1 ti p tuy n n (C) ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3) m = 0  ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0   ⇔ g(k ) = 0 có úng 1 nghi m k ≠ 0 ⇔  ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0 ⇔  m = −1 m = 2  1 m − 1 = 0 ⇒ 16k + 4 = 0 ⇒ k = − m = 1    4 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!