Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần1 - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

194
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần1" cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần1 - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 KH O SÁT VÀ V Th y I. S BI N THIÊN C A HÀM S TH HÀM S ng Vi t Hùng - P1 D ng 1. S bi n thiên c a hàm không có tham s Phương pháp: + Tìm t p xác nh c a hàm s . tìm các nghi m. + Tính y ' và gi i phương trình y ' = 0 + L p b ng bi n thiên (ho c ch c n b ng xét d u y ' ) và k t lu n trên cơ s các i m t i h n. Chú ý: Quy t c xét d u c a hàm a th c và phân th c. Các ví d i n hình: Ví d 1: Xét s bi n thiên c a các hàm s sau ây: a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1. c) y = x 4 − 2 x 2 − 1. a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1. T p xác nh: D = R. x = 0 o hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1)  y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔  → x =1 B ng xét d u c a o hàm: x −∞ 0 1 y' b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1. 1 1 x2 d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2 L i gi i: +∞ − 0 + 0 − V y hàm s ng bi n trên (0; 1) và ngh ch bi n trên (−∞; 0) và (1; +∞). 3 2 b) y = x − 3x + 3x + 1. T p xác nh: D = R. 2 o hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0  y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. → V y hàm s ã cho luôn c) y = x 4 − 2 x 2 − 1 T p xác nh: D = R. ng bi n trên t p xác nh. x = 0 o hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1  y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔  →  x = ±1 B ng xét d u c a o hàm: x −∞ −1 0 1 ( ) ( ) +∞ + y' Hàm s − 0 + 0 − 0 ng bi n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−∞; −1) và (0; 1). 1 1 x2 d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1. 5 4 2 T p xác nh: D = R.  x = −1 2 4 3 2 o hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 )  y ′ = 0 ⇔  x = 1 →  x = 2  Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên d u c a y ' ch ph thu c vào bi u th c (x − 1)(x − 2). B ng xét d u c a o hàm: 2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y x y' Hàm s NG VI T HÙNG −1 1 + 0 Facebook: LyHung95 2 − 0 + −∞ + +∞ 0 ng bi n trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (1; 2). Ví d 2: Xét s bi n thiên c a các hàm s cho dư i ây: x +1 x 2 + 3x + 3 a) y = b) y = . . 2x − 2 x +1 2 c) y = 1 − x + d) y = x 2 − 2 x + 2. . x +1 2x + 1 e) y = 2 x − x 2 . f) y = . 3x − 2 L i gi i: x +1 a) y = . 2x − 2 T p xác nh: D = R \ {1} . o hàm: y′ = −4 ( 2 x − 2 )2 > 0, ∀x ∈ D  hàm s luôn → ng bi n trên t p xác nh. b) y = x 2 + 3x + 3 . x +1 T p xác nh: D = R \ {−1} . o hàm: ( 2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 = x 2 + 2 x  y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔  x = 0 y′ = →   x = −2 ( x + 1)2 ( x + 1)2 o hàm: x y' −∞ + −2 0 − −1 || − 0 0 + +∞ B ng xét d u c a ng bi n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−2; −1) và (−1; 0). 2 c) y = 1 − x + . x +1 T p xác nh: D = R \ {−1} . Hàm s o hàm: y′ = −1 − 2 ( x + 1)2 < 0, ∀x ∈ D  hàm s luôn ngh ch bi n trên t p xác → nh c a nó. d) y = x 2 − 2 x + 2. Hàm s xác nh khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x  D = R. → 2 2 x − 2x + 2 B ng xét d u c a o hàm: 2 o hàm: y′ = (x 2 − 2x + 2 )′ = x −1 x − 2x + 2 2  y ′ = 0 ⇔ x = 1. → x y' Hàm s −∞ − 1 0 + +∞ ng bi n trên (1; +∞) và ngh ch bi n trên (−∞; 1). nh khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2  D = [ 0; 2]. → 2 e) y = 2 x − x 2 . Hàm s xác o hàm: 2 2 x − x2 B ng xét d u c a o hàm: ( 2 x − x )′ = y′ = 1− x 2x − x2  y′ = 0 ⇔ x = 1. → Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y x y' Hàm s NG VI T HÙNG 1 + 0 Facebook: LyHung95 2 − 0 ng bi n trên (0; 1) và ngh ch bi n trên (1; 2). 2x + 1 f) y = . 3x − 2 1  2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −    1  2 2 Hàm s xác nh khi  ⇔  D =  − ; + ∞  \   . → 2  2  3 x ≠ 3 x ≠ 2   3  2 ( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1) −3 x − 5 5 1 2 2x + 1 o hàm: y′ = = =  y ′ = 0 ⇔ x = − < − → 2 2 2 3 2 ( 3x − 2 ) ( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1 B ng xét d u c a o hàm: x 1 2 − +∞ 2 3 y’ − || −  1 2 2  T b ng bi n thiên ta th y hàm s ngh ch bi n trên  − ;  và  ; +∞  . 2 3 3    BÀI T P LUY N T P Xét s bi n thiên c a các hàm s sau: 1) y = −2 x + 5. 2) y = x 3 − 3 x + 2. 4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12. 6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1. 8) y = 2 x + 3 x 2 + 1. 2x −1 10) y = . x +1 x2 + 3x + 3 12) y = . x +1 1 14) y = 2 x − 3 − . x +1 3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2. 5) y = x 4 − 2 x 2 + 5. 7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2. x +1 9) y = . x−2 1− x 11) y = . 3x − 2 1 13) y = x + . x D ng 2. S bi n thiên c a hàm có tham s Phương pháp: S d ng các tính ch t c a tam th c b c hai gi i Xét tam th c b c hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, g i x1; x2 là hai nghi m c a phương trình f(x) = 0, v i x1 < x2 + N u a > 0:  x > x2 f ( x) > 0 ⇔   x < x1 f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2 f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2  x > x2 f ( x) < 0 ⇔   x < x1 + N u a < 0: a > 0 + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0  x < x2 < α < β a > 0   1 → + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  α < β < x1 < x2 a < 0  x1 < α < β < x2 → Các ví d i n hình: a < 0 + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) : a > 0  x1 < α < β < x2 →  x1 < x2 < α < β a < 0   →  α < β < x1 < x2 Ví d : Tìm m hàm s x3 a) y = − x 2 + ( m − 1) x + m 3 ng bi n trên R. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 ngh ch bi n trên R. 3 ( m − 1) x 3 + mx 2 + 3m − 2 x + 2 ng bi n trên R. c) y = ( ) 3 L i gi i: 3 x a) y = − x 2 + ( m − 1) x + m  y ′ = x 2 − 2 x + m − 1 → 3 Hàm s ng bi n trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2. V y hàm s ng bi n trên R khi m ≥ 2. 1 b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1  y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2. → 3 Hàm s ngh ch bi n trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔ V y hàm s ng bi n trên R khi −3 − 17 −3 + 17 . ≤m≤ 2 2 c) y = 3 hàm s luôn ( m − 1) x 3 + mx 2 + −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ . 2 2 → ( 3m − 2 ) x + 2  y′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 ng bi n trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R. Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1  y′ = 2 x + 1. → Ta th y hàm s ch  1  ng biên trên  − ; +∞  nên không th a mãn yêu c u. 2    m − 1 > 0 m > 1  m > 1 Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1  y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  → ⇔ 2 ⇔ 2 m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0  ∆′ ≤ 0   m > 1  m ≥ 2 ⇔   m ≥ 2. → m ≤ 1  2  V y v i m ≥ 2 thì hàm s ã cho luôn ng bi n trên R. BÀI T P LUY N T P 1) Tìm m 2) Tìm m 3) Tìm m hàm s hàm s hàm s x3 − x 2 + ( m − 1) x + m ng bi n trên R. 3 y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 ng bi n trên R. y= 1 y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 ngh ch bi n trên R. 3 3 x 5 4) Tìm m hàm s y = + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + ng bi n trên R. 3 3 II. C C TR C A HÀM S D NG 1. TÌM C C TR C A HÀM S B NG QUY T C I Phương pháp: + Tìm t p xác nh c a hàm s . + Tính y ' và gi i phương trình y ' = 0 tìm các nghi m. + L p b ng bi n thiên và d a vào b ng bi n thiên k t lu n v i m c c i, c c ti u c a hàm s . Chú ý: V i m t s d ng hàm c bi t (thư ng là hàm vô t ) thì ta ph i tính gi i h n t i các i m biên cho b ng bi n thiên ư c ch t ch hơn. Các ví d i n hình: Ví d 1: Tìm các kho ng ơn i u và c c tr c a các hàm s sau: a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y c) y = 2 x 2 − x 4 . a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10. T p xác nh: D = R. NG VI T HÙNG d) y = L i gi i: 1 4 x − x3 + 3. 4 Facebook: LyHung95  x = −3 o hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6  y ' = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔  → x = 2 B ng bi n thiên: x −∞ −3 2 ( ) +∞ y' y + 0 71 − 0 + +∞ −∞ −54 ng bi n trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−3; 2). T b ng bi n thiên ta th y hàm s Hàm s t c c i t i x = −3; y = 71 và t c c ti u t i x = 2; y = −54. b) y = x 4 + 2 x 2 − 3. T p xác nh: D = R. o hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1  y ′ = 0 ⇔ x = 0. → ( ) B ng bi n thiên: x y' +∞ y −3 T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (−∞; 0) và ngh ch bi n trên (0; +∞). Hàm s t c c ti u t i x = 0; y = −3. c) y = 2 x 2 − x 4 . T p xác nh: D = R. x = 0 o hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2  y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔  →  x = ±1 B ng bi n thiên: −∞ − 0 0 + +∞ +∞ ( ) ( ) x y' y −∞ + −1 0 1 − 0 0 + 1 0 1 − +∞ −∞ 0 −∞ T b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm s ngh ch bi n trên (−1; 0) và (1; +∞). Hàm s t c c i t i x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1. Hàm s t c c ti u t i x = 0; y = 0. 1 4 d) y = x − x3 + 3. 4 T p xác nh: D = R. x = 0 o hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3)  y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔  → x = 3 D u c a y’ ch ph thu c vào d u c a bi u th c (x − 3) nên ta có b ng bi n thiên như hình v Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!