intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương trình Vi phân

Chia sẻ: Nguyen Quang Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST
Báo xấu
579
lượt xem 170
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu trình bày định lý Perron về đặc trưng hệ hyperbolic, điều kiện tồn tại nghiệm tuần hoàn, giới nội, đa tạp bất biến và ứng dụng trong nghiên cứu ổn định, cách dùng phần mềm Maple để tích phân phương trình vi phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình Vi phân

  1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Nguyễn Văn Minh
  2. Lo.i n´i d` u ` o ¯ˆ a Phu.o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng l` l˜nh vu.c lˆu d o.i cua To´n hoc. . a ¯` ’ ı a o aı a. . vˆy khˆng c´ ngh˜a l` n´ “c˜ k˜”, khˆng c`n ph´t triˆ n e’ N´i nhu a o o o ıao uy o o a . .o.c n˜.a, m` tr´i lai d ay l` l˜nh vu.c ph´t triˆ n rˆ t sˆi d ong cua e’ a o ¯ˆ ´ ’ d. u ¯u a a . ¯ˆ a ı a . . .o.c - ` a o e’ e’ ¯u ´ ` a’ To´n Hoc trong suˆt nhiˆu thˆp ky qua. Diˆu n`y c´ thˆ hiˆ u d . a o e e . . ´c cˆu nˆi cua To´n hoc v´.i c´c l˜ vu.c khoa hoc u.ng `o’ ´ v` d ay l` chiˆ a ı ¯ˆ a e a . o a ınh . .´ dung kh´c c˜ng nhu. l` no.i h`a nhˆp cua nhiˆu l˜ vu.c rˆ t kh´c ` ınh . a ´ ’ au a o a e a . . . nu.´.c ta c´ xu hu.´.ng thu ’ ’ nhau cua ch´nh To´n hoc. Hiˆn nay o ı a e o o o . . gon tˆn goi “phu.o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng” th`nh “phu.o.ng tr`nh e. ı a o a ı . . vˆy s˜ gˆy nhiˆu nhˆm lˆn, nhˆ t l` cho ˜ ` ` ´ vi phˆn”. C´ch l`m nhu a e a a a a e aa aa . ` n phai phˆn biˆt r˘ ng thuˆt ng˜. “phu.o.ng tr`nh ` ’ c´c sinh viˆn. Cˆ a e a a ea a u ı . . vi phˆn” bao h`m khˆng chı phu.o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng m` c`n ’ a a o ı a o ao ca phu.o.ng tr`nh vi phˆn d ao h`m riˆng, mˆt l˜ vu.c gˆn g˜i v´.i o ınh . ` u o ’ ı a ¯. a e a . .o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng (v` c`n rˆng l´.n ho.n rˆ t nhiˆu!). ´ ` phu ı a o ao o o a e . Tˆp b`i giang n`y tˆi biˆn soan v` giang cho sinh viˆn hˆ cu. ’ a’ e e’ aa aoe . . . ’ a Dai hoc Khoa hoc Tu. nhiˆn, Dai hoc -. . e -. . nhˆn khoa hoc t`i n˘ng cu a .aa . . Quˆc gia H` nˆi, v´.i tham vong khiˆm tˆn l` cung cˆ p cho sinh ´ ´ ´ o ao o e oa a . . .i gian han chˆ (45 tiˆt hoc), mˆt h` dung n`o ´ ´ viˆn, trong mˆt th` e o o e e. o ınh a . . . d o vˆ l˜ vu.c n`y. D˘c biˆt, tˆi muˆn nhˆ n manh d e n c´c cˆng cu ¯´ ` ınh . a - a ´ ´ ´ e eo o a ¯ˆ a o . . . . ¯ang d`ng rˆng r˜i trong nghiˆn c´.u hiˆn nay. Tˆ t nhiˆn v´.i mˆt ´ d u o a eu e a eoo . . . khˆng gian han chˆ ch´ng ta chı c´ thˆ ch˘t loc nh˜.ng y tu.o.ng ’ o e’ a . ´ ´ ’ o eu u ´ . quan trong nhˆ t v` phai tr`nh b`y d u.o.c mˆt c´ch x´c t´ d .n ´ ’ aa ı a ¯. oa u ıch, ¯o . . ’ d .o.c. So v´.i c´c gi´o tr`nh vˆ phu.o.ng tr`nh vi ´ ` ’ gian nhˆ t c´ thˆ ¯u . aoe oa a ı e ı phˆn d a v` d ang d u.o.c su. dung o. Viˆt Nam hiˆn nay, tˆi d a d u.a ¯. ’ . ’ a ¯˜ a ¯ e e o ¯˜ ¯ . . v`o tˆp c´c b`i giang n`y nh˜.ng chu d` m´.i sau d ay: aaaa’ ’ ¯ˆ o a u e ¯ˆ . 1. Dinh l´ Perron vˆ d ac tru.ng hˆ hyperbolic, d iˆu kiˆn tˆn tai -. ` ¯˘ ¯` e`. y e. e e .o . nghiˆm tuˆn ho`n, gi´.i nˆi, ` e a a oo . . 2. Da tap bˆ t biˆn v` u.ng dung trong nghiˆn c´.u ˆ n d .nh, - ’ ´ e a´´ a e u o ¯i . . 3. C´ch d`ng phˆn mˆm Maple d e’ t´ phˆn phu.o.ng tr`nh vi ` ` a u a e ¯ˆ ıch a ı phˆn. a I
  3. L`.i n´i d` u II o o ¯ˆ a Trong khi tˆi kh´ h`i l`ng v´.i c´ch tr`nh b`y d o.n gian hai vˆ n d` ´e ’ o aao oa ı a¯ a ¯ˆ . ba c`n rˆ t l´ng t´ng. Diˆu n`y dˆ hiˆ u -` e a ˜ e’ d` u tiˆn th` vˆ n d` th´ ´e ´ ¯ˆ a e ı a ¯ˆ u oau u e .a nhiˆu, trong khi “s´.c ´p” cua “Th`.i d ai ` ’ v` kinh nghiˆm c`n chu ı e o e ue o ¯. . m´y t´ ” lai qu´ l´.n. Tˆi tin r˘ ng rˆ t nhiˆu ngu.`.i trong c´c ban ` ´ ` a ınh . ao o a a e o a. c´ thˆ l`m tˆt viˆc n`y. Diˆu duy nhˆ t tˆi lu.u y c´c ban l` cˆn ´ e a -` o e’ a ´ ´a . a` o e ao a . .o.c gi´.i han cua c´c phˆn mˆm v` phai hiˆ u d .o.c tai ’ ¯u ’ ¯u . . ` ` ’ i hiˆ u d . ’a ’ pha e o. a e a e sao. Tˆi hy vong viˆc d anh m´y lai to`n v˘n b`i giang v´.i mˆt sˆ .´ aaa’ o e ¯´ a. o oo . . ’ sung b˘ ng phˆn mˆm soan thao v˘n ban LaTeX n`y s˜ gi´p ` ` ` ’ ’ bˆ o a a e a aeu . c´c sinh viˆn, hoc viˆn cao hoc v` c´c c´n bˆ nghiˆn c´.u c´ thˆm a e e aa a o euoe . . . t`i liˆu tham khao, nhˆ t l` trong t`nh h` thiˆu s´ch vo. hiˆn nay. ´ ´ ’ ’e ae aa ı ınh ea . . ’ d`ng dˆ day mˆt chuyˆn d` ’. ’ Theo tˆi c´c b`i giang n`y c´ thˆ u oaa aoe ¯e o e ¯ˆe . vˆ phu.o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng “nˆng cao” cho c´c l´.p cao hoc ` e ı a o a ao . chuyˆn vˆ phu.o.ng tr`nh vi phˆn v` t´ch phˆn. e` e ı a aı a Do th`.i gian c´ han, m˘c dˆu d a rˆ t cˆ g˘ng v` d a nhˆn d .o.c ´ ´´ a ` ¯˜ a o a o o. .a a ¯˜ a ¯u . . . gi´p d o. cua nhiˆu sinh viˆn trong th`.i gian giang day, gi´o tr`nh ` ’ ’ su u ¯˜ e e o aı . . ch˘c c`n nhiˆu thiˆu s´t cˆn bˆ sung trong th`.i gian t´.i. Tˆi mong ’ ´ ` eo` o ´ ao e a o o o nhˆn d .o.c nhiˆu y kiˆn phˆ b` cua c´c d oc gia xa gˆn. `´e ´ ` e ınh ’ a ¯ˆ ’ a ¯u . e a . . ˜ H` Nˆi 2002 ao Nguyˆn V˘n Minh e a . Dai hoc Khoa hoc Tu. nhiˆn -. . e . . -. . ´ Dai hoc Quˆc gia H` nˆi o ao . E-mail: nvminh@netnam.vn
  4. MUC LUC . . ´’ 1 L´ thuyˆt tˆ ng qu´t y eo a 7 .o.ng tr`nh vi phˆn v` c´c d nh l´ tˆn tai v` duy y` . a 1.1. Phu ı a a a ¯i o . ´ nhˆ t nghiˆm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 7 . 1.1.1. Mˆt sˆ v´ du vˆ c´c mˆ h`nh to´n hoc su. dung o oı.`a oı .´ a .’. e .o.ng tr`nh vi phˆn . . . . . . . . . . . . . phu ı a 7 y` . ´ 1.1.2. C´c d .nh l´ tˆn tai duy nhˆ t nghiˆm . . . . a ¯i o a e 10 . - inh l´ Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. D. y 14 -. e’ y` a 1.1.4. Dinh l´ vˆ th´c triˆ n nghiˆm . . . . . . . . e e 15 . .o.ng tr`nh tuyˆn t´ tˆ ng qu´t . . . . . . . . . ’ ´ 1.2. Phu ı e ınh o a 17 1.2.1. Hˆ phu.o.ng tr`nh bˆc nhˆ t . . . . . . . . . . ´ e ı a a 17 . . .o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t v` cˆng ` ´ 1.2.2. Hˆ phu e ı o a a ao . .c biˆn thiˆn h˘ ng sˆ . . . . . . . . . . . ` ´ ´ th´ u e ea o 22 1.3. Hˆ phu.o.ng tr`nh c´ hˆ sˆ h˘ ng sˆ v` tuˆn ho`n . . ´` oa ` ´ e ı oeoa a a 23 . . 1.3.1. H`m ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 23 . .o.ng tr`nh c´ hˆ sˆ h˘ ng sˆ . . . . . . . oeo`.´a ´ 1.3.2. Phu ı o 26 .o.ng tr`nh c´ hˆ sˆ tuˆn ho`n . . . . . . oeo ` .´ a 1.3.3. Phu ı a 30 .i nˆi cua phu.o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t ` ´ 1.4. Nghiˆm gi´ o ’ e o. ı o a a 31 . ` n ho`n . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Nghiˆm tuˆ e a a 31 . 1.4.2. Nghiˆm gi´.i nˆi . . . . . . . . . . . . . . . . e oo 33 . . 1.4.3. C´c khˆng gian h`m chˆ p nhˆn d .o.c . . . . ´ a o a a a ¯u . 35 . .i nˆi trˆn nu.a truc . . . . . . . . ’ 1.4.4. Nghiˆm gi´ o e e o. 35 . . 1.5. B`i to´n biˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa e 36 ` ´ 1.5.1. B`i to´n biˆn thuˆn nhˆ t . . . . . . . . . . aa e a a 36 .o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t . . . . . . . ` ´ 1.5.2. Phu ı o a a 38 .o.ng tr`nh tuyˆn t´ bˆc cao . . . . . . . . . . ´ 1.6. Phu ı e ınh a 39 . . phu thuˆc liˆn tuc theo d ` u kiˆn ban d` u v` theo 1.7. Su oe. ¯iˆ e e ¯a a ˆ . . . . ´ tham sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 41 2 C´c phu.o.ng ph´p d .nh lu.o.ng a a ¯i 44 . ´ phu.o.ng ph´p t´ch phˆn c´c phu.o.ng tr`nh vi 2.1. Mˆt sˆ oo aı aa ı . phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 44 III
  5. IV MUC LUC . . 2.1.1. C´c phu.o.ng ph´p t´ch phˆn c´c l´.p phu.o.ng a aı aao .`.ng g˘p . . . . . . . . . . . . . . . tr`nh thu o ı a 44 . .o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t v` phu.o.ng tr`nh ` ´ 2.1.2. Phu ı a aa ı .a vˆ d .o.c dang n`y . . . . . . . . . . . . ¯u ` ¯u . d e a 47 . 2.1.3. Phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . ´ ı e ınh 49 .o.ng tr`nh d .a d u.o.c vˆ dang phu.o.ng `. 2.1.4. Phu ı ¯u ¯ . e ´ tr`nh tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . ı e ınh 50 2.1.5. Phu.o.ng tr`nh Ricati . . . . . . . . . . . . . ı 52 2.1.6. Phu.o.ng tr`nh vi phˆn ho`n chınh . . . . . . ’ ı a a 54 .o.ng ph´p d`ng phˆn mˆm to´n hoc . . ` ` 2.1.7. Phu au a e a 56 . .o.ng ph´p tham sˆ b´ . . . . . . . . . . . . . . ´e 2.2. Phu a o 61 ´ 3 L´ thuyˆt d .nh t´ y e ¯i ınh 62 ’n d .nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.1. L´ thuyˆt o ¯i y eˆ 62 ’ 3.1.1. Kh´i niˆm ˆ n d .nh theo ngh˜ Lyapunov . . a e o ¯i ıa 62 . .o.ng ph´p th´. nhˆ t Lyapunov . . . . . . ´ 3.1.2. Phu a u a 64 .o.ng ph´p th´. hai Lyapunov . . . . . . . 3.1.3. Phu a u 67 3.2. Da tap bˆ t biˆn v` su. mˆ t o n d .nh . . . . . . . . . - ´’ ´ e a . a ˆ ¯i ´ a 70 . . tˆn tai cua d a tap bˆ t biˆn . . . . . . . . 3.2.1. Su ` . ’ ¯ . ´e ´ .o a 70 ´e ´ ’ a ¯a . 3.2.2. T´nh bˆ t biˆn cua c´c d tap . . . . . . . . ı a 74 3.2.3. Da tap khˆng o n d .nh v` su. mˆ t o n d .nh - ’ ´’ o ˆ ¯i a . a ˆ ¯i . nghiˆm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 75 . ’ 3.2.4. Nguyˆn l´ o n d .nh thu gon . . . . . . . . . . e y ˆ ¯i 75 . 4 Phu Luc 77 .. 5 B`i tˆp aa 83 . -` 6 Dˆ thi v` d ap an e a ¯´ ´ 96
  6. Chu.o.ng 1 ’ ´ ´ ˆ ˆ ´ LY THUYET TONG QUAT .. PHU O NG TR` ˆ ` ´ ´ -. 1.1. INH VI PHAN VA CAC DINH LY T` N TAI VA DUY NHAT NGHIEM ´ ˆ ` ˆ ˆ O . . o ınh to´n hoc su. dung ooı.`a´ ’. 1.1.1. Mˆt sˆ v´ du vˆ c´c mˆ h` e a . . .o.ng tr` vi phˆn phu ınh a Nhiˆu b`i to´n cua Vˆt l´ , Co. hoc, Sinh hoc, ... dˆn d e n viˆc ˜´ `aa’ e ay a ¯ˆ e . . . . .o.ng tr`nh h`m c´ ch´.a vi phˆn cua h`m phai t` Dˆ ’ ım. - e’ ’a a’a giai c´c phu ı a ou .´ ´ minh hoa ch´ng ta x´t mˆt sˆ v´ du quen biˆt sau d ay: u e ooı. e ¯ˆ . ´ Con l˘c to´n hoc a a . V´ du 1.1 X´t dao d ˆng cua mˆt chˆ t d iˆ m c´ khˆi lu.o.ng m ’ ´ ´ ’ ı. e ¯o o a ¯e oo . . . .´.i t´c dung cua lu.c h´t. ’. du o a . u e’ ¯ˆ ´ ’ ’ ’ ae’ Chuyˆ n d ong cua con l˘c s˜ xay ra trong m˘t ph˘ng th˘ng a a a . . .ng. Goi l l` d o d`i cua con l˘c, φ(t) l` g´c lˆch cua con l˘c so ´ ´ a ¯ˆ a ’ ’ du ¯´ a ao e a . . . v´.i vi tr´ th˘ng du.ng tai th`.i d e’m t. Khi d o theo c´c d .nh luˆt ’ o.ıa ¯´ o ¯iˆ ¯´ a ¯i a . . . hoc ta c´ phu.o.ng tr`nh ’ cua co . o ı mlφ (t) + mg sin φ(t) = 0. Hay l` trong dang r´t gon a u. . lφ (t) + g sin φ(t) = 0. (1.1) Nˆu d at x = φ v` y = φ, th` trong m˘t ph˘ng (x, y ) ta d u.o.c tru.`.ng ˙ ’ ´. e ¯˘ a ı a a ¯. o . . sau: v´c to e 7
  7. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 8 y eo a Con lac 1.5 1 y 0.5 0 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x -0.5 -1 -1.5 -. ’ ` e` Dinh luˆt Malthus vˆ quˆn thˆ a a e . Gia su. quˆn thˆ d .o.c phˆn bˆ d` u trong khˆng gian, tˆ t ca e’ ¯u . ’’ ` ´e ´ a’ a a o ¯ˆ o . nhau v` c´c thˆ hˆ kˆ tiˆp. Goi N (t) l` sˆ lu.o.ng a a e’ ´.´´ ´ c´c c´ thˆ nhu aa eeee ao . . ’ a ch´ng tai th`.i d e’m t. Khi d o Dinh luˆt Malthus n´i r˘ ng -. ` cu u o ¯iˆ ¯´ a oa . . dN (t) = (B − D ) N ( t ) , ∀t ≥ 0, (1.2) dt trong d o B l` ty lˆ sinh, D l` ty lˆ chˆt tu. nhiˆn. .´ a’e a’e e . ¯´ e . ’. ’ ` ` Mˆ h` to´n hoc cua quˆn thˆ vˆt s˘n-mˆi o ınh a a eaa o . Gia su. quˆn thˆ de’ ¯ang x´t gˆm hai lo`i, trong d o mˆt lo`i l` ’’ ` e` a o a ¯´ o aa . d ong vˆt an mˆi, c`n lo`i kia l` mˆi cho n´. Goi x(t), y (t) tu.o.ng `o a` ¯ˆ a˘ o a o o . . . u.ng l` sˆ lu.o.ng con mˆi, vˆt s˘n tai th`.i d e’m t. Khi d o mˆ h`nh ´ ` aa. ´ ao . o. o ¯iˆ ¯´ o ı ’ a quˆn thˆ s˜ d .o.c biˆ u diˆn nhu. sau: ’ e ¯u . ’ ˜ ` Volterra cu a e e e x = αx − βxy, ˙ (1.3) y = kβxy − my, ˙ trong d o α l` ty lˆ t˘ng tu. nhiˆn cua x(t) khi khˆng c´ ke s˘n mˆi, ` a’ea e’ o’a ¯´ o o . . .c l` khi y (t) = 0, c`n m l` ty lˆ chˆt tu. nhiˆn cua vˆt s˘n khi .´ a’e e . ’aa t´ a u o e . ` i. β > 0 l` hˆ sˆ “tu.o.ng t´c” gi˜.a hai lo`i cua quˆn ´ ` a’ khˆng c´ mˆ o oo aeo a u a . e’ - e’ thˆ . Dˆ minh hoa ch´ng ta x´t hˆ sau: u ee . . x(t) = x(t)(1 − y (t)), ˙ y (t) = 0, 3y (t)(x(t) − 1). ˙
  8. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 9 Ta c´ thˆ v˜ tru.`.ng v´c to. u.ng v´.i hˆ trˆn trˆn m˘t ph˘ng (x, y ) o e’ e ’ o e ´ oee e a a . . . sau (d`ng phˆn mˆm Maple): ` ` nhu u a e Lotka-Volterra model 2 1.5 y 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x Trong c´c mˆ h`nh to´n hoc trˆn ch´ng ta d` u thˆ y su. tham gia ´ a oı a. e u ¯ˆe a. ’ a vi phˆn c´c cˆ p cua h`m a n φ(t), N (t), x(t), y (t) trong phu.o.ng ’ ´’ aˆ cu aaa tr`nh mˆ phong c´c qu´ tr`nh thu.c tˆ. Phu.o.ng tr`nh h`m trong ´ ’ ı o a aı .e ı a .a ca c´c vi phˆn cua h`m phai t` d .o.c goi l` phu.o.ng d o c´ ch´ ’ a ’a ’ ım ¯u . ¯´ o u a .a tr`nh vi phˆn thu.`.ng. Cˆn ch´ y phˆn biˆt phu.o.ng tr`nh vi phˆn ` ı a o a u´ a e ı a . .`.ng v´.i phu.o.ng tr`nh vi phˆn d ao h`m riˆng. Phu.o.ng tr`nh vi thu o o ı a ¯. a e ı .o.ng tr`nh h`m nhiˆu biˆn, c´ ch´.a d ao ` ´ o u ¯. phˆn d ao h`m riˆng l` phu a ¯. a e a ı a e e h`m riˆng cua h`m phai t` Viˆc nghiˆn c´.u phu.o.ng tr`nh d . o ’ ’ ım. e a e a eu ı ¯a . h`m riˆng v` thˆ s˜ kh´ kh˘n gˆ p bˆi v` d oi hoi phai c´ nh˜.ng ´ ´ o a ¯` ’ ’ou a e ı ee o a a . .o.ng ph´p ph´.c tap ho.n nhiˆu. Nhu. vˆy mˆt phu.o.ng tr`nh vi ` phu a u. e a o ı . . phˆn thu.`.ng s˜ c´ dang a o eo. F (x, y, y , · · · , y (n) ) = 0, (1.4) trong d o y (x) l` h`m cua d oi sˆ thu.c x. Dang d o.n gian ho.n sau ´´ ’ ¯ˆ o . ’ ¯´ aa ¯ . d ay ¯ˆ dy (x) = f (x, y (x)), (1.5) dx s˜ d .o.c goi l` phu.o.ng tr`nh d a giai ra d oi v´.i d . o h`m. Do mˆt ´ ¯˜ ’ e ¯u . .a ı ¯ˆ o ¯a a o . nguyˆn nhˆn l` nhiˆu phu.o.ng ph´p v` kˆt qua kinh d iˆ n cua ¯ e’ ` ´ ’ ’ e aa e a ae phu.o.ng tr`nh vi phˆn thu.`.ng xuˆ t x´. t`. co. hoc cˆ d e’n, nˆn theo ’ ´ ı a o a uu . o ¯iˆ e ` n thˆng ngu.`.i ta hay k´ hiˆu biˆn thu.c x l` t, ´m chı d o l` ´ ´ ’ ¯´ a truyˆe o o ye e aa . . th`.i d e’m t, c`n y = y (t) l` trang th´i tai th`.i d e’m n`y. Dˆ cho a - e’ o ¯iˆ o a. a. o ¯iˆ
  9. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 10 y eo a gon trong phu.o.ng tr`nh ngu.`.i ta s˜ viˆt y thay cho y (t) nˆu hiˆ u e’ ´ ´ ı o ee e . ` ’ ım a a ’ ngˆm h`m phai t` y l` h`m cua t. a a Mˆt d oi hoi tu. nhiˆn khi nghiˆn c´.u c´c mˆ h`nh to´n hoc l` su. o ¯` ’ . e eua oı a . a. . .c tiˆn. Ch˘ng ˜ ’ ’a ’ phan ´nh trung th`nh cua ch´ng c´c qu´ tr`nh thu a u a aı e a . ´n h´a chı chuyˆ n t`. mˆt trang th´i x0 v` th`.i ’uo ’ han, qu´ tr`nh tiˆ o aı e e a ao . . . d e’m t0 d e n mˆt trang th´i x(t) duy nhˆ t v`o th`.i d e’m t. Ho.n ´ ´ ¯iˆ ¯ˆ o a aa o ¯iˆ . . n˜.a, nˆu x1 kh´ gˆn x0 tai th`.i d e’m t0 th` qu´ tr`nh s˜ chuyˆ n e’ ´ a` u e a o ¯iˆ ıaı e . .i d e’m t kh´ gˆn v´.i x(t). Nh˜.ng d oi ´ a` o trang th´i n`y dˆn y (t) tai th` ¯iˆ a a ¯e o a u ¯` . . .o.c goi l` su. tˆn tai duy nhˆ t nghiˆm v` su. phu thuˆc a.` . ´ ’ e ¯u hoi trˆn d . o a e a. o . . . . ` u kiˆn ban d` u. Nh˜.ng d iˆu kiˆn n`y c`n d u.o.c goi ` liˆn tuc theo d e e. ¯iˆ e ¯aˆ u ¯e e a o¯. . . . v˘n t˘t l` su. thiˆt lˆp dung d an cua phu.o.ng tr`nh, hay mˆ h`nh ´´ ´ ´. ’ a aa. e a ¯´ ¯˘ ı oı d ¯ang x´t. e y` ´ 1.1.2. C´c d .nh l´ tˆn tai duy nhˆt nghiˆm a ¯i o a e . . X´t phu.o.ng tr`nh vi phˆn e ı a dx = f (t, x) (1.6) dt trong d o f x´c d .nh v` liˆn tuc trˆn miˆn G := (a, b) × {y ∈ Rn : ` ¯´ a ¯i ae . e e .i phu.o.ng tr`nh (1.6) ta x´t phu.o.ng tr`nh y − y0 ≤ r}. C`ng v´ u o ı e ı x = f (t, x), ˙ (1.7) x (t 0 ) = x 0 , goi l` B`i to´n Cauchy kˆt ho.p v´.i phu.o.ng tr`nh (1.6). ´ .aa a e. o ı Nhˆn x´t. Trong b`i to´n Cauchy (1.7) ch´ng ta khˆng x´c d .nh a e aa u o a ¯i . .o.ng tr`nh d` u khoang x´c d nh cua h`m phai t` ’ ’ ’ ım r˜ trong phu o ı ¯ˆ a a ¯i a . . s˜ thˆ y du.´.i d ay, su. tˆn tai nghiˆm x(t) v´.i t trong ´ .` . x = x(t). Nhu e a o ¯ˆ o e o . .o.c ch´.ng minh. Diˆu n`y thˆ hiˆn -` e’ e ’ lˆn cˆn (hai ph´a) cua t0 s˜ d . aa ı e ¯u u ea . . .o.c tu.o.ng lai v` t´i tao d u.o.c ´ e . a ¯i ¯u “nguyˆn l´” : biˆt hiˆn tai x´c d .nh d . ey e aa . ¯. . qu´ kh´.. Trong rˆ t nhiˆu b`i to´n kh´c dang tr`u tu.o.ng, nguyˆn ´ ` au a eaa a. ı e . ´t hiˆn tai chı c´ thˆ x´c d .nh d .o.c tu.o.ng ’ o e’ a ¯i ¯u . l´ trˆn khˆng dung. “Biˆ e . ye o ¯´ e . lai m` thˆi”. V` vˆy, b`i to´n Cauchy tu.o.ng u.ng nhˆ t thiˆt d oi hoi ´ ´ e ¯` ’ ao ıa aa ´ a . .o.ng tr`nh d` u. t > t0 trong phu ı ¯ˆ a Tˆn tai Dia phu.o.ng -. . -. ` Dinh l´ y o 1.1 Gia su. f l` ´nh xa liˆn tuc t`. G sang Rn thoa m˜n -. ’’ ’ Dinh l´ y aa .e.u a .i moi t ∈ (a, b), x, y ∈ B (x ) := {x ∈ Rn : ¯η 0 `u c´c d iˆ a ¯e kiˆn sau v´ e o . . x − x0 ≤ η }:
  10. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 11 ≤ M1 ; f (t, x) (1.8) f (t, x) − f (t, y ) ≤ M2 x − y , (1.9) ` ´ trong d ´ M1 , M2 l` c´c h˘ ng sˆ khˆng phu thuˆc v`o t, x, y . Khi ¯o aa a oo oa . . ` n tai sˆ δ > 0 (δ = min{η/M1 , 1/M2 }) sao cho v´.i moi ´ d ´ tˆ . o ¯o o o . t0 ∈ (a, b), trong khoang (t0 − δ, t0 + δ ) ∩ (a, b) b`i to´n Cauchy ’ a a (1.7) c´ d ung mˆt nghiˆm x = φ(t) thoa m˜n φ(t) − x0 ≤ η . ’ o ¯´ o e a . . Ch´.ng minh. X´t phu.o.ng tr`nh t´ phˆn u e ı ıch a t x (t ) = x 0 + f (τ, x(τ ))dτ. (1.10) t0 Dˆ thˆ y r˘ ng su. tˆn tai nghiˆm liˆn tuc cua b`i to´n (1.7) tu.o.ng ˜aa e´` .` . ’aa o e e. . .o.ng v´.i su. tˆn tai nghiˆm cua phu.o.ng tr`nh t´ch phˆn trˆn. o .` ’ d ¯u o. e ı ı a e . ` m c´c anh xa liˆn tuc t`. X´t khˆng gian C ([t0 − δ1 , t0 + δ1], R ) gˆ n e o o a´ .e .u [t0 − δ1, t0 + δ1] v`o Rn (δ1 < δ ) v´.i chuˆ n f = supt f (t) , v` h`nh ’ a o a aı cˆu d ong Sη (x0 ) := {u ∈ C ([t0 − δ1 , t0 + δ1 ], R ) : supt u(t) − x0 ≤ n ` ¯´ a η }. X´t to´n tu. a’ e t [Sx(·)](t) := y (t) = x0 + ∀x(·) ∈ Sη (x0). (1.11) f (τ, x(τ ))dτ, t0 Ta s˜ ch´.ng minh S l` to´n tu. t´c d ong trong Sη (x0 ). Thˆt vˆy, anh a a ’ a ¯ˆ eu aa´ . .. xa y (·) liˆn tuc v` f liˆn tuc theo t, thoa m˜n d iˆu kiˆn Lipschitz a ¯` ’ e.ı e. e e . . theo x. Ho.n n˜.a, u t y (t ) − x 0 sup = sup f (τ, x(τ ))dτ |t−t0 |≤δ1 |t−t0 |≤δ1 t0 ≤ M1 δ1 ≤ η. Ngo`i ra, a t S u − Sv f (τ, u(τ )) − f (τ, v (τ ))dτ = sup |t−t0 |≤δ1 t0 ≤ δ1M2 u − v , ∀u, v ∈ Sη (x0). (1.12) V` δ1 < δ nˆn δ1M2 < 1, v` do d o S l` anh xa co trong khˆng ı e a ¯´ a´ o . ’m bˆ t d ong Banach, gian mˆtric d` y d ’ Sη (x0 ). Theo nguyˆn l´ d e ´. e ¯ˆ ¯u a e y ¯iˆ a ¯ˆ trong Sη (x0) tˆn tai duy nhˆ t mˆt d e’m bˆ t d ong x(·) cua to´n tu. `. ´ o ¯iˆ ´. ’ a’ o a a ¯ˆ . .o.ng tr`nh t´ phˆn (1.10). Dinh l´ -o ı -. ’ S . D´ ch´nh l` nghiˆm cua phu a e ı ıch a y . .o.c ch´.ng minh. d. ¯u u
  11. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 12 y eo a -. y` Dinh l´ Tˆn tai To`n cuc o a . . Trong d .nh l´ tˆn tai d .a phu.o.ng ch´ng ta chı kh˘ng d .nh su. tˆn ’ y ` . ¯i .` ’a ¯i o u ¯i o tai nghiˆm x(·) trong mˆt lˆn cˆn cu ’ a t0. N´i chung khˆng suy ra e oa a o o . . . . d .o.c su. tˆn tai trˆn to`n khoang (a, b). Dˆ minh hoa d iˆu n`y, ta - e’ ¯u . . ` . e ¯` ’ o a ea . x´t v´ du sau: eı. V´ du 1.2 X´t phu.o.ng tr`nh ı. e ı dx = x2 , t ∈ R, x ∈ R. (1.13) dt Trong tru.`.ng ho.p n`y r˜ r`ng a = −∞, b = +∞ v` ∀C ∈ R h`m o a oa a a . sˆ x(t) = C1 t l` nghiˆm. Ch˘ng han x´t b`i to´n Cauchy kˆt ho.p ’ ´ ´ o a e a eaa e. . . − v´.i phu.o.ng tr`nh trˆn v´.i x0 = 1, t0 = 0. Khi d o x(t) = 1−t l` 1 o ı eo ¯´ a .o.ng) cua b`i to´n n`y. R˜ r`ng r˘ ng nghiˆm n`y ` ’aaa nghiˆm (d .a phu e ¯i oa a e a . . ’ th´c triˆ n ra to`n truc d .o.c, ch˘ng han khˆng thˆ qua ’ ’ ’ khˆng thˆ a o e e a . ¯u . a o e . d e’m t = 1. Nguyˆn nhˆn cua hiˆn tu.o.ng trˆn l` v` nghiˆm bi “nˆ ’ a’ ¯iˆ e e e aı e .o . . . .a ” (ra vˆ han) khi t tiˆm cˆn d e n 1. Nˆu thˆm mˆt sˆ d ` u kiˆn n˜ ´ ´ .´e o. e a ¯ˆ e e o o ¯iˆ eu . . . ’ ch´.ng minh d u.o.c su. tˆn tai nghiˆm trˆn to`n `. ch´ng ta s˜ c´ thˆ u u eo e ¯. .o e e a . cuc. . Dinh l´ 1.2 Gia su. f : (a, b) × Rn → Rn liˆn tuc v` thoa m˜n -. ’’ e.a’ y a a ¯` ¯` c´c d iˆu kiˆn sau (d iˆu kiˆn Lipschitz): e e e e . . ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ (a, b); x ∈ Rn (1.14) f (t, x) f (t, x) − f (t, y ) ≤ M2 x − y , ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ Rn . (1.15) Khi d ´ v´.i bˆ t k` d iˆ m x0 ∈ Rn , t0 ∈ (a, b) tˆn tai duy nhˆ t mˆt ’ ´ `. ´o ¯o o a y ¯ e o a . nghiˆm x = φ(t) cua b`i to´n Cauchy kˆt ho.p v´.i phu.o.ng tr`nh ´ ’a e a e. o ı . ’ (1.6) trˆn to`n khoang (a, b). e a Ch´.ng minh. Tru.´.c hˆt x´t tru.`.ng ho.p −∞ < a < b < ∞. ´ u oee o . X´t khˆng gian h`m Y := C ((a, b), Rn) gˆm c´c anh xa liˆn tuc v` ` e o a o a´ .e . a .i nˆi t`. (a, b) v`o Rn . Trong Y x´t to´n tu. ’ gi´ o u o. a e a t ∀t ∈ (a, b); x(·) ∈ Y. (T x)(t) := y (t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ, t0 (1.16) Ta s˜ ch´.ng minh T thu.c su. l` mˆt to´n tu. t´c d ong trong Y . ’ a ¯ˆ eu ao a . . . . Thˆt vˆy, ta c´ bˆ t d ang th´.c sau: ´’ aa o a ¯˘ u .. y (t) ≤ x0 + {M1 + M2 x(·) }(b − a) sup (1.17) t∈(a,b)
  12. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 13 suy ra y (·) gi´.i nˆi. Ngo`i ra, oo a . t (T u)(t) − (T v )(t) ≤ f (τ, u(τ )) − f (τ, v (τ )) dτ t0 t ≤ M2 u(τ ) − v (τ ) dτ t0 ≤ M2 |t − t0 | u − v . (1.18) Tiˆp theo, gia su. t ≥ t0 ´ ’’ e t (T 2u)(t) − (T 2v )(t) ≤ M2 (T u)(τ ) − (T v )(τ ) dτ t0 t 2 ≤ M2 u − v (τ − t0)dτ t0 [M2 (t − t0)]2 u − v , ∀u, v ∈ Y. (1.19) = 2! Tu.o.ng tu. d oi v´.i t < t0, ta cuˆi c`ng thu d u.o.c ´ ´ . ¯ˆ o ou ¯. [M2 |t − t0|]2 (T 2u)(t) − (T 2v )(t) ≤ u−v , ∀t ∈ (a, b), u, v ∈ Y. 2! (1.20) Tiˆp tuc qu´ tr`nh d anh gi´ n`y ta thu d u.o.c ∀n ∈ N ´ e. aı ¯´ aa ¯. [M2 |t − t0|]n (T n u)(t) − (T n v )(t) ≤ u−v , t ∈ (a, b), u, v ∈ Y. n! (1.21) .u han, c`n d˜y [M2 |t−t0 |]n → 0 khi n → ∞, v´.i n d ’ l´.n Do a, b h˜u oa o 0 ¯u o . n! T n0 s˜ l` to´n tu. co trong khˆng gian Y . Do d o tˆn tai duy nhˆ t ¯´ ` . ´ ea a ’ o o a ’m bˆ t d ong cua to´n tu. T n0 . Dˆ d`ng suy ra d u.o.c d e’m ˜a ´. ’ a’ mˆt d e o ¯iˆ a ¯ˆ e ¯ . ¯iˆ . bˆ t d ong n`y c˜ng l` d iˆ m bˆ t d ong duy nhˆ t cua T . Nhu. vˆy a ¯ e’ ´. ´. ´ a’ a ¯ˆ au a ¯ˆ a . .ng minh v´.i tru.`.ng ho.p a, b h˜.u han d a kˆt th´c. ´ ph´p ch´ e u o o u ¯˜ e u . . Tru.`.ng ho.p a ho˘c b vˆ han. Theo kˆt qua d a ch´.ng minh o. ´ ’ ¯˜ u ’ o a o. e . . .i moi a , b hu.u han sao cho a < a < b < b trˆn khoang ’ trˆn th` v´ e ıo ˜ e . . o`.a ´ (a , b ) luˆn tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm. Vˆy th` b`i to´n Cauchy o a e a ıa a . . kˆt ho.p v´.i (1.6) luˆn c´ nghiˆm duy nhˆ t trˆn (a , b ). Dˆ thˆ y˜a ´ ´e e´ e. o oo e a . .o.c ra vˆ han v` a , b tuy y . Ph´p a o e’ a e’ ¯u nghiˆm n`y c´ thˆ th´c triˆ n d . e o. ı `´ e . .ng minh d inh l´ kˆt th´c. ´ ch´u ¯. ye u Diˆu kiˆn Lipschitz (1.15) l` rˆ t quan trong. V´ du du.´.i d ay -` ´ e e aa ı. o ¯ˆ . . .ng to d ` u d o ’ ¯iˆ ¯´ ch´ u e
  13. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 14 y eo a V´ du 1.3 X´t phu.o.ng tr`nh ı. e ı dx = x2/3 , x ∈ R. (1.22) dt Gˆn d e’m t0 = 0, x0 = 0 ta c´ hai nghiˆm, x(t) ≡ 0 v` x(t) = t3. ` ¯iˆ a o e a . Nhu. vˆy t´nh duy nhˆ t nghiˆm bi ph´ v˜. . Nguyˆn nhˆn l` gˆn 0, ´ a a` aı a e ao e a . . . ´’ a ¯` ’ vˆ phai khˆng thoa m˜n d iˆu kiˆn Lipschitz. e o e e . -. 1.1.3. Dinh l´ Peano y Muc n`y s˜ tr` b`y mˆt d .nh l´ cˆ d e’n vˆ su. tˆn tai (n´i ’ y o ¯iˆ ` . ` a e ınh a o ¯i e o. o . . .`.ng ho.p vˆ phai phu.o.ng ´ ´’ chung khˆng duy nhˆ t) nghiˆm trong tru o o a e e . . a ¯` ’ tr`nh khˆng thoa m˜n d iˆu kiˆn Lipschitz. ı o e e . Dinh l´ 1.3 (D. nh l´ Peano) Gia su. f : G := [t0, t0 + a] × -. -i ’’ y y ¯ (b; y0) ⊂ R × Rn → Rn l` ´nh xa liˆn tuc v´.i B aa .e. o f (t, x) ≤ M ; sup α := min(a, b/M ). (t,x)∈G Khi d ´ B`i to´n Cauchy liˆn kˆt v´.i phu.o.ng tr`nh (1.6) c´ trˆn ´ ¯o a a eeo ı oe ´t mˆt nghiˆm x = x(t). d oan [t0, t0 + α] ´ nhˆ ¯. ıt a o e . . Ch´.ng minh. Ta chon δ > 0 v` k´ hiˆu y0 (t) l` anh xa l´.p C 1 u ay e a´ .o . . . d n [t − δ, t ] v`o Rn thoa m˜n c´c d ` u kiˆn: ’ t` ¯oa u a a a ¯iˆ e e . 0 0 . y 0 (t 0 ) = x0 , y 0 (t ) = f (t 0 , x 0 ) ≤ y 0 (t ) M, y 0 (t ) − x 0 ≤ b. Ta d .nh ngh˜a trˆn d . n [t0 − δ, t0 + α] ´nh xa yε (t), 0 < ε ≤ δ b˘ ng ` ¯i ı e ¯oa a a . c´ch d at yε (t) := y0(t) trˆn d . n [t0 − δ, t0] v` a ¯˘ e ¯oa a . t f (s, yε (s − ε))ds, y ε (t ) = y 0 + (1.23) t0 trˆn d . n [t0, t0 + α]. B˘ ng cˆng th´.c n`y y0(·) d .o.c th´c triˆ n lˆn e’ e ` e ¯oa a o ua ¯u . a 1 [t0, t0 + α1], trong d o α1 := min(α, ε), sao cho yε ∈ C trˆn d . n ¯´ e ¯oa [t0 − δ, t0 + α1 ], v` trˆn d o a e ¯´ yε (t) − x0 ≤ b. (1.24)
  14. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 15 Cˆng th´.c (1.23) s˜ d .o.c d`ng d e’ th´c triˆ n anh xa yε lˆn d . n e’ ´ o u e ¯u . u ¯ˆ a e ¯oa . . tiˆp tuc qu´ tr`nh [t0 − δ, t0 + α2 ], trong d o α2 := min(α, 2ε). C´ e . u´ ¯´ aı ’n d .o.c ´nh xa yε lˆn d . n [t0 − δ, t0 + α] sao cho n`y ta s˜ th´c triˆ ¯u . a a ea e e ¯oa . n´ luˆn thuˆc l´.p C 1. oo oo . V` yε (t) ≤ M , ho c´c anh xa yε , 0 < ε ≤ δ , l` ho c´c anh xa ı .a´ a.a´ . . ` u d` ng bˆc, gi´.i nˆi d` u. Thˆ th` theo Dinh l´ Arcela- -. ´ı liˆn tuc d e ¯ˆ e . ¯ˆ o a o o ¯ˆ .e e y . Ascoli t`m d .o.c mˆt d˜y c´c sˆ {εn }∞ : εn ↓ 0 sao cho ´ ı ¯u . oaao . n=1 y (t) = lim yεn (t) (1.25) n→∞ hˆi tu d` u trˆn [t0 − δ, t0 + α]. T`. d o suy ra c´c kˆt luˆn sau d ay: ´a o . ¯ˆ e e u ¯´ ae ¯ˆ . . d˜y f (t, yεn (t − εn )) hˆi tu d` u t´.i f (t, y (t)) khi n → ∞. Vˆy th` a o . ¯ˆ o e a ı . . .i han trong (1.23) s˜ cho ta nghiˆm y (t) cua b`i to´n Cauchy ’aa qua gi´ . o e e . .i c´c d ` u kiˆn ban d` u y (t ) = x . v´ a ¯iˆ o e e ¯ˆa . 0 0 ’ -. ’ ’ Mˆt hˆ qua quan trong cua Dinh l´ Peano l` kh˘ng d .ng sau: oe y a a ¯i .. . Hˆ qua 1.1 Gia su. f : G ⊂ R × Rn → Rn liˆn tuc, trong d ´ G ’ ’’ e e. ¯o . . ch´.a mˆt tˆp con compact K . Khi d ´ tˆn tai h˘ ng sˆ ` ¯o ` . a ´ ’ l` tˆp mo u aa oa o o . .. α > 0 chı phu thuˆc v`o G, K, M sao cho nˆu (t0, x0) ∈ K th` b`i ´ ’. oa e ıa . to´n Cauchy liˆn kˆt v´.i (1.6) l` giai d u.o.c v` mˆi nghiˆm cua n´ ˜ ´ a ’¯. a o ’o a eeo e . x´c d. nh trˆn d oan |t − t0| ≤ α. a ¯i e ¯. Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, ta chon chuˆ n (t, x) ∈ R × Rn nhu. ’ u aa a . . . sau: (t, x) := max{|t|, x }, c´ ngh˜a l` h`nh cˆu mo. l` h`nh hˆp ` ’aı o ıaı a o . .. Khˆng mˆ t tˆ ng qu´t c´ thˆ coi G l` tˆp mo. gi´.i nˆi. Nˆu d at ´’ a o e’ ´. ’ ’oo mo o ao aa e ¯˘ . . ae ’ a := dist(K, ∂G), trong d o ∂G l` biˆn cua G, th` α := min(a, a/M ). ¯´ ı V` K compact nˆn a luˆn tˆn tai h˜.u han. o`.u ı e o . -. ’ y` 1.1.4. Dinh l´ vˆ th´c triˆ n nghiˆm ea e e . Nhu. ch´ng ta d a thˆ y o. muc tru.´.c, su. tˆn tai nghiˆm cua b`i ´ .` . ¯˜ a ’ . ’a u o o e . .o.ng. Gia su. ta d ang o e’ ’ a ¯i ’’ to´n Cauchy n´i chung c´ thˆ chı l` d .a phu a o ¯ .o.ng tr`nh vi phˆn x´t phu e ı a dx = f (t, x), x ∈ Rn (1.26) dt trong d o f : G ⊂ R × Rn → Rn liˆn tuc, G mo., v` x(·) l` mˆt ’a ¯´ e. ao . nghiˆm x´c d .nh trong lˆn cˆn cua t0 ∈ R. Cˆu hoi d at ra l` khi ’ ’ ¯˘ e a ¯i aa a a . . . n`o x(·) c´ thˆ th´c triˆ n d .o.c lˆn khoang l´.n ho.n n˜.a. V` G l` o e’ a e’ ¯u . e ’ a o u ı a mˆt tˆp mo. trong R × Rn v` f liˆn tuc, nˆn theo Dinh l´ Peano -. ’ oa a e. e y .. nˆu x(·) x´c d .nh trˆn mˆt khoang J = [α, β ) hay J = (α, β ] th` c´ ´ ’ e a ¯i e o ıo . ’ th´c triˆ n x(·) qua d` u m´t α ho˘c β . Do d o, khˆng mˆ t tˆ ng ’ a’ ´o thˆ a e e ¯aˆ u a ¯´ o . . (α, β ) n`o d o. qu´t ta coi x(·) d a cho x´c d .nh trˆn khoang mo ’ ’ a ¯˜ a ¯i e a ¯´
  15. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 16 y eo a Dinh ngh˜ 1.1 Khoang mo. J d u.o.c goi l` khoang tˆn tai cu.c d ai -. ` . . ¯. ’ ’ ¯. . a ’ ıa o vˆ ph´ phai cua x(·) nˆu khˆng tˆn tai mˆt khoang mo. J = (α , β ) ` ıa ’ ’ ´ o`. ’ ’ e e o o . .i α ≤ α v` β < β trˆn d ´ x(·) c´ thˆ th´c triˆ n lˆn d u.o.c. Tu.o.ng ’a ’ e¯. v´ o a e ¯o oe e tu. d. nh ngh˜ khoang tˆn tai cu.c d ai vˆ ph´ tr´i. Khoang tˆn tai ` . . ¯. ` `. ’ ’ ¯i ıa o e ıa a o . .o.c goi l` cu.c d ai nˆu n´ l` cu.c d ai d` ng th`.i vˆ hai ph´ ´ o` d u . . a . ¯ . e o a . ¯ . ¯o ¯ ˆ e ıa. -. -` ’ e` a ¯ ’ ¯e ’ Dinh l´ 1.4 Diˆu kiˆn cˆn v` d u dˆ J = [α, β ) cua nghiˆm y e a e . . .c d ai vˆ bˆn phai l` tˆn tai gi´.i han x(·) cua (1.26) khˆng l` cu ¯ . ` e ’ a` . ’ o a. e o o. limt↑β x(t) = η v` (β, η ) ∈ G. a Ch´.ng minh. Cˆn. R˜ r`ng. ` u a oa Du : Nˆu tˆn tai gi´.i han limt↑β x(t) = η v` (β, η ) ∈ G th` ta c´ -’ e`. ´o o. a ı o e’ a . - . ¯e’ a ¯i ’ ` `. thˆ ´p dung Dinh l´ Peano dˆ kh˘ng d .nh r˘ ng tˆn tai nghiˆm φ(t) y a o e. ’ ng I l` lˆn cˆn cua β cua phu.o.ng tr`nh (1.26) ’ ’ x´c d .nh trˆn khoa a ¯i e aa a ı . ´ sao cho φ(β ) = η . Thˆ th` eı x (t ), t
  16. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 17 dˆy chuyˆn C . Vˆy trong A phai tˆn tai phˆn tu. cu.c d . i. D´ ch´ ` ’ . ¯a - o ınh ` ’` . a e a o a . .ng minh. l` d ` u phai ch´ ’ a ¯iˆ e u Tiˆp theo, ta gia su. r˘ ng (ω− , ω+ ) l` khoang tˆn tai cu.c d . i cua ` ´ ` . . ¯a ’ ’’a ’ e a o .ng minh r˘ ng x(t) khˆng thˆ bi ch´.a trong nghiˆm x(·). Ta s˜ ch´ e’ . u ` e eu a o . .i moi t d ’ gˆn v´.i ω . Thˆt vˆy, gia . ¯u ` o + ’ ’ mˆt tˆp compact con cua G v´ oa o a aa .. .. . ngu.o.c lai tˆn tai compact K ⊂ G d e’ (t, x(t)) ∈ K, ∀t ∈ [δ, ω ). . .` . ’ su o ¯ˆ + . vˆy th` c´ thˆ tr´ch ra mˆt d˜y con (t , x(t )), k ∈ N, t → ’ı Nhu a ıo e oa . . k k k ω+ hˆi tu t´.i mˆt d e’m (ω− , η ) ∈ K . Ta ch´.ng minh gi´.i han o.o o ¯iˆ u o. . . -. ˜ limt→ω+ x(t) = η v` khi d o theo Dinh l´ trˆn suy ra mˆu thuˆn. a ¯´ ye a a Thˆt vˆy, goi aa .. . N := sup f (t, x) (t,x)∈K Do t´nh liˆn tuc cua f sˆ N thu.c su. h˜.u han. Ta c´ ´ ’ ı e. o . .u o . x (t ) − x (t k ) ≤ x (ξ ) | t − t k | sup ˙ (1.27) ξ ∈(δ,ω+) f (ξ, x(ξ )) |t − tk | = sup (1.28) ξ ∈(δ,ω+) ≤ N |t − t k | (1.29) v´.i moi t, tk ∈ [δ, ω+ ). Dˆ d`ng ch´.ng minh d u.o.c theo tiˆu chuˆ n ’ ˜a o e u ¯. e a . ` ` . aa Cauchy th` limt→ω+ x(t) tˆn tai v` b˘ ng η . ı o .. ’ ´ PHU O NG TR` INH TUYEN T´ ˆ ˆ ´ 1.2. INH TONG QUAT Hˆ phu.o.ng tr` bˆc nhˆt ´ 1.2.1. e ınh a a . . Trong muc n`y ta luˆn gia thiˆt r˘ ng A : (a, b) → Rn×n v` f : ´` ’ a o ea a . n×n (a, b) → R l` c´c anh xa liˆn tuc, trong d o R n aa´ .e . ¯´ k´ hiˆu khˆng ye o . gian tˆ t ca c´c ma trˆn n × n v´.i chuˆ n ’ ´ a ’a a o a . ∀B ∈ Rn×n . B := sup B x , x ≤1 X´t phu.o.ng tr`nh vi phˆn e ı a dx = A (t )x + f (t ), x ∈ R n . (1.30) dt Phu.o.ng tr`nh (1.30) d u.o.c goi l` phu.o.ng tr`nh vi phˆn tuyˆn t´ ´ ı ¯. .a ı a e ınh .o.ng tr`nh sau d ay d u.o.c goi l` phu.o.ng tr`nh ` ´ khˆng thuˆn nhˆ t. Phu o a a ı ¯ˆ ¯ . . a ı ´n t´ thuˆn nhˆ t ` ´ vi phˆn tuyˆ ınh a e a a
  17. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 18 y eo a dx x ∈ Rn . = A(t)x, (1.31) dt Ap dung Dinh l´ tˆn tai duy nhˆ t nghiˆm to`n cuc cho phu.o.ng ´ -. y` ´ o. a e a . . . .o.c: tr`nh (1.30) ta s˜ d . ı e ¯u Dinh l´ 1.6 Gia su. A, f liˆn tuc trˆn (a, b) th` v´.i moi t0 ∈ -. ’’ y e. e ıo . (a, b), x0 ∈ Rn b`i to´n Cauchy aa x = A (t )x + f (t ) ˙ (1.32) x (t 0 ) = x 0 ´o ’ c´ duy nhˆ t mˆt nghiˆm x´c d. nh trˆn to`n khoang (a, b). o a e a ¯i e a . . Ch´.ng minh. Lˆ y [α, β ] ⊂ (a, b) bˆ t k` . Khi d o do A, f liˆn ´ ´ u a ay ¯´ e .o.ng sau l` tˆn tai v` h˜.u han ` . au tuc, c´c d . i lu . a ¯a ao . . max A(t) , max f (t) . α≤t≤β α≤t≤β Vˆy trˆn [α, β ] ´nh xa F (t, x) := A(t)x + f (t) thoa m˜n c´c d ` u ’ a e a a a ¯iˆ e . . e ’ -. y` . ´ kiˆn cua Dinh l´ tˆn tai duy nhˆ t nghiˆm to`n cuc. Do d o b`i to´n o a e a. ¯´ a a . . a e ¯´ ’ o ¯´ Cauchy (1.32) s˜ c´ nghiˆm trˆn to`n [α, β ] v` trˆn d o chı c´ dung eo e e a . mˆt nghiˆm n`y. Do t´nh t`y y cua α, β nˆn ta c´ thˆ “mo. rˆng” o e’ u´’ ’o o e a ı e . . . . rˆng d oan [α, β ]. Dinh l´ -. ` ’. nghiˆm n`y lˆn to`n (a, b) b˘ ng c´ch mo o ¯ . e ae a a a y . .o.c ch´.ng minh. d. ¯u u Nhˆn x´t 1.1 T`. D. nh l´ trˆn ta thˆ y d oi v´.i phu.o.ng tr`nh tuyˆn u-i ´´ ´ a e ye a ¯ˆ o ı e . ’ ´ ınh o e ’ o ¯e ’ t´ c´ thˆ chı n´i dˆn nghiˆm x´c d. nh trˆn to`n khoang (a, b). e a ¯i e a . .´.i d ˆy ch´ng ta quy u.´.c khi n´i vˆ nghiˆm cua phu.o.ng tr`nh ` ’ Du o ¯a u o oe e ı . tuyˆn t´ t´.c l` n´i vˆ c´c nghiˆm x´c d. nh trˆn khoang cu.c d ai e ınh u a o ` a ´ ’ e e a ¯i e . ¯. . - . nh l´ trˆn thoa m˜n. e a ¯` ´ ’ ’ (a, b) nˆu c´c d iˆu kiˆn cua Di e e ye a . Phu.o.ng tr` ´ ` ´ ınh vi phˆn tuyˆn t´ thuˆn nhˆt a e ınh a a Bˆy gi`. ch´ng ta nghiˆn c´.u c´c t´nh chˆ t cua c´c nghiˆm phu.o.ng ´ a’a a ou euaı e . ` ´ tr`nh thuˆn nhˆ t. ı a a Dinh l´ 1.7 Gia su. A liˆn tuc. Khi d o tˆp ho.p tˆ t ca c´c nghiˆm -. ´ ’’ ¯´ a . a ’ a y e. e . . ’ a phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t lˆp nˆn mˆt khˆng gian tuyˆn t´ n ` ´a e ´ ınh cu ı a a. o o e . chiˆu trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R. ` ´ e e o o. Ch´.ng minh. Goi N l` tˆp ho.p tˆ t ca c´c nghiˆm cua phu.o.ng ´ . a ’a ’ u aa e . . . . φ, ψ ∈ N , α, β ∈ R. Khi d o ’’ tr`nh (1.31). Gia su ı ¯´
  18. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 19 ˙ αφ(t) = αA(t)φ(t) = A(t)αφ(t) ˙ (t ) = βψ βA(t)ψ (t) = A(t)βψ (t). Do d o h`m η (t) := αφ(t) + βψ (t) s˜ l` nghiˆm cua phu.o.ng ’ ¯´ a ea e. .c l` N l` khˆng gian tuyˆn t´ trˆn tru.`.ng ` ´ ´ tr`nh thuˆn nhˆ t, t´ a ı a au ao e ınh e o .c R. Bˆy gi`. ta ch´.ng minh kh˘ng d inh sau: Nˆu φ ∈ ’ ´. ´ sˆ thu o a o u a ¯. e k N , k = 1, · · · , m l` hˆ m nghiˆm cua (1.31). Khi d ´ hˆ n`y d ˆc ’ ae e ¯o e a ¯o . . . . lˆp tuyˆn t´ khi v` chı khi tˆn tai t0 ∈ (a, b) sao cho hˆ c´c ´ `. a’ a e ınh o ea . . vecto. φk (t0), ∈ Rn , k = 1, · · · , m l` d ˆc lˆp trong Rn . Thˆt vˆy, nˆu ´ a ¯o a aa e .. .. . phu thuˆc tuyˆn t´ trong N , φk , k = 1, · · · , m l` hˆ c´c v´c to ´ aea e o e ınh . . . . d nh ngh˜a suy ra v´.i moi t ∈ (a, b) hˆ c´c v´c to. th` r˜ r`ng t` ¯i ıoa u. ı o ea e .0 . . phu thuˆc tuyˆn t´nh trong φk (t0 ), k = 1, · · · , m l` hˆ c´c v´c to ´ı aea e o e . . . Rn . Ta ch´.ng minh d iˆu kiˆn d ’ b˘ ng c´ch chı ra r˘ ng nˆu tˆn tai ` ` ¯` e`. ´o ’ u e e ¯u a a a . t0 ∈ (a, b) v` c´c sˆ αk , k = 1, · · · , m khˆng d` ng nhˆ t b˘ ` ng khˆng ´ ´ aa o o ¯o ˆ aa o sao cho m αk φ(t0) = 0 th` m αk φ = 0. Nhu.ng d iˆu n`y suy ¯` ı k=1 ea k=1 ra t`. d .nh l´ tˆn tai duy nhˆ t b˘ ng c´ch x´t b`i to´n Cauchy kˆt ´` y` . ´ u ¯i o aa a eaa e .p v´.i (1.31), tu.o.ng u.ng v´.i c´c d ` u kiˆn ban d` u t , x = 0. T`. ho o ´ o a ¯iˆ e e ¯a 0 0 ˆ u . . kh˘ng d .nh trˆn n´i riˆng suy ra r˘ ng dimN = n. ’ ` a ¯i eoe a Dinh ngh˜ 1.2 Gia su. {φk , k = 1, · · · , n} l` hˆ n nghiˆm d oc lˆp -. ’’ ıa ae e ¯ˆ a . . .. .o.ng tr`nh (1.31). Khi d ´ ma trˆn vuˆng c´ c´c ´ e ınh ’ tuyˆn t´ cua phu ı ¯o a o oa . .i c´c v´c to. φ cua Rn d u.o.c goi l` mˆt ma trˆn co. ban oa ’ ’ ’ cˆt lˆp bo a e ¯. .ao a .. . . k cua phu.o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t (1.31). ` ´ ’ ı o a a Dˆ d`ng thˆ y r˘ ng ma trˆn co. ban X (t) bˆ t k` thoa m˜n phu.o.ng ˜a a` ´a ´ ’ ay’ e a a . n×n tr`nh vi phˆn sau d ay trong khˆng gian R ı a ¯ˆ o dY Y ∈ Rn×n . = A (t )Y (t ), (1.33) dt Ngu.o.c lai mˆt nghiˆm bˆ t k` Y (t) cua phu.o.ng tr`nh ma trˆn (1.33) ´ ’ ..o e ay ı a . . . .ng v´.i mˆt hˆ n nghiˆm cua (1.31). Dˆ Y (t) l` ma trˆn co. ban th` - e’ ’ ’ u ´ ooe e a a ı .. . . . ban. o e’ o ` d ` u kiˆn cˆn v` d ’ l` detY (t) = 0. C´ thˆ c´ nhiˆu ma trˆn co ’ e ` a ¯u a ¯iˆe .a e a . . ban sau d ay (X (t, s)) ¯u. .. ’ Ch´ng ta s˜ x´t ho c´c ma trˆn co u ee .a a ¯ˆ t,s∈(a,b) d o c . . sau: X (t, s) = X (t)X −1 (s), trong d o X (t) l` mˆt d .nh ngh˜a nhu ¯i ı ¯´ ao . . ban n`o d o. Ta s˜ ch´.ng minh r˘ ng ho (X (t, s)) ` ma trˆn co ’ a a ¯´ eu a . . t,s∈(a,b) khˆng phu thuˆc v`o ma trˆn co. ban X (t) b˘ ng c´ch ch´.ng minh ` ’ o oa a a a u . . . mˆnh d` sau: e ¯ˆ e . Mˆnh d` 1.1 Ma trˆn Y (t) := X (t, s) l` nghiˆm cua b`i to´n ’a e ¯ˆ e a a e a . . . Cauchy
  19. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ 20 y eo a ˙ Y = A (t )Y (1.34) Y (s) = I. Nhu. d a nhˆn x´t o. trˆn Y (t) l` mˆt nghiˆm cua (1.33). R˜ r`ng ¯˜ a e ’ e ’ ao e oa . . . −1 Y (s) = X (s, s) = X (s)X (s) = I . Dinh ngh˜ 1.3 Ho c´c ma trˆn (X (t, s))t,s∈(a,b) d u.o.c goi l` c´c -. ıa .a a ¯. . aa . .i phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t (1.31). ´ ` ´ ma trˆn Cauchy liˆn kˆt v´ a eeo ı a a . T`. d .nh ngh˜a v` lˆp luˆn o. trˆn ta c´ a’ e u ¯i ı aa o . . Mˆnh d` 1.2 Tˆn tai duy nhˆ t ho hai tham sˆ c´c ma trˆn ` ´ ´ e ¯ˆ e o. a. oa a . . ´n (X (t, s))t,s∈(a,b) liˆn kˆt v´.i phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t ´o ` ´ khˆng suy biˆ o e ee ı a a a a ¯` ’ (1.31) thoa m˜n c´c d iˆu kiˆn sau: e e . 1. X (t, t) = I , ∀t ∈ (a, b); ∀t, s, r; 2. X (t, s)X (s, r) = X (t, r), 3. Mˆt nghiˆm x(t) bˆ t k` cua phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t (1.31) ´ ` ´ ay’ o e ı a a . . ’ thoa m˜n a x(t) = X (t, t0)x(t0), ∀t, t0 ∈ (a, b). Cˆng th´.c Liouville o u Gia su. X (t) l` ma trˆn lˆp bo.i hˆ n nghiˆm bˆ t k`. Trong ch´.ng ´ ’’ aa ’e a e ay u .. . . .ng minh d u.o.c r˘ ng detX (t) = 0 ∀t ∈ (a, b) khi ` minh trˆn ta d a ch´ e ¯˜ u ¯. a v` chı khi tˆn tai t0 ∈ (a, b) sao cho detX (t0 ) = 0. Thu.c ra kh˘ng’ `. a’ o a . ’ l`m manh lˆn nhiˆu b˘ ng d .nh l´ sau: ` ` d .nh n`y c´ thˆ a ¯i aoe e ea ¯i y . Dinh l´ 1.8 (Cˆng th´.c Liouville) Gia su. {φ1, · · · , φn } l` hˆ n -. ’’ y o u ae . ’ a (1.31). Khi d ´ ma trˆn X (t) c´ c´c cˆt l` c´c v´c to. nghiˆm cu e ¯o a oa oaa e . . . φ1(t), · · · , φn (t) thoa m˜n ’ a t n ajj (ξ )dξ j =1 t0 detX (t) = detX (t0)e , (1.35) trong d ´ A(t) = (aij (t)), t0 ∈ (a, b). ¯o Ch´.ng minh. Gia su. φk (t) = (φ1k (t), · · · , φnk ) v` Xik l` phˆn a` ’’ u a a ´ cua phˆn tu. φik trong khai triˆ n d .nh th´.c detX (t) theo ’ ¯i ` b` d . i sˆ ’ a’ u ¯a o e u cˆt th´. k . Khi d o theo t´nh chˆ t cua d .nh th´.c ta c´ ´ a ’ ¯i o u ¯´ ı u o . n detX (t) = Xik (t)φik (t) (1.36) i=1
  20. Chu.o.ng 1. L´ thuyˆt tˆ ng qu´t ´’ y eo a 21 vˆy a . ∂ detX = Xik . ∂φik Ta s˜ su. dung cˆng th´.c vi phˆn h`m ho.p sau: e’ . o u aa . m g (y1 (t), · · · , ym (t)) ∂ g (y1 (t), · · · , ym(t))yk (t). z (t) := ˙ = ˙ dt ∂yk k=1 R˜ r`ng det : Rn×n → Rn . Do d o oa ¯´ detX (t) det(φij (t)) = dt dt ∂det ˙ = φij (t) ∂φij i,j ˙ = Xij (t)φij (t) i,j n = Xij (t) aik (t)φkj (t) k=1 i,j n = aik (t) Xij (t)φkj (t). j =1 i,k Theo t´nh chˆ t cua d .nh th´.c ´ a ’ ¯i ı u n ´ detX (t), nˆu i = k e Xij (t)φkj (t) = ´u i = k = 0, nˆe j =1 Vˆy th` a ı . d ∀t ∈ (a, b). detX (t) = aii (t)detX (t), (1.37) dt i ˜a e´ ’ Dˆ thˆ y detX (t) thoa m˜n a ∀t ∈ (a, b) y(t) = i aii (t)y (t), ˙ . y (t0) = detX (t0) ´ ´ D`ng t´nh duy nhˆ t nghiˆm, ta thˆ y y (t) l` h`m sau u ı a e a aa . t aii (s)ds i t0 detX (t) = y (t) = detX (t0 )e .
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2