Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và thử Bernoulli vào giải quyết một số bài toán xác suất THPT

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh trung học phổ thông nói chung tiếp cận thêm một số phương pháp khác để giải quyết một số bài toán cơ bản và đặc biệt giúp cho việc giải quyết một số bài toán tổ hợp xác suất hay và khó một cách dễ dàng và chính xác hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và thử Bernoulli vào giải quyết một số bài toán xác suất THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KỲ SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: BỔ SUNG 3 QUY TẮC PHÂN HOẠCH VÀ PHÉP THỬ BERNOULLI VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT THPT MÔN : TOÁN LĨNH VỰC : DẠY HỌC TOÁN
Năm học: 2020 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KỲ SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: BỔ SUNG 3 QUY TẮC PHÂN HOẠCH VÀ PHÉP THỬ BERNOULLI VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT THPT MÔN : TOÁN TÁC GIẢ : NGUYỄN VIẾT LỰC TỔ : TOÁN TIN ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT KỲ SƠN SỐ ĐIỆN THOẠI : 0988972186 Năm học: 2020 2021
Mục lục
I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán. Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Từ năm học 20162017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn. Trong những năm gần đây, bản thân tôi nhận thấy nhu cầu học tập và tìm hiểu của học sinh về xác suất thống kê nói chung và tổ hợp xác suất đối với học sinh trung học phổ thông nói riêng. Xuất phát từ nhu cầu đó là một người giáo viên tôi muốn tìm hiểu và cung cấp thêm cho học sinh THPT những cái mới, cái khác để tăng thêm công cụ giải quyết bài toán. Với mong muốn đó tôi bắt đầu tìm tòi và học hỏi. Mặt khác, với chương trình mới mang tính chất mở cho phép các nhà trường thêm nội dung, chương trình chỉ cần đảm bảo được tính cốt lõi của nội dung, đảm bảo được kiến thức yêu cầu. Từ đó, trên mục đích bổ sung thêm cho học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh THPT nói chung, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và thử Bernoulli vào giải quyết một số bài toán xác suất THPT”. 2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào các kiến thức về tổ hợp và xác suất. Đặc biệt là một số quy tắc qua đó giải quyết một số bài toán. Và học sinh các lớp 11C3, 11C4, 11C5,11A1 5
2.2. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi đã nghiên cứu dựa trên các tài liệu về tổ hợp xác suất đặc biệt là 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli. Các dạng toán liên quan đến 3 quy tắc này thuộc vào nội dung kiến thức trung học phổ thông nói chung và kiến thức “Chương II: Tổ hợp Xác suất”, Đại số và Giải tích 11 nói riêng. 3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1. Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh trung học phổ thông nói chung tiếp cận thêm một số phương pháp khác để giải quyết một số bài toán cơ bản và đặc biệt giúp cho việc giải quyết một số bài toán tổ hợp xác suất hay và khó một cách dễ dàng và chính xác hơn. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết bài toán liên quan đến tổ hợp xác suất. Rồi từ đó đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học và đưa ra những giải pháp. Ghi chép tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy. 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiễn dạy học chủ đề Tổ hợp xác suất ta bắt gặp nhiều bài toán phức tạp cần phải tư duy hết sức khéo léo mới giảm được sự dài dòng và qua đó tăng độ chính xác khi làm toán dạng này. Ở chủ đề này thì lý thuyết cũng không khá nhiều nhưng ngược lại dạng bài tập “hóc búa” dễ gặp sai lầm lại không hề ít. Bản thân là một giáo viên dạy bộ môn toán, khi dạy chủ đề này cũng gặp rất nhiều khó khăn. Có những trường hợp học sinh làm bài sai, nhưng để chỉ ra lỗi sai cũng không hề đơn giản, bởi đó là vấn đề tư duy trong trứng nước, phải đặt mình vào vị thế chính các em để nhận ra. Bởi vì đặc thù chủ đề và các dạng toán tổ hợp xác suất nó như vậy nên tôi đã tìm tòi, hỏi hỏi và muốn cung cấp cho học sinh thêm “Ba quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” để học sinh có thêm công cụ giúp giải quyết một số dạng bài toán của chủ đề mà với công cụ sách giáo khoa thục sự là những thách thức. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục tiêu đề ra tôi xây dựng phương pháp như sau: Cung cấp kiến thức một cách đầy đủ và tỉ mỉ để học sinh nắm chắc được kiến thức. Sau đó cho học sinh ôn luyện các dạng bài tập để củng cố kiến thức. Khi học sinh đã nắm chắc kiến thức và làm được một lượng bài tập cơ bản của chương thì tôi cho học sinh kiểm tra một số dạng bài tập tôi hướng đến. Để nắm bắt được với công cụ sách giáo khoa thì học sinh sẽ giải quyết bài toán như thế nào? (tất nhiên những bài toán này là những bài toán thuộc chương trình của các em, sử dụng những kiến thức các em đã được học vẫn giải quyết 6
được). Sử dụng kết quả bài kiểm tra để nghiên cứu. Sau đó tôi cung cấp cho các em kiến thức “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” rồi cho học sinh khảo sát lại những bài toán trước đó. Quan sát và đánh giá. Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu thực tiễn Thực nghiệm sư phạm Thống kê toán học 6. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Học kì I năm học 2020 2021 7. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi áp dụng đề tài của mình và bước đầu đã thu được những kết quả khá khách quan, hầu như sau khi được cung cấp thêm “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” thì học sinh đã giải quyết nhanh và chính xác một số dạng bài tập mà trước đó còn gặp khó khăn như sai, dài dòng, hướng suy luận, ... Cũng qua đó kích thích được tinh thần học tập của học sinh khi học chủ đề này. Đề tài có thể sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và đặc biệt những bạn yêu thích chủ đề “Tổ hợp Xác suất”. 7
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 1.1. Cơ sở lý thuyết của đề tài Kiến thức cơ bản về tổ hợp xác suất + Quy tắc đếm: Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có cách thực hiện. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có cách hoàn thành công việc. + Số các hoán vị của n phần tử: + Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: + Số các tổ hợp chập k của n phần tử: + Tính chất của các số : + Tính chất của xác suất: là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: 2. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 2.1. Cung cấp 3 quy tắc phân hoạch 2.1.1. Quy tắc 1 a) Cung cấp công thức Xét bài toán phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt. Phân hoạch tập hợp A ra k nhóm, nhóm thứ có phần tử ( ). Khi đó số cách phân hoạch trên là: Quy tắc này có thể phát biểu dưới dạng khác như sau: Số cách phân phối n quả cầu phân biệt vào k hộp phân biệt sao cho hộp thứ i có quả là: . 8
b) Chứng minh quy tắc 1 Xét bài toán phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt. Phân hoạch tập hợp A ra k nhóm, nhóm thứ có phần tử (). Đầu tiên ta sẽ chọn phần tử của nhóm 1, ta có cách chọn. Sau khi chọn nhóm 1 thì còn lại phần tử, dẫn tới số cách chọn nhóm 2 sẽ là: . Cứ như vậy số cách chọn của nhóm thứ k sẽ là: 1 Do đó dễ có được số cách phân phối n quả cầu phân biệt vào k hộp phân biệt là: Vậy ta đã chứng minh được quy tắc 1. c) Bài toán minh họa Bài toán 1: Một tổ trực nhật gồm 10 bạn học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phân công trực nhật sao cho có 5 bạn làm trong lớp, 3 bạn làm hành lang, 2 bạn làm bồn hoa. Đây là một bài toán cơ bản nên khi khảo sát theo cách giải thông thường thì đa số học sinh đều làm đúng. Bài làm: Cách làm cơ bản: Chọn 5 người trực nhật trong lớp có: cách chọn. Với mỗi cách chọn 5 bạn trực nhật trong lớp ta có: cách chọn 3 bạn trực nhật hành lang và tiếp theo có cách chọn 2 bạn trực nhật bồn hoa. Vậy có tất cả 2520 cách phân công Với cách suy luận theo quy tắc phân hoạch 1: Số cách phân công chính là cách phân hoạch 10 phần tử thành 3 nhóm: Nhóm 1 có phần tử Nhóm 2 có phần tử Nhóm 3 có phần tử Vậy có tất cả: cách phân công. Ở bài toán này chúng ta chưa thấy được sự khó khăn và một số sai lầm khi học sinh giải toán, nhưng cũng có thể thấy rõ nếu áp dụng công thức thì học sinh có lẽ chỉ cần dưới 30 giây để có thể “chốt” ngay đáp án 2520. Đồng thời bài toán giúp học sinh hình thành khả năng lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. 9
Để làm rõ tính ứng dụng công thức, ta đến với bài toán thứ hai: Bài toán 2: Có 8 hành khách lên một đoàn tàu 8 toa, tính xác suất sao cho trong8 toa đó có 2 toa có 2 người, 4 toa mỗi toa 1 người và 2 toa trống. Ở bài toán này học sinh sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp va suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vẫn đề được đặt ra tuy nhiên rất nhiều học sinh mắc sai lầm, kể cả những học sinh khá giỏi. Sai lầm của các em thường gặp là ở cách sắp xếp người vào toa nhưng quên mất hoán vị của nó, hoặc có những bạn lại thừa đi. Trước hết tôi xin đưa ra những lời giải sai chủ yếu của các em học sinh: Lời giải 1: Ở lời giải này học sinh nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Khi còn lại 2 toa chúng ta cần chọn 2 người để cho vào một toa thì chỉ cần chọn 2 người trong 4 người là bài toán được giải quyết (dùng tổ hợp) nhưng bởi em nghĩ ở đây có thêm sự đổi vị trí giữa 2 toa nên em đã sử dụng chỉnh hợp dẫn đến lời giải sai và ở lời giải này nếu chúng ta chỉ lướt qua mà chưa biết trước được đáp án chính xác thì dễ mà giáo viên cũng cho rằng đây là một lời giải đúng. 10
Lời giải 2: Ở lời giải này học sinh mắc 2 lỗi sai. Một lỗi ở đầu bài và một lỗi nữa ở cuối bài. Tôi xin chỉ ra lỗi sai của học sinh ở đầu bài: Khi em học sinh chọn 2 người và xếp vào 1 trong 8 toa: rồi sau đó chọn 2 người tiếp theo và xếp vào một trong 7 toa: . Nếu làm như thế này thì mỗi cách sắp xếp người được tính 2 lần (giả sử ban đầu ta chọn được hai người A, B xếp vào toa 1, hai người C, D xếp vào toa 2. Một lần khác, ta chọn toa 2 và xếp hai người C, D, chọn toa 1 và xếp hai người A, B. Ta nhận thấy chỉ một cách sắp xếp mà em đó đã đếm 2 lần). Lỗi sai ở cuối bài: Chọn 4 người xếp vào 4 toa. Ở đây ta hình dung chọn sau đó sắp xếp thì phải dùng hoặc sử dụng tổ hợp nhưng sau đó phải nhân thêm hoán vị của 4. Lỗi sai ở đầu bài là một lỗi sai rất dễ gặp khi học sinh chọn cách sắp xếp như thế này. Để làm đúng theo tư duy sắp xếp thế này với cá nhân tôi nhận định thì phải là một người nắm rất rõ định nghĩa và mức độ tư duy cực cao thì mới tránh được sai sót ở đoạn đầu bài. Thú thực tôi là một giáo viên biết đáp án của bài toán rồi mà cũng phải đọc đi đọc lại rất nhiều lần mới tìm được lỗi sai này của học sinh. Ta đến với lời giải tiếp theo: 11
Lời giải 3: Ở lời giải này thì học sinh đã chọn cách để sắp xếp khá hợp lý. Và tôi rất đồng tình với cách sắp xếp này. Chỉ vì hơi vội vàng một chút nên em đã nhầm lẫn một chút ở chỗ chọn 2 người và 2 toa rồi sắp xếp. Khi chọn được 2 người và 2 toa thì chỉ có một cách sắp xếp nhưng ở đây khi chọn được 2 người và 2 toa rồi thì em học sinh đã nhìn nhận có thêm một hoán vị của 2 nữa (Nếu 2 người toa này một cách toa kia một cách nhưng thực tế khi em chọn 2 người và 2 toa thì đã có sự sắp xếp ở đây rồi). Còn sau đây tôi xin đưa ra một lời giải đúng của học sinh. Vẫn là cách sắp xếp hoàn toàn tương tự như các bạn học sinh khác. Nhưng em đã cẩn thận khi chia toa ra một cách rõ ràng tránh sai sót. Tôi đánh giá cao lời giải này: 12
Lời giải 4: Tất nhiên đây là một bài toán dễ sai sót nếu các em không hiểu một cách cặn kẽ. Với thực tế khảo sát tại lớp chọn của trường thì tôi thu được kết quả rất đáng e ngại. Số học sinh làm chính xác bài toán này là rất ít, chỉ chiếm khoảng 21% (chỉ được 7 học sinh trên tổng số 33 học sinh). Từ đó tôi đã áp dụng cách tư duy của quy tắc 1 này vào để giải quyết bài toán trên. Tôi đã cung cấp, chứng minh, lấy ví dụ mình họa cho các em. Khi dựa vào quy tắc này thì số lượng học sinh giải được, giải đúng bài toán này tăng lên vượt bậc. Với quy tắc này tôi xin trình bài lời giải cho bài toán: Đầu tiên ta sẽ phân hoạch toa trước. Ta có 8 toa ta phân hoạch thành 3 nhóm: Nhóm 1: Toa chứa 2 người có 2 toa (2 phần tử) Nhóm 2: Toa chứa 1 người có 4 toa (4 phần tử) Nhóm 3: Toa trống có 2 toa (2 phần tử) Từ đó ta có tất cả cách phân hoạch (cách sắp xếp toa) Hoàn toàn tương tự: Ta xếp 8 người vào 8 toa có nghĩa phân hoạch 8 người thành 8 nhóm và số lượng phần tử (người) mỗi nhóm như sau : Nhóm 1: 2 phần tử (2 người) Nhóm 2: 2 phần tử (2 người) Nhóm 3: 1 phần tử (1 người) Nhóm 4: 1 phần tử (1 người) Nhóm 5: 1 phần tử (1 người) Nhóm 6: 1 phần tử (1 người) Nhóm 7: 0 phần tử (0 người) 13
Nhóm 8: 0 phần tử (0 người) Bằng cách tư duy như vậy ta có tất cả cách phân hoạch (cách sắp xếp người) Bài toán được giải quyết khi phân hoạch toa rồi phân hoạch người thành các nhóm. Áp dụng quy tắc nhân, ta có cách sắp xếp. Số phần tử không gian mẫu: Xác suất đáp án sẽ là Ở lời giải này tôi trình bài chi tiết hết mức để thấy rõ cách tư duy. Đặc biệt khi cung cấp cho học sinh quy tắc 1 này và các ví dụ minh họa đơn giản thì kết quả thu được rất khả quan, ngay cả đối với những lớp bình thường như 11C3, 11C4, 11C5, 11A1, Cụ thể: Lớp 11C3 11C4 11C5 11A1 Số học sinh 21 21 20 28 làm được bài Sĩ số 32 32 32 33 Tỷ lệ 66% 66% 62,5% 85% Với kết quả này thì chúng ta nhận thấy việc cung cấp thêm quy tắc này cho học sinh là một việc rất thiết thực và ứng dụng rất cao vào việc giải dạng toán này. Đặc biệt nếu giải quyết một bài toán khó mà có lồng ghép cách sắp xếp tương tự như bài toán tổng quát của quy tắc 1 thì chúng ta sẽ tránh được những sai sót không đáng có như một số sai lầm của học sinh mà tôi đã nêu ở trên. Qua bài toán 2 và những lời giải mắc sai lầm của học sinh, học sinh lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, có phù hợp hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn để đưa đến lời giải đúng cho bài toán. Không chỉ vậy, học sinh còn thiết lập được cách thức và quy trình giải quyết các bài toán tương tự bài toán 2. Bài toán 3: Một em bé có 2 viên bi trắng và 4 viên bi đỏ để trong một cái hộp. Em rút từng viên một cho đến viên bi cuối cùng. Tính xác suất để viên bi cuối cùng mà em rút được là màu đỏ. Lời giải: Đầu tiên ta đếm số khả năng của không gian mẫu. Em rút từng bi một trong 2 bi trắng và 4 bi đỏ cho đến bi cuối cùng và bởi vì 2 bi trắng là giống nhau, 4 bi đỏ là giống nhau nên ta cũng xem như đây là việc phân hoạch tập hợp gồm 6 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 4 phần tử). Số phần tử không gian mẫu là: . Biến cố A là em rút từng bi một cho đến bi cuối cùng. 14
Để bi cuối cùng là bi đỏ có nghĩa còn lại 5 bi (2 bi trắng và 3 bi đỏ). Số phần tử của biến cố A chính là số cách phân hoạch 5 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 3 phần tử). Số phần tử biến cố A là: . Xác suất của biến cố A sẽ là: . Khi chuyển tiếp sang bài toán 3, học sinh thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt đối với bài toán 2. Ở bài toán này, học sinh đã lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết bài toán 3 một cách đúng đắn. d) Bài tập tự giải Bài 1. Một tổ công tác gồm 15 người đi kiểm tra việc thực thi công việc ở một nhà máy. Tổ công tác cần phân công công việc như sau: 4 người kiểm tra hồ sơ giấy tờ, 7 người kiểm tra máy móc trang thiết bị và 4 người kiểm tra lại việc kiểm tra của 11 người trên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công làm việc? Bài 2. Một đội cảnh sát gồm 8 người đuổi theo tội phạm thì gặp một khu nhà gồm 5 dãy nhà. Bởi số lượng cảnh sát ít nên đội trưởng đã đưa ra quyết định. Phải bỏ trống 2 dãy nhà, 3 dãy nhà còn lại được phân công như sau: 2 dãy có 3 người, 1 dãy có 2 người. Tính xác suất để tội phạm chạy trốn được (với giả thiết là dãy nhà nào có cảnh sát thì tội phạm sẽ bị bắt). 2.1.2. Quy tắc 2 a) Cung cấp công thức Xét bài toán phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau. Số cách phân hoạch là b) Chứng minh công thức Tưởng tượng k hộp đó đặt sát nhau và hai hộp cạnh nhau có một vách ngăn chung. Do có k hộp nên sẽ có vách ngăn chung. Ta hình dung n quả cầu và cách ngăn thì sẽ có tất cả vị trí. Do đó cách làm sẽ như sau: Chúng ta chọn trong tổng số vị trí để đặt cách vách ngăn sẽ có: cách. Tiếp theo chúng ta đặt n quả cầu vào n vị trí còn lại sẽ có một cách đặt bởi vì các quả cầu giống nhau. Vậy bài toán sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau thì sẽ có (cách sắp xếp) Ở quy tắc này, chứng minh quy tắc tổng quát chỉ sử dụng mấy dòng lý luận dựa trên định nghĩa. Thì chắc hẳn ai cũng sẽ nghĩ bài toán tổng quát mà đã như vậy thì bài toán phụ sẽ như thế nào? Nếu tôi cho các em học sinh tự tìm tòi chứng minh quy tắc này dựa vào những kiến thức mà các em đã được học thì chắc hẳn sẽ có bạn làm được. Nhưng cái hay của quy tắc này đó là khi chúng ta ra những bài toán cụ thể dựa trên cái tổng quát này thì khó học sinh nào có thể 15
tìm tòi và có phương án tối ưu cho bài giải của mình. Tôi có đưa ra 3 bài toán để khảo sát học sinh lớp chọn của trường. Ba bài toán được đưa ra yêu cầu học sinh phải xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin, sau đó là lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề, cuối cùng học sinh thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết các bài toán được đưa ra. Bài toán 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 quả cầu giống nhau vào 3 hộp khác nhau? Bài toán 2: Có bao nhiêu bộ 10 số tự nhiên có tổng bằng 31? Bài toán 3: Cho phương trình . Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm tự nhiên thỏa mãn ? Ở bài tập số 1, chủ yếu học sinh học sinh sử dụng cách phân chia trường hợp hoặc liệt kê 6 thành tổng 3 số tự nhiên. Với phương pháp này để giải quyết những bài toán số nhỏ (ít trường hợp) thì có thể sẽ khả quan. Tất nhiên học sinh cũng gặp phải không ít sai lầm khi tính toán. Và sau đây tôi xin đưa ra một số sai lầm của học sinh khi giải quyết bài toán này. Lời giải 1: Em sử dụng phương pháp giả sử số quả cầu trong 3 hộp 1,2,3 lần lượt là là không sai nhưng khi em sử dụng thêm điều kiện thì lời giải đã mắc phải sai lầm nghiêm trọng, bới từ đây không thể suy ra các kết quả cho các trường hợp khác. Điều này đã dẫn đến lỗi sai của toàn bài. 16
Lời giải 2: Học sinh đã thực hiện chia trường hợp rất chuẩn xác. Những trong mỗi trường hợp em lại tính số cách sắp xếp sai. Ví dụ trường hợp 1 hộp 4 và 2 hộp 1 thì e lại chỉ ra có 3! Cách sắp xếp. Em đã quên mất 2 hộp 1 mà trao đổi quả cầu cho nhau thì kết quả không thay đổi bới các quả cầu ở đây là giống nhau. Một số lời giải đúng: 17
Ở bài tập số 2, học sinh dường như đều không nhìn nhận được hướng đi tối ưu để giải quyết vấn đề. Có len lỏi một số hướng đi nhưng kết quả đạt được là không có. Do vậy, tôi rất mong muốn cung cấp cho các em học sinh một cách tỉ mỉ và rõ ràng quy tắc này để sau này gặp những dạng bài toán liên quan mặc dù có thể là chia kẹo, xếp bóng vào hộp, hay là tìm nghiệm của phương trình,… thì các em đều hiểu rõ bản chất để giải quyết. Còn trường hợp là bài toán trắc nghiệm thì học sinh chỉ cần nhớ công thức để áp dụng. Những bài toán ở trên hay nhưng biến thể khó hơn thì nếu các em nắm rõ bài toán này thì đều giải quyết dễ dàng. Ví dụ bài toán 2 “Nếu là tự luận thì chúng ta sẽ chứng minh lại công thức quy tắc 2 và áp dụng với thì chúng ta hoàn toàn giải quyết được bài toán.” Sử dụng quy tắc như một bổ đề. c) Áp dụng giải quyết bài toán Tìm số bộ k số không âm sao cho Ví dụ: Có bao nhiêu cách phân tích số 3 thành tổng của 2 số tự nhiên. Giải: Làm trực tiếp, tức là có bốn cách phân tích. Theo quy tắc trên ta có và có cách phân tích. Với một bộ số ta lại có một bài toán. Khi n,k càng lớn thì bài toán sẽ càng phức tạp nếu không nắm chắc quy tắc này. d) Bài tập tự luyện 18
Bài 1. Cho phương trình , a) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? b) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện , , , c) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện đều chẵn. d) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện e) Bất phương trình có mấy nghiệm không âm? Hướng dẫn: Đặt bằng hiệu Bài 2. Tung n con xúc xắc giống hệt nhau. Ký hiệu là số con xúc xắc xuất hiện chấm, . Mỗi kết quả ứng với bộ (). Hỏi có bao nhiêu bộ số như vậy? Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên sao cho . + Dạng toán này hoàn toàn có thể sử dụng để đưa vào trắc nghiệm một cách linh hoạt. Đối với học sinh trung bình yếu: Bài 1: Có bao nhiêu cách phân tích 4 thành tổng 2 số tự nhiên: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Đối với học sinh khá giỏi: Bài 2: Có bao nhiêu cách phân tích số 16 thành tổng của 4 số tự nhiên: A. 1820 B. 969 C. 4845 D. 3876 2.1.3. Quy tắc 3 a) Cung cấp công thức Xét bài toán phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau sao cho mỗi hộp chứa ít nhất một quả cầu. Tức là tìm số bộ số nguyên dương sao cho . Số cách phân hoạch là: b) Chứng minh công thức Nếu ta đặt k hộp sát bên nhau thì sẽ có tất cả vách ngăn chung. Và bởi vì để thỏa mãn điều kiện mỗi hộp có ít nhất một quả cầu nên ta hình dung theo cách khác. Bây giờ chúng ta sẽ đặt vách ngăn vào giữa các quả cầu. Bởi vì có n quả cầu nên sẽ có vị trí giữa các quả cầu. Do đó sẽ có tất cả cách sắp xếp (cách phân chia) Từ đây giải quyết được bài toán: Số cách viết số tự nhiên n thành tổng các số nguyên dương là . Thật vậy, ta phân tích n thành tổng của k số hạng và . Khi số số cách tất cả là: 19
Hoàn toàn tương tự như quy tắc 2 thì quy tắc 3 này sẽ có những lợi ích rất rõ ràng. Ứng với quy tắc này cũng sẽ có những bài toán đơn giản hoặc phức tạp tùy thuộc vào độ lớn của n và k. Tôi lấy hai ví dụ minh họa cho qua tắc này. Bài toán 1: Cho phương trình . Phương trình trên có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? Với bài toán này thì tôi xin trình bày lại một lời giải của học sinh lớp tôi: Ta thấy Trường hợp thì chúng ta sẽ có cách hoán đổi thứ tự của các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 3 bộ nghiệm Trường hợp thì chúng ta sẽ có 3! cách hoán đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 6 bộ nghiệm . Trường hợp thì chúng ta chỉ có một cách hoán đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 1 bộ nghiệm . Vậy phương trình đã cho có tất cả 10 bộ nghiệm . Sử dụng quy tắc 3: Bài toán này ứng với ta có ngay đáp án của bài toán là: bộ nghiệm. Với bài toán này thì đa số học sinh nắm chắc kiến thức sách giáo khoa sẽ giải quyết được. Nhưng khi tôi tăng con số lên: Bài toán 2: Có bao nhiêu bộ 15 số nguyên dương có tổng bằng 46? Ở bài toán này thì không có một học sinh nào làm được. Do đó tôi thấy việc cung cấp công thức này cho học sinh là một việc hết sức cần thiết. Đặc biệt là học sinh khá giỏi, tôi tin chắc sẽ có ích trong việc ôn tập và cũng thỏa mãn được sự ham học ham tìm hiểu của các em. Từ đó tăng thêm sự hứng thú khám phá cho các em. Với quy tắc 3 bài toán này ứng với ta có ngay đáp án của bài toán là: bộ số. c) Một số bài tập tự luyện Bài 1. Có bao nhiêu cách phân tích số 10 thành tổng của các số nguyên dương? Bài 2. Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cho 10 em bé sao cho mỗi em bé nhận được ít nhất một viên. Bài 3. Tìm số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình: Hướng dẫn: Đặt Bài 5. Có bao nhiêu cách phân tích số 20 thành tổng 5 số nguyên dương? 20