Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện" nhằm phát triển cho các em năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Qua đây cũng rèn luyện thêm cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN --------------------------- --------------------------- SÁNG KIẾN SÁNG KIẾN KINH KINH NGHIỆM NGHIỆM Đề tài: Đề tài: “PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỚP CÁC BÀI “PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” Năm học: 2021 - 2022 Năm học: 2021 - 2022
MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ……..…………………………………………………1 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .................................................................................... 1 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ............................................................................. 1 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .......................................................................... 2 4. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU ............................................................................ 2 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU..................................................................... 2 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................. 3 1. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ....................................... 3 2. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA ................................. 3 3. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ .............................. 3 4. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI.................................................................. 3 4.1. CÁC TÍNH CHẤT TỈ LỆ TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN ........................ 3 4.2. CÁC BÀI TOÁN GỐC ĐƯỢC SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH BẰNG P HƯƠNG PHÁP VÉC TƠ........................................................................ 6 4.2.1. Bổ đề 1. Thiết lập hệ thức véc tơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. ............................................................................................................... 6 4.2.2. Bổ đề 2 . Thiết lập phép toán véc tơ tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện. ........ 7 5. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI ................................................................................ 8 5.1. CÁC BƯỚC SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 2 ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN...... 12 5.2. PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI KHỐI ĐA DIỆN ................................. 12 V H2  5.2.1.TÍNH TRONG ĐÓ  H2  CẮT RA TỪ HÌNH  H  BỞI MẶT PHẲNG V H    . ....................................................................................................... 13 5.2.1.1. Bài toán cho biết vị trí của tất cả các đỉnh thiết diện trên các cạnh của đa diện  H  ............................................................................ 13 5.2.1.2. Bài toán cho biết 3 đỉnh của thiết diện ...................................... 15 a.Trường hợp 1. 3 điểm thuộc 3 cạnh của đa diện đa diện  H  .............. 15
b.Trường hợp 2: 3 điểm thuộc 3 mặt của đa diện ................................... 23 V H ' 5.2.2. TỶ SỐ BIẾT CÁC ĐỈNH  H ' NẰM TRÊN CÁC CẠNH CỦA V H  ĐA DIỆN  H  ........................................................................................ 25 a)  H ' và  H  là các tứ diện .................................................................. 25 b)  H ' là tứ diện,  H  là đa diện ........................................................... 27 c)  H ' và  H  là đa diện. ....................................................................... 28 V H ' 5.2.3 .TỶ SỐ BIẾT CÁC ĐỈNH  H ' NẰM TRÊN CÁC MẶT CỦA ĐA V H  DIỆN  H  . ............................................................................................. 30 a.  H ' là khối tứ diện và  H  là đa diện. .............................................. 30 b.  H ' và  H  là các khối đa diện. ......................................................... 33 V H ' 5.2.4 .TỶ SỐ BIẾT MỘT SỐ ĐỈNH CỦA  H ' LÀ ẢNH CỦA MỘT SỐ V H  ĐỈNH CỦA  H  . .................................................................................... 36 V H ' a)Tỷ số biết  H ' và  H  là hai hình đồng dạng ........................... 36 V H  V H ' b).Tỷ số biết một số đỉnh của  H ' là ảnh của một số đỉnh của  H  . ............ 38 V H  V H ' 5.2.5 .TỶ SỐ BIẾT MỘT SỐ ĐỈNH CỦA  H ' ĐƯỢC BIỂU DIỄN V H  QUA HỆ THỨC VÉCTƠ. ....................................................................... 39 ............................................. 41 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ ÔN LUYỆN PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 45 1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................... 45 2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................... 45 3. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM............................................. 45
4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM .......................................................................... 46 4.1. XỬ LÝ SỐ LIỆU TRƯỚC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................... 46 4.2. XỦ LÝ SỐ LIỆU SAU THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................... 47 4.3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỚI HỌC SINH, ĐỒNG NGHIỆP, BẢN THÂN, NHÀ TRƯỜNG ........................................ 49 PHẦN IV: KẾT LUẬN ..................................................................................... 50 1. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50 2. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................... 50
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mỗi giáo viên dạy toán ở trường THPT luôn trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất. Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây, bài toán tính tỷ số thể tích là bài toán thường gặp, với các mức độ từ dễ đến khó. Hiện nay, có nhiều bài tập giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tỷ số thể tích, nhưng chưa phân loại và hệ thống các phương pháp tương ứng. Đặc biệt, có nhiều bài toán khi không sử dụng công cụ véctơ để giải thì sẽ mất thời gian và gây khó khăn cho quá trình giải. Bên cạnh đó việc chú trọng giúp học sinh hình thành việc phân loại và sáng tạo các bài toán về tỷ số thể tích vẫn còn ít. Vì vậy một số học sinh còn gặp khó khăn khi học tập các dạng này, bởi vì chưa hiểu bản chất, phân loại các bài toán cũng như chưa xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán đó. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán tính tỷ số thể tích, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, biết khai thác các giả thiết của bài toán, biết lựa chọn công cụ hợp lý, biết phân loại và hệ thống các bài toán để tìm lời giải một cách nhanh chóng. là một điều cần thiết. Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi có thể giải được các bài toán về tỷ số thể tích, có đáp án chính xác và nhanh, biết cách phân loại và hệ thống các phương pháp tương ứng, biết sử dụng thêm công cụ véctơ vào các bài toán tính tỷ số thể tích tôi đã chọn đề tài: " PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN." Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất cả các bài toán về tỷ số thể tích mà chỉ mạnh dạn phân loại về đặc điểm các bài toán về tỷ số thể tích và giúp học sinh hình thành phương pháp giải mà chúng tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy và ôn thi cho học sinh. Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mong muốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả cao hơn qua các bài giảng. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU "Các bài toán về tỷ số thể tích" là một bài tập định lượng quan trọng và khó của bộ môn hình học không gian lớp 11. Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, học sinh không đơn giản chỉ là "tô" vào một trong 4 đáp án, để có được 1
câu trả lời, bắt buộc học sinh vẫn phải thực hiện các khâu và các bước làm bài giống một bài tự luận bình thường. Vậy để đảm bảo được thời gian của một bài thi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh phải nắm vững các lớp bài toán tỷ số thể tích để có hướng giải quyết nhanh và chính xác nhất. Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, ngoài việc dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản thì cẩn phải hệ thống các dạng bài tập và đưa ra phương pháp tiếp cận để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp hơn. Qua đó, phát triển cho các em năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Qua đây cũng rèn luyện thêm cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng nghiên cứu sau:  Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của bài toán tỷ số thể tích.  Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán, hệ thống các bài toán có chứa các đặc điểm tương tự và hình thành phương pháp giải.  Cho học sinh thấy được có các hướng tiếp cận khác nhau khi giải các bài toán tỷ số thể tích và lựa chọn phương án giải nhanh nhất cho lớp bài toán đó. 4. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU  Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và giải quyết, hệ thống các toán và lựa chọn phương pháp giải quyết.  Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về tỷ số thể tích và rút ra được hệ thống phương pháp giải các bài tập về tỷ số thể tích. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU  Đề tài phân loại các đặc điểm của các lớp bài toán tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện qua đặc điểm của vị trí đỉnh của hai khối đa điện đó.  Hướng dẫn học sinh tìm các phương pháp giải quyết cá lớp bài toán đó và đưa ra phương pháp tối ưu cho lớp bài toán đó.  Xây dựng được phương pháp vectơ tính tỷ số thể tích.  Phát triển, sáng tạo một số bài toán liên quan đến tỷ số thể tích. 2
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG Trường THPT Cửa Lò đóng trên địa bàn khá thuận lợi để phát triển kinh tế cũng như giáo dục, tuy nhiên kết quả học tập của nhiều học sinh chưa thật sự cao, tương xứng với vị thế của trường, một phần do các em chưa đam mê nghiên cứu, tìm tòi, phát triển, phân dạng các bài toán; chưa chú trọng vào năng lực định hướng lời giải cho một lớp bài toán đặc trưng của môn học. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài giảng dạy để nang cao năng lực định hướng phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thể tích các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và thường làm theo các kiến thức giáo viên cung cấp, ít tìm tòi sáng tạo, phân loại các dạng toán này. Kết quả khảo sát học sinh trên địa bàn thị xã Cửa Lò về nội dung tỉ số thể tích thì có 10% học sinh hứng thú với nội dung này. 2. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy. Có trên 80% các em có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi, xây dựng. Trong các kỳ thi thử THPT quốc gia trên toàn quốc có 90% học sinh các lớp dạy thử nghiệm có thể giải quyết các bài toán tỉ lệ thể tích của các khối đa diện. 3. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia cho học sinh khối 12. Đề tài có thể áp dụng để phát triển những lớp bài toán khác cho giáo viên Toán ở trường THPT. Đề tài có thể phát triển mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán. 4. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 4.1. CÁC TÍNH CHẤT TỈ LỆ TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Tính chất 1: Cho hai hình chóp VS . A1 A2 ... An và chóp VS '. A '1 A '2 ... A 'm có hai đa giác đáy cùng nằm trên mặt phẳng  P  VS . A1 A2 ... An S A1 A2 ... An a) Nếu SS '   P  thì  VS '. A '1 A '2 ... A 'm S A '1 A '2 ... A 'm 3
VS . A1 A2 ... An IS S A1 A2 ... An b) Nếu SS '  P   I thì  . VS '. A '1 A '2 ... A 'm IS ' S A '1 A '2 ... A 'm Tính chất 2:Cho tứ diện ABCD 1 Khi đó:VABCD  AB.CD.d .sin  6  d là khoảng cách 2 đường AB; CD  và  là góc tạo bởi hai đường AB; CD Tính chất 3: Cho tam giác ABC , gọi M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh ABC AM BN CN Khi đó: M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi . . 1 MB NC NA Tính chất 4: Cho hình đa diện  H  , giả sử  H  được phân chia thành hai hình  H1  ,  H 2  thì . V H   V H1   V H 2  Tính chất 5: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC . Khi đó VS . MNP SM SN SP  . . VS . ABC SA SB SC Tính chất 6:Cho tứ diệ ABCD , gọi các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AC , AD, DB, CB . Điều kiện cần và AM CQ BP DN đủ đề M , N , P, Q đồng phẳng là . . . 1 MC QB PD NA 4
Tính chất 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng  P  cắt các cạnh SA, SB, SC, SD, SO lần lượt tại A ', B ', C ', D ' và O ' . Ta có SA SC SB SD SO a)     2. . SA ' SC ' SB ' SD ' SO ' SA SB SC SD b) Đặt x  , y , z , t . Ta SA ' SB ' SC ' SD ' VS . A ' B ' C ' D ' x  y  z  t có  . VS . ABCD 4 xyzt Tính chất 8: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' VB . B ' A ' C ' 1 8a.  VABC . A ' B ' C ' 3 VB . ACC ' A ' 2 8.b.  V ABC . A ' B ' C ' 3 8.c. Gọi các điểm M ; N ; P lần lượt thuộc các cạnh bên AA', CC ', BB ' .Gọi V1 là thể tích khối đa diện có chứa các đỉnh A; B; C; M ; N ; P và V là thể tích khối lăng AN CN BP trụ ABC.A' B 'C ' . Đặt:  a;  c; b AA ' CC ' BB ' V1 a  b  c Ta có:  V 3 Tính chất 9:Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt B C phẳng   cắt các cạnh AA', BB ', CC ', DD ' lần lượt tại A O D AM BN CP DQ M , N , P, Q sao cho  x,  y ,  z , t. Q AA' BB' CC ' DD' P Khi đó ta có: M B' N a) x  z  y  t. C' O' A' D' VABCDMNQP x y z t x z yt b)    . VABCD. A ' B ' C ' D ' 4 2 2 5
Tính chất 10: Nếu hai khối đa diện  H  và  H ' đồng dạng với nhau theo tỉ số V  H ' k đồng dạng là thì  k3 V H  Tính chất 11: Cho A, B, I là 3 điểm phân biệt thẳng hàng và M là một điểm tùy ý.  IB  AI  Ta có: MI  .MA  .MB AB AB Tính chất 12: a) Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D '      Khi đó: VABCD. A' B ' C ' D '  AA '  AB AD 1    VA. A ' BD  6  AA'  AB AB    b) Cho các vecto a, b, c bất kỳ.     a  b  ba          a  b  c  a  b  ac                     a  b .c  b  c .a  c  a .b        ka  b  a  kb  k a  b , Với k  . 4.2. CÁC BÀI TOÁN GỐC ĐƯỢC SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH BẰNG P HƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Các tính chất, phép toán véc tơ và hình thành công thức tính tỷ số thể tích bằng phương pháp véc tơ. 4.2.1. Bổ đề 1. Thiết lập hệ thức véc tơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Trong không gian cho 2 điểm S , S ' và mặt phẳng  ABC  sao cho SS '  ABC   M . Khi đó       SS '  xSA  ySB  zSC  SS '   x  y  z  SM 6
SS ' Từ kết quả bài toán 1 ta có:  x yz SM Chứng minh: TH1: x  y  z  0 .          Ta có: SS '  xSA  ySB  zSC   x  y  z  SA  y AB  z AC  y AB  z AC . Do đó: SS '   ABC  . TH2: x  y  z  0 .     Gọi điểm M thỏa mãn: xMA  yMA  zMA  0 . Suy ra M   ABC  . Ta có:       SS '   x  y  z  SM  xMA  yMB  zMC   x  y  z  SM .   Do đó SS '  ABC   M và SS '   x  y  z  SM .   Nhận xét: Từ hệ thức vectơ SS '   x  y  z  SM cho ta biết vị trí giao điểm của mặt phẳng  ABC  với đường thẳng SS ' 4.2.2. Bổ đề 2 . Thiết lập phép toán véc tơ tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện. Cho tứ diện A.BCD . Giả sử các điểm A '; B '; C '; D ' bất kỳ trong không gian thỏa mãn:     A ' B '  x1 AB  y1 AC  z1 AD     A ' C '  x2 AB  y2 AC  z2 AD     A ' D '  x3 AB  y3 AC  z3 AD .       Đặt: 1  1 1 1  2  2 2 2  3  3 3 3  và k  a1  a2 .a3 a  x ; y ; z ; a  x ; y ; z ; a  x ; y ; z   V A '. B ' C ' D ' Khi đó tỷ số thể tích: k. V A. BCD Chứng minh Ta có:            A ' B '  A ' C '  x1 AB  y1 AC  z1 AD  x2 AB  y2 AC  z2 AD         x1 y 2  x2 y1  AB  AC   y1 z 2  y 2 z1  AC  AD   z1 x3  z3 x1  AD  AB . Suy ra:           A ' B '  A ' C ' A ' D '   y1 z2  y2 z1  x3 AC  AD AB 7
           z1 x3  z3 x1  y3 AD  AB AC   x1 y2  x2 y1  z3 AB  AC AD (*)  Theo tính chất của tích có hướng ( Tính chất 12.b)             AC  AD AB  AD  AB AC  AB  AC AD         Suy ra: A ' B '  A ' C ' A ' D '      y1z2  y2 z1  x3   z1x3  z3 x1  y3   x1 y2  x2 y1  z3  AB  AC  AD         Mặt khác: VA '. B ' C ' D '  A ' B '  A ' C ' AD ' và VABCD   AB  AC  AD .  VA '. B ' C ' D '   y1 z2  y2 z1  x3   z1 x3  z3 x1  y3   x1 y2  x2 y1  z3 VABCD . V A '. B ' C ' D ' Theo tính chất 15 suy ra  k . (đpcm) V A. BCD 5. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Trong kỳ thi thử THPT quốc gia có nhiều để thi toán có nội dung liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện ở mức độ đánh giá năng lực toán học ( Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp vận dụng cao). Vi dụ 1: [Câu 46 đề liên trường nghệ an năm 2021 – 2022] . Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' . Có thể tích là 324. Mặt phẳng  P  đi qua trọng tâm G c ủa tam giác ABA' , song song với AB ' và BC ' chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A . A. 200 . B. 124 . C. 122 . D. 190 . Vi dụ 2. [Câu 47 đề THPT năm 2020 – mã đề 101]. Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M , N , P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' đối xứng với S qua O . Thể tích khối chóp S '.MNPQ bằng 20 14a 3 40 14a 3 10 14 a 3 2 14a3 A. B. C. D. 81 81 81 81 Vi dụ 3. [Câu 43 đề THPT Đô Lương 1 năm 2022 – mã đề 101]. Cho hình chóp đều S. ABCD có S. ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 . SM SN Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB, SD sao   k , mặt phẳng SB SD  AMN  cắt cạnh SC tại Q . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMQN 2 bằng 3 8
2 1 1 2 A. k  B. k  C. k  D. k  3 8 4 4 Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung tỉ số thể tích nhiều giáo viên đều định hướng theo các cách, phân chia, lắp gép khối đa diện, sử dụng các kết quả đặc biết ở các bài toán cơ bản. Ít giáo viên đề cập công cụ vectơ và gặp khó khăn khi khái quát bài toán, phân dạng, định hướng phương pháp giải. Sau đây là cách vận dụng công cụ véc tơ khi giải quyết bài toán tỉ số thể tích của hai khối đa diện, Phân dạng, định hướng lời giải cho các bài toán tỉ số thể tích 5.1. SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 1 VÀ BỔ ĐỀ 2 TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA HAI KHỐI ĐA DIỆN 5.1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 2 ĐỂ TÍNH TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài toán 1: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , gọi P, N lần lượt thuộc các cạnh BB ' , BC sao cho 3 4 V BP  BB ', BN  BC , tính tỉ số D '.MNP 4 5 VBMNP Lời giải: Ta có:      5  4  BD '  BA  BC  BB '  2BM  BN  BP 4 3 Gọi I  BD '  MNP  . Áp dụng Bổ đề 1   5 4   55  suy ra BD '   2    BI  BI  4 3 12 VD '. MNP 43 Vậy:  VB .MNP 12 BI  Có thể xác định tỉ lệ theo cách dựng hình. ID '  Sử dụng bổ đề 1 có thể quy bài toán tính tỷ số thể tích về tính tỷ số hai đoạn thẳng rất hiểu qủa. Ví dụ sau thể hiện rõ điều đó. 9
Bài toán 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC . ABC  có thể tích là V , gọi M , P lần thỏa mãn  1   1  AM  AB ', CP  CA ' , gọi N là trung điểm của đoạn 3 3 BC ' . Mặt phẳng  MNP  chia lăng trụ thành hai đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là VA . Tính VA tỉ số V Lời giải:       Đặt: m  BM , n  BN , p  BP .   2  1  Ta có: m  BM  BA  BB ' (1) 3 3   1  1  1  n  BN  BC '  BB '  BC (2) 2 2 2  2  1  2  1  1  p  BC  BA '  BC  BA  BB ' (3) 3 3 3 3 3 4   1  1  Từ (2), (3), suy ra n  p  BB '  BA (4), kết hợp (4) với (1), suy ra 3 3 3   8   BB '  m  n  2 p . 3   8   5  Gọi I  BB '  MNP  , Áp dụng Bổ đề 1, suy ra BB '  1   2  BI  BI ,  3  3 (*) BI 3 Suy ra:  BB ' 5 CJ 2 Gọi J  CC '  MNP  , từ kết quả (*) và định lý Talet suy ra  . CC ' 5 AK 1 Gọi K  AA '  MNP  , từ kết quả (*) và định lý Talet suy ra  AA ' 5 1 2 3   VA 5 5 5 1 Vậy   . V 3 3  Nhưng ở đây 3 điểm M , N , P đã được lấy trên các măt bên của hình lăng trụ, do đó nếu tiếp cận bài toán theo hướng dựng thiết diện sẽ gặp nhiều khó khăn khi tìm các giao điểm của các cạnh bên với mặt 10
phẳng  MNP  . Trong khi sử dụng bổ đề 1 ta tìm được các giao điểm của các cạnh với mặt phẳng  MNP  một cách dễ dàng. Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt trên các cạnh 1 1 1 1 AB, BC, CD, DA sao cho : AM  MB, BN  NC , CP  PD, DQ  QA . Gọi 2 2 2 2 O1, O2 , O3 , O4 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AN , DM , CQ, BP . Tính VO1O2O3O4 tỷ số . VABCD Lời giải: Ta có:  1  1  2  1   1  1   AO1  AN   AB  AC   AB  AC  0. AD 2 2 3 3  3 6  1   1   1  2  AO2  AM  AD  AB  0. AC  AD 6  2  1    1  1  2   AO3  AQ  AC  0. AB  AC AD 2 3  1   1  1  1  2  2  AO1  AB  AP  AB  AC  AD 3 6    1  1  1  Suy ra: O1O2  AO2  AO1   AB  AC  AD 6 6 2    1  1  1  O1O3  AO3  AO1   AB  AC  AD 3 3 3    1  1  1  O1O4  AO4  AO1  AB  AC  AD . 6 6 6 VO1O2O3O4    3 1 Áp dụng Bổ đề 2 ta được: VABCD    a1  a2 .a3    . 54 18  Bài toán 3 là sự khái quát cho bài toán ví dụ 2. Ta đã sử dụng bổ đề 2 giải quyết bài toán đó. Để tính tỷ số thể tích của hai khối tứ diện bất kỳ trong không gian ta có thể đưa ra phương pháp như sau. 11
5.1.2. CÁC BƯỚC SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 2 ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN VA '.B 'C ' D ' Giá sử ta cần tính tỷ số thể tích ta có thể thực hiện theo các bước: VA.BCD       Bước 1: phân tích các véc tơ A' B ', A'C ', A' D ' theo các véc tơ AB, AC, AD .     Giả sử. A ' B '  x1 AB  y1 AC  z1 AD     A ' C '  x2 AB  y2 AC  z2 AD     A ' D '  x3 AB  y3 AC  z3 AD .    Bước 2: Đặt: a1   x1; y1; z1  ; a2   x2 ; y2 ; z2  ; a3   x3 ; y3 ; z3  và tính giá trị     k  a1  a2 .a3  V A '. B ' C ' D ' Bước 3: Kết luận: k. V A. BCD  Sử dụng bổ đề 2 tương đối hiệu quả, nhưng đòi hỏi phải thành thạo kỹ năng phân tích véc tơ. Trong một số bài toán đặc biệt, sử dụng các tính chất lại cho kết quả nhanh chóng. Do đó cần phải phân dạng bài tập và định hướng phương pháp giải, biết kết hợp các tính chất và Bổ đề 1; Bổ đề 2 để tìm ra lời giải cho bài toán. 5.2. PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI KHỐI ĐA DIỆN Khi giải các bài toán về tỷ số thể tích của các khối đa diện ta thường gặp một số tình huống. Tỉnh tỷ số thể tích của hai khối đa diện được phân chia từ một đa diện cho trươc; Tỷ số thể tích của hai khối đa diện mà đa diện này có các đỉnh nằm trên cạnh, hoặc trên mặt của đa diện kia; Tỷ số thể tích của hai khối đa diện mà các đỉnh của đa diện này là ảnh của một số đỉnh của đa diện kia qua phép đối xứng tâm, hoặc vị tự nào đó. Sau đây là cách phân chia, khái quát hóa, định hướng lời giải cho dạng toán tỷ số thể tích. 12
V H2  5.2.1.TÍNH TRONG ĐÓ  H2  CẮT RA TỪ HÌNH  H  BỞI MẶT V H  PHẲNG   . SƠ ĐỒ MINH HỌA Định hướng: Giải sử H  được phân chia thành hai hình đa diện  H1  và  H2  bởi mặt phẳng   . Bước 1: Xác định vị trí của các giao điểm của cạnh đa diện  H  với   Hướng 1: Vẽ thiết diện, sử dụng các định lý talet xác định các giao điểm của cạnh đa diện  H  với   trên từng cạnh. Hướng 2: Sử dụng bổ đề 1 để xác định các giao điểm của cạnh đa diện  H  với   . Bước 2: Lựa chon 1 đỉnh bất kỳ của thiết diện (giả sử là điểm I ) , và tiến hành phân chia hình đa diện  H1  thành các hình chóp có chung đỉnh I đồng thời mặt đáy của các hình chóp này nằm trên các mặt của  H  . Bước 3: Sử dụng tính chất 1 và tính chất 2, tính tỉ số thể tích của các chóp với thể tích khối  H  . 5.2.1.1. Bài toán cho biết vị trí của tất cả các đỉnh thiết diện trên các cạnh của đa diện  H  13
Thiết diện bài toán cho trực tiếp trong các trường hợp phân chia đơn giản, thường gặp trong các dạng toán nhận biêt, thông hiểu các tính chất đã có. Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P lần lượt VS . ABC là trung điểm của SA, SB, SC . Tỉ số thể tích bằng: VS .MNP A. 12 . B2 . C. 8 . D. 3 . Lời giải Theo tính chất 5. VS . ABC SA SB SC Ta có  . .  2.2.2  8 . VS . MNP SM SN SP Bài toán 5. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A , B , C  , D theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S . ABC D và S.ABCD . 1 1 1 1 A. B. C. D. 16 4 8 2 Lời giải: Theo tính chất 7b. VS . ABC D 2  2  2  2 1   . VS . ABCD 4.2.2.2.2 8 Bài toán 6. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích bằng V . Các điểm M , AM 1 N , P lần lượt thuộc các cạnh AA' , BB ' , CC ' sao cho  , AA ' 2 BN CP 2   . Tính thể tích V ' của khối đa diện ABC.MNP. BB ' CC ' 3 2 9 20 11 A. V '  V . B. V '  V . C. V '  V . D. V '  V . 3 16 27 18 14
Lời giải Theo tính chất 8.c mn p VABC .MNP   V  3  AM BN CP với m  , n , p . AA ' BB ' CC ' 1 2 2 Áp dụng: m  , n  , p  , 2 3 3 11 ta được VABC .MNP  V . 18 5.2.1.2. Bài toán cho biết 3 đỉnh của thiết diện a. Trường hợp 1. 3 điểm thuộc 3 cạnh của đa diện đa diện  H  Bài toán 7. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. ABC D có thể tích bằng 2110 . Biết AM  MA ; DN  3ND và CP  2C P . Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn. Lời giải. Gọi Q   MNP   B B ' , Theo tính chất 9.b VABCDMNPQ 1  AM CP  1  1 2  7 B C          A O D VABCD. A ' B ' C ' D ' 2  AA ' CC '  2  2 3  12 Q 7 7385 P  VABCDMNPQ  .2110  M 12 6 B' N C' 7385 5275 Vậy VA ' B ' C ' D ' MNPQ  2110   . A' O' D' 6 6 Bài toán 8 Cho hình lập phương ABCD. ABC D có N là trung điểm CC. Mặt phẳng   đi qua AN , cắt các cạnh BB ', DD lần lượt tại M , P ;   chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng V1 và V2 V1  V2  . Tính tỉ V số 2 . V1 B C Lời giải M O Theo tính chất 9.b A D I V ABCDPNM 1  AA CN  1  1 1 N      0    P V ABCD . A ' B ' C ' D ' 2  AA ' CC '  2  2 4 B' C' VABCDPNM 1 V Nên   2  3. O' VAMNPA ' B ' C ' D ' 3 V1 A' D' 15
Bài toán 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB , điểm P thuộc cạnh SD sao cho SP  2PD . Mặt phẳng  AMP  cắt SC tại N . Tính tỷ số VS . AMNP . VS . ABCD Định hướng: SC 5  Sủ dụng tính chất của tỉ lệ ta tính được  SN 2 VS . AMNP  Tính tỉ số: tương tự ví dụ trên. VS . ABCD Lời giải: SA SC SB SD SC 3 SC 5 Ta có     1 2   SA SN SM SP SN 2 SN 2 5 3 VS . AMNP 1  2   S Vậy  2 2 7 . VS . ABCD 5 3 30 4.1.2. . 2 2 N M P  Từ bài toán trên và định hướng lời I giải, ta có thể xây dựng bài toán A D tương tự cho dạng câu hỏi liên quan O đến GTLN, GTNN của tỉ số thể tích. B C Bài toán 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng   thay đổi luôn đi qua B , trung điểm I của SO và cắt các cạnh SA, SC và SD lần lượt tại M , N và P. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất VS . BMPN của tỷ số . VS . ABCD Lời giải SA SC S Đặt  x,  y  x, y  1 .Ta có SM SN SA SC SB SD SO     2. 4 P SM SN SB SP SI M I N SD B C Nên  3; x  y  4 . Từ đó SP O A D VS . BMPN 8 2 2    VS . ABCD 4.x. y.3.1 3xy 3x  4  x  Từ x  y  4  x  4  y  3 vì y  1. 16