Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng bài tập xác suất của học phần Xác suất thống kê ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm nghiên cứu thực trạng dạy học học phần XSTK ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn, sáng kiến đề xuất việc xây dựng hệ thống bài tập xác suất. Sáng kiến cung cấp một tài liệu tham khảo có giá trị cho giảng viên và SV sử dụng trong quá trình giảng dạy học phần góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng bài tập xác suất của học phần Xác suất thống kê ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT CỦA HỌC PHẦN “XÁC SUẤT THỐNG KÊ” NGÀNH KẾ TOÁN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Lĩnh vực sáng kiến: Khoa học tự nhiên Tác giả: BÙI NGỌC HÀ Trình độ chuyên môn: ThS. Toán học Chức vụ: Trưởng khoa Nơi công tác: Khoa Bồi dưỡng CBQL&NV, Trường CĐSP Lạng Sơn Điện thoại liên hệ: 0912.862.313 Địa chỉ thư điện tử: buingocha313@gmail.com Lạng Sơn, tháng 4 năm 2023
2 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Lạng Sơn Tôi ghi tên dưới đây: Số Họ và tên Ngày Nơi công Chức Trình độ Tỷ lệ (%) đóng TT tháng tác danh chuyên góp vào việc tạo năm sinh môn ra sáng kiến 1 Bùi Ngọc Hà 13/3/1975 Trường Giảng Thạc sĩ 100% CĐSP viên Lạng Sơn chính Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn - Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên - Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 10, Học kỳ 1, năm học 2022 - 2023: - Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” từ nghiên cứu lý thuyết cơ bản, thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, các nguyên tắc, phương pháp, quy trình xây dựng, hệ thống bài tập. - Những thông tin cần bảo mật: Không - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo phục vụ, giảng viên nghiên cứu chương trình đào tạo, chuẩn bị tốt các nội dung liên quan, quan tâm, quản lý lớp học hiệu quả. Sinh viên chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tập, phối hợp với giảng viên trong các giờ học. - Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Sáng kiến được triển khai áp dụng như một tài liệu tham khảo trong dạy học bộ môn tại trường CĐSP Lạng Sơn đem lợi ích tiết kiệm thời gian, kinh phí cho giảng viên trong quá trình xây dựng, soạn giảng nội dung bài tập xác xuất. Nội dung các bài tập phù hợp chương trình đào tạo, vừa sức với sinh viên của nhà trường. Kết quả dạy học của bộ môn được nâng lên góp phần đưa chất lượng nguồn nhân lực của địa phương đáp ứng được những đòi hỏi ngày càng cao của xã hội.
3 Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn và Bản mô tả sáng kiến (kèm theo đơn) là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Lạng Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2023 Người nộp đơn Bùi Ngọc Hà
4 MỤC LỤC TÓM TẮT SÁNG KIẾN ..................................................................................... 5 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .................................................................... 5 I– MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 6 1. Lý do chọn sáng kiến .................................................................................... 6 2. Mục tiêu của sáng kiến .................................................................................. 6 3. Phạm vi của sáng kiến ................................................................................... 7 II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN .................................................. 7 1. Cơ sở lý luận ................................................................................................. 7 1.1. Các khái niệm ......................................................................................... 7 1.2. Các định lý và công thức tính xác suất .................................................. 9 2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................ 11 III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN ........................................................................ 11 1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến: .............................. 11 1.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập toán ............................. 11 1.2. Một số phương pháp xây dựng bài tập xác suất................................... 13 1.3. Quy trình xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê....................... 14 1.4. Một số dạng bài tập xác suất ................................................................ 15 2. Đánh giá kết quả thu được .......................................................................... 26 2.1. Tính mới, tính sáng tạo ........................................................................ 26 2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến .......... 26 III – KẾT LUẬN ............................................................................................... 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 28 PHỤ LỤC ........................................................................................................... 29
5 TÓM TẮT SÁNG KIẾN Xác suất thống kê là học phần bắt buộc được bố trí giảng dạy vào học kỳ 1 của năm thứ nhất trong chương trình đào tạo ngành Kế toán tại trường CĐSP Lạng Sơn. Trong cuộc sống hàng ngày, xác suất thống kê là một công cụ quan trọng trong cơ sở sản xuất kinh doanh có ảnh hưởng không nhỏ bởi đó chính là việc xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa. Nó được sử dụng để hiểu hệ thống đo lường biến động, kiểm soát quá trình như trong kiểm soát quá trình thống kê hoặc thông qua hệ thống, cho dữ liệu tóm tắt, và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu. Sáng kiến “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” từ nghiên cứu lý thuyết cơ bản, thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, các nguyên tắc, phương pháp, quy trình xây dựng, hệ thống bài tập. Mục tiêu nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết khai thác các dạng bài toán xác suất thống kê giúp sinh viên củng cố, mở rộng kiến thức đáp ứng chuẩn đầu ra của ngành đào tạo. DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT XSTK: Xác suất Thống kê CĐSP: Cao đẳng sư phạm GV: Giảng viên SV: Sinh viên
6 I– MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn sáng kiến Lý thuyết XSTK gắn bó chặt chẽ, liên hệ mật thiết và là cơ sở nghiên cứu khoa học thống kê. Ra đời từ nửa cuối thế kỷ 17 ở nước Pháp, xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Nói một cách khác thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên nếu tiến hành quan hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Vì thế nó đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học thực nghiệm, trong cuộc sống hàng ngày như Y khoa, Sinh học, Nông nghiệp, Kinh tế,… Cũng có thể vì lý do đó mặc dù môn học XSTK được dạy ở bậc phổ thông nhưng vẫn tiếp tục dạy cho hầu hết các ngành trong trường cao đẳng, đại học. Ngày nay trong thời đại công nghệ thông tin, với số lượng dữ liệu khổng lồ chưa từng có, kiến thức xác suất thống kê càng phát huy được tác dụng của nó. Thống kê đóng vai trò là một công cụ quan trọng trong cơ sở sản xuất kinh doanh. Nó được sử dụng để hiểu hệ thống đo lường biến động, kiểm soát quá trình như trong kiểm soát quá trình thống kê hoặc thông qua hệ thống, cho dữ liệu tóm tắt, và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu. Tương tự, trong cuộc sống hàng ngày, xác suất cũng có ảnh hưởng không nhỏ bởi đó chính là việc xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa. Thậm chí, Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối... Trường CĐSP Lạng Sơn là cơ sở uy tín, vững mạnh trong hoạt động đào tạo, bồi dưỡng nhân lực các ngành kinh tế - kỹ thuật cung ứng nguồn nhân lực chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế - xã hội của tỉnh và khu vực. Việc giảng dạy học phần XSTK đối với sinh viên khối ngành Kinh tế nói chung, ngành Kế toán nói riêng sẽ giúp các em hiểu răng thông qua điều tra lấy mẫu các em sẽ đánh giá được chất lượng phẩm, thị trường tiềm năng của sản phẩm, từ đó có những biện pháp điều chỉnh, cải tiến mẫu mã, chất lượng sản phẩm phù hợp thị hiếu người tiêu dùng. Từ thực tiễn đó và vị trí công tác của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” để nghiên cứu. 2. Mục tiêu của sáng kiến Trên cơ sở nghiên cứu thực trạng dạy học học phần XSTK ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn, sáng kiến đề xuất việc xây dựng hệ thống bài tập xác suất. Sáng kiến cung cấp một tài liệu tham khảo có giá trị cho giảng viên và SV sử dụng trong quá trình giảng dạy học phần góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
7 3. Phạm vi của sáng kiến - Đối tượng nghiên cứu: Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn. - Không gian: Dạy học học phần XSTK ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn. - Thời gian: Năm học 2022 - 2023. II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận 1.1. Các khái niệm 1.1.1. Phép thử và biến cố Phép thử (phép thử ngẫu nhiên) là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định và có thể được lặp lại nhiều lần. Kết quả của nó, ta không đoán trước được. Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của một phép thử. Kí hiệu biến cố ngẫu nhiên bằng chữ in hoa A, B, C...[1] 1.1.2. Mối quan hệ giữa các biến cố Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu là 𝐴 ⊂ 𝐵 nếu sự xảy ra của A dẫn đến sự xảy ra của B. Biến cố A và biến cố B được gọi là bằng nhau nếu biến cố A kéo theo biến cố B và ngược lại. A  B A= B B  A [1] 1.1.3. Các phép toán trên biến cố Cho hai biến cố A và B Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A  B (hoặc A + B), là biến cố chỉ xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu A  B (hoặc AB), là biến cố chỉ xảy ra nếu biến cố A và biến cố B đồng thời xảy ra. Phép trừ: Hiệu của biến cố A trừ biến cố B, kí hiệu A\B, là biến cố chỉ xảy ra nếu A xảy ra và B không xảy ra. Định nghĩa 1. Gọi 𝐴̅ = 𝛺\𝐴 là biến cố đối lập của biến cố A. Biến cố 𝐴̅ xảy ra nếu A không xảy ra và ngược lại. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. Chú ý: Hai biến cố đối lập với nhau thì chúng xung khắc với nhau. Nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ gieo một lần con xúc xắc. Biến cố B1 và B2 xung khắc với nhau, nhưng B2 không là biến cố đối lập của B1 mà biến cố đối lập của B1 là ̅̅̅ = {𝐵2 , 𝐵3 , 𝐵4 , 𝐵5 ,𝐵6 } 𝐵1 [1]
8 1.1.4. Hệ đầy đủ các biến cố Định nghĩa 2. Dãy n biến cố B1, B2, …, Bn lập thành hệ đầy đủ các biến cố nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: 1. B1  B2  ...  Bn = ; 2. Bi B j = ; i, j = 1, 2,..., n. i j [1] 1.1.5. Các định nghĩa xác suất 1.1.5.1. Định nghĩa cổ điển Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng xảy ra của chúng là ngang bằng nhau. Ta gọi một trường hợp là thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra. Giả sử có tất cả n(Ω) trường hợp đồng khả năng, trong số đó có n(A) trường hợp thuận lợi cho biến cố A. n( A) Khi đó, ta gọi xác suất của biến cố A là: P( A) = n ( ) Như vậy, xác suất của biến cố là tỉ số về khả năng biến cố đó xuất hiện.[3] 1.1.5.2. Định nghĩa thống kê về xác suất Trong định nghĩa cổ điển có điều hạn chế là không gian biến cố sơ cấp có một số hữu hạn biến cố sơ cấp và lại đồng khả năng. Vì vậy, để khắc phục hai điều kiện trên ta đưa ra định nghĩa sau: Ta lặp lại độc lập n lần một phép thử ngẫu nhiên, biến cố A xuất hiện m lần. m Tỉ số được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Nếu số lần thực nghiệm n càng n lớn thì tần suất càng gần tới một số cố định nào đó. m Định nghĩa 3. Nếu số phần tử n càng lớn, tần suất của biến cố A càng n tiến gần đến một số cố định p thì ta nói rằng biến cố A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất của biến cố A. Định nghĩa này được gọi là định nghĩa xác suất theo tần suất hay định nghĩa theo thống kê. Định nghĩa này có ưu điểm là giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp gồm vô hạn biến cố sơ cấp và các biến cố sơ cấp này xuất hiện không đồng khả năng. [2] 1.1.5.3. Định nghĩa hình học về xác suất Giả sử tập hợp (vô hạn) các trường hợp đồng khả năng của một phép thử có thể biểu thị bởi một miền Ω (chẳng hạn đoạn thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều v.v…) còn tập hợp các kết quả thuận lợi cho cho biến cố A là một miền con S của Ω . Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong miền Ω. Đặt A=  M  S.
9 Định nghĩa 4. Xác suất để điểm M rơi vào miền S (biến cố A) được xác định như sau: độ đo của S P(A) = độ đo của  (Miền Ω chính là không gian biến cố sơ cấp). [4] 1.2. Các định lý và công thức tính xác suất 1.2.1. Công thức cộng xác suất Định lí 1. Nếu A1 , A2 ,..., An là các biến cố đôi một xung khắc thì P ( A1 + A2 + + An ) = P ( A1 ) + + P ( An ) Định lí 2. Với A và B là hai biến cố tùy ý, ta có: P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P( AB) Định lí 3. P ( A1 + A2 + + An ) = P ( A1 ) − P ( Ai Aj ) +  P( A A A ) − + ( −1) P ( A1 A2 ... An ) n −1 i j k i =1 i j i j k [4] 1.2.2. Công thức xác suất có điều kiện Định nghĩa 5. Giả sử A, B là hai biến cố bất kỳ và P(B) > 0. Gọi tỉ số P ( AB ) là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra P( B) P( AB) và kí hiệu: P ( A / B ) = . P( B) [3] 1.2.3. Công thức nhân xác suất. Sự độc lập của các biến cố Định lí 4. Nếu các biến cố tùy ý A và B cùng liên kết với một phép thử (P(A), P(B) > 0) thì ta có: P ( AB ) = P ( A) P ( B / A) = P ( B ) P ( A / B ) P( AB) Nếu P(A) > 0 thì gọi tỉ số = P ( B / A) là xác suất có điều kiện của P( A) biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra. Định lí 5. a) Nếu A và B độc lập thì P ( AB ) = P ( A) .P ( B ) b) Nếu các biến cố A1 , A2 ,..., An độc lập toàn thể thì P ( A1 A2 ... An ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) ...P ( An ) [3] 1.2.4. Công thức Xác suất đầy đủ và công thức Bayes Định lí 6. Giả sử A là biến cố bất kì, dãy B1, B2, ..., Bn lập thành hệ đầy đủ các biến
10 cố liên kết với một phép thử. Khi đó, ta có: a) Nếu P( Bi )  0, i = 1, n thì 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 𝑖 )𝑃(𝐴⁄ 𝐵 𝑖 ) (1.1) (1.1) được gọi là công thức xác suất đầy đủ. b) Nếu thêm giả thiết P( A)  0 thì: P ( Bk ) P ( A / Bk ) P ( Bk ) P ( A / Bk ) P ( Bk / A ) = = (1.2) n P ( A)  P(B )P( A / B ) i =1 i i (1.2) được gọi là công thức Bayes. [3] 1.2.5. Dãy phép thử thức Bernuolli – Công thức xác suất nhị thức Định nghĩa 6. Dãy n phép thử G1 , G2 ,..., Gn mà trong mỗi phép thử tương ứng với không gian biến cố sơ cấp có 2 biến cố A và A được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Dãy n phép thử đó là độc lập; b) Trong mỗi phép thử xác suất của biến cố A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p không đổi. Xác suất p gọi là xác suất thành công, số lần A xuất hiện trong n phép thử gọi là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli. Bài toán. Tìm xác suất để trong dãy n phép thử Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần. Giải Xét biến cố tích của n biến cố dạng: AAAA...AA (1.3) Trong tích này có k nhân tử A và (n – k) nhân tử A . Mỗi biến cố trong tích (1.3) lấy từ các phép thử khác nhau trong n phép thử. P( AAAA... AA) = P( A) P( A) P( A) P( A)...P( A) P( A) Ta có: = P (A)k P ( A)n−k = P (A)k (1 − P ( A))n−k = p k (1 − p )n−k Ta nhận thấy rằng: biến cố “trong dãy n phép thử, biến cố A xuất hiện đúng k lần” bằng tổng của Cnk các biến cố tích dạng (1.3) xung khắc từng đôi. Mỗi hạng tử của tổng này đều có xác suất như nhau và bằng p k (1 − p)n−k . Vậy nếu kí hiệu Pn (k ) = Pn (k , p) là xác suất để có k lần thành công thì ta có: Pn (k ) = Cn p k (1 − p)n−k , k k = 0, 1, 2,..., n. (1.4) Nếu đặt p = 1 – q thì Pn (k ) = Cnk p k q n−k , k = 0, 1, 2,..., n. Xác suất cho dưới dạng (1.4) được gọi là xác suất nhị thức. [4]
11 2. Cơ sở thực tiễn Cao đẳng Kế toán là mã ngành mới được trường CĐSP Lạng Sơn tổ chức đào tạo từ năm học 2019 – 2020. Căn cứ trên các văn bản của cấp trên nhà trường xây dựng chương trình khung trong đó Xác suất thống kê là học phần bắt buộc được bố trí giảng dạy vào học kỳ 1 của năm thứ nhất. Qua 3 năm thực hiện công tác giảng dạy học phần Xác suất thống kê chúng tôi nhận thấy có những ưu điểm nổi bật như sau: Đội ngũ giảng viên có kiến thức chuyên môn vững vàng, giàu kinh nghiệm, nhiệt tình, năng động và có xu hướng tiếp cận với PPDH hiện đại. Đa số sinh viên có ý thức, tích cực trong học tập bộ môn Nhà trường quan tâm, tạo điều kiện tốt nhất để phục vụ giảng dạy: phòng học, thiết bị bị dạy học hiện đại, nguồn học liệu phong phú, tổ chức biên soạn giáo trình phù hợp với tình hình thực tế, … Tuy sinh viên đã được làm quen, học tập ở bậc học phổ thông nhưng nhiều em còn lúng túng, gặp khó khăn và đạt kết quả không cao trong học tập học phần do xác suất thống kê cho chúng ta thấy được qui luật của những cái ngẫu nhiên để rồi lượng hóa chúng. Trong nghiên cứu khoa học, ta dùng xác suất thống kê để kiểm định tính chính xác của mô hình, kiểm định độ tin cậy của thang đo… Trong kinh tế, xác suất thống kê giúp ta lựa chọn phương án sao cho lợi nhuận nhiều nhất với độ rủi ro ít nhất. Xác suất thống kê cũng có vai trò quan trọng trong việc lập mô hình phân tích và dự báo trong quá trình ra quyết định kinh doanh và các quá trình khác. Mà các hiện tượng xảy ra không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát nên sinh viên không xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra và không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết. Mặc dù nguồn học liệu phong phú xong hệ thống bài tập phù hợp với ngành đào tạo, đối tượng sinh viên ngành Kế toán ở trường CĐSP chưa được biên soạn gây khó khăn cho các em trong việc luyện tập củng cố kiến thức. Từ thực tế trên, để khắc phục những hạn chế còn tồn tại cũng như nâng cao chất lượng dạy học học phần cần đề ra các giải pháp nâng cao chất lượng đào tạo nói chung, chát lượng dạy học học phần Xác suất thống kê nói riêng. Một trong những giải pháp đó là việc xây dựng hệ thống bài tập làm tài liệu phù hợp với sinh viên ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn. III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến: 1.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập toán 1.1.1. Đảm bảo tính chính xác khoa học Đảm bảo tính chính xác khoa học là nguyên tắc quan trọng khi xây dựng hệ thống bài tập. Nội dung bài tập toán học phải thể hiện những kiến thức của toán học (ngôn ngữ toán học, các định nghĩa, định lý,…) và phải phù hợp với giáo
12 trình. Ngoài ra, hệ thống bài tập phải được trình bày một cách gọn gàng, dễ hiểu, cấu trúc rõ ràng. Theo nguyên tắc này thì khi xây dựng hệ thống bài tập xác suất học phần Xác suất thống kê ngành đào tạo Kế toán phải thể hiện những kiến thức của toán học nói chung và xác suất nói riêng: các định nghĩa, định lý, ngôn ngữ toán học và phải phù hợp với chuẩn đầu ra, chương trình đào tạo, giáo trình chính và các tài liệu tham khảo khác. 1.1.2. Đảm bảo tính sư phạm Nguyên tắc này đặt ra việc lựa chọn nội dung truyền đạt phải phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng nhận thức của sinh viên. Theo nguyên tắc này, mức độ khó khăn của nội dung kiến thức cần được phân bổ và sắp xếp theo thứ từ từ đơn giản đến phức tạp, từ cái quen biết gần gũi đến cái ít quen biết, từ cái cụ thể đến cái khái quát, tổng quát hơn. Khi xây dựng hệ thống bài tập cần chú ý lựa chọn những nội dung vừa sức với người học và theo hướng nâng dần lên, nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo. 1.1.3. Đảm bảo đặc trưng của bộ môn Xác suất thống kê là một bộ môn khoa học tự nhiên có tính chất lý thuyết và có ứng dụng thực tế to lớn có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn và đời sống. Thống kê toán học là một phương pháp khoa học phân tích và xử lý dữ liệu có được nhờ các thí nghiệm, các cuộc điều tra nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên, các vấn đề kỹ thuật cũng như các vấn đề xã hội. Những dữ liệu ở đây có thể là những đặc tính định tính, cũng có thể là những đặc tính định lượng. Theo đó, từ những dữ liệu thu thập được, dựa vào các quy luật xác suất để đưa ra những quyết định, những đánh giá và các dự báo về những hiện tượng đang được thí nghiệm hoặc đang được quan sát là mục đích của thống kê toán học. Còn xác suất là độ đo của toán học để đo tính phi chắc chắn của khả năng xảy ra một sự kiện, một môn học. Người dùng kiến thức để tìm hiểu nguyên nhân, giải thích các hiện tượng và ứng dụng vào cuộc sống là việc rất cần thiết. Điều đó khiến người học cảm thấy môn học thật gần gũi và thêm yêu mến môn học. 1.1.4. Đảm bảo mục tiêu của môn học Mục tiêu dạy học xác suất thống kê ở khối ngành Kinh tế - Kỹ thuật là sau khi học xong môn học, sinh viên phải đạt được có hiểu biết cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê toán, xây dựng nền tảng thống kê mô tả và phân tích, dự báo trong kinh tế, xã hội và cuộc sống thực tiễn. Biết vận dụng các khái niệm, công thức, định lý đã học vào giải quyết các bài tập. Do yêu cầu phát triển xã hội hướng tới một xã hội tri thức nên mục tiêu dạy học cũng cần phải được thay đổi để đào tạo ra những con người đáp ứng được những đòi hỏi của thị trường lao động và nghề nghiệp cũng như cuộc sống. Có khả năng hòa nhập và cạnh tranh quốc tế, đặc biệt là có năng lực hành động, tính sáng tạo, năng động, tính tự lực và trách nhiệm, năng lực cộng tác làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp và khả năng học tập suốt đời. Ngoài những kiến thức, kĩ năng cơ bản mà sinh viên cần đạt được ta cần chú ý nhiều hơn tới
13 việc hình thành các kĩ năng vận dụng kiến thức, tiến hành nghiên cứu khoa học như: Biết vận dụng kiến thức để giải quyết một số vấn đề đơn giản của cuộc sống có liên quan tới hóa học; biết quan sát thí nghiệm, phân tích, dự đoán, kết luận, kiểm tra kết quả và mô tả,… 1.1.5. Đảm bảo tính cơ bản gắn liền với tính tổng hợp Hệ thống bài tập của phải khái quát hết những thông tin cơ bản nhất của chương trình bộ môn. Nó buộc người học khi giải hệ thống bài tập đó phải huy động tổng hợp những kiến thức cơ bản của toàn bộ chương trình và những kiến thức hỗ trợ liên môn. 1.1.6. Bảo đảm tính kĩ thuật tổng hợp, hệ thống và tính kế thừa Bài tập phải đóng vai trò cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn, giữa nhà trường và đời sống sản xuất. Nó phải là phương tiện rèn cho người học những kĩ năng chung nhất của việc tự học, của việc giải quyết các vấn đề nhận thức. Nó cũng góp phần vào việc hình thành ở người học những phẩm chất và những nét của văn hóa lao động (trí óc và chân tay). Những bài tập cơ bản điển hình giữ vai trò rất quan trọng trong học vấn của người học vì chúng sẽ là kiến thức công cụ để giúp giải được những bài tập tổng hợp. Do đó phải quy hoạch toàn bộ hệ thống những bài tập trong toàn bộ chương trình của môn học, sao cho chúng sẽ kế thừa nhau, bổ sung nhau, cái trước chuẩn bị cho cái sau, cái sau phát triển cái trước tất cả tạo nên (cùng với nội dung các lý thuyết khác) một hệ thống toàn vẹn những kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo. 1.2. Một số phương pháp xây dựng bài tập xác suất 1.2.1. Phương pháp tương tự Từ những bài toán đã biết giữ nguyên hiện tượng và đối tượng tham gia, chỉ thay đổi số lượng hoặc giữ nguyên hiện tượng và thay đổi đối tượng tham gia hoặc thay đổi cả hiện tượng phản ứng và đối tượng, chỉ giữ lại những dạng bài cơ bản đã biết. 1.2.2. Phương pháp tổng quát Thay các số liệu bằng chữ để tính tổng quát. Bài tập tổng quát mang tính trừu tượng cao nên khó hơn các bài tập có số liệu cụ thể. Từ bài tập: Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp. Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm. Ta có thể khái hóa thành bài toán: Có n sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp (n > 6). Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm. 1.2.3. Phương pháp thay đổi hình thức câu hỏi Từ một bài bằng cách đảo cách hỏi giá trị của các đại lượng đã cho như số lượng, biến cố, ... sẽ tạo ra nhiều bài tập mới có mức khó tương đương. 1.2.4. Phương pháp phối hợp
14 Chọn các chi tiết hay ở một số bài để xây dựng, phối hợp thành một bài tập mới. 1.2.5. Biến đổi bài tập sẵn có theo mục đích người dạy Lược bỏ một số dữ kiện để tăng mức độ khó của bài tập hoặc xây dựng theo các gợi ý để hướng dẫn người giải quyết bài toán. 1.3. Quy trình xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê Bước 1: Nghiên cứu nội dung kiến thức xác suất thống kê trong chương trình đào tạo ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn để xác định được mục tiêu, các vùng kiến thức của bộ môn. Về kiến thức: sinh viên có hiểu biết cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê, xây dựng nền tảng thống kê mô tả và phân tích, dự báo kinh tế, xã hội và cuộc sống thực tiễn. Về kỹ năng: sinh viên có kỹ năng thực hành nghề nghiệp liên quan đến điều tra, dự báo, ra quyết định trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Thông qua môn học, sinh viên có thể hiểu các thuật ngữ chuyên môn về xá suất thống kê cũng như vận dụng các kỹ thuật trình bày và mô tả dữ liệu, phân tích thống kê. Bước 2: Xác định kiến thức trọng tâm, tập trung vào những nội dung có tác dụng rèn tư duy, rèn kỹ năng cho sinh viên và có nhiều vận dụng trong các bài tập. Tùy thuộc vào tầm quan trọng của từng nội dung để lựa chọn số lượng bài tập cho phù hợp. Bước 3: Xác định loại bài tập, các dạng bài tập Căn cứ vào nội dung chương trình xác định loại bài tập hoặc dạng cách giải bài tập để xác định chủ đề của một hay một số chủ đề các dạng bài tập, khi xây dựng hệ thống bài tập cần lựa chọn những bài điển hình cho mỗi dạng. Theo đề cương chi tiết, nội dung phần kiến thức xác suất có theo hệ thống thành 5 dạng bài như sau: Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất Dạng 4. Công thức Xác suất đầy đủ và công thức Bayes Dạng 5. Công thức xác suất nhị thức Bước 4: Tiến hành soạn thảo hệ thống bài tập Có thể soạn thảo bài tập bằng cách xây dựng bài tập mới, hoặc sưu tầm các dạng bài tập từ các nguồn khác nhau, nhưng cách phổ biến nhất là kết hợp sưu tầm và biến đổi bài tập sắp xếp cho phù hợp với mục đích của người soạn nhằm nâng cao chất lượng đào tạo.
15 Bước 5: Lược giải tất cả các bài tập để đảm bảo độ tin cậy, đối với những bài khó và phức tạp thì giải chi tiết theo cách dễ hiểu nhất để giúp người học có thể tự học. Bước 6: Tham khảo, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp, tiếp thu những góp ý. Cần có các ý kiến trao đổi qua lại, tranh thủ kinh nghiệm của đồng nghiệp nhằm tìm ra giải pháp tốt nhất, làm sáng tỏ một vấn đề nào đó hoặc đi đến thống nhất một quan điểm. Bước 7: Thực nghiệm dạy học theo hệ thống bài tập đã xây dựng, chỉnh sửa và bổ sung. Sau khi xây dựng bài tập xã suất tổ chức thực nghiệm tại lớp K4KT. Bước 8: Rút kinh nghiệm (về cách giải, các lưu ý trong tư duy của sinh viên, trong cách gợi ý của GV, về sự chưa phù hợp nội dung, thứ tự,... của các bài tập,...), điều chỉnh, biên tập lại cho hoàn chỉnh và bước đầu đưa vào sử dụng 1.4. Một số dạng bài tập xác suất Thực hiện theo quy trình trên, các bài tập được xác xuất xây dựng, hệ thống theo từng dạng bài đảm bảo theo các nguyên tắc Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau: Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm. Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố. Ví dụ minh họa Bài 1: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của: 1. Không gian mẫu 2. Các biến cố: A: " 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng" B: " 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ" C: " 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu" Giải 2 1. Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 𝐶24 = 10624 2. +) Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là: 2 2 𝐶10 𝐶14 = 4095 Suy ra: n(A)=4095 +) Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là:
16 2 4 Suy ra : 𝑛(𝐵) = 𝐶24 − 𝐶18 = 7566 +) Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là: Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là: Suy ra n(C)=5859 Bài 2: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi Ak là các biến cố " xạ thủ bắn trúng lần thứ k" với k = 1,2,3,4. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1, A2, A3, A4 A: "Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’ B: "Bắn trúng bia ít nhất một lần’’ C: " Chỉ bắn trúng bia hai lần’’ Giải Ta có: Giả sử ̅̅̅̅ là biến cố lần thứ k (k = 1,2,3,4) bắn không trúng bia. 𝐴𝑘 Do đó: 𝐴 = ̅̅̅ ∩ ̅̅̅ ∩ ̅̅̅ ∩ ̅̅̅ 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐵 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴4 𝐶 = 𝐴 𝑖 ∩ 𝐴 𝐽 ∩ ̅̅̅̅ ∩ ̅̅̅̅ 𝐴𝑘 𝐴𝑚 với i, j, k, m ∈ {1,2,3,4} và đôi một khác nhau. Bài 3. Bắn 3 mũi tên vào một tấm bia. Gọi Ai là biến cố “mũi tên thứ i trúng đích” (i= 1, 2, 3). Hãy biểu diễn qua A1, A2, A3 các biến cố: A : Cả 3 mũi tên đều trúng đích. B: Có đúng 1 mũi tên trúng đích. C : Có ít nhất 1 mũi tên trúng đích. D : Không có mũi tên nào trúng đích. Giải: Ta có A = A1 A2 A3 B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 C = A1 + A2 + A3 D = A1 A2 A3
17 Các bài tập dạng: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố giúp sinh viên xác định đúng các phép thử , không gian mẫu để có thể học tốt các phần kiến thức khác. Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa * Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển Ta sử dụng công thức : Trong đó n(Ω) trường hợp đồng khả năng, trong số đó có n(A) trường hợp thuận lợi cho biến cố A Ví dụ minh họa Bài 1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên s sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong s sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt. Giải: Số sản phẩm xấu trong lô hàng là: (N – M) sản phẩm xấu Số khả năng có thể lấy s sản phẩm từ N sản phẩm là CN . s Số khả năng chọn k sản phẩm tốt trong M sản phẩm tốt là CM . k Số khả năng chọn s sản phẩm trong đó có đúng k sản phẩm tốt và s – k sản phẩm xấu là CM  CN−−kM . k s CM  CN−−kM k s Vậy, xác suất cần tìm là: P( A) = s CN Bài 2: Một đoàn tàu có 7 toa ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau A: " Một toa 1 người, một toa 2 người, một toa có 4 người lên và bốn toa không có người nào cả" B: " Mỗi toa có đúng một người lên". Giải: Số cách lên toa của 7 người là: 77 cách +) Tính P(A) Ta tìm số khả năng thuận lợi của A như sau: Số cách chọn 3 toa có người lên là: 𝐴3 cách chọn 7 4 Số cách chọn toa có 4 người lên là: 𝐶7 cách chọn 2 Số cách chọn toa có 4 người lên là: 𝐶3 cách chọn
18 Người cuối cùng vào toa còn lại nên có 1 cách chọn Theo quy tác nhân ta có số khả năng thuận lợi cho biến có A là: 𝐴3 𝐶7 𝐶3 7 4 2 𝐴3 𝐶7 𝐶3 7 4 2 450 Vậy 𝑃(𝐴) = = 77 16807 +) Tính P(B) Mỗi một cách lên toa thỏa yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của 7 phần từ nên ta có: 7! 7! Do đó 𝑃(𝐵) = 77 Bài 3. Xét một đặc tính do một cặp gen A và a gây ra. Trong việc lai tạo thì bố mẹ mỗi người cho một gen. Nếu cả hai người đều là dị hợp tử, nghĩa là cả hai đều là hợp tử Aa thì các hợp tử của con sẽ là một trong 4 loại sau: AA, Aa, aA, aa. Tìm xác suất để con có kiểu gen: a) [aa] b) [Aa] c) [AA] Giải 1 a) Vì 4 biến cố AA, Aa, aA, aa là đồng khả năng nên 𝑃([𝑎𝑎]) = 4 2 1 b) Tương tự, ta có: P( Aa ) = = (Vì người ta xếp Aa, aA là cùng kiểu gen) 4 2 1 c) Xác suất để con có kiểu gen [AA] là: 𝑃([𝐴𝐴]) = 4 Bài 4. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nộp đơn xin dự tuyểnn, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau. Tính xác suất để trong 4 người được tuyển a) có duy nhất một nam; b) có ít nhất một nữ. Giải Đặt Ak là biến cố “Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2,3,4} a) Gọi A: “có duy nhất 1 nam” 1 3 𝐶5 𝐶3 5 P(A) = P(A1) = 4 = 𝐶8 70 b) Gọi B: “có ít nhất một nữ” 4 𝐶5 13 P(B) = 1 - P(A4) =1- 4 = 𝐶8 14 * Tính xác suất theo thống kê Ta sử dụng công thức: 𝑆ố 𝑙ầ𝑛 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố 𝐴 𝑃(𝐴) = 𝑁
19 Ví dụ: Các nhà toán học Pearson và Buffon đã làm thực nghiệm gieo nhiều lần một đồng tiền cân đối và đồng chất. Kết quả cho ở bảng sau: Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt ngửa Tần suất Buffon 4040 2048 0,508 Pearson.K (lần 1) 12000 6019 0,5016 Pearson.K (lần 2) 24000 12012 0,5005 Nhìn vào kết quả thí nghiệm ta thấy số lần gieo đồng tiền càng lớn thì tần m 1 1 suất càng gần . Số được gọi là xác suất của biến cố “xuất hiện mặt ngửa”. n 2 2 * Tính xác suất theo hình học Tính xác suất để điểm M rơi vào miền S (biến cố A) được xác định như sau: độ đo của S P(A) = độ đo của  (Miền Ω chính là không gian biến cố sơ cấp). Ví dụ minh họa Bài 1. Đường dây điện thoại ngầm nối một tổng đài đến một trạm dài 2 km. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách tổng đài không quá 150m biết rằng dây điện thoại đồng chất. Giải Do dây điện thoại là đồng chất nên khả năng nó bị đứt tại một điểm bất kì là như nhau. Khi đó, tập hợp các trường hợp đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng đài với trạm. Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A “dây bị đứt tại nơi cách tổng đài không quá 150m” là đoạn thẳng có độ dài 150m. Khi đó 150 𝑃(𝐴) = = 0.075 2000 Bài 2. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm theo quy ước như sau: Mỗi người độc lập đến điểm hẹn trong khoảng từ 8 giờ đến 9 giờ.
20 Mỗi người đến, nếu không gặp người kia thì đợi 10 phút hoặc đến 9 giờ không đợi nữa. Tính xác suất hai người gặp nhau, nếu biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên và không tùy thuộc vào người kia đến lúc nào. Hình 1.1 Giải Kí hiệu x là thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn (phút) y là thời điểm người thứ hai đến điểm hẹn. Hai người gặp nhau khi và chỉ khi x − y  10 . Các trường hợp đồng khả năng tương ứng với các điểm (x; y) là không gian biến cố sơ cấp Ω tạo thành hình vuông có cạnh bằng 60. Tập S những điểm mà hai người có thể gặp nhau là miền có gạch chéo như hình 1.1. 602 − 502 11 Vậy xác suất phải tìm là: P ( A) = = . 602 36 Bài 3. Tìm xác suất để điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4a. Giải Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4a có đường kính 4a. Vậy diện tích hình tròn đó là 𝜋𝑅2 = 4𝜋𝑎2 và diện tích hình vuông là S = 4a x 4a = 16a2 Khi đó, xác suất phải tìm là: 4𝜋𝑎2 𝜋 𝑃(𝐴) = = 16𝑎2 4 Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất * Tính xác suất bằng Quy tắc cộng Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp. +) P(A ∪ B) =P(A)+P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố A1, A2, A3,…, Ak đôi một xung khắc. Khi đó: