intTypePromotion=1

Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng hệ thống công thức giải nhanh toán trắc nghiệm chương I – giải tích 12

Chia sẻ: YYYY YYYY | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

0
13
lượt xem
0
download

Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng hệ thống công thức giải nhanh toán trắc nghiệm chương I – giải tích 12

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài này nhằm đổi mới hình thức thi từ tự luận sang thi trắc nghiệm, đòi hỏi giáo viên và học sinh phải thay đổi phương pháp dạy và học để đảm bảo học sinh vừa nắm vững kiến thức, vừa xử lý bài toán trong thời gian nhanh nhất. Một trong những phương pháp đó là từ bài toán tự luận tìm ra các kĩ thuật ,công thức giải nhanh cho bài toán giải theo hình thức trắc nghiệm. Làm vậy sẽ đáp ứng được hai yêu cầu học sinh nắm trắc kiến thức và xử lý nhanh.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng hệ thống công thức giải nhanh toán trắc nghiệm chương I – giải tích 12

  1.  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3                                                            *************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN  TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12                                            Người thực hiện: LÊ THANH TÂM                                Chức vụ:     Giáo viên                                SKKN thuộc lĩnh vực :Môn Toán                                                                                                                                                          1
  2. THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC                                                                                                               Trang A. MỞ ĐẦU                                                                                                              3 B. NỘI DUNG                                                                                                          4 2.1. Cơ sở lí luận . 2.2 . Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm                  4                                                     2.3. Các giải pháp .                                                                                                     I.Xây dựng công thức đạo hàm nhanh của một số hàm số thường gặp          5   II. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán               5 về hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )     1.   Bài toán về  tính đơn điệu của hàm số                                                         5        2.   Bài   toán   về   cực   trị   hàm   số   bậc   ba   7 III. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài               toán về hàm số bậc bốn  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)                                                      10                                                               2.4.   Hiệu   quả   của   sáng   kiến   kinh   nghiệm  19 C . KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ                                                                              19   3.1   Kết   luận  19      3.2 . Kiến nghị                                                                                                   19                                                                                                                                                           2
  3.   A .     MỞ ĐẦU  1.1  Lí do chọn đề tài :     Mục đích của việc dạy và học là trang bị cho người học kỹ năng cần thiết ,  về tư duy, nhân cách , phẩm chất và đạo đức . Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm  chất đạo đức, năng lực công tác thích ứng với cuộc sống , giáo dục phát triển  toàn diện trí thể mĩ. Đào tạo nguồn nhân lực có đủ trình độ chuyên môn nghiệp  vụ phục vụ đắc lực cho sự nghiệp công nghiệp hoá ­ Hiện đại hoá đất nước ,  phù hợp với sự phát triển kinh tế toàn cầu , thời đại phát triển công nghệ thông  tin.    Trong công cuộc đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục nước nhà ,đổi mới  phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Một  điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học  sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng  hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.     Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi mới hình thức thi của môn toán từ hình  thức thi tự luận với thời gian làm bài 150 phút sang thi trắc nghiệm thời gian 90  phút cho 50 câu. Làm toán trắc nghiệm không chỉ đòi hỏi học sinh có kiến thức  mà còn phải biết giải bài toán trong thời gian nhanh nhất. Vì vậy, giáo viên và  học sinh cần phải đổi mới phương pháp dạy và học để đáp ứng được hai yêu  cầu : nắm được kiến thức và giải bài toán trong thời gian nhanh nhất có thể.      Để đáp ứng được vấn đề này , theo tôi cần cho học sinh tự tìm tòi cách giải  các dạng toán tổng quát và rút ra công thức giải nhanh cho các dạng toán đó ,  đảm bảo học sinh vừa có kiến thức sâu lại đáp ứng được yêu cầu giải bài toán  trong thời gian nhanh nhất có thể .                                                                                                                                                         3
  4. 1.2 Mục đích nghiên cứu :     Đổi mới hình thức thi từ tự luận sang thi trắc nghiệm, đòi hỏi giáo viên và học  sinh phải thay đổi phương pháp dạy và  học để đảm bảo học sinh vừa nắm  vững kiến thức, vừa xử lý bài toán  trong thời gian nhanh nhất.     Một trong những phương pháp đó là từ bài toán tự luận tìm ra các kĩ thuật  ,công thức giải nhanh cho bài toán giải theo hình thức trắc nghiệm . Làm vậy sẽ  đáp ứng được hai yêu cầu học sinh nắm trắc kiến thức và xử lý nhanh. 1.3 Đối tượng nghiên cứu :       Đề tài nghiên cứu về hệ thống công thức giải nhanh một số dạng toán trắc  nghiệm chương I ­ Giải tích 12 như  Tính đơn điệu , cực trị … .Từ đó giúp học  sinh vừa nắm vững phương pháp các dạng toán này, vừa có hệ thống công thức  để xử lý nhanh các bài toán đó trong các đề thi trắc nghiệm. 1.4 Phương pháp nghiên cứu       Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.     Tìm kiếm các tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến bài  toán  về tính đơn điệu và cực trị của các hàm số học trong chương trình SGK  Giải Tích 12 để xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho học sinh rèn luyện, củng  cố. B. NỘI  DUNG  2.1 Cơ sở lí luận : 1) Định lí mở rộng về tính đơn điệu của hàm số : Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng  I . Nếu  f '( x) 0  với mọi  x I  (hoặc f '( x ) 0  với mọi  x I  ) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên   I . [5] 2) Khái niệm cực trị của hàm số a) Định nghĩa: f là hàm số xác định trên tập D ( D R ) và  x0 D    + x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  (a ; b) chứa điểm x0 sao cho  (a;b) D  và  f ( x) < f ( x0 ), ∀x (a; b) \ { x0 } Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f   + x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  (a ; b) chứa điểm x0 sao cho  (a;b) D  và  f ( x ) > f ( x0 ), ∀x (a; b) \ { x0 } Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f    + Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.     + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.            [5] 3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  ( a; b )  chứa điểm  x0  và có đạo hàm trên các  khoảng  ( a; x0 )  và  ( x0 ; b ) .Khi đó  a) Nếu  f '( x ) < 0  với mọi  x ( a; x0 )  và  f '( x ) > 0  với mọi  x ( x0 ; b ) thì hàm số đạt  cực tiểu tại  x0 .                                                                                                                                                         4
  5. b) Nếu  f '( x ) > 0  với mọi  x ( a; x0 )  và  f '( x) < 0  với mọi  x ( x0 ; b ) thì hàm số đạt  cực tiểu tại  x0 .       [5] 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng :        Mặc dù đã nắm khá vững kiến thức nhưng để giải được một bài toán về  tính đơn điệu và cực trị của hàm số theo các bước của bài toán tự luận, đặc biệt  là những  bài toán vận dụng cao học sinh phải mất 5 đến 8 phút mới hoàn thành.  Trong khi đó thời gian dành cho 1 câu trong đề thi trắc nghiệm khoảng 2 phút.  Rất nhiều học sinh, kể cả học sinh khá giỏi cũng không hoàn thành được bài làm  của mình trong khoảng thời gian 90 phút dành cho 50 câu nếu không có kỹ thuật  và “mẹo” giải nhanh.  2.3 Giải pháp thực hiện :       Trong giờ dạy của mình tôi thực hiện các bước sau:        Bước 1: Nêu vấn đề , định hướng cho học sinh giải các dạng toán thường  gặp dưới dạng tự luận để học sinh hiểu được bản chất vấn đề.      Bước 2: Cho học sinh chốt công thức giải nhanh cho mỗi dạng toán.      Bước 3: Đưa ra hệ thống bài tập trắc nghiệm minh họa đề học sinh rèn  luyện, củng cố ghi nhớ kiến thức. I.Xây dựng công thức đạo hàm nhanh của một số hàm số thường gặp  *) Thành lập công thức:   Giáo viên cho học sinh sử dụng các qui tắc tính đạo hàm tìm đạo hàm của các  ax + b ax 2 + bx + c hàm số  y =   ,  y =   cx + d mx + n * ) Chốt công thức  tính nhanh sau : a b ' +)  �ax + b �= c d ad − bc � � = �cx + d � ( cx + d ) ( cx + d ) 2 2 b c , amx 2 + 2anx + +)  �ax 2 + bx + c �= m n = amx 2 + 2anx + bn − mc � � � mx + n ( mx + n ) ( mx + n ) 2 2 � II. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán về hàm  số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 ) 1. Bài toán về  tính đơn điệu của hàm số    a)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )  đồng biến trên  R .    b)Tìm điều kiện đề hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )  nghịch  biến trên  R                                                                                                                                                          5
  6.    c)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a > 0 )  nghịch biến trên  một đoạn có độ dài bằng k cho trước .    d) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a < 0 )  đồng  biến trên  một đoạn có độ dài bằng k cho trước. * ) Thành lập công  thức :  Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải  bài toán dưới dạng tổng quát:    Ta có                            y ' = 3ax 2 + 2bx + c  a) Hàm số đồng  biến trên  R       y ' = 3ax 2 + 2bx + c 0, ∀x R  và dấu bằng xảy ra  3a > 0 � � � �a>0 ở hữu hạn điểm    �' �   �∆ y ' = b 2 − 3ac 0 �∆ 'y ' = b 2 − 3ac 0  b) Hàm số nghịch biến trên  R       y ' = 3ax 2 + 2bx + c 0, ∀x R  và dấu bằng xảy ra  3a < 0 � � � �a 0 2 b 2 − 3ac nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho  x1 − x2 = k   � � =k x1 − x2 = k 3a *) Chốt công thức giải nhanh :              Dữ kiện                    Công thức  Hàm số bậc ba  a>0 y = ax + bx + cx + d 3 2 (a 0)   ∆ 'y ' = b 2 − 3ac 0 đồng biến trên R Hàm số bậc ba  a 0 )  nghịch biến   3a trên một đoạn có độ dài bằng k cho  trước   Hàm số bậc ba  2 b 2 − 3ac =k y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a < 0 )  đồng  biến  3a trên một đoạn có độ dài bằng k cho  trước                                                                                                                                                          6
  7. *) Các ví dụ minh họa : 1 Ví dụ 1 : Với giá trị nào của m thì hàm số y = − x3 + 2 x 2 − mx + 2   nghịch biến trên  3 tập xác định của nó? A.  m 4 B.  m 4 C.  m > 4 D.  m < 4      [3] 1 Giải : Hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − mx + 2   xác định trên  R  . 3 1 − 4                            B.  −2 m −1              C.  m < 2                     D.  m < 4     [3] 1 y = x 3 + ( m + 1) x 2 − ( m + 1) x + 2 Giải : Hàm số  3   xác định trên R 1 >0 3 Hàm số  đồng  biến trên R  � −2 �m �−1 �1 � ∆ = ( m + 1) − 3 � � 2 ' y' [ − (m + 1)] 0 �3 � Chọn đáp án B.  Ví dụ 3 :  Cho hàm số  y = x 3 + 3mx 2 + m . Tìm  m  để hàm số nghịch biến trên một  đoạn có độ dài bằng 3. 1 3 1 1 3 3 A. m = ᄆ          B.  m = ᄆ         C.  - ᄆ m ᄆ        D.  - ᄆ m ᄆ             [3] 2 2 2 2 2 2 Giải :                                                                                           Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng  3     2 9m 2 3 3                                                         � = 3 � m2 = � m = � 3 2 2 Chọn đáp án  B  2. Bài toán về cực trị hàm số bậc ba : a)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )   có hai cực trị (có  cực đại và cực tiểu). b) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )  không có cực trị . c) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )   có hai cực trị .  Tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .                                                                                                                                                         7
  8. d) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba  y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )   có hai cực trị .  Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  (phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số). * ) Thành lập công  thức :  + Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải  bài toán dưới dạng tổng quát:  a)   Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT)   y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm  phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng     � ∆ 'y ' = b 2 − 3ac > 0   b)  Hàm số không có cực trị    y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm  kép     � ∆ 'y ' = b 2 − 3ac �0   c) Khi đó hoành độ của hai điểm cực trị là hai nghiệm  x1 , x2 của phương trình                              y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 b  Theo định lí viet :  x1 + x2  = −   3a Do đó,  tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ  thị hàm số là  3 2 � b � b � � b � � b � � I �− ; a �− + b �− �+ c �− �+ d �  chính là điểm uốn của đồ thị hàm số  � 3a � 3a � � � 3a � � 3a � � � � d) Chia y cho y’ rồi biểu diễn y theo y’ ta được : �1 b � −2(b 2 − 3ac) 9ad − bc           y = � x + �. y '+ x+   �3 9a � 9a 9a Do x0 là điểm cực trị của  hàm số thì y’(x0 )= 0 nên ta có  −2(b 2 − 3ac) 9ad − bc        y CĐ  =  xCD + 9a 9a −2(b − 3ac) 2 9ad − bc        y CT  =  xCT + 9a 9a Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là           −2(b 2 − 3ac) 9ad − bc            y = x+ 9a 9a *) Chốt công thức giải nhanh cho bài toán :                          Dữ kiện                              Công thức     Hàm số có  hai cực trị (có CĐ và  ∆ 'y ' = b 2 − 3ac > 0 CT)   Hàm số không có cực trị    ∆ 'y ' = b 2 − 3ac 0 Khi hàm số có hai điểm cực trị thì  chính là điểm uốn  trung điểm của hai điểm cực trị  � b � b � 3 2 � b � � b � � I �− ; a � − �+ b � − �+ c � − + d �củ của đồ  thị hàm số � 3a � 3a � � 3a � � 3a � � � � � a đồ thị hàm số                                                                                                                                                         8
  9. Khi hàm số có hai điểm cực trị thì  −2(b 2 − 3ac) 9ad − bc y= x+ phương trình đường thẳng đi qua  9a 9a hai điểm cực trị của đồ thị hàm số     *) Các ví dụ minh họa :         Ví dụ 4: Với giá trị nào của tham số m thì  hàm số  y = x3 + 3x 2 + mx + m − 2  có cực  đại và cực tiểu. A.  m > 3                  B.  m 3                       C.   m < 3                     D.  m 3          [3]  Giải :  Hàm số có cực đại và cực tiểu  � ∆ 'y ' = 32 − 3.1.m > 0 � m < 3 Chọn đáp án C 1 Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số m thì  hàm số  y = − x 3 + mx 2 − mx + 3  không  3 có cực trị?  A.  0 m 1           B.  0 < m < 1             C.   m > 1 �m < 0               D.  m ‫�ڣ‬ 1 m 0     [3] Giải :  � � 1 Hàm số  không có cực trị  �∆='y ' −−−m�� 2 3−� ��� .( m) 0 m2 m 0 0 m 1 � 3� Chọn đáp án A Ví dụ 6: Cho hàm số  y = x3 − 3mx + m  , có đồ thị  ( Cm ) .Với  m > 0  thì phương trình  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị  ( Cm ) là:  2 m 4 m A.  y = −2mx + m    B.  y = − mx + C.  y = − mx +       D.  y = 2mx − m 3 3 3 3 Giải :  Với  m > 0  hàm số có cực đại và cực tiểu .Khi đó phương trình đường thẳng đi  qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là  −2(02 − 3.1.(−3m)) 9.1.m − 0.(−3m)                    y = x+ = −2 x + m                               9.1 9.1 Chọn đáp án A Ví dụ 7: Tìm m để hàm số   y = x3 − 3x 2 − mx + 2  có hai điểm cực trị và đường  thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam  giác cân ? 3 3 A.  m = −                     B.  m =                          C.  m = −1                    D.  m = 0    [2] 2 2  Giải : Hàm số có cực đại và cực tiểu  � ∆ 'y ' = (−3)2 − 3.1.(−m) > 0 � m > −3 (*) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ  một tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ  số góc bằng   1                                                                                                                                                           9
  10. −2 � �(−3) 2 − 3.1.(− m) � � −2 � (−3) 2 − 3.1.(−m) � � �= −1            � = 1   hoặc  9.1 9.1 −2(3 + m) −2(3 + m)             � = 1  hoặc  = −1 3 3 9 3                m = − 2  hoặc  m = − 2 3 So với (*) được  m = − 2 Chọn đáp án A. Ví dụ 8: Tìm m để hàm số   y = x3 − 3x 2 − mx + 2  có hai điểm cực trị và đường  thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : x+ 4y –  3 =0 góc  α = 450   1 1      A.  m = −                    B.  m =                       C.  m = 2                     D.  m = 0   [2] 2 2 2 Giải  Hàm số có cực đại và cực tiểu  � ∆ 'y ' = (−3)2 − 3.1.(−m) > 0 � m > −3 (*) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  .Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng  1 3 k+ k= 5 d : x+ 4y – 3 =0 góc  α = 450 nên ta có :  tan 450 = 14   1− k 5 k =− 4 3 −2 �(−3) − 3.1.(− m) � 2 �= 3   hoặc  −2 �(−3) − 3.1.(−m) � 2 �= − 5            � � � 9.1 5 9.1 3 −2(3 + m) 3 −2(3 + m) 5             � =  hoặc  =− 3 5 3 3 39 1                m = − 10  hoặc  m = − 2 1 So với (*) được  m = − 2 Chọn đáp án A. Ví dụ 9: Tìm m để hàm số   y = x3 − 3x 2 + mx  có hai điểm cực trị và các điểm này  đối xứng nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 A.  m = −2             B .  m = −1                          C.  m = 0                D .  m = 1               [2] Giải : Hàm số có cực đại và cực tiểu  � ∆ 'y ' = (−3)2 − 3.1.m > 0 � m < 3 (*) Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m­2) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là            −2 � ( −3) 2 − 3.1.m � � �x + 9.1.0 − (−3)m = 2 (m − 3) x + m                        y = 9.1 9.1 3 3                                                                                                                                                         10
  11. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d khi và chỉ  khi đường thẳng d đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm cực trị và  1 − 2(m − 2) − 5 = 0 d vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị  2 (m − 3). 1 = −1 � m = 0   3 2 Chọn đáp án C Ví dụ 10: Tìm m để đồ thị hàm số   y = x3 − 3x 2 − mx + 2  có hai điểm cực trị cách  đều  đường thẳng d : y = x – 1 ? 3 3 � 3� A.  m = −                 B.  m �{ 0; − }                C.  m �� 1;0; − �              D.  m = 0     [2] 2 2 � 2 Giải :  Hàm số có cực đại và cực tiểu  � ∆ 'y ' = (−3)2 − 3.1.(−m) > 0 � m > −3 (*) Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là            −2 � ( −3) 2 − 3.1.(− m) � � �x + 9.1.2 − (−3)(−m) = − 2 (m + 3) x + 2 − m                        y = 9.1 9.1 3 3 Hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d khi d đi qua  trung điểm I của AB hoặc AB song song (hoặc trùng ) với d     m = 1 −1 m=0 2 9 − (m + 3) = 1 m=−   3 2 So với điều kiện (*) ta được m = 0 . Chọn đáp án D II. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh những bài toán về  hàm số bậc bốn  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)   y = ax 4 + 2bx 2 + c (a 0) 1) Cực trị hàm số bậc bốn       : 1)Tìm điều kiện để hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)     có ba cực trị . 2) Tìm điều kiện để hàm số  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có 1 cực trị . 3) Tìm điều kiện để hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)     có 1  cực đại và 2 cực tiểu. 4) Tìm điều kiện để hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)     có 2 cực đại và 1 cực tiểu.  5) Tìm điều kiện để hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  chỉ có duy nhất 1 cực trị là  điểm cực đại     6) Tìm điều kiện để hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  chỉ có duy nhất 1 cực trị là  điểm cực tiểu . 7) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)   có ba cực trị  tạo thành  một tam giác vuông cân .                                                                                                                                                         11
  12.  8) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị  tạo  thành một tam giác đều .     9) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)    có ba điểm cực trị A,  B, C sao cho góc  BAC ᄆ =α . 10) ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm  cực trị  A, B, C sao cho BC = OA . 11) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm  cực trị A,  B, C sao cho  BC = m0  . 12) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm  cực trị A,  B, C sao cho  B, C Ox  . 13) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm  cực trị A,  B, C sao cho  AB = AC = n0 14)Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị A,  B, C sao cho  S∆ABC = S0   15) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị   tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp  r0   16) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị   tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp  R0 17) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị A,  B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O. 18) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số    y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị A,  B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O. 19) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có ba điểm cực trị A,  B, C sao cho tam giác  ABC cùng với điểm O tạo thành một hình thoi . * ) Thành lập công  thức :  Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải  bài toán dưới dạng tổng quát:  1)   Hàm số có 3 cực trị     y ' = 4ax 3 + 2bx = 2x ( 2ax 2 + b ) =   0 có ba  nghiệm phân  biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng    � a.b < 0   2)  Hàm số có 1 cực trị    y ' = 4ax 3 + 2bx = 2x ( 2ax 2 + b )  = 0 có 1 nghiệm và y’ đổi  dấu khi x qua chúng    ۳ a.b 0   3) Hàm số   y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)     có 1  cực đại và 2 cực tiểu khi  và chỉ khi  a > 0   a>0 và hàm số có 3 cực trị       b
  13. 5) Hàm số  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại khi và  a 0 và hàm số có 1 cực trị       b 0     6) Hàm số  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu  khi và  a>0 chỉ khi  a < 0 và hàm số có 1 cực trị       b 0     � b b2 � Với điều kiện  a.b < 0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là : A(0; c ) , � B �− − ; c − � ,  � 2a 4a � � � b b � 2 b 4 − 8ab 2b C� − � 2a ; c − � �. Khi đó    AB = AC =  và  BC = −   � 4a � 16a 2 a uuur uuur 7)  ∆ABC  cân tại A nên  ∆ABC  phải vuông tại A  � AB. AC = 0   � b3 + 8a = 0   b 4 − 8ab 2b 8)  ∆ABC  cân tại A nên  ∆ABC  đều  � AB = BC   2 =   −   � b3 + 24a = 0 16a a AB 2 + AC 2 − BC 2 b3 + 8a 9) Góc  BAC ᄆ =   α � cos α = = 3   2 AB. AC b − 8a 10) BC = OA  ac 2 + 2b = 0    2b 11)  BC = m0   � − = m0 � am02 + 2b = 0 a b 4 − 8ab 12)  AB = AC = n0 � = n0 � 16a 2 n02 + 8ab = b 4 16a 2 2 b 13)  B, C Ox � c − = 0 � b 2 − 4ac = 0 4a � b2 � 1 14) Gọi H là trung điểm của BC,  H �0; c − � .Khi đó  S ∆ABC = BC. AH   � 4a � 2 2 1 2b b = . − . 2 a 4a b5 b5 Do đó  S∆ABC = S0  − = S02     S0 = − 32a 3 32a 3 1 1 2b b 2 15)  S∆ABC = BC. AH   = . − .    và  2 2 a 4a b2 b 4 − 8ab −2b r0 = 2 + � b3 �  AB + AC + BC 16 a 2 a . Suy ra     S ∆ABC = .r0 = .r0 4 a �1− + 1� 2 2 � 8a � � � b − 8ab 4 16a 2 = b − 8a 3 1 AB. AC.BC AB . AC 16)  S∆ABC = BC. AH =  4 R   � R = = 8ab   0 2 2 AH b2 0 2. 8ab                                                                                                                                                         13
  14. b2 b2 c+c− +c− 17) O là trọng tâm của tam giác ABC  � 4a 4a = 0   � b = 6ac  . 2 3 18) Vì tam giác ABC cân tại A nên  OA ⊥ BC . uuur uuur Do đó , O là trực tâm của tam giác ABC  � OB. AC = 0 � b3 + 8a − 4ac = 0  .. 19) Do  BC ⊥ OA  nên tam giác ABC cùng với O tạo thành hình thoi ABOC khi và  c+0 b2 chỉ khi H là trung  điểm của OA  � =c− � b 2 = 2ac   2 4a *) Chốt công thức giải nhanh                        Dữ kiện                Công thức  Hàm s y = ax + bx + c (a 0) ố có 3 cực  4 2   a.b < 0 trị   Hàm số có  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0) 1 cực  a.b 0 trị   Hàm số   y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)     có 1   a>0 cực đại và 2 cực tiểu b0 Hàm số  y = ax + bx + c (a 0)  chỉ có duy   a < 0 4 2 nhất 1 cực trị là điểm cực đại(có cực  b 0 đại mà không có cực tiểu ) Hàm số   y = ax 4 + bx 2 + c (a 0) chỉ có duy   a > 0 nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu(có cực  b 0 tiểu mà không có cực đại)   � b b2 � Đồ thị hàm số  y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)  có 3 điểm cực trị  A(0; c) , B � �− − ;c − �  ,   � 2a 4a � � � b b2 � C� − � 2a ; c − �tạo thành :  � 4a � �                  Dữ kiện                               Công thức  a.b < 0             Tam giác vuông cân  b 3 + 8a = 0 a.b < 0            Tam giác đều  b3 + 24a = 0                a.b < 0                   BAC ᄆ =α  b3 + 8a cos α = b3 − 8a                                                                                                                                                         14
  15.                  BC = OA   a.b < 0 ac 2 + 2b = 0       a.b < 0                     BC = m0   am02 + 2b = 0 a.b < 0                      AB = AC = n0 16a 2 n02 + 8ab = b 4   a.b < 0                       B, C Ox b 2 = 4ac                 a.b < 0                        S∆ABC = S0   hay  32a 3 ( S0 ) 2 + b5 = 0 a.b < 0 b5 S0 = − 32a 3 a.b < 0 Tam giác ngoại tiếp đường tròn có bán  b2 r0 = kính  r0   � b3 � 4 a �1 − + 1� � 8a � � � Tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính  a.b < 0 R0 b3 − 8a R0 = 8ab Gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác  a.b < 0 ABC   b 2 = 6ac Gốc tọa độ O là trực tâm của tam giác  a.b < 0 ABC  b3 + 8a − 4ac = 0 Tam giác ABC cùng với O tạo thành một  a.b < 0 hình thoi  b 2 = 2ac *) Ví dụ minh họa :  Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị  hàm số  y = x 4 − 2(m + 1) x 2 − 3  có 3 điểm cực trị ?      A.  m 0 .                  B.  m > −1                    C.  m > 1                       D.  m > 0                 Giải  Hàm số có 3 điểm  cực trị khi  a.b < 0   � −2(m + 1) < 0 � m > −1   Chọn đáp án B. Ví dụ 12 : Tìm m để đồ thị  hàm số  y = x 4 − 2(3 − m) x 2 + 2  có đúng 1 điểm cực trị ?      A.  m < 3                    B.  m > 3                          C.  m 3                      D.  m 3    [3]                                                                                                                                                         15
  16. Giải  Hàm số có 3 điểm  cực trị khi  a.b 0   �−−�۳ 2(3 m) 0 m 3  Chọn đáp án D Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị  hàm số  y = − x 4 + 2(m − 2) x 2 + m  có 2 cực  đại và 1cực  tiểu.     A .  m = 2                    B.  m > 2                           C.  m 2                 D.  m < 2         Giải : �a2 b � > 0 �m − 2 > 0 Chọn đáp án B Ví dụ 14: Cho hàm số  y = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m 2 − 5m + 5    ( 1) . Xác định  m  để đồ thị  hàm số  ( 1)  có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A.  m = 2             B.  m = 5 5         C.  m = 1 D.  m = 3 3         [3] 2 Giải  Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân           �ab < 0 �m − 2 < 0                         �3 �� � m = 1  b � + 8a = 0 �8( m − 2) 3 + 8 = 0 Chọn đáp án C. Ví dụ 15: Cho hàm số  y = x 4 − 2m2 x 2 + 1  , có đồ thị  ( Cm ) .Tìm  m  để đồ thị  ( Cm )  có  ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A.  m = 6 3   B.  m = 2 3        C.  m = 1 D.  m = 3 3        [1] 2 Giải   Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều  ab < 0 −2m 2 < 0                          �3 �� 6 � m = �6 3 b + 24a = 0 −8m + 24 = 0 Chọn đáp án A Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m  có 3 điểm cực trị tạo  thành tam giác có một góc bằng 1200 1 1 1   A.  m = 0  hoặc  m = − 3        B.  m = 0  hoặc  m = 3      C.  m = 0         D.  m = − 3     3 3 3 [3] Giải   Tam giác ABC cân tại C nên  BAC ᄆ = 120   0 �a.b < 0 �m
  17. Chọn đáp án D. Ví dụ 17: Tìm m để hàm số  y = m 2 x 4 − mx 2 + 1 − m  có 3 điểm cực trị  A Ox  ,B,C  sao cho  BC = 2      A.  m = 1                    B.  m = 0                     C.  m = 1               D.  m = 0 hoặc  m = 1    [1] Giải :   a.b < 0 − m3 < 0           � 2 � � 2 � m =1 am0 + 2b = 0 2m − 2m = 0 Chọn đáp án A Ví dụ 18: Tìm m để hàm số  y = mx 4 − x 2 + m  có 3 điểm cực trị  A Ox  ,B,C sao cho  1 AC =   4    A.  m = 0                    B.  m = −3                C.  m = 3                          D.  m = 3          [3] Giải  1 ab < 0 Với a = m , b = ­1 , n0 =  . Từ   suy ra m = 3 4 16a 2 n02 + 8ab = b 4 Chọn đáp án D Ví dụ 19: Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 − mx 2 + 1  có ba điểm cực trị A, B, C sao  cho B,C nằm trên trục hoành ?        A.  m < 0                        B . m = 2                      C.  m = 2                 D .  m = −2 Giải    Đồ thị hàm số  có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B,C nằm trên trục hoành khi  �a.b < 0 �−m < 0             �2 ��2 �m=2  b = 4ac � �m =4 Chọn đáp án C Ví dụ 20: Cho hàm số  y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4   ( 1) .Xác định  m  để đồ thị hàm số  ( 1)   có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4. A.  m = 6 3      B.  m = 5 16 C.  m = 5 16          D.  m = 3 3          [3] Giải  Đồ thị hàm số  có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4. ab < 0 −2 m < 0                  � � � � 5 16 32a ( S0 ) + b = 0 3 2 5 512 + (−2m) = 0 5 Chọn đáp án  B Ví dụ 21: Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 − 2(1 − m 2 ) x 2 + m + 1  có 3 điểm cực trị tạo  thành một tam giác có diện tích lớn nhất ?                                                                                                                                                         17
  18. 1    A.  m = 2                     B.  m = −                    C.  m = 0               D.  m = −2        [3] 2 Giải  Đồ thị hàm số có 3 cực trị A,B,C :  −2(1 − m 2 ) < 0 � −1 < m < 1   Diện tích tam giác ABC :  b5                        S ABC = − = (1 − m 2 )5 1 32a 3 Do đó  MaxS ABC = 1  khi  m = 0 Chọn đáp án C Ví dụ 22 : Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 − 2mx 2 + m − 1  có 3 điểm cực trị tạo  thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?     A.  m = 1  hoặc  m = −1 − 5                                         B.  m = 1  hoặc  m = −1 + 5     2 2     C.  m = −1  hoặc  m = −1 + 5                                       D.  m = −1  hoặc  m = −1 − 5 2 2 Giải                                                                                                                      [1] Đồ thị hàm số  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn  ngoại tiếp bằng  R0 = 1      a.b < 0 −2 m < 0 m =1 � � m > 0                    �R = b3 − 8a � � −8m3 − 8 � � 3 � −1 + 5 �0 1= � m − 2m + 1 = 0 m= 8ab −16m 2 Chọn đáp án B Ví dụ 23: Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 − 2mx 2 + m  có 3 điểm cực trị tạo thành  một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1?    A.  m = 1                     B.  m = 2                        C.  m = −1              D.  m = −1 hoặc  m = 2 Giải                                                                                                                          Đồ thị hàm số  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn  nội tiếp bằng  r0 =  1 a.b < 0 −2m < 0 b2 4m 2 m>0 m = −1 r   �0 = � 1= � = m2 � �m=2 � b3 � � � −8m3 � 1 + m3 + 1 m=2 � 4 a �1 − + 1� � 4 �1 − + 1� � � 8a � � � 8 � � � � � Chọn đáp án B 1 Ví dụ 24: Tìm m để đồ thị hàm số  y = x 4 − (3m + 1) x 2 + 2m + 2  có 3 điểm cực trị  4 tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O ? 2 1 1 2 1   A.  m = −                  B.  m = −                 C.  m =               D.  m = − hoặc  m = − 3 3 3 3 3                                                                                                                                                         18
  19. Giải                                                                                                                   [1] Đồ thị hàm sốcó 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa  3m + 1 1 −
  20. người khác.                                                    Lê Thanh Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Cực trị  ­ Nhận biết  –Thông Hiểu – Vận dụng –Tác giả  Nguyễn Bảo   Vương 2) Chinh phục đề thi Đại Học Quốc Gia Hà Nội – Tác giả Ông Cao Tuấn  3) Ngân hàng đề trắc nghiệm trên trang Luyện thi thủ khoa ­Internet 4) Một số thủ thuật giải nhanh môn toán – Tác giả Nguyễn Phú Khánh  4) Sách giáo khoa Giải tích 12 – Nâng cao – NXB Giáo Dục (2007)                                                                                                                                                                20
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2