intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn thi: Tích phân

Chia sẻ: Truong Triet | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
49
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Bài toán: Tính I = *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi: Tích phân

  1. http://ebooktoan.com 1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số b Bài toán: Tính I = f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α ; β ] , 2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , b β thì I = � a f ( x)dx = � α f (u (t ))u ' (t )dt . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: π 1 2 a) I = x 2 x 3 + 5dx b) J = ( sin 4 x + 1) cos xdx 0 0 Giải: a) Ta cú t = x 3 + 5 � dt = 3x 2 dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 1 6 +1 1 (t ) 6 2 6 1 6 dt 1 1 2 ( t ) dt = 1 �I = x � x + 5dx = � = = t t 2 3 2 t 3 35 3 +1 5 9 5 0 5 2 4 10 = 6− 5. 3 9 π π 2 �1 � 6 b) Ta có J = (sin 4 x + 1)d (sin x) = � sin x + sin x �2 = 5 �5 �0 5 0 Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
  2. http://ebooktoan.com 2 4 1 dx a) 4 − x 2 dx b) 0 0 1 + x 2 �π π � Giải: a) Đặt x = 2sin t , t �� − ; �. �2 2� π Khi x = 0 thì t = 0. Khi x = 2 thì t = . 2 Từ x = 2sin t dx = 2cos tdt π π 4 2 2 �0 4 − x 2 dx = �0 � 4 − 4sin 2 t .2cos tdt = 4 cos 2 tdt = π . 0 �π π � b) Đặt x = tan t , t ��− ; �. � 2� 2 π Khi x = 0 thì t = 0 , khi x = 1 thì t = . 4 dt Ta có: x = tan t � dx = . cos 2 t π π 1 4 4 π dx 1 dt π � 0 � � 1 + x 2 = 0 1 + tan 2 t . cos 2 t = 0 dt = t 4 0 = 4 . � Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a 2 + x 2 , a 2 − x 2 và x 2 − a 2 (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: �π π � • Với a 2 − x 2 , đặt x = a sin t , t �� − ; � �2 2� hoặc x = a cos t , t [ 0; π ] . �π π � • Với a 2 + x 2 , đặt x = a tan t , t ��− ; � �2 2� hoặc x = acott , t ( 0;π ) .
  3. http://ebooktoan.com 3 a �π π � • Với x − a , đặt x = 2 2 − ; , t �� \ { 0} sin t �2 2�� π hoặc x = a ; t [ 0;π ] \ � � � �. cos t �2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] b u (b ) sao cho f ( x)dx = g (u ( x))u ( x )dx = g (u ) du thì I = ' � � f ( x)dx = g (u )du . a u(a) 1 Ví dụ 3: Tính I = x 2 x 3 + 5dx 0 Giải: Đặt u ( x) = x + 5 .Tacó 3 u (0) = 5, u (1) = 6 . 6 6 2 Từ đó được: I = 1 35 2 udu = u u = 6 6 − 5 5 = 9 5 9 4 9 6− 10 9 5 ( ) Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 1 e2 1 dx 4x + 2 ( 2 x + 1) 5 a) dx b) c) dx 0 x ln x 0 x2 + x + 1 e 2π 2 3 dx 2π d) e) cos(3 x − ) dx 1 (2 x − 1) 2 π 3 3 Giải: a) Đặt u = 2 x + 1 khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 du Ta có du = 2dx � dx = . Do đó: 2 1 3 1 5 u6 3 1 6 � ( 2 x + 1) dx = u du = � 5 2 = (3 − 1) = 60 . 0 21 12 1 12 3 b)Đặt u = ln x . Khi x = e thì u = 1 . Khi x = e 2 thì u = 2 .
  4. http://ebooktoan.com 4 e2 2 dx dx du 2 Ta có du = x � � e = x ln x 1 u = ln u = ln 2 − ln1 = ln 2 . 1 c)Đặt u = x 2 + x + 1 . Khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 . Ta có du = (2 x + 1) dx . Do đó: 1 3 4x + 2 2du 3 �0 x2 + x + 1 dx = 1 u � = 2ln u 1 = 2(ln 3 − ln1) = 2ln 3 . d)Đặt u = 2 x − 1 . Khi x = 1 thì u = 1 . Khi x = 2 thì u = 3 . du Ta có du = 2dx � dx = . Do đó: 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1 � 1 = (2 x − 1) 2 2 1 u 2�= − 2u 1 = − ( 2 3 − 1) = 3 . 2π e)Đặt u = 3 x − . 3 π π Khi x = thì u = , 3 3 2π 4π Khi x = thì u = . 3 3 du Ta có du = 3dx � dx = . Do đó: 3 2π 4π 4π 3 3 2π 1 1 3 1 � 4π π� � π cos(3 x − ) dx = 3 3π � cos udu = sin u 3 π = � sin 3� 3 − sin � 3� 3 3 3 1� 3 3� 3 = �− − �= − . 3� 2 2 � 3 2.Phương pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] thì:
  5. http://ebooktoan.com 5 b b b � a u ( x)v ' ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) � − v( x)u ' ( x)dx a a b b b � hay udv = uv − vdu . a a a � Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: • Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v ( x)dx. ' • Bước 2: Tính du = u ' dx và v = �� dv = v ' ( x)dx . b b b = � � ' • Bước 3: Tính vdu vu dx và uv . a a a • Bước 5: Áp dụng công thức trên. e Ví dụ 5: Tính x ln xdx 1 dx du = u = ln x x Giải: Đặt dv = xdx x2 v= 2 e e x2 e 1 e2 x 2 e e2 + 1 �1 x ln xdx = ln x − 2 1 21 xdx = − 2 4 1 = 4 � . Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: π π 2 1 ln x 2 x 2 a) dx b) x cos xdx c) xe dx d) e x cos xdx 1 x5 0 0 0 dx u = ln x du = � � x Giải: a) Đặt � 1 � . Do đó: �dv = dx � 1 x5 v=− 4 4x
  6. http://ebooktoan.com 6 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1 � 1 � 15 − 4 ln 2 � 1 x 5 dx = − 4 x 4 1 + 4 � 1 x 5 = − 64 + � 4 � − 4 �= 4 x � 256 . 1 u=x � �du = dx b) Đặt � � . Do đó: �dv = cos xdx v = sin x � π π 2 π 2 π π π � 0 0 0 � x cos xdx = ( x sin x ) 2 − sin xdx = + cos x 2 = − 1. 2 0 2 u=x � �du = dx c)Đặt � � x . Do đó: �dv = e x dx v=e � 1 1 1 1 � xe x dx = xe � − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1 . x 0 0 0 0 �u = ex �du = e x dx d) Đặt � � �dv = cos xdx �v = sin x π π 2 π 2 � � � e x cos xdx = e x sin x 2 − e x sin xdx . 0 0 0 �u1 = e x �du1 = e x dx Đặt � � �dv1 = sin xdx �v1 = − cos x π π 2 π π 2 � � e cos xdx = e 2 + e cos x 2 − e x cos xdx . � x x 0 0 0 π π π 2 2 π e −1 2 � � 2 e x cos xdx = e − 1 � e x cos xdx = 0 2 � 0 2 . *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
  7. http://ebooktoan.com 7 b b b b P( x)e x dx P( x)ln xdx P( x)cos xdx e x cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm th ế nào để chọn u và dv = v ' dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn gi ản, ch ọn dv = v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: β • Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là α ax một trong những hàm số: e , cos ax, sin ax thì ta thường đặt u = P( x) du = P ' ( x)dx � � dv = Q( x)dx v = Q( x)dx β • Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) hàm số ln(ax) thì ta đặt � � dv = P( x)dx v = P ( x)dx β β • Nếu tính tích phân I = J = e ax sin bxdx thì ax e cos bxdx hoặc α α
  8. http://ebooktoan.com 8 du = ae dx ax u = e ax ta đặt � � 1 dv = cos bxdx v = sin bx b du = ae ax dx u=e ax hoặc đặt � � 1 dv = sin bxdx v = − cos bx b Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: β dx I= (a 0) . α ax 2 + bx + c (trong đó ax 2 + bx + c 0 với mọi x [α; β ] ) Xét ∆ = b 2 − 4ac . β dx I= +)Nếu ∆ = 0 thì 2 � b � tính được. α a �x − � � 2a � β 1 dx +)Nếu ∆ > 0 thì I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) −b + ∆ −b − ∆ (trong đó x1 = ; x2 = ) 2a 2a 1 x − x1 β �I = ln . a ( x1 − x2 ) x − x2 α β β dx dx +) Nếu ∆ < 0 thì I= α ax 2 +�bx + c = ��� α b � � −∆ �� 2 2 �x + �+ � 2 �� a� � 2a � � 4a �� � � �
  9. http://ebooktoan.com 9 b −∆ 1 −∆ 2 ( Đặt x + = 2 tan t � dx = 1 + tan 2 t ) dt , ta tính được I. 2a 4a 2 a β mx + n b) Tính tích phân: I = dx, (a 0) . α ax 2 + bx + c mx + n (trong đó f ( x) = liên tục trên đoạn [ α ; β ] ) ax 2 + bx + c +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx + n A(2ax + b) B = + ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c β β β mx + n A(2ax + b) B +)Ta có I= ∫ α ax 2 + bx + c dx = ∫α ax 2 + bx + c α∫ ax 2 + bx + c dx dx + β A(2ax + b) β . Tích phân ∫ α ax + bx + c 2 dx = Aln ax 2 + bx + c ε β dx Tích phân tính được. α ax 2 + bx + c b P ( x) c) Tính tích phân I = dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x. a Q ( x) • Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. • Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1 ,α 2 ,..., α n thì đặt P ( x) A1 A2 An = + + ... + . Q ( x ) x − α1 x − α 2 x − αn ( ) + Khi Q ( x ) = ( x − α ) x + px + q , ∆ = p − 4q < 0 thì đặt 2 2
  10. http://ebooktoan.com 10 P( x) A Bx + C = + 2 . Q( x) x − α x + px + q + Khi Q ( x) = ( x − α ) ( x − β ) với α ≠ β thì đặt 2 P ( x) A B C = + + 2 . Q( x) x − α x − β ( x − β ) 1 4 x + 11 Ví dụ 7. Tính tích phân: dx . 0 x + 5x + 6 2 Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A ( 2 x + 5) B = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 4 x + 11 2 Ax + ( 5 A + B ) = , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x 2 + 5x + 6 �2A = 4 �A = 2 �� �� 5 A + B = 11 �B = 1 � 4 x + 11 2 ( 2 x + 5) 1 Vậy = + 2 , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} . x + 5x + 6 x + 5x + 6 x + 5x + 6 2 2 1 1 1 4 x + 11 2x + 5 dx Do đó � 0 x2 + 5x + 6 dx = 2 0 �x 2 + 5 x + 6 dx + � 0 x2 + 5x + 6 1 x+2 1 9 = 2ln x 2 + 5 x + 6 + ln = ln . 0 x+3 0 2 Cách 2. Vì x + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ) nên ta có thể tính tích phân trên bằng 2 cách: Tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A B = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x + 5x + 6 x + 2 x + 3 2
  11. http://ebooktoan.com 11 4 x + 11 ( A + B ) x + 3A + B � = , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �A + B = 4 �A = 3 �� �� �3 A + 2 B = 11 �B = 1 4 x + 11 3 1 Vậy = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} . x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 1 1 1 4 x + 11 dx dx Do đó � 0 x2 + 5x + 6 dx = 3 0 � � + x+2 0 x+3 1 1 9 = 3ln x + 2 + ln x + 3 = ln . 0 0 2 1 dx Ví dụ 8:Tính tích phân: . 0 x2 + x + 1 Giải: 1 1 dx dx Do � = � x2 + x + 1 0 � 1 � 3 2 0 �x + �+ � 2� 4 1 3 �π π� 3 Đặt x + = 2 2 tan t , t �� � ; � dx = ( 1 + tan 2 t ) dt �6 3 � 2 π 3 π π 1 dx 3 ( 1 + tan 2 t ) dt 2 3 3 2 3 3 π 3 Vậy � 0 x2 + x + 1 = � π 2 3 (1 + tan t ) 2 = 3 π � dt = 3 t π = 9 . 6 4 6 6 1 2 Ví dụ 9. Tính tích phân: x3 dx . 0 x −1 2 Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 x3 � x � xdx � 0 x −1 2 0 � x� dx = �x + 2 − 1 dx = xdx + � � 1 � � 0 x2 −1
  12. http://ebooktoan.com 12 1 1 x2 1 1 1 3 = 2 + ln x − 1 2 = + ln . 2 2 2 8 2 4 0 0 2. Tích phân các hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: π 2 a) J = sin 2 x sin 7 xdx ; π − 2 π 2 b) K = cos x (sin 4 x + cos 4 x)dx ; 0 π 2 c) M = 4sin 3 x . dx 0 1 + cos x Giải π π 2 2 1 1 a) J = � 2 π − cos5 xdx − 2 π � cos9 xdx − 2 2 π π 1 1 4 = sin 5 x 2 − sin 9 x 2 = . 10 π 18 π 45 − − 2 2 ( b) Ta có cos x(sin x + cos x) = cos x �sin x + cos x ) − 2sin 2 x cos 2 x � 4 4 2 2 2 � � � 1 2 � � 1 � 3 1 = cos x � 1 − ( 1 − cos 4 x ) �= cos x + cos x cos 4 x 1 − sin 2 x �= cos x � � 2 � � 4 � 4 4 3 1 = cos x + ( cos5 x + cos3x ) . 4 8
  13. http://ebooktoan.com 13 π π π π 2 2 2 2 3 1 1 � K = cos x (sin 4 x + cos 4 x)dx = 0 40�cos xdx + 80 � cos5 xdx + 80 � co3xdx π π π 3 1 1 3 1 1 11 = sin x 2 + sin 5 x 2 + sin 3 x 2 = + − = . 4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1 − cos 2 x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x M = 2. 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác dx 2.2.1.Tính I = asinx + b cos x + c Phương pháp: x 2dt Đặt t = tan � dx = 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có: sin x = và cos x = 1+ t2 1+ t2 dx 2dt I= � asinx + b cos x + c = � ( c − b ) t 2 + 2at + b + c đã biết cách tính. dx Ví dụ 11. Tính 4cos x + 3sin x + 5 x 1� x� 2dt Giải: Đặt t = tan � dt = � 1 + tan 2 � dx � = dx 2 2� 2� 1+ t2 2dt dx 1+ t2 dt � cos x + 3sin x + 3 = � 1− t 2 + 3 2t +3 = 2 � t + 3t + 2 1+ t 2 1+ t 2 x tan + 1 t +1 2 = ln + C = ln +C. t+2 x tan + 2 2
  14. http://ebooktoan.com 14 dx 2.2.2. Tính I = a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d dx Phương pháp: I = ( a + d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c + d ) cos 2 x dx = cos 2 x ( a + d ) tan 2 x + b tan x + ( c + d ) dx � I = dt Đặt t = tgx � dt = đã tính được. cos 2 x ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) dx Ví dụ 12. Tính: I = . sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x dx Giải:Ta có dx I= � sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x = � cos 2 x tan 2 x + 2 tan x − 3 dx Đặt t = tan x � dt = cos 2 x dt dt 1 t −1 1 tan x − 1 �I = �t 2 + 2t − 3 = �( )( t − 1 t + 3 ) = ln 4 t + 3 + C = ln 4 tan x + 3 +C m sin x + n cos x + p 2.2.3. Tính I = dx . a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C sao cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x m sin x + n cos x + p +) Vậy I = dx = a sin x + b cos x + c a cos x − b sin x dx ∫ = A dx + B ∫ a sin x + b cos x + c dx + C ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân ∫ dx tính được
  15. http://ebooktoan.com 15 a cos x − b sin x Tích phân ∫ a sin x + b cos x + c dx = ln a sin x + b cos x + c + C dx Tích phân ∫ a sin x + b cos x + c tính được. cos x + 2sin x Ví dụ 13. Tính: I = dx . 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( 4 A + 3B ) cos x + ( 3 A − 4 B ) sin x, ∀x 2 A= 4 A + 3B = 1 5 �� �� 3 A − 4B = 2 1 B=− 5 �2 1 −4sin x + 3cos x � 2 1 I= �− . dx � = x − ln 4cos x + 3sin x + C . �5 5 4cos x + 3sin x � 5 5 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân. x 2dt • Trường hợp chung: Đặt t = tan � dx = 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 • Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x,cos x ) là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
  16. http://ebooktoan.com 16 R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t. +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = cos x . +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x . 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 1 dx Ví dụ 14. Tính tích phân: I = . 0 x +1 + x Giải 1 1 1 2 dx ( ) 2� ( x + 1) − x 2 � ( ) 3 3 I= � 0 x +1 + x = � 0 x + 1 − x dx = � 3� 2 � = 2 2−2 �0 3 1 x3dx Ví dụ 15:Tính tích phân . 0 x + 1 + x2 1 1 x 3 dx 2 2 −1 Giải: � x+ 0 1 + x2 =� ( x 3 1 + x 2 − x 4 )dx = 0 15 . 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng Ví dụ 15:Tính 1 I = ∫ x 3 1 − x 2 dx 0 Giải:
  17. http://ebooktoan.com 17 1 1 I =∫x 3 1 − x dx = ∫ x 2 1 − x 2 .xdx 2 0 0 Đặt t= 1 − x 2 ⇔ t 2 = 1 − x 2 ⇔ x 2 = 1 − t 2 Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 Vậy 1 0  t3 t5  2 I = −∫ (1 − t )t dt =  −  = 2 2 1  3 5  0 15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 2 Ví dụ 16: Tính J = x 2 − 1 dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu của x 2 − 1 trên đoạn [ −2;2] x -2 -1 1 2 x −12 + 0 - 0 + 2 −1 1 2 Do đó I = � x 2 − 1 dx = ( x − 1) dx + � � 2 ( 1 − x ) dx + � ( x − 1) dx 2 2 −2 −2 −1 1 �x 3 �−1 � x 3 �1 �x 3 �2 = � − x � + �x − � + � − x � = 4 . �3 �−2 � 3 �−1 �3 �1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và lẻ trên đoạn [ − a; a ] . Khi đó a I= f ( x)dx = 0 . −a π 2 xdx Ví dụ 17: Chứng minh I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2
  18. http://ebooktoan.com 18 π π π π Giải: Đặt x = −t � dx = − dt . Khi x= 2 thì t = - 2 , khi x = − thì t = 2 2 π − 2 tdt Do đó : I= ∫ π 4 − sin 2 t = −I 2 π 2 xdx Suy ra : 2I = 0. Ta được I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2 2.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a; a ] . Khi đó a a I= � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx . −a 0 a 0 a Chứng minh : Ta có I = � � � f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx (1) −a −a 0 0 Ta tính J = f ( x )dx bằng cách đặt x = −t ( 0 ��� t a) dx = −dt −a 0 0 a a �J = � −a � � � f ( x)dx = − f (−t )dt = f (t )dt = f ( x)dx (2) a 0 0 a a Thay (2) vào (1) ta được I = � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x Ví dụ 18: Tính tích phân: I = dx π 4 − sin 2 x − 2 π π π 2 2 2 x + cos x x cos x Giải: Ta có I = � − π 4 − sin 2 x dx = � − π 4 − sin 2 x dx + � − π 4 − sin 2 x dx 2 2 2
  19. http://ebooktoan.com 19 π 2 x �π π � x Do f1 ( x ) = là hàm số lẻ trên − ; nên � dx = 0 4 − sin 2 x �2 2�� π 4 − sin 2 x − 2 cos x �π π � và f 2 ( x ) = là hàm số chẵn trên − ; �nên ta có: � 4 − sin 2 x �2 2� π π π 2 2 2 cos x cos x d (sin x) � − π 4 − sin x 2 dx = 2 0 � 4 − sin x 2 dx = −2 π � (sin x + 2) ( sin x + 2 ) − 2 2 π 1 sin x − 2 1 Vậy I = − ln 2 = ln 3 . 2 sin x + 2 2 0 3.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [ − α : α ] . Khi đó α α f ( x) 1 I =∫ x dx = ∫ f ( x)dx −α a +1 2 −α Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx x a t +1 -t Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at Khi x= - α thì t = α ; x = α thì t =- α α α α f ( x) a t f (t ) a t +1 −1 Vậy I =∫ x dx = ∫ t dt = ∫ f (t )dt −α a + 1 −α a + 1 −α a t + 1 α α α f (t ) = ∫ f (t )dt + ∫ t dt = ∫ f ( x)dx + I −α −α a + 1 −α α α f ( x) 1 Suy ra I = ∫ x dx = ∫ f ( x)dx −α a +1 2 −α 1 x4 Ví dụ 19 : Tính tích phân: I = dx . −1 2 x + 1 Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx
  20. http://ebooktoan.com 20 Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 1 1 1 x4 t4 2t Vậy I =∫ x dx = ∫ −t dt = ∫ t t 4 dt −1 2 +1 −1 2 +1 −1` 2 +1 1 1 1 t4 = ∫ t dt − ∫ t 4 dt = ∫ x 4 dx − I −1 −1 2 +1 −1 1 1 1 4 1 x5 1 Suy ra I = = ∫ x dx = = 2 −1 2 5 −1 5 �π� 0; 4.Cho f(x) liên tục trên đoạn � .Khi đó � 2� � π π 2 2 � 0 f (sin x)dx = �0 f (cos x)dx . Chứng minh: π Đặt t = − x � dx = − dt 2 π π Khi x = 0 thì t = , khi x = thì t = 0 2 2 π π π 2 0 2 2 π Do đó � 0 π 2 � f (sin x)dx = − f (sin( − t )dt = � 0 � f (cos t )dt = f (cos x)dx . 0 2 Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức π −α π −α π *Nếu f(x) liên tục trên [ 0;1] thì � α xf (sin x) dx = 2 �f (sin x)dx α 2π −α 2π −α *Nếu f(x) liên tục trên [ 0;1] thì �xf (cos x)dx = π �f (cos x)dx α α
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2