Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...

Chia sẻ: Conan Kaiwas | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

414
lượt xem 107
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f/ (x) 0 (hoặc f/ (x)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...

Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Định lý 1 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / (x) > 0 (hoặc f / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó. 2 Ví dụ 1. Giải phương trình log2 x = . x Giải Điều kiện: x > 0. 2 Xét hàm số f(x) = log2 x - , D = ( 0; +¥ ) ta có: x 1 2 f / (x) = + 2 > 0, " x > 0 x ln 2 x Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0; +¥ ) . Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Định lý 2 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / / (x) > 0 (hoặc f / / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 2. Giải phương trình 2x + 3x = 3x + 2 . Giải f(x) = 2x + 3 x - 3x - 2, D = ¡ ta có : Xét hàm số f / (x) = 2x ln 2 + 3x ln 3 - 3 , f / / (x) = 2x (ln 2)2 + 3x (ln 3)2 > 0 " x Î ¡ . Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1. Chú ý: i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên kho ảng (a; b), g(x) liên t ục và ngh ịch bi ến trong kho ảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c. ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u) = f(v) Û u = v Î (a; b) . Ví dụ 3. Phương trình log 3 x = 4 - x có nghiệm duy nhất x = 3. 1
2 Ví dụ 4. Giải phương trình 3x - 32x = - x 2 + 2x - 1 (1). +1 Giải Đặt u = x 2 + 1, v = 2x , ta có : (1) Û 3u - 3v = v - u Û 3u + u = 3v + v (2). Xét hàm số f(t) = 3t + t Þ f / (t) = 3 t ln 3 + 1 > 0 " t Î ¡ Þ (2) Û f(u) = f(v) Û u = v Û v - u = 0 Û - x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = 1. Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) = f(v) Û u = v được. 1 1 1 Þ x = y ¹ 0 là sai. và x - =y- Chẳng hạn: f(t) = t - x y t B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D. ì f(x) ³ m " x Î X ï i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu ï , ký hiệu: m = min f(x) . í ï f(x 0 ) = m, x 0 Î X xÎ X ï ï î ì f(x) £ M " x Î X ï ï , ký hiệu: M = max f(x) . ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu í ï f(x 0 ) = M, x 0 Î X xÎ X ï ï î 2. Phương pháp giải toán 2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nh ỏ nhất (min) c ủa f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình f / (x) = 0 (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. x 2 - 4x + 5 trên đoạn [- 2; 3] . Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = Giải Ta có: f(x) = x 2 - 4x + 5 liên tục trên đoạn [- 2; 3] x- 2 = 0 Û x = 2 Î [ - 2; 3 ] f(x)/ = x 2 - 4x + 5 f(- 2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = 2 . Vậy min ] f(x) = 1 Û x = 2, max ] f(x) = 17 Û x = - 2 . x Î - 2;3 x Î - 2;3 [ [ 2
Chú ý: i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu fmin , fmax thay cho x min ] f(x), xmax ] f(x) . Î [ - 2;3 Î [ - 2;3 ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. iii) Có thể đổi biến số t = t(x) và viết y = f(x) = g(t(x)) . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . xÎ X tÎ T xÎ X tÎ T 9 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 6 - 3x 4 + x 2 + trên đoạn [- 1; 1] 4 4 . Giải 92 1 Hàm số y = x 6 - 3x 4 + x + liên trên đoạn [- 1; 1] 4 4 Đặt t = x ÞÎ t [0; 1] " x Î [ - 1; 1 ] , ta có: 2 9 1 y = t 3 - 3t 2 + t + liên tục trên đoạn [0; 1] 4 4 9 1 3 Þ y / = 3t 2 - 6t + = 0 Û t = Ú t = (loại). 4 2 2 1 1 3 1 () y(0) = , y = , y(1) = . 4 2 4 2 1 3 1 2 Vậy y min = Û t = 0 Û x = 0 , y max = Û t = Û x = ± . 4 4 2 2 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = - x 2 + 5x + 6 . Giải Ta có điều kiện: - x 2 + 5x + 6 ³Û0 - 1 ££Þ 6 x D = [- 1; 6] Hàm số f(x) = - x 2 + 5x + 6 liên tục trên D - 2x + 5 5 = 0 Û x = Î D. f(x)/ = 2 2 - x 2 + 5x + 6 5 7 () f(- 1) = f ( 6 ) = 0, f =. 2 2 7 5 Vậy fmin = 0 Û x = - 1 Ú x = 6 , fmax = Û x = . 2 2 sin x + 1 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . 2 sin x + sin x + 1 Giải t +1 Đặt t = sin x Þ y = , t Î [- 1; 1] 2 t + t +1 - t 2 - 2t Þ y / = 0 Û t = 0 Î [- 1; 1] y/ = (t 2 + t + 1)2 3
2 y(- 1) = 0, y ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = . 3 p Vậy y min = 0 Û sin x = - 1 Û x = - + k2pÎ k Z , 2 = 1 Û sin x = 0 Û x = k pÎ k Z . y max , 3 Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - 3x + 2 trên đoạn [–3; 2]. Giải 3 Hàm số y = x - 3x + 2 liên tục trên đoạn [ - 3; 2 ] . Đặt f(x) = x 3 - 3x + 2 liên tục trên đoạn [ - 3; 2 ] . f / (x) = 3x 2 - 3 = 0 Û x = ±1 Î [- 3; 2] . f(- 3) = - 16, f(- 1) = 4, f(1) = 0, f(2) = 4 Þ - 16 £ f(x) £ 4 " x Î [- 3; 2] Þ 0 £ f(x) £ 16 " x Î [- 3; 2] Þ 0 £ y £ 16 " x Î [- 3; 2]. Vậy y max = 16, y min = 0 . 2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ¡ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D = (a; b) hoặc D = ¡ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình f / (x) = 0 (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D). Bước 2. Tính xlim+ f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), xlim- f(x) = L2 . ®b ®a Bước 3. + Nếu min { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } < min { L 1, L 2 } thì fmin = min { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } (1). + Nếu max { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } > max { L1, L 2 } thì fmax = max { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } (2). + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max). Chú ý: i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3. ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max. x +1 Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) = . x2 + 1 Giải Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có: 1- x Þ f / (x) = 0 Û x = 1 f / (x) = (x + 1) x 2 + 1 2 1 ( ) x 1+ x Þ lim f(x) = ±1 lim f(x) = lim 1 x ®¥ x ®¥ x ® ±¥ x 1+ 2 x 4
Bảng biến thiên 2 Û x = 1. Vậy hàm số không đạt min và max f(x) = xÎ R Nhận xét: x - m x 2 + 1 + 1 = 0 có nghiệm thực Û - 1 < m £ 2. Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) = x - x 2 - 2x + 2 . Giải Hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Ta có: x- 1 = 0 Û x 2 - 2x + 2 = x - 1 f / (x) = 1 - 2 x - 2x + 2 ìx³ 1 ï Ûï 2 (vô nghiệm). í ï x - 2x + 2 = (x - 1)2 ï î Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng). x Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . 2 x +2- 1 Giải 2 2 Ta có x +2- 1> 0 Þ D = ¡ . x +2 ³ 2 >1Þ x2 x2 + 2 - 1 - x2 + 2 2- x2 + 2 = / Þy= 2 x2 + 2 ( x2 + 2 - 1) 2 ( x + 2 - 1) 2 y/ = 0 Û x2 + 2 = 2 Û x = ± 2 Þ y ( ± 2 ) = ± 2 , x Þ lim y = ±1 lim y = lim æ 1 ö x ® ±¥ 2 Giới hạn x ® ¥ x ®¥ . x ç 1+ 2 - ÷ ç ÷ ç ÷ è xø x Vậy y max = 2, y min = - 2 . Nhận xét: m x 2 + 2 = x + m có nghiệm thực Û - 2£m£ 2. Ví dụ 9. Tìm m để phương trình x + 2x 2 + 1 = m có nghiệm. Giải Xét hàm số y = x + 2x + 1 liên tục trên ¡ . Ta có: 2 2x = 0 Û 2x 2 + 1 = - 2x y/ = 1 + 2 2x + 1 5
ì - 2x ³ 0 ï 2 Ûï 2 Û x =- í . ï 2x + 1 = 4x 2 2 ï î æ 2ö 2 y ç- ÷ ç 2 ø= 2 , lim y = +¥ , ÷ ç ÷ è x ® +¥ ( 2x 2 + 1 + x ) ( 2x 2 + 1 - x ) lim y = lim 2x 2 + 1 - x x ®- ¥ x ®- ¥ 1 x+ x2 + 1 x = lim = lim = +¥ . æ ö x ®- ¥ æ ö 1 1 x ®- ¥ - x ç 2 + 2 + 1÷ - ç 2 + 2 + 1÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø x x 2 2 Þ y min = Þ y³ "x Î ¡ . 2 2 2 Vậy với m ³ thì phương trình có nghiệm. 2 Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max của hàm số. II. ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại số c trong khoảng (a; b) sao cho f(b) - f(a) = (b - a)f / (c) . Ví dụ 10. Chứng tỏ rằng phương trình 4x 3 + 3x 2 + 2x - 3 = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1). Giải f(x) = x 4 + x 3 + x 2 - 3x liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). Xét hàm số Áp dụng định lý Lagrange, ta có : f(1) - f(0) $c Î (0;1) : f / (c) = = 0 Þ 4c 3 + 3c2 + 2c - 3 = 0 . 1- 0 Vậy phương trình có nghiệm x = c trong (0; 1). Ví dụ 11. Chứng tỏ rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó a b c = 0 và m > 0. + + m +2 m +1 m Giải a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc. ax 3 bx 2 Xét hàm số F(x) = + cx liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). + 3 2 Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) ab $c Î (0; 1) : F / (c) = = + + c = 0 Þ ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x = c. 1- 0 32 b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng. ax m +2 bx m +1 cx m F(x) = Xét hàm số liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). + + m +2 m +1 m 6
Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) a b c $a Î (0; 1) : F / (a ) = Û x m - 1(ax 2 + bx + c) = =0 + + 1- 0 m +2 m +1 m Þ ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x = a . Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi a, b thì sin b - sin a £ b - a . Giải Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra. Giả sử a < b , áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) = sin x trên [a; b] ta có $c Î (a; b) : sin b - sin a = (b - a) cos c Þ sin b - sin a = b - a cos c £ b - a Vậy sin b - sin a £ b - a với mọi a, b. b- a b b- a () < ln Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu 0 < a < b thì < . b a a Giải 1 Xét hàm số f(x) = ln x liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b). x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b- a b b- a () $c Î (a; b) : ln b - ln a = Þ ln = (1). c a c 1 11 b- a b- a b- a Mặt khác 0 < a < b Þ
1 Xét hàm số f(x) = t gx liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b). cos2 x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b- a $c Î (a; b) : t gb - t ga = . cos2 c p Mặt khác 0 < a < c < b < Þ 0 < cos b < cos c < cos a 2 b- a b- a b- a Þ 0 < cos2 b < cos2 c < cos2 a Þ . < < 2 2 cos2 b cos a cos c b- a b- a £ t gb - t ga £ Vậy . 2 cos2 b cos a 8