Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...
lượt xem 107
download
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f/ (x) 0 (hoặc f/ (x)
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình...
- Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Định lý 1 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / (x) > 0 (hoặc f / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó. 2 Ví dụ 1. Giải phương trình log2 x = . x Giải Điều kiện: x > 0. 2 Xét hàm số f(x) = log2 x - , D = ( 0; +¥ ) ta có: x 1 2 f / (x) = + 2 > 0, " x > 0 x ln 2 x Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0; +¥ ) . Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Định lý 2 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / / (x) > 0 (hoặc f / / (x) < 0 ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 2. Giải phương trình 2x + 3x = 3x + 2 . Giải f(x) = 2x + 3 x - 3x - 2, D = ¡ ta có : Xét hàm số f / (x) = 2x ln 2 + 3x ln 3 - 3 , f / / (x) = 2x (ln 2)2 + 3x (ln 3)2 > 0 " x Î ¡ . Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1. Chú ý: i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên kho ảng (a; b), g(x) liên t ục và ngh ịch bi ến trong kho ảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c. ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u) = f(v) Û u = v Î (a; b) . Ví dụ 3. Phương trình log 3 x = 4 - x có nghiệm duy nhất x = 3. 1
- 2 Ví dụ 4. Giải phương trình 3x - 32x = - x 2 + 2x - 1 (1). +1 Giải Đặt u = x 2 + 1, v = 2x , ta có : (1) Û 3u - 3v = v - u Û 3u + u = 3v + v (2). Xét hàm số f(t) = 3t + t Þ f / (t) = 3 t ln 3 + 1 > 0 " t Î ¡ Þ (2) Û f(u) = f(v) Û u = v Û v - u = 0 Û - x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = 1. Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) = f(v) Û u = v được. 1 1 1 Þ x = y ¹ 0 là sai. và x - =y- Chẳng hạn: f(t) = t - x y t B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D. ì f(x) ³ m " x Î X ï i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu ï , ký hiệu: m = min f(x) . í ï f(x 0 ) = m, x 0 Î X xÎ X ï ï î ì f(x) £ M " x Î X ï ï , ký hiệu: M = max f(x) . ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu í ï f(x 0 ) = M, x 0 Î X xÎ X ï ï î 2. Phương pháp giải toán 2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nh ỏ nhất (min) c ủa f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình f / (x) = 0 (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. x 2 - 4x + 5 trên đoạn [- 2; 3] . Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = Giải Ta có: f(x) = x 2 - 4x + 5 liên tục trên đoạn [- 2; 3] x- 2 = 0 Û x = 2 Î [ - 2; 3 ] f(x)/ = x 2 - 4x + 5 f(- 2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = 2 . Vậy min ] f(x) = 1 Û x = 2, max ] f(x) = 17 Û x = - 2 . x Î - 2;3 x Î - 2;3 [ [ 2
- Chú ý: i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu fmin , fmax thay cho x min ] f(x), xmax ] f(x) . Î [ - 2;3 Î [ - 2;3 ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. iii) Có thể đổi biến số t = t(x) và viết y = f(x) = g(t(x)) . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . xÎ X tÎ T xÎ X tÎ T 9 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 6 - 3x 4 + x 2 + trên đoạn [- 1; 1] 4 4 . Giải 92 1 Hàm số y = x 6 - 3x 4 + x + liên trên đoạn [- 1; 1] 4 4 Đặt t = x ÞÎ t [0; 1] " x Î [ - 1; 1 ] , ta có: 2 9 1 y = t 3 - 3t 2 + t + liên tục trên đoạn [0; 1] 4 4 9 1 3 Þ y / = 3t 2 - 6t + = 0 Û t = Ú t = (loại). 4 2 2 1 1 3 1 () y(0) = , y = , y(1) = . 4 2 4 2 1 3 1 2 Vậy y min = Û t = 0 Û x = 0 , y max = Û t = Û x = ± . 4 4 2 2 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = - x 2 + 5x + 6 . Giải Ta có điều kiện: - x 2 + 5x + 6 ³Û0 - 1 ££Þ 6 x D = [- 1; 6] Hàm số f(x) = - x 2 + 5x + 6 liên tục trên D - 2x + 5 5 = 0 Û x = Î D. f(x)/ = 2 2 - x 2 + 5x + 6 5 7 () f(- 1) = f ( 6 ) = 0, f =. 2 2 7 5 Vậy fmin = 0 Û x = - 1 Ú x = 6 , fmax = Û x = . 2 2 sin x + 1 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . 2 sin x + sin x + 1 Giải t +1 Đặt t = sin x Þ y = , t Î [- 1; 1] 2 t + t +1 - t 2 - 2t Þ y / = 0 Û t = 0 Î [- 1; 1] y/ = (t 2 + t + 1)2 3
- 2 y(- 1) = 0, y ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = . 3 p Vậy y min = 0 Û sin x = - 1 Û x = - + k2pÎ k Z , 2 = 1 Û sin x = 0 Û x = k pÎ k Z . y max , 3 Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - 3x + 2 trên đoạn [–3; 2]. Giải 3 Hàm số y = x - 3x + 2 liên tục trên đoạn [ - 3; 2 ] . Đặt f(x) = x 3 - 3x + 2 liên tục trên đoạn [ - 3; 2 ] . f / (x) = 3x 2 - 3 = 0 Û x = ±1 Î [- 3; 2] . f(- 3) = - 16, f(- 1) = 4, f(1) = 0, f(2) = 4 Þ - 16 £ f(x) £ 4 " x Î [- 3; 2] Þ 0 £ f(x) £ 16 " x Î [- 3; 2] Þ 0 £ y £ 16 " x Î [- 3; 2]. Vậy y max = 16, y min = 0 . 2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ¡ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D = (a; b) hoặc D = ¡ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình f / (x) = 0 (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D). Bước 2. Tính xlim+ f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), xlim- f(x) = L2 . ®b ®a Bước 3. + Nếu min { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } < min { L 1, L 2 } thì fmin = min { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } (1). + Nếu max { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } > max { L1, L 2 } thì fmax = max { f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x n ) } (2). + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max). Chú ý: i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3. ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max. x +1 Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) = . x2 + 1 Giải Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có: 1- x Þ f / (x) = 0 Û x = 1 f / (x) = (x + 1) x 2 + 1 2 1 ( ) x 1+ x Þ lim f(x) = ±1 lim f(x) = lim 1 x ®¥ x ®¥ x ® ±¥ x 1+ 2 x 4
- Bảng biến thiên 2 Û x = 1. Vậy hàm số không đạt min và max f(x) = xÎ R Nhận xét: x - m x 2 + 1 + 1 = 0 có nghiệm thực Û - 1 < m £ 2. Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) = x - x 2 - 2x + 2 . Giải Hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Ta có: x- 1 = 0 Û x 2 - 2x + 2 = x - 1 f / (x) = 1 - 2 x - 2x + 2 ìx³ 1 ï Ûï 2 (vô nghiệm). í ï x - 2x + 2 = (x - 1)2 ï î Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng). x Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . 2 x +2- 1 Giải 2 2 Ta có x +2- 1> 0 Þ D = ¡ . x +2 ³ 2 >1Þ x2 x2 + 2 - 1 - x2 + 2 2- x2 + 2 = / Þy= 2 x2 + 2 ( x2 + 2 - 1) 2 ( x + 2 - 1) 2 y/ = 0 Û x2 + 2 = 2 Û x = ± 2 Þ y ( ± 2 ) = ± 2 , x Þ lim y = ±1 lim y = lim æ 1 ö x ® ±¥ 2 Giới hạn x ® ¥ x ®¥ . x ç 1+ 2 - ÷ ç ÷ ç ÷ è xø x Vậy y max = 2, y min = - 2 . Nhận xét: m x 2 + 2 = x + m có nghiệm thực Û - 2£m£ 2. Ví dụ 9. Tìm m để phương trình x + 2x 2 + 1 = m có nghiệm. Giải Xét hàm số y = x + 2x + 1 liên tục trên ¡ . Ta có: 2 2x = 0 Û 2x 2 + 1 = - 2x y/ = 1 + 2 2x + 1 5
- ì - 2x ³ 0 ï 2 Ûï 2 Û x =- í . ï 2x + 1 = 4x 2 2 ï î æ 2ö 2 y ç- ÷ ç 2 ø= 2 , lim y = +¥ , ÷ ç ÷ è x ® +¥ ( 2x 2 + 1 + x ) ( 2x 2 + 1 - x ) lim y = lim 2x 2 + 1 - x x ®- ¥ x ®- ¥ 1 x+ x2 + 1 x = lim = lim = +¥ . æ ö x ®- ¥ æ ö 1 1 x ®- ¥ - x ç 2 + 2 + 1÷ - ç 2 + 2 + 1÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø x x 2 2 Þ y min = Þ y³ "x Î ¡ . 2 2 2 Vậy với m ³ thì phương trình có nghiệm. 2 Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max của hàm số. II. ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại số c trong khoảng (a; b) sao cho f(b) - f(a) = (b - a)f / (c) . Ví dụ 10. Chứng tỏ rằng phương trình 4x 3 + 3x 2 + 2x - 3 = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1). Giải f(x) = x 4 + x 3 + x 2 - 3x liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). Xét hàm số Áp dụng định lý Lagrange, ta có : f(1) - f(0) $c Î (0;1) : f / (c) = = 0 Þ 4c 3 + 3c2 + 2c - 3 = 0 . 1- 0 Vậy phương trình có nghiệm x = c trong (0; 1). Ví dụ 11. Chứng tỏ rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó a b c = 0 và m > 0. + + m +2 m +1 m Giải a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc. ax 3 bx 2 Xét hàm số F(x) = + cx liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). + 3 2 Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) ab $c Î (0; 1) : F / (c) = = + + c = 0 Þ ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x = c. 1- 0 32 b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng. ax m +2 bx m +1 cx m F(x) = Xét hàm số liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1). + + m +2 m +1 m 6
- Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) a b c $a Î (0; 1) : F / (a ) = Û x m - 1(ax 2 + bx + c) = =0 + + 1- 0 m +2 m +1 m Þ ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x = a . Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi a, b thì sin b - sin a £ b - a . Giải Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra. Giả sử a < b , áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) = sin x trên [a; b] ta có $c Î (a; b) : sin b - sin a = (b - a) cos c Þ sin b - sin a = b - a cos c £ b - a Vậy sin b - sin a £ b - a với mọi a, b. b- a b b- a () < ln Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu 0 < a < b thì < . b a a Giải 1 Xét hàm số f(x) = ln x liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b). x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b- a b b- a () $c Î (a; b) : ln b - ln a = Þ ln = (1). c a c 1 11 b- a b- a b- a Mặt khác 0 < a < b Þ
- 1 Xét hàm số f(x) = t gx liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b). cos2 x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b- a $c Î (a; b) : t gb - t ga = . cos2 c p Mặt khác 0 < a < c < b < Þ 0 < cos b < cos c < cos a 2 b- a b- a b- a Þ 0 < cos2 b < cos2 c < cos2 a Þ . < < 2 2 cos2 b cos a cos c b- a b- a £ t gb - t ga £ Vậy . 2 cos2 b cos a 8
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số
5 p | 2710 | 596
-
Phương pháp hàm số trong giải toán
17 p | 792 | 289
-
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2 p | 674 | 107
-
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE
7 p | 396 | 86
-
KIỂM TRA 1 TIẾT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Môn:Giải tích (Thời gian 45 phút) Chương 1 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ HÀM SỐ
2 p | 571 | 73
-
Kiến thức giải tích 12 - P5 - Nguyễn Lương Thành
2 p | 286 | 73
-
Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số - GV. Nguyễn Tất Thu
13 p | 314 | 67
-
Ứng dụng hàm số trong giải toán
13 p | 229 | 58
-
Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
19 p | 639 | 50
-
Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
5 p | 186 | 44
-
Bài tập Ứng dụng đạo hàm
11 p | 172 | 30
-
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 - Chương 1 Ứng dụng đạo hàm - Giải tích
3 p | 210 | 24
-
Chuyên đề: Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm
19 p | 122 | 19
-
Một số bài tập ứng dụng đạo hàm môn toán 12 - Sự tiếp xúc và phương trình tiếp tuyến
2 p | 139 | 12
-
Giáo án Giải tích 12 ban tự nhiên : Tên bài dạy : KIỂM TRA CHƯƠNG I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
6 p | 112 | 10
-
Ôn tập kiến thức chương 1 môn Toán lớp 12 - THPT Nguyễn Du, Thanh Oai, Hà Nội
6 p | 134 | 7
-
Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số SGK Giải tích 12
7 p | 150 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn