Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Bfgh Bfgh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 Ma trận - định mức trình bày về khái niệm ma trận, các phép toán trên ma trận, tính chất ma trận, ma trận con; định nghĩa định mức, tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương

Chương 1: MA TR N − Đ NH TH C Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 30 tháng 10 năm 2013 1
1 Gi i thi u 2 Ma tr n Các khái ni m Các phép toán trên ma tr n Các tính ch t Ma tr n con 3 Đ nh th c Đ nh nghĩa Tính đ nh th c b ng các phép bi n đ i sơ c p Các tính ch t Đ nh th c con 4 H ng c a ma tr n Đ nh nghĩa Tìm h ng c a ma tr n b ng các phép bi n đ i sơ c p 5 Ma tr n ngh ch đ o Đ nh nghĩa Đi u ki n t n t i Tìm ma tr n ngh ch đ o b ng ma tr n ph n bù đ i s Tìm ma tr n ngh ch đ o b ng các phép bi n đ i sơ c p Tính ch t
Gi i thi u Công ty đi n t ABC s n xu t 4 m t hàng TV, radio, đ u máy VCD và qu t máy. Công ty có 3 đ i lý bán hàng. B ng sau cho bi t s lư ng các m t hàng bán đư c c a các đ i lý trong tháng 9 v a qua: TV radio đ u máy VCD qu t máy Đ i lý 1 120 150 80 210 Đ i lý 2 140 180 120 220 Đ i lý 3 150 120 180 250 Ta có th vi t l i b ng trên như sau:   120 150  80 210  q = 140 180 120 220       150 120 180 250   - Dòng th nh t là vector kh i lư ng hàng hóa bán đư c trong tháng 9 c a đ i lý 1. - Dòng th hai là vector kh i lư ng hàng hóa bán đư c trong tháng 9 c a đ i lý 2. - C t th nh t là vector kh i lư ng TV bán đư c trong tháng 9 c a công ty ABC. - C t th nh t là vector kh i lư ng radio bán đư c trong tháng 9 c a công ty
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa - Ma tr n c p m × n là m t b ng s (th c ho c ph c) hình ch nh t bao g m m dòng và n c t . - Ma tr n A c p m × n, kí hi u A = (aij )mxn v i i = 1, m, j = 1, n  a11 ... a1j ... a1n    . . .     . . .   . . .         A =  ai1 ... aij ... ain ← dòng th i       . . .      . . .   . . .         ... amj . . .   am1 amn m×n ↑ c t th j - Ai∗ = ai1 ai2 · · · ain đư c g i là dòng th i c a ma tr n A.  a1j      a   2j    - A∗j =  .  đư c g i là c t th j c a ma tr n A.    .   .          amj 4  
Ma tr n Các khái ni m Ví d :    0  1 2 3   A= 4 5 6 7        8 9 10 11   A là ma tr n có 3 dòng và 4 c t A là ma tr n th c c p 3 × 4 Các ph n t c a ma tr n A là: a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a14 = 3 a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a24 = 7 a31 = 8, a32 = 9, a33 = 10, a34 = 11 Đ nh nghĩa Ma tr n không là ma tr n có các ph n t đ u b ng không (aij = 0, ∀i, j), kí hi u là O. Ví d : 0 0 0 O2×3 = 0 0 0 5
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Cho A = (aij )mxn Khi m=1, ta đư c ma tr n dòng A = (a11 a12 · · · a1n )  a11     a    21     Khi n=1, ta đư c ma tr n c t A =  .     .   .          am1 Ví d :  1       2    Ma tr n dòng A = (1 2 3) và ma tr n c t B =      3          4 6
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Ma tr n vuông c p n là ma tr n có n dòng và n c t. Các ph n t aii l p thành đư ng chéo chính. Các ph n t aij v i i + j = n + 1 l p thành đư ng chéo ph . Ví d :  0 1 2 3      4   5 6 7  A=     8 9 10 11          12 13 14 15 4×4
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Ma tr n vuông A = (aij )nxn đư c g i là ma tr n tam giác trên ⇔ Các ph n t n m phía dư i đư ng chéo chính đ u b ng 0, t c là aij = 0, ∀i > j. Ví d :  2 1 −3      A= 0 0 0        0 0 1   Đ nh nghĩa Ma tr n vuông A = (aij )nxn đư c g i là ma tr n tam giác dư i ⇔ Các ph n t n m phía trên đư ng chéo chính đ u b ng 0, t c là aij = 0, ∀i < j. Ví d :    2  0 0   A =  −1 0 0        3 0 3   8
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Ma tr n vuông A đư c g i là ma tr n chéo ⇔ Các ph n t không n m trên đư ng chéo chính đ u b ng 0, t c là aij = 0, ∀i j Ví d :    1  0 0   A= 0 0 0        0 0 −3   Đ nh nghĩa Ma tr n chéo có các ph n t n m trên đư ng chéo chính đ u b ng 1 đư c g i là ma tr n đơn v , t c là aij = 0, ∀i j và aii = 1, ∀i. Ma tr n đơn v c p n đư c kí hi u là In .   1 0  1 0 0    0 1 0  Ví d : I2 = ; I3 =    0 1     0 0 1   9
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Ma tr n b c thang theo dòng là ma tr n th a 2 đi u ki n 1. Các dòng không (n u có) ph i n m dư i cùng. 2. Ph n t khác không đ u tiên c a dòng trên (n u có) ph i n m c t bên trái ph n t khác không đ u tiên c a dòng dư i (n u có). Ví d : Cho bi t các ma tr n sau có ph i là ma tr n b c thang theo dòng hay không?  1 0 2 3      1 0 2     ;B= 0     2 −1 1   A= 0 2  −1    0 ;  0 0 0        0 0 0         0 0 1 1  1 0 2 1 0 2 3 −1             0 2  −1  ;D =  0     2 −1 1 0  C=       0 −1 1  0 0 1 0 3                   0 0 1 0 6 0 1 1
Ma tr n Các khái ni m Đ nh nghĩa Ma tr n đ i x ng là ma tr n vuông th a aij = aji , ∀i, j = 1, n Ví d :  −1    1 0   A= 1 2 5        0 5 0   Đ nh nghĩa A và B cùng c p Cho 2 ma tr n A, B. A = B ⇔ aij = bij , ∀i, j  1 −2 x − 1  −2        1  3    −3 0 1  và B =   −3 0 1  Ví d : Cho A =            4 1 5 4 y+1 5     x−1=3 x=4 A=B⇔ ⇔ 1=y+1 y=0
Ma tr n Các phép toán trên ma tr n Đ nh nghĩa Ma tr n chuy n v c a A = aij , kí hi u là AT = aji có đư c b ng m×n n×m cách đ i dòng c a ma tr n A thành c t ho c đ i c t thành dòng. Ví d :  2 4 3    2 −1   3 1      A= 4 0  9 2   T  −1 0  1   A =        3 9 −2     3 1 −2 0 3×4          1 2 0 4×3 Đ nh nghĩa Tích c a ma tr n A = (aij )mxn v i m t s k là ma tr n C = k.A = (cij )mxn v i cij = k.aij , ∀i, j Ví d :    2  1 4     4 2 8   A= 1 1 0     ⇒ 2A =  2 2 0           1 3 9     2 6 18   3×3 3×3 12
Ma tr n Các phép toán trên ma tr n Đ nh nghĩa T ng 2 ma tr n cùng c p A = (aij )mxn và B = (bij )mxn là ma tr n C = A + B = (cij )mxn v i cij = aij + bij , ∀i, j      2 1 4     1 3  1   Ví d : Cho ma tr n A =  1 1 0  và ma tr n B =  1 4 0              1 3 9 4 3 2         3 4 5   Khi đó ma tr n A + B =  2 5 0  ; A − B =?       5 6 11   Đ nh nghĩa Cho ma tr n A = (aij )mxp và B = (bij )pxn . Khi đó C = A.B t n t i và C = (cij )mxn v i cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj hay   ∗ b1j ∗ .       . .  ∗ ∗ ∗ ∗   ∗ b2j   ∗            ...   ... ...      AB =  ai1 ai2 aip   . cij   =  .  .    .  ∗    ∗     ∗ ∗ ∗ ∗ .       .         ∗ bpj ∗ 13
Ma tr n Các phép toán trên ma tr n Ví d : Xác đ nh ma tr n C = A.B   2 1 4  1  1 2   A= B= 3   0 1   4 1 0    2 4 3 2x3   3x3 Gi i   2 1 4  1  1 2   c11 c12 c13 C = A.B = × 3 0 1 =     4 1 0 c21 c22 c23    2 4 3 2x3   2x3 3x3    1    v i c11 = 2 1 4 ×  3  = 2.1 + 1.3 + 4.2 = 13       2     1     c12 = 2 1 4 ×  0  = 2.1 + 1.0 + 4.4 = 18       4      2    c13 = 2 1 4 ×  1  = 2.2 + 1.1 + 4.3 = 17       3   14
Ma tr n Các phép toán trên ma tr n Tương t ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9 13 18 17 V y C = A.B = 7 4 9 2 −1 1 Ví d : Tìm ma tr n X th a AX = B, bi t A = v iB= 2 1 3 a Gi i: Đ t X = , ta có b 2 −1 a 1 2a − b 1 AX = B ⇔ = ⇔ = 2 1 b 3 2a + b 3 2a − b = 1 a=1 1 ⇔ ⇔ .Vy X= 2a + b = 3 b=1 1 15
Ma tr n Các tính ch t Tính ch t A+B=B+A k.(lA) = (kl).A A+0=A k(A + B) = kA + kB A + B + C = (A + B) + C = (k + l)A = kA + lA A + (B + C) Tính ch t ABC = (AB)C = A(BC) (kA)B = A(kB) = k(AB) A(B ± C) = AB ± AC (A ± B)T = AT ± BT (B ± C)A = BA ± CA (A.B)T = BT .AT Im .Amxn = Amxn = Amxn .In 16
Ma tr n Các tính ch t Chú ý : AB t n t i không th suy ra BA t n t i AB và BA cùng t n t i không th suy ra AB = BA A.B = 0 không th suy ra A = 0 ho c B = 0 AB = CB không th suy ra A = C Cho A = (aij )nxn . Quy ư c A0 = I, A2 = A.A, . . . , An = A · A · · · A · A n
Ma tr n Các tính ch t Bài toán: Cho ma tr n A = (aij )nxn . Xác đ nh f(A), bi t f(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Ta có f(A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 In . Ví d : Xác đ nh f(A), bi t 2 1 A= , f(x) = 2x2 − 4x + 3 1 2 Gi i. Ta có: f(A) = 2A2 − 4A + 3I2 2 1 2 1 5 4 Tính đư c A2 = × = , t đó suy ra 1 2 1 2 4 5 10 8 2A2 = 8 10 −8 −4 3 0 Ta có: −4A = và 3I2 = −4 −8 0 3 5 4 V y: f(A) = 4 5
Ma tr n Ma tr n con Đ nh nghĩa Cho A = (aij )mxn . Ma tr n con c p k c a A là ma tr n có đư c b ng cách l y giao c a k dòng, k c t b t kỳ c a A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hi u Am1 ,...,mk ; n1 ,...,nk Ví d :    0  1 2 3   Cho A =  4 5 6 7        8 9 10 11   0 1 1 3 Khi đó A1,2; 1,2 = , . . . , A1,3; 2,4 = ,... 4 5 9 11 S ma tr n con c p k c a A = (aij )mxn là Ck .Ck . m n
Ma tr n Ma tr n con Đ nh nghĩa Cho A = (aij )nxn . Ma tr n con tương ng v i ph n t aij c a A, kí hi u là Mij , có đư c b ng cách b đi dòng i và c t j c a A.    0 1 2    Ví d : Cho A =  3 4 5  . Khi đó       6 7 8   4 5 0 1 0 1 M11 = , . . . , M23 = , . . . , M33 = ,... 7 8 6 7 3 4 S ma tr n con tương ng v i m t ph n t c a A = (aij )nxn là n2 .