intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:48

Thêm vào BST
Báo xấu
186
lượt xem 29
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 trình bày tích phân bội ba – định nghĩa và cách tính bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể giải thích các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 ,..., Ωn có thể tích tương ứng là ∆V1, ∆V2 ,..., ∆Vn Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn = f ( xk , y k , zk )∆Vk k =1 Cho max d (Ωk ) 0 nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn , S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω
  2. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính n Vậy: �f ( x, y , z )dV = �� lim f ( xk , y k , zk )∆ Vk Ω max d ( Ω k ) 0 k =1 Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : �f ( x, y , z )dV = �f ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω
  3. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω 1. �dxdydz = V (Ω ) �� Ω 2. � C.f ( x, y , z )dxdydz = C � f ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω 3. � (f ( x, y , z ) + g ( x, y , z ))dxdydz = � f ( x, y , z )dxdydz + � g ( x, y , z )dxdydz �� �� �� Ω Ω Ω 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì � f ( x, y , z )dxdydz � g ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 5. �f ( x, y , z )dxdydz = �f ( x, y , z )dxdydz + �f ( x, y , z )dxdydz �� �� �� Ω Ω1 Ω2
  4. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : �f ( x, y , z )dxdydz = f ( x0 , y 0 , z0 )V ( Ω ) �� Ω Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 �f ( x, y , z )dxdydz �� V (Ω ) Ω
  5. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì ϕ �( x,y ) � �f ( x, y , z )dxdydz = � � f ( x, y , z )dz � �� �� dxdy Ω D �( x ,y ) ψ � ϕ ( x ,y ) Ta còn viết tích phân trên ở dạng � �dxdy � f ( x, y , z )dz D ψ ( x ,y ) Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω
  6. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 = �2zdxdydz �� Ω Trong đó Ω giới hạn bởi 0 x,0 y, x 2 + y 2 z 4 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên 4 2 4 I1 = � �dxdy � 2zdz = � z )x 2 + y 2 dxdy �( D x2 + y 2 D π 2 2 2 2 2 = �(16 − ( x + y ) )dxdy = � ϕ �(16 − r 4 )dr � d r D 0 0
  7. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0
  8. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 = �( x + y )dxdydz �� Ω Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong Ω D mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 -1 1
  9. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y+z=1 Vì vậy: 1− y I2 = � �dxdy �( x + y )dz D 0 = � x + y )( z0− y )dxdy �( 1 D z=0 1 1 I2 = � � x + y )(1 − y )dy dx ( y=x2 −1 x2
  10. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : x+ y= 1 I3 = � f ( x, y , z )dxdydz �� W x +y I3 = � dxdy � � xdz D 0 1 1- x I3 = � � xdx dy 0 0
  11. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính x+y=z y=0 x+y=1 x=0
  12. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), z chúng được gọi là tọa độ M(x,y,z) trụ của điểm M. Công z thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là r y x φ x = r cos ϕ N(r,φ) y = r sin ϕ z=z
  13. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ � f ( x, y , z )dxdydz = � r .f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )drdϕ dz �� �� Ω Ω Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
  14. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân I3 = �zdxdydz �� Ω Trong đó Ω là miền giới hạn bởi z = x 2 + y 2 , z = x 2 + y 2 Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z= x +y = x +y �( x +y ) − x +y =0 z = x 2 + y 2 = 0 (loại) z = x2 + y 2 = 1 Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn x2 + y 2 1 , tương ứng ta có
  15. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2 2 2 2 Vì x2+y2≤1 nên x +y x +y x2 + y 2 Vậy: I3 = � dxdy � � zdz x2 + y 2 1 x2 + y 2 Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : x = r cos ϕ 2π 1 r y = r sin ϕ và ta có I3 = � ϕ � � d rdr zdz z=z 0 0 r2 2 r 1 z 1 2 4 π I3 = 2π .� .( ) = π .�(r − r )dr = rdr r 0 2 r2 0 12
  16. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Miền D
  17. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ z Ví dụ 5: Tính tích phân I5 = � � � dxdydz Ω x2 + y 2 Trong đó Ω giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1, z = 0, x + y + z = 2 Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z=0 và z= √2 -x-y ểđ √2 có cận đối với dz -x -y Ta vẽ thêm đường thẳng =0 √2 -x-y =0 trong mp z=0 để so sánh Rõ ràng, trong hình tròn ta có √2 -x-y ≥0
  18. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2− x − y z Vậy : I5 = � dxdy � � dz x2 + y 2 1 x2 + y 2 0 Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt x = r cos ϕ y = r sin ϕ z=z 2p 1 2- r cos j - r sin j z I 5 = �j d �rdr � dz 0 0 0 r 2p 1 2- r cos j - r sin j � � z ￷ 2 I 5 = �j � ￷ d ￷ ￷ ￷ dr ￷2� � 0 0 0
  19. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2p � � 1 I5 = ￷ ￷2 - 1 2(cos j + sin j ) + (1 + sin2j ￷ d j = 7p )￷ 2 0 ￷ � 3 ￷ � 3 x+y+z=√2 Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 Miền D x2+y2=1
  20. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2−x −y 1 z � �2 I5 = � � � � dxdy x2 +y 2 1 2 2 2 0 x +y � � 2 2 2 + x + y − 2 2x − 2 2y + 2 xy = � � dxdy x2 + y 2 1 x2 + y 2 Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được 2π 2 + r 2 − 2 2r (cos ϕ + sin ϕ ) + 2r 2 sin ϕ cos ϕ 1 I5 = �dϕ � r dr 0 0 r
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2