intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 1)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
48
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi số" bao gồm: Tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 1)

  1. CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1. CHUỖI SỐ DƯƠNG 2. CHUỖI ĐAN DẤU 3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1. CHUỖI LŨY THỪA 2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
  2. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các ¥ số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) å un là chuỗi số n= 1 Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < ¥ n® ¥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ ¥ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n= 1 n® ¥
  3. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 n + + + + ... Þ un = 2 - 1 2 4 8 16 n 2 2 22 23 24 2n + + + + ... Þ un = 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi ¥ n+ 2 å Tính u5? Þ u5 = 5 + 2 = 7 n = 1 4n - 1 4.5 - 1 19 ¥ (2n - 1)!! å Tính u6 n= 1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 Þ u6 = = = = (6 + 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
  4. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ n Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân å q n= 0 Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi ìï n, q = 1 2 n ïï Sn = 1+ q + q + ... + q = í 1- q n ïï ,q ¹ 1 ïî 1- q Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ n 1 Khi |q|1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ khi và chỉ khi |q|
  5. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ æ1 1 ö÷ Ví dụ: Tính tổng của chuỗi å çç n - n ÷ n = 0 è3 5 ø÷ Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có ¥ 1 ¥ 1n 1 3 å n= å ( ) = = n= 0 3 n= 0 3 1- 1 2 3 ¥ 1 ¥ 1n - 1 5 å - n= å -( ) = =- n= 0 5 n= 0 5 1- 1 4 5 ¥ æ1 1 ö÷ 3 5 1 Vậy: å çç n - n ÷ ÷= - = n= 0 è3 5 ø 2 4 4
  6. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ 1 Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của å 2 n = 1 4n - 1 Tổng riêng: Sn = u1 + u2 + ... + un 1 1 1 1 Ta có: un = 2 = ( - ) 4n - 1 2 2n - 1 2n + 1 æ1 1ö æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1 ö 2Sn = çç - ÷ ÷+ çç - ÷÷+ çç - ÷ ÷ + ... + çç - ÷ è1 3 ø÷ è3 5÷ ø è5 7÷ ø è2n - 1 2n + 1ø÷ ÷ 1 2Sn = 1- 2n + 1 Tổng của chuỗi: ¥ 1 1 S= å 2 = lim Sn = n= 1 4n - 1 n® ¥ 2
  7. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1¥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ln(1+ ) n= 1 n Tổng riêng: n 1 n Sn = å ln(1+ ) = å (ln(1+ k ) - ln k ) k= 1 k k= 1 Sn = (ln 2 - ln1) + (ln3 - ln 2) + ... + (ln(n + 1) - ln n ) Sn = ln(n + 1) Ta có: S = nlim ®¥ Sn = lim ln(n + 1) = ¥ n® ¥ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
  8. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ ¥ Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi å un hội tụ thì un→0 n= 1 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh é1. lim un ¹ 0 ê n® ¥ ê êë2.$ nlim ®¥ un Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht ¥ n n å , vì lim un = lim = 1¹ 0 n= 1 n + 1 n® ¥ n® ¥ n + 1 ¥ (- 1)n + n (- 1)n + n å , vì lim = 1¹ 0 n= 1 n n® ¥ n ¥ n n å n , vì lim un = lim n = - 1¹ 0 n= 1 (- 1) - n n® ¥ n ® ¥ (- 1) - n
  9. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ¥ ¥ å un và å un n= 1 n= p ¥ ¥ Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ å un = Q và å v n = P n= 1 n= 1 Các chuỗi sau hội tụ với tổng ¥ ¥ å (un + v n )= Q + P, å (l un )=l Q n= 1 n= 1 Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
  10. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ¥ Chuỗi số å un , un ³ 0 với tất cả các số hạng n= 1 không âm thì gọi là chuỗi không âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2. Tiêu chuẩn so sánh 3. Tiêu chuẩn Cauchy 4. Tiêu chuẩn d’Alembert
  11. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). ¥ ¥ Khi ấy, chuỗi å f (n ) HT khi và chỉ khi tp ò f ( x )dx HT n= 1 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ¥ 1 a n= 1 n 1 * Khi α
  12. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm +¥ 1 Vì tích phân ò a dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên 1 x ¥ 1 Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Chuỗi å a n= 1 n ¥ 1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi å b n = 2 n(ln n ) 1 Xét hàm f ( x ) = a trên [2,+∞), ta có x (ln x ) f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
  13. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác ìï + ¥ khi b £ 1 +¥ dx +¥ d (ln x ) = ïï ò = ò í 1 2 x (ln x ) b 2 (ln x ) b ïï b- 1 khi b >1 ïî (b - 1)(ln2) ¥ 1 Vậy chuỗi å b HT khi β>1 và PK khi β≤1 n = 2 n(ln n )
  14. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: ¥ ¥ Cho 2 chuỗi số không âm å un và å v n thỏa n= 1 n= 1 $ p : un ³ v n " n ³ p ¥ ¥ Khi ấy: 1. å un HT Þ å v n HT n= 1 n= 1 ¥ ¥ 2. å v n PK Þ å un PK n= 1 n= 1 Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
  15. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2n ¥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å n n= 1 3 + 1 Ta so sánh 2n 2n un = n £ n = vn, " n 3 +1 3 ¥ 2n ¥ æ2ön ¥ 2 Vì å = å çç ÷ ÷ n = å q , q= là chuỗi hội tụ n= 1 3 n ÷ n = 1è3 ø n= 1 3 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
  16. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: ¥ ¥ Cho 2 chuỗi số không âm å un và å v n thỏa un n= 1 n= 1 lim = K n® ¥ v n Khi ấy: ¥ ¥ 1. Nếu K=∞ thì å un HT Þ å v n HT n= 1 n= 1 2. Nếu 0
  17. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: ¥ Hội tụ khi |q|1 å a n= 1 n Phân kỳ khi α≤1
  18. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ¥ n - 2n + 2 3 n= 1 n + n + 1 Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ 2 Khi n→∞ thì un = 3- 2n + 2 : 1 = v n n n + n+ 1 n Tức là lim un = 1 (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) n® ¥ v n ¥ ¥ 1 Mà å v n = å là chuỗi phân kỳ n= 1 n= 1 n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
  19. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n ¥ 1 æ1+ n ÷ ö Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å 2 çç ÷ n= 1 n è n ÷ ø n 1 æ1+ n ö÷ 1 Khi n→∞ thì un = 2 çç ÷ ÷ : 2 .e = v n n è n ø n ¥ ¥ 1 Mà chuỗi å v n = å 2 .e hội tụ n= 1 n= 1 n Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT
  20. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1 ¥ æ2n + 1ö Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ln çç ÷ ÷ n= 1 n - 1 è n- 1÷ø Ta có : 1 æ2n + 1ö 1 æ 3 ö un = ln çç ÷ ÷ = ln çç2(1+ ÷ ÷ ÷ n- 1 è n- 1ø n- 1 è ç 2(n - 1)÷ø 1 æç 3 ö ln2 ÷ 1 3 un = çln2 + ln(1+ )÷= + ln(1+ ) ç n - 1è ÷ 2(n - 1) ø n - 1 n - 1 2(n - 1) Do 1 3 1 3 3 n® ¥ : ln(1+ ): . = n- 1 2(n - 1) n - 1 2(n - 1) 2(n - 1)2 Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi ¥ ln2 PK và ¥ 1 ln(1+ 3 ) HT å å n= 2 n - 1 n= 2 n - 2 2(n - 1)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0