intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
159
lượt xem 34
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 trình bày tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Trong mỗi phần có trình bày định nghĩa, tính chất và cách tính các chuỗi số trên. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về chuỗi số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1. CHUỖI SỐ DƯƠNG 2. CHUỖI ĐAN DẤU 3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1. CHUỖI LŨY THỪA 2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
  2. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các ﾥ số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) n=1un ﾥ là chuỗi số Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < ﾥ nﾥ ﾥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ ﾥ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng ﾥ un = lim Sn = S n =1 nﾥ ﾥ
  3. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 2n - 1 + + + + ... � un = n 2 4 8 16 2 2 22 23 24 2n + + + + ... � un = 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi ﾥ n +2 ﾥ Tính u5? � u5 = 5 + 2 = 7 n =1 4n - 1 4.5 - 1 19 ﾥ (2n - 1)!! ﾥ Tính u6 n =1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 � u6 = = = = (6 + 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
  4. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ n Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân ﾥ q n =0 Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi ﾥ n, q = 1 ﾥ Sn = 1+ q + q + ... + q = ﾥ 1- q n 2 n ﾥ ﾥ ﾥ 1- q , q ﾥ 1 ﾥ ﾥ Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ 1 Khi |q|1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ ﾥ Vậy chuỗi cấp số nhân ﾥ q n hội tụ khi và chỉ khi |q|
  5. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ � 1 1� Ví dụ: Tính tổng của chuỗi ﾥ ﾥ n - nﾥ ﾥ3 ﾥ ﾥ n =0 � 5 � Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có ﾥ 1 ﾥ 1n 1 3 � n = �( ) = = n =0 3 n =0 3 1- 1 2 3 ﾥ 1 ﾥ 1n -1 5 �- n = �- ( ) = =- n =0 5 n =0 5 1- 1 4 5 ﾥ � 1 1� 3 5 1 Vậy: ﾥ ﾥ n - n ﾥ = - = ﾥ3 ﾥ ﾥ n =0 � 5 � 2 4 4
  6. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ 1 Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của ﾥ 2 n =1 4n - 1 Tổng riêng: Sn = u1 + u2 + ... + un 1 1 1 1 Ta có: un = 2 = ( - ) 4n - 1 2 2n - 1 2n + 1 � 1� � 1� � 1� 1 1 1 � 1 1 �� 2Sn = �- � � - � � - � ... + � + � 3� � 5� � 7� �� ��+ � 5 �+ �n - 1- 2n + 1�� � � 3 1 � �2 � 1 2Sn = 1- 2n + 1 Tổng của chuỗi: ﾥ 1 1 S=ﾥ 2 = lim Sn = n =1 4n - 1 nﾥ ﾥ 2
  7. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1ﾥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ ln(1+ ) n =1 n Tổng riêng: n 1 n Sn = �ln(1+ ) = �( ln(1+ k ) - ln k ) k =1 k k =1 Sn = (ln 2 - ln1) + (ln3 - ln 2) + ... + (ln( n + 1) - ln n ) Sn = ln(n + 1) Ta có: S = nlim Sn = nlim ln(n + 1) = ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
  8. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ ﾥ Điều kiện cần của sự hội Chuỗi ﾥ un hội tụ thì un→0 n =1 tụ : Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh ﾥ lim un ﾥ 0 1. ﾥ nﾥ ﾥ ﾥ ﾥ2.$ nlim un ﾥ ﾥ ﾥ Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht ﾥ n n ﾥ , vì lim un = lim = 1ﾥ 0 n =1 n + 1 nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ n + 1 ﾥ (- 1)n + n (- 1)n + n ﾥ , vì lim = 1ﾥ 0 n =1 n nﾥ ﾥ n ﾥ n n ﾥ n , vì lim un = lim n = - 1ﾥ 0 n =1 (- 1) - n nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ (- 1) - n
  9. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ﾥ ﾥ �un và � un n =1 n= p ﾥ ﾥ Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ �un = Q và �v n = P n =1 n =1 Các chuỗi sau hội tụ với tổng ﾥ ﾥ �( un + v n ) = Q + P, �( l un ) =l Q n =1 n =1 Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
  10. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ﾥ Chuỗi số ﾥ un , un ﾥ 0 với tất cả các số hạng n =1 không âm thì gọi là chuỗi không âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2. Tiêu chuẩn so sánh 3. Tiêu chuẩn Cauchy 4. Tiêu chuẩn d’Alembert
  11. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). ﾥ ﾥ Khi ấy, chuỗi ﾥ f (n ) HT khi và chỉ khi tp ﾥ f ( x )dx HT n =1 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ ﾥ 1 a n =1 n 1 * Khi α
  12. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm +ﾥ 1 Vì tích phân ﾥ a dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên 1 x ﾥ 1 Chuỗi ﾥ a Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 n =1 n ﾥ 1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi ﾥ b n =2 n(ln n ) 1 Xét hàm f ( x ) = a trên [2,+∞), ta có x (ln x ) f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
  13. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác ﾥ +ﾥ khi b ﾥ 1 ﾥ +ﾥ dx +ﾥ d (ln x ) = ﾥ ﾥ � = � ﾥ 1 ﾥ (b - 1)(ln2)b- 1 khi b>1 b b ﾥ 2 x (ln x ) 2 (ln x ) ﾥ ﾥ 1 Vậy ﾥ b HT khi β>1 và PK khi β≤1 n =2 n(ln n ) chuỗi
  14. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: ﾥ ﾥ Cho 2 chuỗi số không âm �un và �v n thỏa n =1 n =1 $p : un ﾥ v n " n ﾥ p ﾥ ﾥ Khi ấy: 1. �un HT ﾥ �v n HT n =1 n =1 ﾥ ﾥ 2. �v n PK ﾥ �un PK n =1 n =1 Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
  15. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ﾥ 2n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ n n =1 3 + 1 Ta so sánh 2n 2n un = n ﾥ n = vn, " n 3 +1 3 ﾥ 2n ﾥ �� n Vì � = �ﾥ ﾥ = �q n , q = 2 2ﾥ ﾥ ﾥ 3ﾥ là chuỗi hội tụ n =1�� n n =1 3 n =1 3 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
  16. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: ﾥ ﾥ Cho 2 chuỗi số không âm �un và �v n thỏa un n =1 n =1 lim =K nﾥ ﾥ v n Khi ấy: ﾥ ﾥ 1. Nếu K=∞ thì �un HT ﾥ �v n HT n =1 n =1 2. Nếu 0
  17. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: ﾥ n Hội tụ khi |q|
  18. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ﾥ n 2 - 2n + 2 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ 3 n =1 n + n + 1 Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ n 2 - 2n + 2 1 Khi n→∞ thì un = 3 : = vn n + n +1 n Tức là lim un = 1 (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) nﾥ ﾥ v n ﾥ ﾥ 1 Mà �v n = � là chuỗi phân kỳ n =1 n=1 n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
  19. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n ﾥ 1 �+ n � 1 ﾥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ 2 ﾥ n =1 n � ﾥ ﾥ n �ﾥ n 1 �+ n � 1 1 ﾥ Khi n→∞ thì un = 2 ﾥﾥ n �: n 2 .e = v n ﾥ n � ﾥ ﾥ ﾥ 1 Mà chuỗi �v n = � 2 .e hội tụ n =1 n=1 n Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT
  20. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1 ﾥ �n + 1� 2 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ ln ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ n- 1� � ﾥ n =1 n - 1 Ta có : u = 1 ln �n + 1� 1 ln � + 3 � ﾥ 2 ﾥ= ﾥ2(1 ﾥ n ﾥ ﾥ n- 1� n- 1 ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ n- 1 � � 2(n - 1)� 1 �ﾥln2 + ln(1+ 3 � ln2 ﾥ= 1 3 un = ﾥ )ﾥ + ln(1+ ) ﾥ n - 1� ﾥ n- 1 n- 1 2(n - 1) � 2(n - 1) Do 1 3 1 3 3 nﾥ ﾥ : ln(1+ ): . = n- 1 2(n - 1) n - 1 2(n - 1) 2(n - 1)2 Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi ﾥ ln 2 ﾥ 1 3 � PK và � ln(1 + ) HT n =2 n - 1 n =2 n - 2 2(n - 1)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2