Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 5 Ứng dụng của tích phân của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Tính diện tích hình phẳng, tính độ dài của cung, tính thể tích vật thể, tính diện tích mặt tròn xoay. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

30/10/2017 Chương 5: Ứng dụng của tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Tính diện tích hình phẳng §1. Tính diện tích hình phẳng §2. Tính thể tích vật thể §3. Tính độ dài của cung §4. Tính diện tích mặt tròn xoay LOG O 2 I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes: Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con S1 , S2 ,..., Sn Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b. Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật 3 Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 phần, 4 phần, 8 phần và 12 phần 4 Trên mỗi miền S1 , S2 ,..., Sn lấy một điểm tùy ý Ta có S  S1  S2  ...  Sn 5 6 1 30/10/2017 Ví dụ 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. Giải Cách 1 (Dùng định lý 1.1): Vì y  x 2  0, x  [0,1] nên 1 S   x 2 dx  0 1  0,3333. 3 Định lý 1.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là b S   f ( x )dx , f ( x )  0, x  [a, b]. a 7 8 -Nếu chia S thành 30 miền Cách 2 (Dùng tổng): -Nếu chia S thành 4 miền 9 -Nếu chia S thành 50 miền 10 Hệ quả 1.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì b S   f ( x ) dx a Ví dụ 1.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2 Hệ quả 1.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a và x = b thì b S   f ( x )  g( x ) dx a 11 12 2 30/10/2017 Ví dụ 1.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 và y  x trên [-1;1]. Hệ quả 1.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c và y = d thì d S   f ( y )  g( y ) dy c Ví dụ 1.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y 2  2 x  6 và đường thẳng y  x 1. 13 III. Hệ tọa độ cực: O: cực Ox: trục cực r: bán kính cực  : góc cực (r , ) : tọa độ cực Ta quy ước góc   0 nếu Ox quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. 15 Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên hệ sau  x  r cos ,   y  r sin  . II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số: Hệ quả 1.5: Hình thang cong cho bởi  x  x(t ) , t  [ ,  ]   y  y (t ) có diện tích là  S   y (t ). x (t ) dt  Ví dụ 1.5: Tính diện tích của hình elip giới hạn 2 2 bởi đường elip x  y  1. a2 b2 14 Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị (r , ) cùng xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số     3,  n2  , n    6  đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ cực. Do đó, nếu quy ước 0  r  , 0    2 thì mỗi điểm P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số (r , ) duy nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O. 16 IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực: Xét hàm số r  r ( ) . Khi góc cực  biến thiên từ  đến  thì điểm P với tọa độ cực  r ( ),  vạch nên một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình r  r ( ) Ví dụ 1.6: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r  2 a cos  . Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn tâm I(1,0), bán kính r = 1 là r  2 cos  và ta có thể vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau 17 18 3 30/10/2017 Ví dụ 1.7: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ cực 19 20 V. Hình thang cong trong tọa độ cực: Hệ quả 1.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ) , cho hình quạt cong giới hạn bởi r  r ( ),   [ ,  ]. Khi đó, diện tích của quạt cong là §2. Tính thể tích vật thể  1 S   r 2 ( )d 2 Ví dụ 1.7: Tìm diện tích của hình quạt cong   r  cos2 ,   . 4 4 21 I. Vật thể V bất kỳ: Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với thiết diện phụ thuộc biến x [a, b] là S(x). Thể tích của vật thể V sẽ là 22 II. Vật thể tròn xoay: Loại 1: Có thể quay hình thang cong y  f ( x )  0, x  [a, b] quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn xoay có diện tích thiết diện S( x )   f 2 ( x ). Vì vậy, thể tích là b b V   S ( x )dx V    f 2 ( x )dx a a Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối cầu bán kính R. 23 Ví dụ 2.2: Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra khi quay đường tròn x 2  y 2  R 2 quanh trục Ox 24 4 30/10/2017 Loại 2: Cho miền D giới hạn bởi cung y  f ( x ), x  [a, b] và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ quay quanh Oy thì b V  2  xf ( x )dx §3. Tính độ dài của cung a Ví dụ 2.3: Cho miền D giới hạn bởi y  5 x 3 , x  1, x  3 và Ox quay quanh Oy. Tính thể tích hình đó. 25 I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):  Đường cong y  f ( x ), x  [a, b], xác định một cung AB với độ dài là b 2 l   1   f ( x )  dx   26 II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số: Đường cong cho bởi  x  x(t ) , t  [ ,  ]   y  y (t )  Khi đó AB có độ dài a Ví dụ 3.1: Tính độ dài của cung parabol y  x, với 1  x  4.  2 2 l    x(t )    y(t )  dt      3 Ví dụ 3.2: Tính độ dài cung x  t 2 , y  t , 0  t  4. 27 28  Cung AB định bởi hàm y  f ( x ), x  [a, b], quay xác quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích b 2 S AB  2  f ( x ) 1   f ( x )  dx   a  Trường hợp cung AB cho bởi phương trình tham số §4. Tính diện tích mặt tròn xoay  x  x(t ) , t  [ ,  ]   y  y (t ) thì mặt tròn xoay có diện tích  2 2 SAB  2  y(t )  x (t )    y(t )  dt      29 Ví dụ 4.1: Quay miền D giới hạn bởi y 2  12 x , 0  x  3 và quay quanh Ox ta được mặt tròn xoay. Tính diện tích mặt đó. 30 5