Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
25
lượt xem
2
download

Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 5 Ứng dụng của tích phân của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Tính diện tích hình phẳng, tính độ dài của cung, tính thể tích vật thể, tính diện tích mặt tròn xoay. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

30/10/2017<br /> <br /> Chương 5:<br /> <br /> Ứng dụng của tích phân<br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Tính diện tích hình phẳng<br /> <br /> §1. Tính diện tích hình phẳng<br /> §2. Tính thể tích vật thể<br /> §3. Tính độ dài của cung<br /> §4. Tính diện tích mặt tròn xoay<br /> LOG<br /> O<br /> 2<br /> <br /> I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes:<br /> <br /> Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con S1 , S2 ,..., Sn<br /> <br /> Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA<br /> giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và<br /> hai đường thẳng x = a, x = b.<br /> Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật<br /> <br /> 3<br /> <br /> Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 phần, 4 phần,<br /> 8 phần và 12 phần<br /> <br /> 4<br /> <br /> Trên mỗi miền S1 , S2 ,..., Sn lấy một điểm tùy ý<br /> <br /> Ta có S  S1  S2  ...  Sn<br /> <br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 30/10/2017<br /> <br /> Ví dụ 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn<br /> bởi đường cong y  x 2 , trục hoành, hai đường<br /> thẳng x = 0 và x = 1.<br /> Giải<br /> Cách 1 (Dùng định lý 1.1): Vì y  x 2  0, x  [0,1]<br /> nên<br /> 1<br /> S   x 2 dx <br /> 0<br /> <br /> 1<br />  0,3333.<br /> 3<br /> <br /> Định lý 1.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục<br /> trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình<br /> thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm<br /> y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là<br /> b<br /> <br /> S   f ( x )dx , f ( x )  0, x  [a, b].<br /> a<br /> <br /> 7<br /> <br /> 8<br /> <br /> -Nếu chia S thành 30 miền<br /> <br /> Cách 2 (Dùng tổng):<br /> <br /> -Nếu chia S thành 4 miền<br /> <br /> 9<br /> <br /> -Nếu chia S thành 50 miền<br /> <br /> 10<br /> <br /> Hệ quả 1.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì<br /> b<br /> <br /> S   f ( x ) dx<br /> a<br /> <br /> Ví dụ 1.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn<br /> bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2<br /> Hệ quả 1.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai<br /> đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng<br /> x = a và x = b thì<br /> b<br /> <br /> S   f ( x )  g( x ) dx<br /> a<br /> <br /> 11<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 30/10/2017<br /> <br /> Ví dụ 1.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn<br /> bởi y  x 3 và y  x trên [-1;1].<br /> Hệ quả 1.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai<br /> đường cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng<br /> y = c và y = d thì<br /> d<br /> <br /> S   f ( y )  g( y ) dy<br /> c<br /> <br /> Ví dụ 1.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn<br /> bởi parabol y 2  2 x  6 và đường thẳng y  x 1.<br /> <br /> 13<br /> <br /> III. Hệ tọa độ cực:<br /> O: cực<br /> Ox: trục cực<br /> r: bán kính cực<br />  : góc cực<br /> (r , ) : tọa độ cực<br /> <br /> Ta quy ước góc   0 nếu Ox quay theo hướng ngược<br /> chiều kim đồng hồ.<br /> 15<br /> <br /> Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho<br /> gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa<br /> hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên<br /> hệ sau<br />  x  r cos ,<br /> <br />  y  r sin  .<br /> <br /> II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số:<br /> <br /> Hệ quả 1.5: Hình thang cong cho bởi<br /> <br />  x  x(t )<br /> , t  [ ,  ]<br /> <br />  y  y (t )<br /> có diện tích là<br /> <br /> <br /> S   y (t ). x (t ) dt<br /> <br /> <br /> Ví dụ 1.5: Tính diện tích của hình elip giới hạn<br /> 2<br /> 2<br /> bởi đường elip x  y  1.<br /> a2<br /> <br /> b2<br /> <br /> 14<br /> <br /> Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị (r , ) cùng<br /> <br /> xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số<br />  <br /> <br />  3,  n2  , n  <br />  6<br /> <br /> đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ<br /> cực.<br /> <br /> Do đó, nếu quy ước 0  r  , 0    2 thì mỗi điểm<br /> P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số (r , ) duy<br /> nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O.<br /> 16<br /> <br /> IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực:<br /> Xét hàm số r  r ( ) . Khi góc cực  biến thiên từ <br /> đến  thì điểm P với tọa độ cực  r ( ),  vạch nên<br /> một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường<br /> cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình<br /> <br /> r  r ( )<br /> Ví dụ 1.6: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm<br /> I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r  2 a cos  .<br /> Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn<br /> tâm I(1,0), bán kính r = 1 là r  2 cos  và ta có thể<br /> <br /> vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau<br /> 17<br /> <br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 30/10/2017<br /> <br /> Ví dụ 1.7: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ<br /> cực<br /> <br /> 19<br /> <br /> 20<br /> <br /> V. Hình thang cong trong tọa độ cực:<br /> <br /> Hệ quả 1.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ) , cho hình<br /> quạt cong giới hạn bởi r  r ( ),   [ ,  ]. Khi đó,<br /> diện tích của quạt cong là<br /> <br /> §2. Tính thể tích vật thể<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> S   r 2 ( )d<br /> 2<br /> Ví dụ 1.7: Tìm diện tích của hình quạt cong<br /> <br /> <br /> r  cos2 ,<br />   .<br /> 4<br /> 4<br /> 21<br /> <br /> I. Vật thể V bất kỳ:<br /> Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với<br /> thiết diện phụ thuộc biến x [a, b] là S(x). Thể<br /> tích của vật thể V sẽ là<br /> <br /> 22<br /> <br /> II. Vật thể tròn xoay:<br /> Loại 1: Có thể quay hình thang cong<br /> y  f ( x )  0, x  [a, b]<br /> quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn<br /> xoay có diện tích thiết diện S( x )   f 2 ( x ).<br /> Vì vậy, thể tích là<br /> <br /> b<br /> b<br /> <br /> V   S ( x )dx<br /> <br /> V    f 2 ( x )dx<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối cầu bán kính R.<br /> 23<br /> <br /> Ví dụ 2.2: Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra<br /> khi quay đường tròn x 2  y 2  R 2 quanh trục Ox<br /> 24<br /> <br /> 4<br /> <br /> 30/10/2017<br /> <br /> Loại 2: Cho miền D giới hạn bởi cung y  f ( x ), x  [a, b]<br /> và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ<br /> quay quanh Oy thì<br /> b<br /> <br /> V  2  xf ( x )dx<br /> <br /> §3. Tính độ dài của cung<br /> <br /> a<br /> <br /> Ví dụ 2.3: Cho miền D giới hạn bởi y  5 x 3 , x  1,<br /> x  3 và Ox quay quanh Oy. Tính thể tích hình<br /> đó.<br /> <br /> 25<br /> <br /> I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):<br /> <br /> Đường cong y  f ( x ), x  [a, b], xác định một cung AB<br /> với độ dài là<br /> b<br /> <br /> 2<br /> <br /> l   1   f ( x )  dx<br /> <br /> <br /> <br /> 26<br /> <br /> II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số:<br /> Đường cong cho bởi<br /> <br />  x  x(t )<br /> , t  [ ,  ]<br /> <br />  y  y (t )<br /> <br /> Khi đó AB có độ dài<br /> <br /> a<br /> <br /> Ví dụ 3.1: Tính độ dài của cung parabol<br /> <br /> y  x,<br /> với 1  x  4.<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> l    x(t )    y(t )  dt<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> Ví dụ 3.2: Tính độ dài cung x  t 2 , y  t , 0  t  4.<br /> <br /> 27<br /> <br /> 28<br /> <br /> <br /> Cung AB định bởi hàm y  f ( x ), x  [a, b], quay<br /> xác<br /> quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích<br /> b<br /> <br /> 2<br /> <br /> S AB  2  f ( x ) 1   f ( x )  dx<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> Trường hợp cung AB cho bởi phương trình tham số<br /> <br /> §4. Tính diện tích mặt tròn xoay<br /> <br />  x  x(t )<br /> , t  [ ,  ]<br /> <br />  y  y (t )<br /> <br /> thì mặt tròn xoay có diện tích<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> SAB  2  y(t )  x (t )    y(t )  dt<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 29<br /> <br /> Ví dụ 4.1: Quay miền D giới hạn bởi y 2  12 x , 0  x  3<br /> và quay quanh Ox ta được mặt tròn xoay. Tính<br /> diện tích mặt đó.<br /> 30<br /> <br /> 5<br /> <br />
Đồng bộ tài khoản